Các dạng toán hay về lượng giác

Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
 Công thức lượng giác cơ bản
sin
2
α
+ cos
2

α
= 1
1 + tan
2
α
=
α
2
cos
1
Zkk
∈+≠
,
2
π
π
α
1 + cot
2
α
=

α
2
sin
1
Zkk
∈≠
,
πα
tan
α
.cot
α
= 1
Zkk
∈≠
,
2
π
α
 Cung đối nhau
cos(-
α
) = cos
α
sin(-
α
) = -sin
α
tan(-
α

) = -tan
α
cot(-
α
) = -
α
 Cung bù nhau
sin
)(
απ
−
= sin
α
cos
)(
απ
−
= -cos
α
tan
)(
απ
−
= -tan
α
cot
)(
απ
−
= -cot

α
 Cung hơn kém
π
sin
)(
απ
+
= - sin
α
cos
)(
απ
+
= -cos
α
tan
)(
απ
+
= tan
α
cot
)(
απ
+
= cot
α
 Cung phụ nhau
sin
)

2
(
α
π
−
= cos
α
cos
)
2
(
α
π
−
= sin
α
tan
)
2
(
α
π
−
= cot
α
cot
)
2
(
α

π
−
= tan
α
 Công thức cộng
cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb
cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb
sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa
tan(a – b) =
ba
ba
tantan1
tantan
+
−
tan(a + b) =
ba
ba
tantan1
tantan
−
+
 Công thức nhân đôi
 Công thức nhân ba
2 2 2 2
3
3
3
2

sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tan
tan3 =
1 3tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a
a
=
= − = − = −
= −
= −
−
−
 Công thức hạ bậc
cos
2
a =
2
2cos1 a
+
sin
2
a =

2
2cos1 a
−
tan
2
a =
a
a
2cos1
2cos1
+
−
 Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa cosb =
[ ]
1
cos( ) cos( )
2
a b a b+ + −
sina sinb = -
[ ]
1
cos( ) cos( )
2
a b a b+ − −
sina cosb =
[ ]
1
sin( ) sin( )
2

a b a b+ + −
Công thức biến đổi tổng thành tích
cosu + cosv = 2cos
2
vu
+
cos
2
vu
−
cosu - cosv = -2sin
2
vu
+
sin
2
vu
−
sinu + sinv = 2sin
2
vu
+
cos
2
vu
−
sinu - sinv = 2cos
2
vu
+

sin
2
vu
−
công thức tính sina , cosa , tana theo
tan
2
a
t =
2
2 2 2
2 1- 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
= = =
+ + −
Phương trình lượng giác
Phương trình LG cơ bản
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k
π
π π
= +


⇔

= − +

* cosu=cosv⇔u=±v+k2
π
* tanu=tanv ⇔ u=v+k
π
* cotu=cotv ⇔ u=v+k
π

( )
Zk ∈
.
Đặc biệt
+ sinx = 0
⇔
x = k
π
, k
∈
Z
+ sinx = 1
⇔
x =
π
π
2
2
k

+
, k
∈
Z
+ sinx = -1
⇔
x = -
π
π
2
2
k
+
, k
∈
Z
+ cosx = 0
⇔
x =
π
π
k
+
2
, k
∈
Z
+ cosx = 1
⇔
x = k2

π
, k
∈
Z
+ cosx = -1
⇔
x =(2k + 1)
π
, k
∈
Z
Một số phương trình LG thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các
công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin
2
x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos
2
x+b.cosx+c=0, a.tan
2
x+b.tanx+c=0, a.cot
2
x+b.cotx+c=0) để giải các phương
trình này ta đặt t bằng hàm số LG..
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là
2 2 2
a b c+ ≥

.
C ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt
tan
b
a
α
=
, ta được: sinx+tan
α
cosx=
cos
c
a
α
⇔
sinx
cos
α
+
sin
α
cosx=
cos
c
a
α
⇔
sin(x+
α
)=

cos
c
a
α
sin
ϕ
=
ñaët
.
C ách 2: Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
, ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt:
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
β β
= =
+ +
. Khi đó phương trình tương đương:
2 2

cos sin sin cos
c
x x
a b
β β
+ =
+
hay
( )
2 2
sin sin
c
x
a b
β ϕ
+ = =
+
ñaët
.
Cách 3: Đặt
tan
2
x
t =
.
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2

x=d (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với
2
x k
π
π
= +
.
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được: atan
2
x+btanx+c=d(1+tan
2
x).
Chú ý:
2
2
1
tan 1
2
cos
x x k
x
π
π
 
