tuyen tap cac de thi HSG lop 8

Bài 1 (3 điểm)Tính giá trị biểu thức
4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1+ 3 5 .......... 29
4 4 4 4
A=
1 1 1 1
2 + 4 6 .......... 30
4 4 4 4

+ + +
ữ ữ ữ ữ


+ + +
ữ ữ ữ ữ

Bài 2 (4 điểm)
a/Với mọi số a, b, c không đồng thời bằng nhau, hãy chứng minh
a
2
+ b
2
+ c
2
ab ac bc

0
b/ Cho a + b + c = 2009. chứng minh rằng
3 3 3

2 2 2
a + b + c - 3abc
= 2009
a + b + c - ab - ac - bc
Bài 3 (4 điểm). Cho a

0, b

0 ; a và b thảo mãn 2a + 3b

6 và 2a + b

4. Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức A = a
2
2a b
Bài 4 (3 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Một ô tô đi từ A đến B . Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A vơí vận tốc bằng
2
3
vận tốc của ô tô thứ
nhất . Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đờng AB thì mất bao lâu?
Bài 5 (6 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N thứ tự là trung điểm của BC và AC.
Các đờng trung trực của BC và AC cắt nhau tại O . Qua A kẻ đờng thẳng song song với OM, qua B kẻ đ-
ờng thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H
a) Nối MN,

AHB đồng dạng với tam giác nào ?
b) Gọi G là trọng tâm

ABC , chứng minh

AHG đồng dạng với

MOG ?
c) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng ?
phòng giáo dục và đào tạo kim bảng
Kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2008 2009
Đáp án , biểu điểm, hớng dẫn chấm
Môn Toán 8
Nội dung Điểm
Bài 1 (3 điểm)
Có a
4
+
1
4
=
2
2 2 2 2
1 1 1
a a
2 2 2
a a a a

+ = + + +
ữ ữ ữ

1,0
Khi cho a các giá trị từ 1 đến 30 thì:

Tử thức viết đợc thành
(1
2
+1+
1
2
)(1
2
-1+
1
2
)(3
2
+3+
1
2
)(3
2
-3+
1
2
).(29
2
+29+
1
2
)(29
2
-29+
1

2
)
0,5
Mẫu thức viết đợc thành
(2
2
+2+
1
2
)(2
2
-2+
1
2
)(4
2
+4+
1
2
)(4
2
-4+
1
2
)(30
2
+30+
1
2
)(30

2
-30+
1
2
)
0,5
Mặt khác (k+1)
2
-(k+1)+
1
2
=.=k
2
+k+
1
2
0,5
Nên A=
2
2
1
1 1
1
2
1
1861
30 30
2
+
=

+ +
0,5
Bài 2: 4 điểm
ý a: 2 điểm
-Có ý tởng tách, thêm bớt hoặc thể hiện đợc nh vậyđể sử dụng bớc sau 0,5
-Viết đúng dạng bình phơng của một hiệu 0,5
- Viết đúng bình phơng của một hiệu 0,5
phòng giáo dục và đào tạo
kim bảng
Đề chính thức
kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2008 2009
môn toán lớp 8
Thời gian 150 phút Không kể thời gian giao đề
1
- Lập luận và kết luận đúng 0,5
ý b: 2 điểm
Phân tích đúng tủ thức thành nhân tử 1,0
Rút gọn và kết luận đúng 1,0
Bài 3 : 4 điểm
*Từ 2a + b 4 và b 0 ta có 2a 4 hay a 2
1,0
Do đó A=a
2
- 2a - b 0
0,5
Nên giá trị lớn nhất của A là 0 khi a=2và b=0 0,5
* Từ 2a + 3b 6 suy ra b 2 -
2
3
a

1,0
Do đó A a
2
2a 2 +
2
3
a
= (
2
3
a
)
2
-
22
9
-
22
9
0,5
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là -
22
9
khi a =
2
3
và b =
2
3
0,5

