sáng kiến kinh nghiệm khai thác phần mềm skechpad trong giảng dạy hình học ở thcs

MỤC LỤC
I. ĐẶT VẤN ĐỀ- --------------------------------------------------------------------------------------- 2
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ --------------------------------------------------------------------------- 2
1. Chức năng của phần mềm The Geometer’s Skechpad-------------------------------3
2. Ứng dụng Phần mềm The Geometer’s Sketchpad trong giảng dạy khái niệm---9
3. Ứng dụng phần mềm Geometrer’s Sketchpad trong giảng dạy định lí----------12
4. Ứng dụng phần mềm The Geometer’s Sketchpad trong giảng dạy bài tập, ôn
tập-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16
IV. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ---------------------------------------------------------------------- 25

1


ỨNG DỤNG PHẦN MỀM THE GEOMETER’S SKETCHPAD
TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC Ở THCS
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Những năm gần đây, việc đổi mới phương pháp theo tinh thần “lấy người học
làm trung tâm” đã được nghiên cứu và thử nghiệm rộng rãi trong cấp học phổ thông ở
khắp cả nước. Cùng với việc ứng dụng các thành tựu công nghệ thông tin đang có xu
hướng phát triển mạnh mẽ, nhiều phần mềm hỗ trợ cho giảng dạy hình học đạt hiệu
quả cao đã được giáo viên đưa vào soạn giảng bài giảng điện tử đạt hiệu quả cao. Do
đó, việc nghiên cứu ứng dụng các phần mềm hình học vào giảng dạy môn toán nói
chung và môn toán ở cấp học trung học cơ sở (THCS) nói riêng có tính khả thi, thiết
thực góp phần vào đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng dạy học.
Khi học môn hình học ở THCS, học sinh gặp rất nhiều khó khăn vì tính trừu
tượng cao của môn học, nhiều bài toán đặc biệt là những bài toán có những yếu tố
động, học sinh rất khó hình dung ra hình vẽ và các trường hợp xảy ra đối với bài toán.
Với đặc điểm nổi bật là tính trực quan, rõ ràng, bao quát được tất cả các trường hợp
xảy ra với bài toán và đặc biệt là thiết kế được các yếu tố động, phần mềm hình học
The Goemeter’s Sketchpad rất thích hợp trong việc giảng dạy khái niệm, định lí, bài
tập, các bài toán quỹ tích, dựng hình. Có thể coi hệ thống hình động được thiết kế bằng

phần mềm này là các giáo cụ trực quan, phù hợp với quá trình lên lớp, hỗ trợ trực tiếp
cho việc giảng dạy hình học, giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc chứng minh các
định lí, tính chất, giải bài tập, … từ đó góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ
môn hình học ở THCS. Đó cũng chính là lí do thôi thúc tôi chọn để tài này.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Có thể nói sử dụng phần mềm The Geometer’s SketchPad trong dạy – học có các
tác dụng rất tốt trong việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy – học, cụ thể:
•
Dùng Geometer’s SketchPad để thể hiện một khái niệm hoặc một ý tưởng mới
trong toán học.
•

Sử dụng phần mềm The Geometer’s SketchPad để khám phá sâu hơn khái niệm
hoặc khám phá ở những góc độ khác nhau của khái niệm.

•

Từng bước hướng dẫn để giúp học sinh xây dựng các cấu trúc và hiểu được mối
liên hệ giữa các thành phần.

•

Học sinh dùng mô hình để trả lời các câu hỏi trên phiếu học tập hoặc trên máy
tính.
• Giáo viên sử dụng các mô hình để dẫn dắt thảo luận trong quá trình dạy học.
• Học sinh thao tác trên mô hình để hình thành tri thức.
2


•

Học sinh làm việc để tạo những đối tượng mới trên mô hình theo yêu cầu của
giáo viên và phản hồi với giáo viên trong quá trình dạy học.

•

Học sinh nói sử dụng phần mềm The Geometer’s SketchPad để giải quyết các
bài tập lớn hoặc các thách thức.

•

Sử dụng phần mềm The Geometer’s SketchPad đồng thời với các chương trình
khác hoặc với các vật thể thao tác được.

•

Sử dụng Geometer’s SketchPad để kiểm tra các giả thiết đặt ra hoặc kiểm chứng
một kết quả nào đó.
Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tôi xin đề xuất một số phương hướng
khai thác phần mềm Geometer’s SketchPad (GSP) vào dạy học Hình học ở trường
THCS để giáo viên dạy Toán sử dụng trong quá trình giảng dạy học sinh thông qua
một số thiết kế dạy học. Từ đó nâng cao hiệu quả dạy học Hình học, góp phần đổi mới
phương pháp dạy học ở trường THCS.
1. Chức năng của phần mềm The Geometer’s Skechpad
1.1. Yêu cầu của hình vẽ trong giảng dạy hình ở THCS
Trong giảng dạy hình học, điều có ý nghĩa quan trọng là hình vẽ. Hình vẽ vừa để
nhận dạng khái niệm, vừa để mô tả khái niệm. Thường là sau khi vẽ hình mới có thể
hiểu rõ định lí hay bài toán, hình vẽ làm hiện lên đồng thời các yếu tố cũng như các chi
tiết và mối quan hệ giữa các chi tiết đã cho mà nếu không có hình vẽ thì ta không thể
hình dung được.

