6 cách tiếp cận bài toán tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng trong mặt phẳng oxy

6 CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÌM HÌNH CHIẾU
CỦA ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG OXY.

Nội dung bài viết đơn giản và mục đích hướng đến các bạn học sinh lớp 10 còn chưa vững về kiến
thức vectơ, phương trình tham số đường thẳng và các mối quan hệ qua lại giữa vectơ chỉ phương và
vectơ pháp tuyến, mỗi quan hệ phương trình tổng quát và phương trình đường thẳng. Bài viết
hướng đến học sinh, trong lúc soạn khó tránh sai sót.
Bài toán: Cho điểm M ( 3; −1) và đường thẳng ( d ) : 3x − 4 y + 12 = 0 . Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc
của điểm M lên đường thẳng ( d ) .

Cách 1. Gọi (  ) là đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( d ) nên ta có

 x = 3 + 3t
nd = u = ( 3; −4 )  (  ) : 
(t 
 y = −1 − 4t

)

Vì H  (  )  H ( 3 + 3t; −1 − 4t ) và H  ( d ) nên ta có

3 ( 3 + 3t ) − 4 ( −1 − 4t ) + 12 = 0  t = −1  H ( 0;3) .
Cách 2. Gọi (  ) là đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( d ) nên ta có
nd = u = ( 3; −4 )  n = ( 4;3)  (  ) : 4 ( x − 3) + 3 ( y + 1) = 0
 (  ) : 4x + 3y − 9 = 0

4 x + 3 y = 9
 H ( 0;3) .
Vì H = (  )  ( d ) nên toạ độ H là nghiệm của hệ 
3x − 4 y = −12
Cách 3. Gọi (  ) là đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( d ) nên ta có

nd = u = ( 3; −4 )  n = ( 4;3)  (  ) : 4 x + 3 y + C = 0
Vì M  (  ) nên suy ra 4.3 + 3 ( −1) + C = 0  C = −9  (  ) : 4 x + 3 y − 9 = 0 .

4 x + 3 y = 9
 H ( 0;3) .
Vì H = (  )  ( d ) nên toạ độ H là nghiệm của hệ 
3x − 4 y = −12


 x = 4t
Cách 4. Chuyển ( d ) về tham số có dạng ( d ) : 
. Do H  ( d )  H ( 4t;3 + 3t )
 y = 3 + 3t
Suy ra AH = ( 4t − 3; 4 + 3t )  AH ⊥ ud = ( 4;3)  4 ( 4t − 3) + 3 ( 4 + 3t ) = 0  t = 0  H ( 0;3) .
Cách 5. Gọi H ( a; b )  MH = ( a − 3; b + 1) . Ta có MH ⊥ ( d ) suy ra

MH ⊥ ud = ( 4;3)  4 ( a − 3) + 3 ( b + 1) = 0  4a + 3b − 9 = 0

(1)

Do H ( a; b )  ( d )  3a − 4b + 12 = 0 ( 2) . Từ (1) , ( 2) suy ra toạ độ điểm H nghiệm hệ

4a + 3b = 9
a = 0

 H ( 0;3) .

3a − 4b = −12 b = 3
3a

 3a + 12 


Cách 6. Do H  ( d )  H  a;
  MH =  a − 3; + 4  . Ta có
4 
4



 3a

MH ⊥ ud = ( 4;3)  4 ( a − 3) + 3  + 4  = 0  16a − 48 + 9a + 48 = 0  a = 0  H ( 0;3 ) .
 4

Vậy qua các trường hợp trên ta có toạ độ điểm H ( 0;3) .

Có nhiều cách làm nhưng về cơ bản thì bản chất không đổi. Tuy nhiên mỗi cách tiếp cận có ưu điểm
và nhược điểm và phù hợp với từng dạng Toán Oxy ở các bài sau.