Bài 4 : 3 điểm
- Chọn ẩn và đạt điều kiện đúng 0,25
- Biểu thị đợc mỗi đại lợng theo ẩn và số liệu đã biết(4 đại lợng) 0,25 x 4
- Lập đợc phơng trình 0,25
- Giải đúng phơng trình 0,5
- Đối chiếu và trả lời đúng thời gian của 1 ô tô 0,5
- Lập luận , tính và trả lời đúng thời gian của ô tô còn lại 0,5
Bài 5 : 6 điểm ý a : 2 điểm
Chứng minh đợc 1
cặp góc bằng nhau
1.0
G
H
O
N
M
A
B
C
Nêu đợc cặp góc
bằng nhau còn lại
0,5
Chỉ ra đợc hai tam
giác đồng dạng
0,5
ý b : 2 điểm
Từ hai tam giác
đồng dạng ở ý a suy
ra đúng tỉ số cặp
cạnh AH / OM

0,5
Tính đúng tỉ số cặp
cạnh AG / GM
0,5
Chỉ ra đợc cặp góc
bằng nhau
0,5
Kết luận đúng 2 tam
giác đồng dạng
0,5
ý c : 2 điểm
- Từ hai tam giác đồng dạng
ở câu b suy ra góc AGH =
góc MGO (1)
0,5
- Mặt khác góc MGO + Góc
AGO = 180
0
(2)
0,5
- Từ (1) và (2) suy ra góc
AGH + góc AGO = 180
0
0,5
- Do đó H, G, O thẳng hàng 0,5
Chú ý: -Các cách giải khác nếu đúng chấm điểm tơng tự theo các bớc của từng bài
`-Điểm của bài làm là tổng số điểm của các bài HS làm đợc, không làm tòn
2
Phòng GD - ĐT đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009
Can lộc Môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1. Cho biểu thức: A =
5 2
3 2
x x
x x x
+
+
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A -
0A =
c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: a) Cho a > b > 0 và 2( a
2
+ b
2
) = 5ab
Tính giá trị của biểu thức: P =
3
2
a b
a b

+
b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a
2
+ 2bc > b
2
+ c
2

Bài 3: Giải các phơng trình:
a)
2 1
1
2007 2008 2009
x x x
=
b) (12x+7)
2
(3x+2)(2x+1) = 3
Bài 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm trong tam giác sao cho
ã
ã
ABP ACP=
, kẻ PH
,AB PK AC
. Gọi
D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh.
a) BP.KP = CP.HP
b) DK = DH
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, một đờng thẳng d cắt các cạnh AB, AD tại M và K, cắt đờng chéo AC
tại G. Chứng minh rằng:
AB AD AC
AM AK AG
+ =
3
UBND Thành phố huế kỳ thi chọn HSG cấp thành phố
PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.
2
7 6x x+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x+ + +
Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình:
1.
2
3 2 1 0x x x + + =
2.
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

Bài 3: (2điểm)Căn bậc hai của 64 có thể viết dới dạng nh sau:
64 6 4= +
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dới dạng nh trên và
là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
1. Tìm số d trong phép chia của biểu thức

( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x+ + + + +
cho đa thức
2
10 21x x+ +
.
2. Bài 4 : (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho
HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
m AB
=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính
số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
Hết
4
UBND thành phố Huế kỳ thi chọn HSG cấp thành phố
Phòng GD & ĐTl ớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Đáp án và thang điểm:
Bài 1

Câu
Nội dung
Điểm
1.
2,0
1.1
(0,75 điểm)
( ) ( )
2 2
7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x+ + = + + + = + + +

( ) ( )
1 6x x= + +
0.5
0,5
1.2
(1,25 điểm)
4 2 4 2 2
2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x+ + + = + + + + +
0,25
( ) ( ) ( )
2
4 2 2 2 2 2
1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + + + +
0,25
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x= + + + + + + = + + +
0,25
2.