= + ≠ +
 ÷
 

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc
asin
2
x + bsinx. cosx + ccos
2
x = d
⇔
a.
2
2cos1 x
−
+ b.
2
2sin x
+ c.
2
2cos1 x
+
= d
⇔
bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx+ cosx. Điều kiện | t |
2≤
. Ta có sinx.cosx =
2
1
2
t −

Đặt t= sinx-cosx. Điều kiện | t |
2≤
. Ta có sinx.cosx =
2
1
2
t−
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
π π
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình sinx = a (1)
• Nếu

a
>1 thì phương trình (1) vô nghiệm.
• Nếu
a
≤
1: gọi
α
là cung thoả mãn sin
α
= a. Khi đó
sinx = a
⇔
sinx = sin
α
⇔
)(
2
2
Zk
kx
kx
∈



+−=
+=
παπ
πα
Nếu

α
thoả mãn điều kiện -
2
π
≤
α
≤
2
π
và sin
α
= a thì ta viết
α
= arcsina. Khi đó nghiệm
của phương trình (1) là

)(
2arcsin
2arcsin
Zk
kax
kax
∈



+−=
+=
ππ
π

Phương trình sinx = sin
0
β
)(
360180
360
000
00
Zk
kx
kx
∈




+−=
+=
⇔
β
β
Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
2. Phương trình cosx = a (2)
• Nếu
a
>1 thì phương trình (2) vô nghiệm.
• Nếu
a
≤
1: gọi

α
là cung thoả mãn cos
α
= a. Khi đó
cosx = a
⇔
cosx = cos
α
⇔
)(
2
2
Zk
kx
kx
∈



+−=
+=
πα
πα
Nếu
α
thoả mãn điều kiện 0
≤
α
≤
π

và cos
α
= a thì ta viết
α
= arccosa. Khi đó nghiệm
của phương trình (2) là

)(
2cos
2cos
Zk
kaarcx
kaarcx
∈



+−=
+=
π
π
Phương trình cosx = cos
0
β
)(
360
360
00
00
Zk

kx
kx
∈




+−=
+=
⇔
β
β
3. Phương trình tanx = a (3)
Điều kiện
Zkkx
∈+≠
,
2
π
π
Gọi
α
là cung thoả mãn tan
α
= a. Khi đó
tanx = a
α
tantan
=⇔
x

)(, Zkkx
∈+=⇔
πα
Nếu
α
thoả mãn điều kiện -
2
π
<
α
<
2
π
và tan
α
= a thì ta viết
α
= arctana. Lúc đó nghiệm của
phương trình (3) là:
x = arctana + k
π
, (
Zk
∈
)
Phương trình tanx = tan
0
β
)(180
00

Zkkx
∈+=⇔
β
4. Phương trình cotx = a (4)
Điều kiện
Zkkx
∈≠
,
π
Gọi
α
là cung thoả mãn cot
α
= a. Khi đó
cotx = a
α
cotcot
=⇔
x
)(, Zkkx
∈+=⇔
πα
Nếu
α
thoả mãn điều kiện 0<
α
<
π
và cot
α

= a thì ta viết
α
= arccota. Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là:
x = arccota + k
π
, (
Zk
∈
)
Phương trình cotx = cot
0
β
)(180
00
Zkkx
∈+=⇔
β
Phương trình LG cơ bản
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k
π
π π
= +

⇔

= − +


* cosu=cosv⇔u=±v+k2
π
* tanu=tanv ⇔ u=v+k
π
* cotu=cotv ⇔ u=v+k
π

( )
Zk ∈
.
B. Ví dụ và bài tập
VD1: Giải các phương trình sau:
a. sinx =
2
3
b. sin2x =
4
1
c. cos(2x +
4
π
)=
2
1
−
d. tan(x – 60
0
) =
3

1
e. cot(x -
3
π
)= 5 f. cos(x -75
0
) = -1
*g. tan3x = tanx *h. tan5x – cotx = 0
Giải
a. sinx =
2
3

3
sinsin
π
=⇔
x

Zk
kx
kx
∈






+−=

+=
⇔
π
π
π
π
π
2
3
2
3

Zk
kx
kx
∈






+=
+=
⇔
π
π
π
π
2

3
2
2
3
Vậy nghiệm của phương trình sinx =
2
3
là:
Zk
kx
kx
∈






+=
+=
π
π
π
π
2
3
2
2
3
b. sin2x =

4
1

Zk
kx
kx
∈






+−=
+=
⇔
ππ
π
2
4
1
arcsin2
2
4
1
arcsin2

Zk
kx
kx

∈






+−=
+=
⇔
π
π
π
4
1
arcsin
2
1
2
4
1
arcsin
2
1
Vậy nghiệm của PT sin2x =
4
1
là:
Zk
kx