Khi vẽ hình cần chú ý:
- Hình vẽ phải có tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt vì
như vậy có thể làm ta bị ngộ nhận. Chẳng hạn, các đoạn thẳng không nên vẽ bằng nhau
hoặc vuông góc với nhau, tam giác không nên vẽ cân hay vuông nếu như đề bài không
đòi hỏi.
- Hình vẽ phải rõ, dễ nhìn thấy những quan hệ và tính chất mà bài toán đã cho,
hình vẽ càng chính xác càng tốt.
- Ngoài ra, để làm nổi bật vai trò khác nhau của các đường trong hình vẽ, ta cần
vẽ những đường bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt hay tô màu khác nhau.
Đặc điểm của bộ môn hình ở THCS gắn chặt với hình vẽ, việc phân tích đoán
nhận lời giải cũng như cách trình bày lời giải phụ thuộc rất lớn vào hình vẽ. Do đó,
giáo viên sẽ thuận lợi trong việc hướng dẫn học sinh khai thác bài toán ở nhiều khía
cạnh nếu hình vẽ biến đổi được theo nhiều khía cạnh khác nhau. Sử dụng hình vẽ tĩnh
(trên bảng hoặc trên giấy) - điều này không được thuận lợi.
1.1.1. Hình vẽ tổng quát
Để học sinh tránh bị cái “cụ thể”, “hiển nhiên” trên hình sẽ cản trở suy luận và
chứng minh, phần mềm Skhetchpad giúp ta thiết kế được hình vẽ có tính tổng quát,
bao quát hết các trường hợp theo đề bài, đó là thuận lợi quan trọng để biến đổi hình vẽ
và giải toán.
3


Xét bài toán sau đây:
·
xOy

Ví dụ 1.1. Cho
, lấy điểm A trên tia Ox,
điểm B trên tia Oy sao cho OA = OB. Gọi I là
·

xOy

điểm trên tia phân giác Oz của
, K là giao
điểm của AB và Oz. Xác định tia phân giác
của

·AIB

. Nêu rõ tại sao lại xác định như vậy.

Với hình vẽ trên ta có
nằm giữa hai tia IA, IB vì

∆AOI = ∆BOI (c.gc )

IO ∩ AB ≡ K

·AIB

suy ra,

·AIK = BIK
·

. Mặt khác, OI là tia

. Vậy, IO là tia

phân giác của

.
Lập luận trên đây chỉ đúng với hình vẽ trên,
nhưng không đúng khi giao điểm K không là điểm
nằm giữa của O và I. Lấy điểm I như hình vẽ bên thì
·AIO

=

·
BIO

, vì

góc kề bù của

·AIK

·
BIO

là góc kề bù của

nên

·AIK

=

·
BIK

·AIO

và

·
BIK

là

.

Tia IK (hay tia Iz) trong trường hợp này là tia phân giác của
là tia IO.
I ≡K

·AIB

chứ không phải

·AIB

Đặc biệt, nếu
thì
là góc bẹt nên có hai tia phân giác là KO và Kz.
Tóm lại, xét chặt chẽ phải cần đến ba hình vẽ khác nhau về vị trí của điểm I trên
tia Oz. Nhưng nếu hình vẽ được thiết kế bằng phần mềm Sketchpad, ta cho điểm I di
động trên tia Oz, học sinh sẽ quan sát được các trường hợp xảy ra dễ dàng hơn.
1.1.2. Hình vẽ chính xác
Hình vẽ thiết kế bằng phần mềm Sketchpad được dựng một cách chính xác, vì

vậy sẽ thuận lợi hơn cho học sinh phát hiện các tính chất hình học mà đôi khi không dễ
chứng minh.
Ví dụ 1.2.
Định lí Pappus: Trong mặt phẳng cho ba điểm
A1, A2, A3 cùng nằm trên đường thẳng d1 và ba điểm

4


B1,

B2,

B3

nằm

trên

đường

thẳng

P ≡ A1 B2 ∩ A2 B1 ; Q ≡ A1B3 ∩ A3 B1 ; R ≡ A2 B3 ∩ A3 B2

d2.