2,0
2.1
2
3 2 1 0x x x + + =
(1)
+ Nếu
1x
: (1)
( )
2
1 0 1x x = = (thỏa mãn điều kiện 1x ).
+ Nếu
1x <
: (1)
( ) ( ) ( )
2 2
4 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x + = = =

1; 3x x = =
(cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là
1x
=
.
0,5
0,5
2.2
( )
2 2 2
2

2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm: 0x
(2)
( )
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x


+ + + + + = +

ữ ữ ữ ữ



( ) ( )
2

2 2
2
2
1 1
8 8 4 4 16x x x x
x x

+ + = + + =
ữ ữ

0 8x hay x = =
và 0x .
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm
8x
=
0,25
0,5
0,25
5
Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH
*****
đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
năm học 2008 - 2009
môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 1 trang
Bi 1 (4 im): Cho biu thc

++
+

=
222222
2
11
:
y
4xy
A
xxyyxyx
a) Tỡm iu kin ca x, y giỏ tr ca A c xỏc nh.
b) Rỳt gn A.
c) Nu x; y l cỏc s thc lm cho A xỏc nh v tho món: 3x
2
+ y
2
+ 2x 2y = 1, hóy tỡm tt c cỏc giỏ
tr nguyờn dng ca A?
Bi 2 (4 im):a) Gii phng trỡnh :
82
44

93
33
104
22
115
11
+
+
+
=
+
+
+
xxxx
b) Tỡm cỏc s x, y, z bit :
x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx
v
2010200920092009
3
=++
zyx
Bi 3 (3 im): Chng minh rng vi mi n
N

thỡ n
5
v n luụn cú ch s tn cựng ging nhau.
Bi 4 (7 im): Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Ly mt im M bt k trờn cnh AC. T C v mt ng
thng vuụng gúc vi tia BM, ng thng ny ct tia BM ti D, ct tia BA ti E.
a) Chng minh: EA.EB = ED.EC v
ã
ã
EAD ECB=
b) Cho
ã
0
120BMC =
v
2
36
AED
S cm=
. Tớnh S
EBC
?
c) Chng minh rng khi im M di chuyn trờn cnh AC thỡ tng BM.BD + CM.CA cú giỏ tr khụng
i.
d) K
DH BC

( )
H BC
. Gi P, Q ln lt l trung im ca cỏc on thng BH, DH. Chng minh
CQ PD

.
Bi 5 (2 im):
a) Chng minh bt ng thc sau:
2
+
x
y
y
x
(vi x v y cựng du)
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P =
2 2
2 2
3 5
x y x y
y x y x

+ + +
ữ

(vi
x 0, y 0
)
Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH
*****
đáp án và hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi
năm học 2008 - 2009
môn: Toán 8
Bi 1 : (4 im)

a) iu kin: x


y; y

0 (1 im)
b) A = 2x(x+y) (2 im)
c) Cn ch ra giỏ tr ln nht ca A, t ú tỡm c tt c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A
+ T (gt): 3x
2
+ y
2
+ 2x 2y = 1

2x
2
+ 2xy + x
2
2xy + y
2
+ 2(x y) = 1

2x(x + y) + (x y)
2
+ 2(x y) + 1 = 2

A + (x y + 1)
2
= 2

A = 2 (x y + 1)
2

2

(do (x y + 1)
0

(vi mi x ; y)

A

2. (0,5)
6
đề chính thức
+ A = 2 khi
( )
x y 1 0
2x x y 2
x y;y 0
− + =


+ =


≠ ± ≠


⇔

1
x
2
3
y
2

=




=



+ A = 1 khi
( )
2
(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0

− + =

+ =


≠ ± ≠


Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn:
2 1
x
2
2 3
y
2

−
=



+

=


+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
a)
x 11 x 22 x 33 x 44
115 104 93 82
+ + + +
+ = +
x 11 x 22 x 33 x 44
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
115 104 93 82
+ + + +

⇔ + + + = + +
(1 điểm)
x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + = +
x 126 x 126 x 126 x 126
0
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + − − =
(0,5 điểm)
...⇔
x 126 0⇔ + =
x 126⇔ = −
(0,5 điểm)
b) x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx
⇔
2x
2
+2y
2
+ 2z
2

– 2xy – 2yz – 2zx = 0
⇔
(x-y)
2
+ (y-z)
2
+ (z-x)
2
= 0 (0,75 điểm)
x y 0
y z 0
z x 0
− =


⇔ − =


− =

x y z⇔ = =
⇔
x
2009
= y
2009
= z
2009
(0,75 điểm)
Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z

2009
= 3
2010

⇔
z
2009
= 3
2009

⇔
z = 3
Vậy x = y = z = 3 (0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n
5
– n
M
10
- Chứng minh : n
5
- n
M
2
n
5
– n = n(n
2
– 1)(n
2

