SKKN PHUONG TRINH BAC CAO

Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
Phần I:Mở đầu
I/ Lí do chọn đề tài:
Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, có ứng dụng
trong hầu hết trong các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học giữ vai trò quan trọng trong mọi
bậc học. Làm thế nào để học đợc toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà không phải lúc
nào cũng giải quyết đợc một cách đễ dàng. Với cơng vị là một giáo viên toán, tôi nhận thấy
cần phải đầu t suy nghĩ hơn nữa để tìm ra phơng pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến
thức, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, nhẹ nhàng cóhiệu quả.
Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải ph-
ơng trình bậc cao đợc đa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lợc, mang
tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi. Bên cạnh đó là các nội
dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Các phơng trình bậc cao là
một nội dung thờng gặp trong các kỳ thi ở Bậc THCS, THPT và đặc biệt trong các kỳ thi
tuyển sinh vào Đại học và cao đẳng.
Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở ngại cho
học sinh trong quá trình tiếp cận với phơng trình bậc cao. Cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm
có đợc của bản thân qua nhiều năm giảng dạy. Kết hợp với những kiến thức mà tôi đã lĩnh
hội đợc trong chơng trình Đại học Toán mà đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của các thầy cô
giáo, tôi xin đề xuất một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao và các bài tập minh họa
trong chơng trình toán THCS.
Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tự phân
loại đợc một số dạng toán giải phơng trình bậc cao, nêu lên một số phơng pháp giải cho từng
dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc giải phơng trình bậc cao.
Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy đợc khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát
hoá qua các bài tập nhỏ. Từ đó hình thành cho học sinh khả năng t duy sáng tạo trong học
tập.
Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số cách giải phơng trình bậc cao đa về phơng trình
quen thuộc và phơng trình đã biết cách giải. Đề tài này có thể áp dụng cho giáo viên toán và
những học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải và cách trình bày. Tuy vậy ,nội dung
của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản thân. Vì vậy tôi rất mong nhận đợc những ý kiến

đóng góp của các thầy cô giáo để đề tài này đợc hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các em học sinh trờng THCS Thuận Tiến,
quý thầy cô trờng đại học s phạm Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ và hớng dẫn tôi hoàn
thành đề tài này.

Trang 1
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
II/ MụC ĐíCH NHIệM Vụ CủA Đề TàI
- Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao bằng cách đa về các dạng phơng trình đã
biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc .
- Các ví dụ minh hoạ
- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình bậc cao
- Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập
iII/ đối tợng nghiên cứu
- Học sinh lớp 9 trờng THCS Thuận Tiến - Hòn Đất - Kiên Giang
Iv/ Phơng pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu ,thu thập tài liệu .
- Phân tích ,tổng kết kinh nghiệm .
- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lợng HS, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều
tra trực tiếp thông qua các giờ học
Phần II :Nội dung đề tài
I/ Cơ sở lí luận:
1.Mục đích, ý nghĩa của việc dạy giải phơng trình bậc cao:
- Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục những kiến thức cơ bản một cách có hệ
thống (về toán học nói chung cũng nh về phần phơng trình bậc cao quy về phơng trình bậc
hai trong chơng trình dạy toán lớp 9)theo phơng pháp tinh giảm dễ hiểu .
- Bài tập về phơng pháp quy về phơng trình bậc hai nhằm rèn luyện cho HS những
kĩ năng thực hành giải toán về phơng trình bậc hai.Rèn luyện cho HS các thao tác t duy ,so
sánh ,khái quát hoá ,trừu tợng hoá ,tơng tự...
- Rèn luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các

môn học khác ở trờng THCS .Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế .
- Bài tập Phơng trình bậc cao quy về phơng trình bậc hai còn góp phần rèn luyện
cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo.
2. Các kĩ năng ,kiến thức khi học về giải phơng trình bậc cao:
- Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số :
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ .
- Phép phân tích đa thức thành nhân tử
II/ Những kiến thức cơ bản trong giải phơng trình:
1. Các định nghĩa :
1.1 Định nghĩa phơng trình :
Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x. Khi nói A(x) = B(x) là một ph-
ơng trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tơng ứng của hai biểu thức này
bằng nhau.
Biến x đợc gọi là ẩn.
Giá trị tìm đợc của ẩn gọi là nghiệm.

Trang 2
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình
Mỗi biểu thức gọi là một vế của phơng.
1.2. Tập xác định của phơng trình :
Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa.
1.3. Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng :
Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.
1.4. Các phép biến đổi tơng đơng :
Khi giải phơng trình ta phải biến đổi phơng trình đã cho thành những phơng trình tơng
đơng với nó ( nhng đơn giải hơn). Phép biến đổi nh thế đợc gọi là phép biến đổi tơng đơng.
2. Các định lý biến đổi tơng đơng của phơng trình :
a) Định lý 1 :Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một phơng trình thì đ-
ợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.