Chứng

minh

rằng

3

điểm:

thẳng hàng.
Ngay từ lớp 6, có thể cho học sinh quan sát hình vẽ bên và nhận xét về quan hệ
thẳng hàng của ba điểm P, Q, R khi cho đường thẳng d 1 quay quanh điểm A1 hoặc cho
một trong các điểm A1, A2, A3 di động trên đường thẳng d1.
Ví dụ 1.3. Đường thẳng Euler
Cho học sinh quan sát hình vẽ bên và nhận xét về quan hệ thẳng hàng của ba
điểm: Trọng tâm G, trực tâm H và giao điểm I của ba đường
∆ABC

trung trực khi biến đổi hình dạng của
bằng cách cho
đỉnh A di động tùy ý; hơn nữa có thể dùng công cụ đo để dự
đoán IH= 3IG.
Lưu ý: Những dự đoán và phát hiện như vậy có thể
đúng, có thể sai. Nếu chỉ vẽ hình tĩnh thì khó kiểm tra dự
đoán, nhưng nếu hình vẽ được thiết kế bằng phần mềm
Sketchpad thì bằng sự biến đổi hình vẽ, ta sẽ kiểm tra dự
đoán đó một cách dễ dàng.
Ví dụ 1.4. Giới hạn, quỹ tích
∆ABC

nội tiếp trong đường tròn (O).
Trên tia AC và ở ngoài đoạn thẳng AC ta lấy

một điểm D sao cho CD = CB. Biết rằng C là
góc nhọn và hai đỉnh A, B cố định. Tìm tập
hợp các điểm D khi đỉnh C di chuyển trên
cung lớn AB?
Ở bài toán này, sau khi giới hạn, ta có
¼’B
D

được tập hợp của D là
(D’ là giao điểm
của (I; IB) và tiếp tuyến t tại A của (O)) của
đường tròn tâm I bán kính IB. Học sinh
thường kết luận tập hợp của điểm D khi
điểm C di chuyển trên cung lớn AB là đường
tròn tâm I bán kính IB.
Song nếu hình vẽ được thiết kế bằng phần mềm Sketchpad, học sinh thấy trực
¼’B
D

quan khi điểm C chuyển động trên cung lớn AB thì điểm D chỉ di chuyển trên
của
đường tròn tâm I bán kính IB chứ không phải trên cả đường tròn tâm I bán kính IB.
Điểm D đã được minh họa rất trực quan và sinh động.
1.1.3. Hình vẽ trực quan
Hình vẽ đơn giản, dễ hình dung giả thiết, kết luận của bài toán giúp cho việc giải
bài toán dễ dàng hơn. Vẽ hình là một vấn đề không đơn giản đối với học sinh. Để minh
họa điều này ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.5 (lớp 7)
5

Hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau tại O. Trên nửa mặt phẳng bờ xx’ chứa tia
Oy’, dựng tia Oz sao cho
Chứng minh:

·
·
xOy
= xOz

.

· ; zOx
· ' = x· ' Oy.
x· ' Oy ' = xOz

· '
zOy

Dựng tia phân giác Ot của
. Chứng minh Ot vuông góc với Ox
Để giải bài toán này, hình vẽ có thể ở hai trường hợp khác nhau dưới đây nhưng
hình a sẽ giúp giải bài toán dễ hơn, vì hình đơn giản hơn, dễ hình dung hơn. Hai hình
·
xOy

vẽ chỉ khác nhau ở chỗ
là nhọn hay tù.
Thiết kế hình động sẽ cho ta biến đổi hình vẽ nhanh chóng từ trường hợp ở hình
b sang hình a bằng động tác kéo hình (không làm thay đổi tính chất của hình): cho yy’

quay quanh điểm O.
Trong trường hợp hình vẽ có nhiều đường, để thể hiện tính chất cần chứng minh,
giáo viên mất nhiều thời gian để có được một hình vẽ trên bảng thật trực quan. Trong
khi đó, sử dụng hình động (kéo hình) rất thuận lợi cho việc lựa chọn hình vẽ ở vị trí dễ
nhìn nhất.

Ví
dụ

1.6. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt
nhau. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác:
∆BCD, ∆ACD, ∆ABD, ∆ABC

. Chứng minh rằng: AA’, BB’, CC’,
DD’ đồng quy tại điểm G.
Ở bài toán này, nếu vẽ đủ bốn đường AA’, BB’, CC’, DD’
để thấy chúng đồng quy thì hình vẽ sẽ rất rối mắt, khó có hình vẽ trực quan vì nó phụ
thuộc vào vị trí của AC và BD. Nhưng nếu sử dụng hình động, ta có thể lựa chọn hình
vẽ thuận lợi, hơn nữa có thể phóng to hình ở mức độ cần thiết và minh họa tính đồng
quy ở nhiều vị trí của hình vẽ.
Mặt khác, bằng cách kéo hình, học sinh còn quan sát
được điểm đồng quy G là điểm cố định (G là trung điểm
của EF, với E là trung điểm của BD, F là trung điểm của
AC), từ đó định hướng chứng minh tốt. Ngoài ra, bằng cách
6


kéo hình, ta thấy kết luận của bài toán vẫn được giữ nguyên khi bỏ giả thiết đoạn AC
và đoạn BD cắt nhau.
1.2. Chức năng của phần mềm Sketchpad