+ 1) = n(n – 1)(n + 1)(n
2
+ 1)
M
2 (vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp)
(1 điểm)
- Chứng minh: n
5
– n
M
5
7
n
5
- n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n
2
4 + 5)
= n( n 1 ) (n + 1)(n 2) ( n + 2 ) + 5n( n 1)( n + 1 )
lý lun dn n tng trờn chia ht cho 5 (1,25 im)
- Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n
5
n
M
2.5 tc l n
5
n
M
10
Suy ra n
5

v n cú ch s tn cng ging nhau. (0,75 im)
Bài 4: 6 điểm
IP
Q
H
E
D
A
B C
M
Câu a: 2 điểm
* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm)
- Chứng minh

EBD đồng dạng với

ECA (gg) 0,5 điểm
- Từ đó suy ra
. .
EB ED
EA EB ED EC
EC EA
= =
0,5 điểm
* Chứng minh
ã
ã
EAD ECB=
(1 điểm)
- Chứng minh

EAD đồng dạng với

ECB (cgc) 0,75 điểm
- Suy ra
ã
ã
EAD ECB=
0,25 điểm
Câu b: 1,5 điểm
- Từ
ã
BMC
= 120
o



ã
AMB
= 60
o



ã
ABM
= 30
o
0,5 điểm

- Xét

EDB vuông tại D có
à
B
= 30
o

ED =
1
2
EB


1
2
ED
EB
=
0,5 điểm
- Lý luận cho
2
EAD
ECB
S ED
S EB

=
ữ

từ đó

S
ECB
= 144 cm
2
0,5 điểm
Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh

BMI đồng dạng với

BCD (gg) 0,5 điểm
- Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC
2
có giá trị không đổi 0,5 điểm
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB
2
+ AC
2
= BC
2
Câu d: 2 điểm
- Chứng minh

BHD đồng dạng với

DHC (gg) 0,5 điểm
8

2
2
BH BD BP BD BP BD
DH DC DQ DC DQ DC
⇒ = ⇒ = ⇒ =
0,5 ®iÓm
- Chøng minh
∆
DPB ®ång d¹ng víi
∆
CQD (cgc)
·
·
·
·
` 90
o
BDP DCQ
CQ PD
ma BDP PDC

⇒ =

⇒ ⊥

+ =


1 ®iÓm
Bài 5: (2 điểm)

a) vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó
+ ≥
x y
2
y x

(*)
⇔ + ≥
2 2
x y 2xy
2
(x y) 0⇔ − ≥
(**). Bất đẳng thức (**) luôn đúng, suy ra bđt (*) đúng (đpcm) (0,75đ)
b) Đặt
x y
t
y x
+ =

2 2
2
2 2
x y
t 2
y x
⇒ + = −
(0,25đ)
Biểu thức đã cho trở thành P = t
2
– 3t + 3

P = t
2
– 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1 (0,25đ)
- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t
≥
2.
⇒
t – 2
≥
0 ; t – 1 > 0
( ) ( )
t 2 t 1 0
⇒ − − ≥

P 1
⇒ ≥
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2
⇔
x = y (1) (0,25đ)
- Nếu x; y trái dấu thì
x
0
y
<
và
y
0
x
<

⇒
t < 0
⇒
t – 1 < 0 và t – 2 < 0
( ) ( )
t 2 t 1⇒ − −
> 0
⇒
P > 1 (2) (0,25đ)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x
≠
0 ; y
≠
0 thì luôn có P
≥
1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P
m
=1 khi x=y
9
Phòng giáo dục - Đào tạo
huyện Vũ th
Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện
Môn: Toán Lớp 8
năm học 2008 2009
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
1, Cho ba số a, b, c thoả mãn
+ + =

+ + =

2 2 2
a b c 0
a b c 2009
, tính
= + +
4 4 4
A a b c
.
2, Cho ba số x, y, z thoả mãn
x y z 3+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
B xy yz zx= + +
.
Bài 2: (2 điểm)
Cho đa thức
( )
= + +
2
f x x px q
với
p Z,q Z
. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để
( ) ( ) ( )
=f k f 2008 .f 2009
.
Bài 3: (4 điểm)a. Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn

3xy x 15y 44 0+ + =
.
b. Cho số tự nhiên
( )
=
2009
9
a 2
, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là tổng các chữ số
của c. Tính d.
Bài 4: (3 điểm)Cho phơng trình
2x m x 1
3
x 2 x 2

+ =
+
, tìm m để phơng trình có nghiệm dơng.
Bài 5: (3 điểm)Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E, đ-
ờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC tại F, CE cắt à tại O. Chứng minh
AEC
đồng dạng
CAF
, tính
ã
EOF
.
Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC
lần lợt lấy các điểm E và F sao cho
ã

ã
EAD FAD=
. Chứng minh rằng:
=
2
2
BE BF AB
CE CF AC
.
Bài 7: (2 điểm)
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ và thay
bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể làm để trên bảng
chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích.
..........................................Hết..............................................
Phòng GD-đt vũ th
10
đề chính thức
Hớng dẫn chấm môn toán 8
Bài Nội dung Điểm
1.1
Cho ba số a, b, c thoả mãn
+ + =


+ + =

2 2 2
a b c 0
a b c 2009
, tính

= + +
4 4 4
A a b c
.
2,00
Ta có
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
a b c a b c 2 ab bc ca 2 ab bc ca+ + = + + + + = + +
( ) ( )
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
a b c 2009
a b b c c a ab bc ca 2abc a b c
2 4

+ +
+ + = + + + + = =
ữ

( ) ( )
2
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2009
A a b c a b c 2 a b b c c a
2

= + + = + + + + =
0,50
0,50
1,00
1.2
Cho ba số x, y, z thoả mãn
x y z 3+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
B xy yz zx= + +
.
2,00

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )

= + + = + + +

= + + + = + +
+ +

= + + = + + +
ữ ữ

2
2 2
2 2
2
2
B xy z x y xy 3 x y x y

xy 3 x y x y x y xy 3x 3y
y 3 3y 6y 9 y 3 3
x x y 1 3 3
2 4 2 4
Dấu = xảy ra khi
y 1 0
y 3
x 0 x y z 1
2
x y z 0
=




+ = = = =


+ + =



Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1
1,25
0,50
0,25
2
Cho đa thức
( )
= + +

2
f x x px q
với
p Z,q Z
. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên
k để
( ) ( ) ( )
=f k f 2008 .f 2009
.
2,00
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2
2
f f x x f x x p f x x q
f x 2.x.f x x p.f x p.x q
f x f x 2x p x px q
f x x px q 2x p 1
f x x 1 p x 1 q f x f x 1

+ = + + + +

= + + + + +

= + + + + +


= + + + + +


= + + + + = +

Với x = 2008 chọn
( )
k f 2008 2008= + Â

Suy ra
( ) ( ) ( )
f k f 2008 .f 2009=
1,25
0,50
0,25
3.1
Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn
3xy x 15y 44 0+ + =
.
2,00

( ) ( )
3xy x 15y 44 0 x 5 3y 1 49+ + = + + =
x, y nghuyêndơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên dơng và lớn hơn 1.

Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là ớc lớn hơn 1 của 49 nên có:

x 5 7 x 2
3y 1 7 y 2
+ = =



+ = =

Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2.
0,75
0,50
0,75
3.2
Cho số tự nhiên
( )
=
2009
9
a 2
, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d
2,00
11
là tổng các chữ số của c. Tính d.
( ) ( ) ( )
( )
2009 3.2009 6027
9 3 3 6027
a 2 2 2 10 b 9.6027 54243

c 5 4.9 41 d 4 1.9 13 1
= = = < =
+ = + =
3
2 1mod 9 a 1mod9
mà
( )
a b c d mod 9 d 1mod9 2
Từ (1) và (2) suy ra d = 8.
1,00
0,75
0,25
4
Cho phơng trình
2x m x 1
3
x 2 x 2

+ =
+
, tìm m để phơng trình có nghiệm dơng.
3,00
Điều kiện:
x 2;x 2
( )
2x m x 1
3 ... x 1 m 2m 14
x 2 x 2

+ = =

+
m = 1phơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm.
m 1
phơng trình trở thành
2m 14
x
1 m