Ví dụ : 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 +5x.
* Chú ý : Nếu cộng cùng một biểu thức chứa ẩn ở mẫu vào hai vế của một phơng
trình thì phơng trình mới có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ : x -2 (1) Không tơng đơng với phơng trình
2
1
2
1
2

=

+
xx
x
Vì x = 2 là nghiệm của (1) nhng không là nghiệm của (2)
* Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phơng trình
đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ : 8x -7 = 2x + 3 <=> 8x- 2x = 7 + 3
* Hệ quả 2 :Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì đợc
một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ : -9 - 7x = 5 ( x +3) -7x <=> -9 = 5 x ( x + 3)
* Chú ý : Nếu nhân hai vế của một phơng trình với một đa thức của ẩn thì đợc ph-
ơng trình mới có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho.
b) Định lý 2:Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng trình thì đợc phơng
trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ :
2
1
x

2
- 3x =
4
3


2x
2
- 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 )
IIi/ những phơng pháp giảI phơng trình:

Trang 3
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
1.Phơng trình bậc nhất một ẩn :
Phơng trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a 0 đợc gọi là phơng trình
bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do.
Cách giải :
- Phơng trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1)
- Dùng phép bién đổi tơng đơng , Phơng trình (1) trở thành :
a x=-b x=-b/a
Phơng trình này có nghiệm duy nhất : x=
a
b

(a

0)
2. Phơng trình bậc cao:
2.1. Phơng trình bậc hai một ẩn :
Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng ax

2
+ bx + c = 0; trong đó x là
ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a 0.
*Cách giải:
*Ta dùng các phép biến đổi tơng đơng ,biến đổi phơng trình đã cho về các
dạng phơng trình đã biết cách giải (phơng trình bậc nhất ,phơng trình dạng tích ) để
tìm nghiệm của phơng trình
*Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai a x
2
+b x +c=o (a

0)Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số

của phơng trình:

=b
2
- 4ac
Vì biểu thức

= b
2
- 4ac quyết định nghiệm số của phơng trình bậc hai .
Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :
a ,

<0 phơng trình bậc hai vô nghiệm
b ,

=0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau):

x
1
=x
2
=
a
b
2

c ,

>0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

x
1
=
a
b
2
+
; x
2
=
a
b
2
+

*Chú ý :
- Nếu a và c trái dấu , nghĩa là a.c<0 thì phơng trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt (vì

ac<0 =>b
2
-4ac >0 hay

>0 )
- Đối với một số phơng trìnhbậc hai đơn giản (với hệ số nguyên ) trong trờng hợp có
nghiệm (


0 ) ta có thể dùng địnhlí Vi ét để tính nhẩm nghiệm
Định lí Vi ét : Nếu phơng trình bậc hai a x
2
+ bx +c = 0 (1) ( a
0

) có hai nghiệm
là : x
21
, x
thì tổng và tích hai nghiệm là
S =x
21
x
+
=
a
b


P=x

21
x
=
a
c

Cách nhẩm nghiệm :
+ Nếu a+b+c =0 thì phơng trình (1) có các nghiệm là x
==
21
;1 x
a
c


Trang 4
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
+ Nếu a-b+c=0 thì phơng trình (1) có các nghiệm là x
a
c
x

==
21
;1

- Nhờ có đình lí Vi ét mà ta có thể tìm đợc nghiệm của các phơng trình có dạng đặc biệt
. Ngoài ra chúng ta cũng có thể làm đợc một số bài toán biện luận về số nghệm của
phơng trình bậc hai
- Sau khi dạy về định lí Vi ét tôi cho HS giải các phơng trình bậc hai qua lợc đồ sau :

Trang 5
0
Xác định các hệ số a,b,c
ax
2
+ bx + c = 0 ( a0)
Tính a + b + c
Phương trình có 2 nghiệm
x
1
= 1 ; x
2
=
Tính a - b + c
Phương trình có 2 nghiệm
x
1
= -1 ; x
2
=
Tính
Phương trình
vô nghiệm
Phương trình có
nghiệm kép
x
1
= x

2
=
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x
1
= ; x
2
=
= 0
= 0
0
< 0 > 0
= 0
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
Ví dụ : Giải các phơng trình sau
a , 3x
2
+5x +7 = 0



= 25 4. 3 . 7 =25 - 84 =- 61 <0
Vậy phơng trình vô nghiệm
b , 5 x
2
+2
10
x +2 = 0