1.2.1 Tạo hình động
Với phần mềm Sketchpad, ta có thể thực hiện các phép dựng hình Euclid với các
công cụ vẽ trong hộp công cụ và các lệnh của bảng chọn Construct (dựng hình).
Ba công cụ trong hộp công cụ cho phép ta vẽ điểm, đường tròn, đường thẳng,
tia, đoạn thẳng.
Các đoạn thẳng có thể thay đổi được độ dài và đường tròn có thể thay đổi được
đường kính bằng cách kéo các điểm điều khiển và do đó, các đối tượng trong một hình
như đoạn thẳng và đường tròn có thể thay đổi được kích thước nhanh chóng. Hơn nữa,
ta còn có thể kéo cùng một lúc nhiều đối tượng khi đánh dấu chúng.
Ví dụ 1.7. (lớp 7) Tạo mô hình động
∆ABC

Vẽ
biết AB = 2cm, BC = 4 cm, AC = 3cm.
Sử dụng công cụ vẽ đoạn thẳng và đường tròn, ta vẽ

được

∆ABC

biết ba cạnh như trên.
Để khẳng định tam giác biết ba cạnh là hoàn toàn xác
định, cho học sinh hoạt động vẽ một tam giác khác có số đo
như trên rồi so sánh các góc tương ứng của hai tam giác này.
Sử dụng phần mềm Sketchpad để thể hiện rõ hơn điều
này, ta có thể cho học sinh quan sát sự biến đổi của tam giác
khi ta thay đổi độ dài một cạnh (bằng cách kéo điểm điều
khiển), như vậy học sinh nhận ra một cách nhanh chóng với độ dài ba cạnh đã cho.
Ví dụ 1.8. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn
Vẽ hai đường tròn (O;r) và (O’;R) có bán kính cho trước.

Sử dụng hình vẽ được thiết kế bằng phần mềm sketchpad, ta có thể biến đổi hình
vẽ bằng cách kéo điểm M trên tia AB (AB=
đổi vị trí tương đối của hai đường tròn.

* Khi

M ≡A

r+R

r−R

, AC =

, AM = d=OO’) để thay

(d=0) , ta có hai đường tròn đồng

tâm.
r−R

* Khi M nằm giữa A và C (0đường tròn đựng nhau.
M ≡C

* Khi
(d=
xúc trong với nhau.

), ta có hai

r−R

), ta có hai đường tròn tiếp
r−R

* Khi M nằm giữa B và C (
hai đường tròn cắt nhau.


r+R

), ta có
7


* Khi

M ≡B

(d=

r+R

), ta có hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau.
r+R

* Khi M nằm trên tia đối của tia Ba (d>
), ta có hai đường tròn ngoài nhau.

Như vậy, muốn biến đổi hình vẽ để thay đổi vị trí hai đường tròn thì cần cho
điểm M di động. Do đó, để thể hiện số tiếp tuyến chung của hai đường tròn, ta chỉ cần
vẽ một trường hợp là hai đường tròn nằm ngoài nhau, thì khi di động M ta sẽ minh họa
số tiếp tuyến cho các trường hợp còn lại một cách nhanh chóng. Hơn nữa, các đường
tròn đã cho có thể to hay nhỏ tùy theo ta thay đổi bán kính bằng cách kéo điểm điểm
điều khiển (ở cuối mỗi đoạn).
1.2.2. Dựng hình
Do compa và thước kẻ có trong số các công cụ vẽ của phần mềm Skechpad nên
ta có thể dùng chúng để dựng hình. Với bảng Construct, ta có thể thực hiện được các
phép dựng hình nhanh hơn nhiều so với công cụ vẽ như:
- Dựng đường trung trực của một đoạn.
- Dựng đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước, qua
một điểm cho trước.
- Dựng đường tròn biết tâm và bán kính.
- Dựng đường tròn qua ba điểm cho trước.
- Dựng đường tròn biết tâm và một điểm của nó.
- Dựng đường phân giác của góc tạo bởi ba điểm được chọn.
- Quỹ tích động của một đối tượng.
…
Với các phép dựng trên, ta có thể phóng to, thu nhỏ các thành phần của hình mà
không làm thay đổi mối quan hệ giữa chúng.
Ví dụ 1.9. Dựng quỹ tích động
·
xOy
= 900

Cho
, lấy hai điểm A, B cố định
trên cạnh Ox và một điểm M di động trên cạnh
Oy. Đường thẳng vuông góc với MA kẻ từ A cắt