=

Phơng trình có nghiệm dơng
2m 14
2
1 m
m 4
2m 14
2
1 m
1 m 7
2m 14
0
1 m

< <




>



Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi
m 4
1 m 7



< <

.
0,25
0,75
0,25
0,50
1,00
0,25
5

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm
E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC tại F. Chứng minh
AEC
đồng dạng
CAF
,
tính
ã
EOF
.
3,00
O
D
B
A
C
E
F

AEB
đồng dạng
CBF
(g-g)
2 2
AB AE.CF AC AE.CF
AE AC
AC CF
= =
=

AEC
đồng dạng
CAF
(c-g-c)

AEC
đồng dạng
CAF

ã
ã
AEC CAF =
mà
ã
ã
ã
ã
ã
ã
0 0
EOF AEC EAO ACF EAO
180 DAC 120
= + = +
= =
1,00
1,00
1,00
6
Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB,
DC lần lợt lấy các điểm E và F sao cho

ã
ã
EAD FAD=
. Chứng minh rằng:
=
2
2
BE BF AB
CE CF AC
.
3,00
12
A
B
C
D
FE
K
H
Kẻ EH

AB tại H, FK

AC tại K

ã
ã
ã
ã
BAE CAF; BAF CAE = =

HAE

đồng dạng
KAF
(g-g)
AE EH
AF FK
=
ABE
ACF
S BE EH.AB AE.AB BE AE.AB
S CF FK.AC AF.AC CF AF.AC


= = = =
Tơng tự
BF AF.AB
CE AE.AC
=

2
2
BE BF AB
CE CF AC
=
(đpcm).
1,00
1,25
0,50

0,25
7
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ
và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng
lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích.
2,00
Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên
bảng không đổi.
Mà
( )
2008. 2008 1
S 1 2 3 ... 2008 1004.2009 0mod 2
2
+
= + + + + = =
;
1 1mod2

do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1.
1,00
1,00
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .............................................................. Số báo danh: ..........................
pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8
trờng thcs xi măng năm học 2008-2009
môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề)
13
Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để :A=n
3
-n

2
+n-1 là số nguyên tố.
a) B=
2
2623
2
234
+
+++
n
nnnn
có giá trị là một số nguyên .
b) D=n
5
-n+2 là số chính phơng . (n
)2

Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng :
a)
1
111
=
++
+
++
+
++
cac
c
bbc

b
aab
a
biết abc=1
b) Với a+b+c=0 thì a
4
+b
4
+c
4
=2(ab+bc+ca)
2
c)
c
a
a
b
b
c
a
c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2

2
2
Câu 3: (5 điểm) giảI các phơng trình sau:
a)
6
82
54
84
132
86
214
=

+

+

xxx
b) 2x(8x-1)
2
(4x-1)=9
c) x
2
-y
2
+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dơng.
câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đờng chéo. Qua O kẻ đờng thẳng
song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F.
a) chứng minh rằng : diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
b) Chứng minh :

EFCDAB
211
=+
c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng dờng thẳng đI qua K và chia đôI diện tích tam giác
DEF.
-----------------------------------------------hết------------------------------------------------------------------
pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học
2008-2009
Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1 đ)
Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
14
Bài 2: (1 đ)
Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn dơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho :
-a
2
+a-3
Bài 3: (1 đ)
Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành.
Bài 4: (2 đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
584
2
2
+
xx
Bài 5: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là
lập phơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.
Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD,
CADBAC
=

.Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 60
0
.
Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) a
3m
+2a
2m
+a
m
b. x
8
+x
4
+1
Bài 8: (3 đ) Tìm số d trong phép chia của biểu thức: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x
2
+8x+1
Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : C=






+

+


1
2
1:
1
2
1
1
223
x
x
xxx
x
x
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đợc Xác định.
b) Rút gọn C.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đợc xác định.
Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đờng
vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) chứng minh AE=AB
b) Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM.
------------------------------------------------hết---------------------------------------------------------------
15
®Ò kiÓm tra lÇn 1 ®éi tuyÓn to¸n 8
Thêi gian 120phót