= (2
10
)
2
-4.5.2 =0 nên phơng trình có nghiệm kép

x
1
=x
2
=
a
b
2

=
5
10

c , 3x
2
+5x - 1 = 0



= 5
2
- 4 . 3 .(-1) =25+12 =37 >0
Vậy PT có hai nghiệm là : x

1
=
6
375
+
; x
2
=
6
375



d/ Giải phơng trình x
2
-3x +6
=

3
1

x
(1)
x
2
-9
-Phân tích các mẫu thành nhân tử phơng trình trở thành
x
2
-3x +6

=

3
1

x

(x-3)(x+3)
x +3

0
TXĐ : hay x

3và x

-3
x-3

0
MTC : (x-3)(x+3)
-Khử mẫu ta đợc phơng trình x
2
-3x +6 =x+3
- Chuyển vế : x
2
-3x +6 -x-3=0

Trang 6
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
x

2
-4x +3 =0 (2)
Vì a+b+c= 1+(-4) +3 =0
Nên x
1
=1 ; x
2
=c/a =3 là hai nghiệm của
phơng trình trung gian
- Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2) có thuộc
TXĐ của (1) hay không ?
ở đây ta nhận thấy x
1
=1 thoả mãn điều kiện
x
2
=3 không thoả mãn điều kiện
-Do đó ta mới kết luận nghiệmcủa (1) là x=1
*Nhận xét :
-Những phơng trình đợc trình bày ở trên là dạng phơng trình gặp nhiều ở THCS
- Khi giải các phơng trình này ta cần chú ý những vấn đề sau :
+ Tìm TXĐ của phơng trình
+ Sau khi giải đợc kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm ( loại bỏ những
nghiệm của phơng trình trung gian không nằm trong miền xác định )
* Bài luyện tập:Giải các phơng trình :
a ,3(x
2
+x) -2(x
2
+x ) -1= 0

b, 5x
2
- 7x = 0
c,
5
3
3
5
5
3
3
5
+


=


+
xx
xx
d,
)4)(1(
82
1
2
+
+
=
+

xx
xx
x
x
e,
1
32
2
32
3
=
+

+
xx
x
xx
x
2.2. Phơng trình bậc ba
a x
3
+bx
2
+cx =d =0
( trong đó x là ẩn ; a,b,c,d là các hệ số ;a

0 )
* Cách giải :
-Để giải một phơng trình bậc ba ta thờng biến đổi về phơng trình tích .Vế trái là tích của các
nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai , vế phải bằng 0 . Muốn làm tốt việc này cần đồi hỏi

HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo
*Ví dụ : giải phơng trình 2x
3
+7x
2
+7x + 2=0
Giải
Phân tích vế trái thành nhân tử ta có
VT = (2x
3
+ 2) + (7x
2
+7 )
= 2(x
3
+1) + 7x (x+1)
= 2(x+1)(x
2
x +1) +7x(x+1)
= (x+1)[2(x
2
-x +1) +7x ]
= (x+1) (2x
2
+5x +2)
Vậy phơng trình đã cho (x+1) (2x
2
+5x +2) =0
x +1 =0 (2)

(2x
2
+5x +2) =0 (3)
x
1
=-1


Trang 7
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
x
2
=-2 ; x
3
= -
2
1
Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm là x
1
=-1 ; x
2
=-2 ; x
3
= -
2
1
*Nhận xét :
Khi giải một phơng trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà chủ yếu dùng
phép phân tích đa thức thành nhân tử để đa phơng trình về dạng phơng trình tích
- Chú ý : tính chất của phơng trình bậc ba : a x

3
+bx
2
+cx =d =0 ( a

0 )
+Nếu a+b+c +d =0 thì phơng trình có một nghiệm x=1
+Nếu a-b+c-d =0 thì phơng trình có một nghiệm x= -1
Khi đã nhận biết đợc một nghiệmcủa phơng trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành nhân tử
- Phơng trình : a x
3
+bx
2
+cx =d =0 ( a

0 ) với các hệ số nguyên . Nếu có nghiệm nguyên
thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hạng tử tự do (đ/l sự tồn tại nghiệm nguyên của phơng
trình nghiệm nguyên )
- Nếu phơng trình : a x
3
+bx
2
+cx =d =0 ( a

0 ) có 3 nghiệm x
1
; x
2
; x
3

Thì 3 nghiệm đó sẽ thoả mãn các điều kiện sau:
x
1
+x
2
+x
3
= -
a
b
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+x
1
x
3
=
a
c
x
1
x
2

x
3
= -
a
d
* Bài luyện tập:Giải các phơng trình :
a, 2x
3
- 5x
2
- 3x = 0
b, x
3
- 7x + 6 = 0
c, x
3
- 5x
2
+ x + 5 = 0
d, x
3
- 13x
2
- 42x - 36 = 0
f, 3x
3
- 7x
2
+ 17x - 5 = 0
2.3. Phơng trình bậc 4 :

Phơng trình bậc 4 dạng : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx +e =0
Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a

0 )
Một phơng trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai
2.3.1. Phơng trình tam thức bậc 4 (Phơng trình trùng phơng )
Phơng trình trùng phơng có dạng tổng quát : a x
4
+bx
2
+c=0 (1)
Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ; ( a

0 )
*Cách giải :
Khi giải phơng trình này ta dùng phơng pháp đổi biến
x
2

=t (t

0) (2)
Khi đó phơng trình (1) da đợc về dạng phơng trình bậc hai trung gian

a t
2
+b t +c =0 (3)

Trang 8