đường thẳng vuông góc với MB kẻ từ B đến
điểm N. Tìm tập hợp các điểm N.
Tập hợp các điểm N là tia Hz nằm trong
·
xOy

, vuông góc với cạnh Ox tại điểm H, sao
cho OH=2OK (K là trung điểm của đoạn thẳng
AB)
Như hình vẽ bên: Với mỗi vị trí của điểm M trên tia Oy sẽ dựng được một điểm
N tương ứng. Cho điểm M di động trên tia Oy thì điểm N di động theo. Điều này rất
thuận lợi khi giáo viên cần gợi ý dự đoán quỹ tích của điểm N và khi cần có thể vẽ quỹ
tích của điểm N.
1.2.3 Biến đổi hình học
Các phép biến đổi hình học như tịnh tiến, quay, vị tự, đối xứng trục được thể
hiện dễ dàng bằng các lệnh trong bảng chọn Transform (biến đổi) . Khi sử dụng các
8


lệnh trong bảng chọn này để tạo ra các hình từ các đối tượng ban đầu, nó cho phép tạo
ra các tham số cố định hoặc tham số động.
Như vậy, ta có thể có ảnh của hình qua tích các phép biến hình một cách nhanh
chóng khi cần thiết.
Ví dụ 1.10. Biến đổi hình học
∆ABC

Cho
nội tiếp trong một đường tròn. Gọi M là một điểm di động trên
đường tròn ấy và M1, M2, M3 theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB.
a) Tìm quỹ tích các điểm M1, M2, M3

b) Chứng minh rằng các quỹ tích của M 1, M2, M3 giao nhau tại trực tâm H của
∆ABC

.

Dễ thấy ở đây quỹ tích của các điểm M 1, M2, M3 lần lượt là các đường tròn

ϕ1 , ϕ2 , ϕ3

đối xứng với đường tròn ngoại tiếp

AB.

∆ABC

qua các cạnh tương ứng BC, CA,

ϕ1 , ϕ2 , ϕ3

Để chứng minh ba đường tròn
giao
nhau tại trực tâm H, đòi hỏi việc vẽ hình phải chính
xác và lựa chọn điểm M cho trước thích hợp để có
hình vẽ trực quan. Điều này là khó khăn đối với cả
thầy và trò. Sử dụng phần mềm Sketchpad vẽ các
đường tròn

ϕ1 , ϕ2 , ϕ3

bằng phép đối xứng trục là rất

∆ABC

thuận lợi và ta có thể thay đổi hình dạng của
hay di động điểm M để có hình vẽ trực quan và học
sinh quan sát được sự đồng quy của ba đường tròn
ϕ1 , ϕ2 , ϕ3

ở mọi vị trí của M.

1.2.4. Đo đạc
Để đo đối tượng nào đó, ta chọn lệnh phù hợp từ bảng chọn Measure (đo), nó có
khả năng đo nhiều đại lượng khác nhau và các số đo này thay đổi phù hợp khi bạn thay
đổi kích thước đối tượng.
Đo khoảng cách giữa hai điểm.
Đo độ dài đoạn thẳng.
Đo bán kính của đường tròn.
Đo chu vi của đường tròn, đa giác.
Đo diện tích của đường tròn, đa giác.
Đo góc xác định bởi ba điểm.
Đo góc của một cung.
Đo độ dài cung.
Đo tỉ lệ của hai đoạn thẳng.
9


Bên cạnh đó, bảng Graph (đồ thị) giúp ta bước vào thế giới của hình học giải
tích, giúp ta làm việc trong hệ tọa độ vuông góc hay tọa độ cực.
Ví dụ 1.11. Đo đạc
Trong sách giáo khoa lớp 9, để nhận xét được tỉ số C/d không đổi (C: Độ dài
đường tròn, d: Đường kính của đường tròn), sách giáo khoa đã hướng dẫn:

Học sinh cần thực hiện các hoạt động sau: Vẽ trên bìa năm đường tròn tâm O 1,
O2, O3, O4, O5 có bán kính khác nhau, sau đó cắt ra thành năm đường tròn. Đo chu vi
năm đường tròn đó bằng sợi chỉ, tính tỉ số C/d đối với từng đường tròn đó rồi rút ra
nhận xét.
Để tiết kiệm thời gian trên lớp, các đường tròn này có thể vẽ bằng phần mềm
Sketchpad với các bán kính khác nhau rồi đo độ dài các đường tròn đó bằng công cụ
đo, từ đó học sinh quan sát, nhận xét. Làm như thế sẽ thuận lợi hơn nhiều, vì biến đổi
đường tròn bằng điểm điều khiển là rất nhanh chóng, và công cụ đo cũng chính xác
π