Bµi 1: (6®iÓm)
a/ T×m c¸c sè nguyªn a, b, c tho· m·n:

cbabcba 234
222
++≤+++
16
b/ Rút gọn biểu thức :
1a
a
b Với
+
=

+
+



+
+=
4
4
2
2
2
2
2
b
a

b
ba
b
ba
aM
Bài 2: (4 điểm)
a/ Cho
cba
z
cba
y
cba
x
+
=
+
=
++ 4422
chứng minh rằng:
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+
=
+
=
++

4422
với abc # 0 và các mẫu số khác 0
b/ Chứng minh rằng :
)(
3
8
)(
2
cdbdbcadacabdcba
++++++++

với a, b, c, d

R
Bài 3: (2 điểm)
Cho x, y là hai số dơng thoã mãn x
2
+ y
2
-xy = 8
Tìm GTNN, GTNN của M = x
2
+ y
2
Bài 4: (6điểm)
Cho tứ giác ABCD có

A = 90
0
;

B = 60
0
;

C = 150
0
; AD = 12cm. BC là cạnh hình vuông có diện
tích 108cm
2
. M là một điểm ở miền trong của tứ giác sao cho MBCD là hình bình hành.
a/ Chứng minh MD ; MB lần lợt là phân giác của

CDA và

CBA.
b/ Gọi MH là đờng cao của tam giác AMD. Chứng minh tam giác AMD vuông tại M và tam giác AMB
cân tại M.
c/ Gọi N là giao điểm của BM và AD. Chứng minh N là trung điểm của AD,

ABN =

MDA và

ABC là tam giác đều.
Bài 5: (2điểm)
Cho hình vuông ABCD. M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Gọi I là giao điểm của CM và
DN. Chứng minh AI = AD.
17
18

HuyÖn quÕ vâ – b¾c ninh
Năm 2007 – 2008
(120 phút)
Bài 1 (4đ):
1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4.
2/ a,b,c là 3 cạch của tam giác. Chứng minh rằng:
4a
2
b
2
> (a
2
+ b
2
− c
2
)
2
Bài 2 (3đ):
Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thì :

1
3
−
x
y

−
1
3
−
y
x
=
3
)(2
22
+
−
yx
yx
Bài 3 (5đ):
Giải phương trình:
1,
2001
24
2
−
x
+
2003
22
2
−
x
=
2005

20
2
−
x
+
2007
18
2
−
x
2, (2x − 1)
3
+ (x + 2)
3
= (3x + 1)
3
Bài 4 (6đ):
Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE vuông
cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng:
1, AH = AK
2, AH
2
= BH.CK
Bài 5 (2đ):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
19
đề thi học sinh giỏi thị xã BN
Năm học: 2004 2005
Thời gian 150 phút

Bài 1:
1) Rút gọn biểu thức:
A =
2
1
6 5
5
n n
x x
x x
+
+

với /x/ = 1
2) Cho x, y thỏa mãn: x
2
+ 2y
2
+ 2xy 4y + 4 = 0
Tính giá trị biểu thức:
B =
2
7 52
( )
x xy
x y
x y
+

Bài 2:
1) Giải phơng trình:
(x 2).(x + 2).(x
2
10) = 72
2) Tìm x để biểu thức:
A = ( x 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
Bài 3:
1) Tìm số tự nhiên x sao cho: x
2
+ 21 là số chính phơng ?
2) Chứng minh rằng: Nếu m, n là hai số chính phơng lẻ liên tiếp thì:
(m 1).(n 1)
M
192
Bài 4:
Cho đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng AB lấy 1 điểm C sao cho AC > BC. Trên cùng nửa mặt
phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông ACNM, BCEF. Gọi H là giao điểm của AE và BN.
1) Chứng minh: M; H; F thẳng hàng.
2) Chứng minh: AM là tia phân giác của

AHN.
3) Vẽ AI

HM; AI cắt MN tại G. Chứng minh: GE = MG + CF
Bài 5:
1) Gải phơng trình:
(x
2
+ 10x + 8)