kx
∈






+−=
+=
π
π
π
4
1
arcsin
2
1
2
4
1
arcsin
2
1
c. cos(2x +
4
π
)=
2
1

−

⇔
cos(2x +
4
π
)= cos
3
2
π


Zk
kx
kx
∈






+−=+
+=+
⇔
π
ππ
π
ππ
2

3
2
4
2
2
3
2
4
2

Zk
kx
kx
∈






+−=
+=
⇔
π
π
π
π
24
11
24

5
Vậy nghiệm của Pt cos(2x +
4
π
)=
2
1
−
là:
Zk
kx
kx
∈






+−=
+=
π
π
π
π
24
11
24
5
d. tan(x – 60

0
) =
3
1
00
30tan)60tan(
=−⇔
x

Zkkx
∈+=−⇔
000
1803060

Zkkx
∈+=⇔
00
18090
Vậy nghiệm của Pt tan(x – 60
0
) =
3
1
là:
Zkkx
∈+=
00
18090
e. cot(x -
3

π
)= 5
Zkkarcx
∈+=−⇔
π
π
5cot
3

Zkkarcx ∈++=⇔
π
π
5cot
3
Vậy nghiệm của Pt cot(x -
3
π
)= 5 là:
Zkkarcx
∈++=
π
π
5cot
3
f. cot(x -75
0
) = -1
Zkkx
∈+−=−⇔
000

1804575

Zkkx
∈+=⇔
00
18030

Vậy nghiệm của Pt cot(x -75
0
) = -1 là:
Zkkx
∈+=
00
18030
g. tan3x = tanx
Điều kiện
Zk
kx
kx
∈







+≠
+≠
π

π
π
π
2
2
3
⇔
Zk
kx
kx
∈







+≠
+≠
π
π
ππ
2
36
Ta có
tan3x = tanx
⇔
3x = x +l
π

⇔
x = l
)(
2
Zl
∈
π
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:
x = m
π
(m
Z
∈
)
h. tan5x – cotx = 0
Điều kiện
)(
2
5
Zk
kx
kx
∈





≠

+≠
π
π
π
⇔

)(
510
Zk
kx
kx
∈





≠
+≠
π
ππ
Ta có
. tan5x = cotx
⇔
tan5x = tan(
)
2
x
−
π

⇔
5x =
x
−
2
π
+ l
π
(l
∈
Z)
⇔
x =
12
π
+ l
6
π
(l
∈
Z)
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:
x =
12
π
+ l
6
π
(l

∈
Z)
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a. cos(3x -
6
π
)= -
2
2
b. cos(x -2) =
5
2
c. cos(2x + 50
0
) =
2
1
d. (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0 e. tan2x = tan
6
5
π
f. tan(3x -30
0
) = -
3
3
g. cot(4x -
6
π
)=

3
h. sin(3x- 45
0
) =
2
1
i. sin(2x +10
0
)= sinx
k. (cot
3
x
-1)(cot
2
x
+1)= 0 l. cos2x.cotx = 0 m. cot(
53
2
π
+
x
)= -1
n. sin(2x -15
0
) = -
2
2
p. sin4x =
3
π

q. cos(x + 3) =
3
2
r. cos2x cot(x -
4
π
)= 0 s. cos3x =
4
π
t. tan(
8
tan)
42
ππ
=−
x
u. cos3x – sin2x = 0 v. sin3x + sin5x = 0

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a. sin(2x -1) = sin(x+3) b. sin3x= cos2x c. sin4x + cos5x = 0
d. 2sinx +
2
sin2x = 0 e. sin
2
2x + cos
2
3x = 1 f. sin3x + sin5x = 0
g. sin(2x +50
0
) = cos(x +120

0
) h. cos3x – sin4x = 0
*i. tan(x -
5
π
) + cotx = 0 *j. tan5x = tan3x
VD1: Giải các phương trình sau:
a. 2sinx –
2
= 0 b. 2tanx – 5 = 0
c. (
3
cotx – 3)(2cosx –1) = 0 d. 2sin
2
x – sin2x = 0
Giải
a. 2sinx –
2
= 0
⇔
2sinx =
2

⇔
sinx =
2
2

⇔
sinx = sin

4
π
⇔
)(
2
4
2
4
Zk
kx
kx
∈






+−=
+=
π
π
π
π
π

⇔
)(
2
4

3
2
4
Zk
kx
kx
∈






+=
+=
π
π
π
π
Vậy nghiệm của phương trình là:
)(
2
4
3
2
4
Zk
kx
kx
∈







+=
+=
π
π
π
π
b. 2tanx – 5 = 0
⇔
2tanx = 5
⇔
tanx =
2
5

⇔
x = arctan
2
5
+ k
π
(k
∈
Z)
Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan

2
5
+ k
π
(k
∈
Z)
c. (
3
cotx – 3)(2cosx –1) = 0
⇔



=−
=−
)2(01cos2
)1(03cot3
x
x
(1)
⇔
3
cotx = 3
⇔
cotx =
3
⇔
cotx = cot
6

π
⇔
x =
6
π
+ k
π
(k
∈
Z)
(2)
⇔
2cosx =1
⇔
cosx =
2
1

⇔
cosx = cos
3
π

⇔
)(
2
3
2
3
Zk

kx
kx
∈






+−=
+=
π
π
π
π
Vậy nghiệm của phương trình là:
)(
2
3
2
3
6
Zk
kx
kx
kx
∈










+−=
+=
+=
π
π
π
π
π
π
d. 2sin
2
x – sin2x = 0
⇔
2sin
2
x – 2sinx.cosx = 0
⇔
2sinx(sinx – cosx) = 0
⇔



=−
=

0cossin
0sin
xx
x

⇔



=
=
xx
kx
cossin
π
⇔




−=
=
)
2
sin(sin xx
kx
π
π

⇔

)(
2
2
Zk
kxx
kx
∈




+−=
=
π
π
π
⇔
)(
4
Zk
kx
kx
∈




+=
=
π

π
π
Vậy nghiệm của phương trình là:
)(
4
Zk
kx
kx
∈




+=
=
π
π
π
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a. 4sinx – 3 = 0 b. 3cotx +
3
= 0 c. 1 -
3
tan(5x + 20
0
) =0
d. 2cos3x + 1 = 0 e. sin(3x + 1)=
4
π
f. cos(x +

5
2
π
)=
3
π
g. (2cosx +
2
)(tan(x +10
0
) -
3
) = 0 h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0
i. 8sinx.cosx.cos2x =
3
j. sin2x +2cox = 0 k. tan(x +1) – 2008=0
l. 3tan
2
x +
3
tanx = 0 m. 4sin2x – sin
2
2x = 0 n.
3
- 2sin3x = 0
p. cot(x +
4
π
) = 1 q. cos
2

(x – 30
0
) =
4
3
r. 8cos
3
x – 1 = 0
Bài tập 2*: Giải các phương trình sau:
a. tan3x. tanx = 1 b. cot2x. cot(x +
4
π
) = -1 c.
0
2cos1
2sin
=
+
x
x
VD2: Giải các phương trình sau:
a. 2sin
2
x – 5sinx – 3 = 0 b. cot
2
2x – 4cot2x +3 = 0
c. 2cos
2
x +3sinx - 3 = 0 d. tan
4

x + 4tan
2
x - 5 = 0
Giải
a. 2sin
2
x – 5sinx – 3 = 0
Đặt t = sinx ( điều kiện -1
≤
t
≤
1) thay vào phương trình ta được:
2t
2
– 5t -3 = 0




−=
=
⇔
)(
2
1
)(3
nhânt
loait
Với t = -
2

1
ta được
sinx = -
2
1

⇔
sinx = sin(-
6
π
)
⇔

)(
2
6
7
2
6
Zk
kx
kx
∈






+=

+−=
π
π
π
π
Vậy nghiệm của phương trình là:
)(
2
6
7
2
6
Zk
kx
kx
∈






+=
+−=
π
π
π
π
b. cot
2

2x – 4cot2x -3 = 0
⇔



=
=
32cot
12cot
x
x

⇔
)(
3cot2
1cot2
Zk
karcx
karcx
∈



+=
+=
π
π

⇔
)(

2
3cot
2
1
2
1cot
2
1
Zk
karcx
karcx
∈






+=
+=
π
π

Vậy nghiệm của phương trình là:
)(
2
3cot
2
1
2

1cot
2
1
Zk
karcx
karcx
∈






+=
+=
π
π
c. 2cos
2
x +3sinx - 3 = 0
⇔
2(1 – sin
2
x) + 3sinx – 3 = 0
⇔
2 – 2sin
2
x + 3sinx – 3 = 0
⇔
2sin

2
x – 3sinx + 1 = 0
⇔




=
=
2
1
sin
1sin
x
x
Với sinx = 1
⇔
x =
)(2
2
Zkk
∈+
π
π
Với sinx =
2
1
⇔
sinx = sin
6

π

⇔
)(
2
6
5
2
6
Zk
kx
kx
∈






+=
+=
π
π
π
π