giúp việc nhận ra số dễ dàng hơn.
1.2.5. Hiển thị hoạt hình và giữ vết
Kết hợp bảng chọn Edit (soạn thảo) và Display (hiển thị) cùng với công cụ văn
bản, ta có thể đưa vào các kí hiệu, chú thích, thay đổi các tính chất về hiển thị và tạo ra
hình động.
Kéo là thao tác cơ bản của hình động. Hoạt hình cho phép tự động kéo và như
thế sẽ tạo nên những hình họa chuyển động. Minh họa chuyển động trong bài toán quỹ
tích chính là xem vết của một đối tượng.
Ví dụ 1.12. Hoạt hình và giữ vết
Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy
trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm I sao cho MI =
2MB. Tìm tập hợp điểm I.
Để giảng dạy bài tập này, ta có khẳng định:

·AIB = α

là không

1
tan α =

2

α

đổi (vì
) nên tập hợp các điểm I là hai cung chứa góc dựng
trên đoạn AB, giới hạn bởi tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A.
α

Song, để vẽ quỹ tích trên lớp sẽ mất nhiều thời gian ( vì
không
phải là góc đặc biệt) nên nếu sử dụng hình động, ta có thể đặt chế độ
tự động chuyển động cho điểm M (hoạt hình), từ đó điểm I chuyển
động và vẽ nên quỹ tích của nó (vết), điều này minh họa quỹ tích rất trực quan và
nhanh chóng.
1.2.6. Tạo đoạn chương trình
Khi muốn làm nhiều lần một phép dựng riêng biệt, ta có thể ghi lại phép dựng
này như một đoạn chương trình. Do đó, ta có thể gói các hình đơn giản để mở rộng khả
năng của Geometer’s Sketchpad.
2. Ứng dụng Phần mềm The Geometer’s Sketchpad trong giảng dạy khái niệm
2.1 Hỗ trợ cho các hoạt động hình học
10


Việc sử dụng phần mềm hình học trong giảng dạy khái niệm thực chất là tạo ra
các giáo cụ trực quan sinh động, hỗ trợ cho các hoạt động hình học của học sinh dưới
sự điều khiển của giáo viên, đặc biệt là trong việc hình thành và khắc sâu khái niệm.
Dạy học khái niệm theo con đường quy nạp đòi hỏi học sinh được tiếp cận khái
niệm qua hình vẽ. Việc thiết kế hình vẽ cho dạy học khái niệm nhằm hỗ trợ cho các
hoạt động hình học:

- Tiếp cận khái niệm
- Thể hiện khái niệm
- Tập suy luận
- Củng cố khái niệm.
Ví dụ 2.1. Định nghĩa các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng
* Tiếp cận khái niệm:
Bên cạnh việc đưa vào bài giảng hình
ảnh một cầu thang nhà cao tầng với những
tay vịn song song như trong sách giáo khoa
toán 7, ta có thể thiết kế hình vẽ như hình
bên:
Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,
b lần lượt tại A, B tạo thành bốn góc đỉnh A,
bốn góc đỉnh B được đánh số như hình vẽ.
- Tô màu bốn góc ở phía trong hai
đường thẳng a, b là A1, A4, B2, B3 sao cho
các góc A4, B3 cùng màu xanh và A1, B2 cùng màu đỏ để nhấn mạnh: Các góc cùng
màu ở cùng một nửa mặt phẳng bờ c và phía trong hai đường thẳng a,b. Từ đó, học
sinh có thể quan sát được các cặp góc gồm một góc đỉnh A, một góc đỉnh B khác màu
để hình thành khái niệm cặp góc so le trong khi đường thẳng c quay quanh A.
- Từ đó, dựa vào màu sắc học sinh nhận biết được cặp góc đỉnh A và đỉnh B,
cùng nằm ở một nửa mặt phẳng bờ c, cùng nằm phía trên so với a, b hoặc cùng nằm
phía dưới so với a, b là cặp góc đồng vị khi cho c quanh quanh A.
- Đo một cặp góc so le trong (ngoài), một cặp góc đồng vị để thấy rõ các cặp góc
đó không luôn có cùng một số đo khi c quay quanh A hoặc a quay quanh A.
* Thể hiện khái niệm:
Cho đường thẳng a quay quanh điểm A,
hoặc cho điểm B di động trên đường thẳng b,
học sinh tìm cặp góc so le trong, so le ngoài,
đồng vị, …

Di chuyển đường thẳng a đến vị trí sao
cho một cặp góc so le trong bằng nhau (quan
¶A = B
¶ = 450
4
2

sát số đo bằng nhau, chẳng hạn
),
cho học sinh tính số đo các cặp góc so le còn
lại.
* Tập suy luận:
11