2
= (8x + 4).(x
2
+ 8x + 7)
2) Cho a, b, c

R
+
và a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
1 1 1
9
a b c
+ +

20
Đề số 1
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức








+
+

+=
3
1
327
:
3
3
3
1
2
2
2
x
x
x
xx
A
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phơng trình:
a)

y
y
y
yy
31
2
19
6
3103
1
22

+

=
+
b)
2
2
1
.
3
6
1
3
2
4
3
2

=
+


x
xx
x
Bài 3: (2 điểm)
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lợt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7
giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h.
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy.
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M
AB và N AD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 111 (2n chữ số 1), b = 444 (n chữ số 4).
Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phơng.
21
Đề số 2
Câu I: (2điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử

a)
54
2
+
xx
b)
)2()()( cbabccaacbaab
+++
2) Giải phơng trình
5
4
127
1
65
1
23
11
2222
=
++
+
++
+
++
+
+
xxxxxxxx
Câu II: (2 điểm)
1) Xác định a, b để da thức
baxxxxf

+++=
23
2)(
chia hết cho đa thức
1)(
2
++=
xxxg
.
2) Tìm d trong phép chia đa thức
2006)(
51337161
+++++=
xxxxxxP
cho đa thức
.1)(
2
+=
xxQ
Câu III: (2 điểm)
1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:
222
2
222
2
222
2
b
b
bac

c
accba
a
P

+

+

=
2) Cho ba số a, b, c thoả mãn
accbba

,,
.
CMR:
0
))(())(())((
222
=
++

+
++

+
++

bcac
abc

cbab
acb
caba
bca
Câu IV: (3điểm)
1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các
hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB. CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K thẳng hàng.
c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi.
2) Cho ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA, BB, CC đồng quy tại H.
CMR:
'
'
'
'
'
'
CC
HC
BB
HB
AA
HA
++
bằng một hằng số.
Câu V: (1 điểm):
Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

22

22
baba
baba
Q
++
+
=
Đề số 3
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

)()()()()()(
222
babacacacbcbcba
+++++
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và
0
111
=++
cba
Rút gọn biểu thức:
abccabbca
N
2
1
2
1
2
1
222

+
+
+
+
+
=
22
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1
22
+++=
yxxyyxM
b) Giải phơng trình:
01)5,5()5,4(
44
=+
yy
Bài 3: (2điểm)
Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi đợc 15 phút, ngời đó gặp một
ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp ngời đi xe máy tại
một một địa điểm cách B 20 km.
Tính quãng đờng AB.
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đờng chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB
và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.

Bài 5: (1điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
34553
22
=+
yx
23
Đề số 4
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
5
+ x +1
b) x
4
+ 4
c) x
x
- 3x + 4
x
-2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:
22
2
12
++
+
++
+

++
=
cac
c
bbc
b
aab
a
A
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab và 2a > b > 0
Tính:
22
4 ba
ab
P

=
Bài 4 : (3điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ N vẽ đờng thẳng
song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M
qua E F.
a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm
b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?
d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC

để cho AEMF là hình vuông.
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

5
2n+1
+ 2
n+4
+ 2
n+1
chia hết cho 23.
24
Đề số 5
Bài 1: (2điểm)
Cho biểu thức:
3011
1
209
1
127
1
65
1
2222
+
+
+
+
+
+

+
=
xxxxxxxx
M
1) Rút gọn M.
2) Tìm giá trị x để M > 0.
Bài 2: (2điểm)
Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể và một vòi nớc chảy ra ở lng chừng bể. Khi bể cạn, nếu
mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau
1giờ rỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra.
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra.
2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao
nhiêu.
Bài 3: (1điểm)
Tìm x, y nguyên sao cho:
042
22
=++++
yyxxyx
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E
khác D). Đờng thẳng AE cắt BC tại F, đờng thẳng vuông góc với AE tại A cát CD tại K.
1) Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK.
2) Gọi I là trung điểm KF, J là trung điểm của AF. Chứng minh rằng:
JA = JB = JF = JI.
3) Đặt DE = x (a

x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x.
4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất.
Bài 5: (1điểm)

Cho x, y, z khác 0 thoả mãn:
0
111
=++
zxyzxy
Tính
xy
z
zx
y
yz
x
N
222
++=
Đề số 6
Câu I: (5 điểm)
Rút gọn các phân thức sau:
1)
143
1
2
+
++
xx
xxx
2)
3)2(18)1(3
30)1(11)1(
24

24

+
aaa
aa
25