Dựa vào tính chất của hai góc đối đỉnh hay hai góc kề bù, học sinh tính số đo các
¶A , B
¶
4
2

gặp góc đồng vị, so le. Cho số đo các góc
thay đổi bằng cách di chuyển điểm B
trên đường thẳng b (giữ hai đường thẳng a, b song song), từ đó học sinh đưa ra phán
đoán về tính chất của các cặp góc nhày (so le trong, đồng vị, trong cùng phía, …).
Để thể hiện điều này bằng hình tĩnh là rất khó vì số đo các góc là không đổi và
việc đo đạc kém chính xác, còn với hình động, ta có thể di chuyển cát tuyến c bằng
cách di chuyển điểm B trên đường thẳng b để học sinh có thể quan sát được sự thay đổi
về số đo của các góc.
Nhờ quan sát hình vẽ ở nhiều vị trí cát tuyến khác nhau nên việc suy luận các

cặp góc có số đo bằng nhau và bù nhau sẽ thuận lợi hơn. Hơn nữa, khi cho quay đường
thẳng a quanh điểm A, học sinh sẽ quan sát được có một vị trí đường thẳng a qua điểm
A để các cặp góc so le trong bằng nhau. Điều đó thuận lợi cho việc công nhận tiên đề
Euclid và các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ở bài sau.
2.2 Cách thiết kế hình động giảng dạy khái niệm
2.2.1. Thể hiện “hình” là một tập hợp điểm
Ví dụ 2.2 Để khắc sâu “hình” là một tập hợp điểm ở lớp 6, khi vẽ hình ta đặt một điểm
động, chẳng hạn:
- Khi hình thành khái niệm tia, ta cho điểm M di động trên tia Ox để thể hiện rõ
“một phần mặt phẳng bị chia ra bởi điểm O”, cũng từ đó giúp học sinh thấy rõ rằng tia
có vô số điểm và hiểu được tia OM và tia Ox là hai tia trùng nhau.
- Khi hình thành khái niệm “đoạn thẳng AB”, ta cho điểm C di động trên đoạn
thẳng AB, như thế sẽ minh họa trực quan “tất cả các điểm nằm giữa A và B”. Hơn nữa,
nhờ sự di động của điểm C mà khi cho điểm bất kì trên đoạn thẳng AB, học sinh thấy
ngay là có nhiều cách khác nhau.
Tương tự, đặt một điểm động để thể hiện “cung nhỏ”, “cung lớn” của đường tròn
(lớp 9).
2.2.2 Thể hiện phản ví dụ bằng cách biến đổi hình vẽ
Ví dụ 2.3 Để khắc sâu khái niệm đường trung trực của đoạn thẳng, ta đặt điểm I là
điểm động, đường thẳng d quay quanh I và cho hiện số đo các đoạn thẳng AI, IB. Như
thế, di chuyển điểm I không là trung điểm của đoạn thẳng AB hoặc để đường thẳng d ở
vị trí không vuông góc với AB thì ta có ngay các minh họa phản ví dụ về đường trung
trực. Ở đây, ta cho học sinh quan sát và ghi nhớ cả hai yếu tố trung điểm và vuông góc
rất thuận lợi.

12


2.2.3 Thể hiện mối liên hệ giữa các khái niệm
Ví dụ 2.4 Để liên hệ các khái niệm hình thang, hình bình hành, hình

chữ nhật, hình thoi và hình vuông, ta đặt chế độ di động thích hợp
cho cả bốn điểm A, B, C, D của hình thang trên hai đường thẳng
song song để thuận lợi cho việc biến đổi từ hình này sang hình kia,
từ đó học sinh hiểu được sơ đồ biểu thị mối quan hệ giữa các tập hợp
hình này.
2.2.4 Thể hiện các khái niệm trình bày mô tả
Các khái niệm trình bày mô tả như đường xiên, hình chiếu, cạnh kề, cạnh đối
của tứ giác, … được thể hiện bằng cách đổi màu hoặc tô đậm đối tượng đó một cách
nhanh chóng.
2.2.5 Củng cố các khái niệm bằng cách tăng cường tính toán
Để tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, độ dài đường trung bình của tam giác, diện
tích tam giác, … ta sử dụng công cụ đo của phần mềm Sketchpad là rất hữu hiệu, các
số đo này được thay đổi phù hợp khi kéo hình.
3. Ứng dụng phần mềm Geometrer’s Sketchpad trong giảng dạy định lí
3.1 Giảng dạy các định lí được công nhận, không chứng minh
Việc vẽ hình minh họa định lí để hiểu ý nghĩa, nội dung, tính chất của định lí
nhưng không chứng minh được sử dụng ở cả hình học lớp 6, 7, 8, 9. Đặc biệt ở lớp 7
và lớp 8.
Lớp
7

8

Nội dung định lí được công nhận, không chứng minh
Chương I
- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
- Tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song.
- Tính chất của hai đường thẳng song song.
- Tính chất về hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
- Tính chất về hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba.

- Tính chất về một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song.
Chương II
- Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác.
- Định lí Pythagoras
Chương III
- Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.
- Tính chất ba đường cao của tam giác.
Chương I
Các tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm.
Chương II
Công thức tính diện tích hình chữ nhật.
Chương III
Định lí Thales (thuận và đảo)
Chương IV
13


9

Dấu hiệu song, vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
Chương III
- Định lí về liên hệ giữa cung và dây.
- Định lí về sự tồn tại duy nhất của đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đa giác
đều.
- Công thức tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn.
Chương IV
- Các công thức tính thể tích hình lăng trụ, hình nón, hình cầu. Công thức tính diện
tích mặt cầu.

Trong quá trình giảng dạy những định lí, tính chất được công nhận mà không

phải chứng minh, hình vẽ động đóng vai trò quan trọng để: Thể hiện giả thiết của định
lí ở nhiều vị trí của hình; dự đoán kết luận của định lí ở nhiều vị trí của hình; khắc sâu
định lí thông qua vận dụng.
3.1.1 Thể hiện giả thiết của định lí
∆ABC

Ví dụ 3.1. Để thể hiện tính chất đồng quy của ba đường cao trong
, ta sẽ minh
họa hình ảnh của các đường cao ở nhiều trường hợp khác nhau bằng cách cho điểm B
di động. Khi đó, học sinh sẽ quan sát được các trường hợp:
- Chân đường cao là điểm nằm giữa một cạnh.
- Chân đường cao trùng với đỉnh của tam giác.
- Chân đường cao không là điểm nằm giữa của một cạnh.

∆ABC

Vẽ ba đường cao của
rồi cho điểm B di
động, học sinh quan sát được tính đồng quy của ba đường cao ở nhiều vị trí.
Hơn nữa, học sinh còn có thể thấy một cách trực quan điểm đồng quy đó có thể
là điểm nằm trong tam giác, có thể trùng với đỉnh của tam giác hoặc có thể nằm trong
tam giác khi điểm B đi động.

14


3.1.2 Khắc sâu kết luận của định lí
Ví dụ 3.2 Định lí Pythagoras
- Vẽ

∆ABC

và các hình vuông ABEF, ACGI, BCKH lần lượt dựng trên các cạnh
∆ABC

AB, AC, BC (Ở ngoài
).
- Để tiếp cận định lí, cho điểm A di động trên đường thẳng a, học sinh quan sát
số đo diện tích ba hình vuông thay đổi.

Học sinh sẽ thấy tổng diện tích của hai hình vuông ABEF và ACGI có thể lớn
hơn, nhỏ hơn hoặc bằng diện tích hình vuông BCKH, từ đó có dự đoán về hình dạng
∆ABC

trong các trường hợp (

µA

là góc tù, nhọn hay vuông). Cũng có thể cho điểm C

di động trên đường thẳng để biến đổi

∆ABC

, từ đó giúp học sinh nhận xét tổng diện

tích hình vuông cạnh AB và AC bằng diện tích hình vuông cạnh BC khi
∆ABC

∆ABC

vuông.

- Để khắc sâu kết luận, vẽ một
vuông (tại A) và ba hình vuông cạnh AC,
AB, BC như trước, song điểm C di động trên đường thẳng vuông góc với AB tại A (
µA = 900

). Khi đó, học sinh quan sát được: Nếu
AB + AC = BC
2

2

∆ABC

vuông tại A, ta luôn có kết luận

2

của định lí là đúng:
3.1.3 Củng cố định lí, nhấn mạnh tính chất
Ví dụ 3.3 Minh họa: Hình có nhiều trục đối xứng và hình có vô số trục đối xứng.

15


Vẽ
hình
các đường chéo là

thẳng a quay quanh
nhận xét số trục đối
vuông.

vuông, giao điểm
điểm O. Cho đường
điểm O để học sinh
xứng
của
hình

Vẽ đường tròn tâm O, cho đường thẳng a quay quanh điểm O để học sinh nhận
xét số trục đối xứng của đường tròn.
Ví dụ 3.4. Tính chất diện tích (lớp 8)
Vẽ ngũ giác ABCDE. Cho điểm A chuyển động trên đường thẳng a. Đo diện tích
ngũ giác ABCDE để học sinh thấy với mỗi vị trí
của điểm A ta có một ngũ giác và tương ứng có
một số dương duy nhất là diện tích của ngũ giác
đó.
Tính chất: Nếu một đa giác được chia
thành những đa giác không có điểm trong chung
thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của
những đa giác đó.
Để thể hiện tính chất này, ta vẽ ngũ giác
ABCDE.
Nối AC, AD và cho học sinh quan sát số
∆ABC

∆ADE

∆ADC

đo diện tích các tam giác:
,
,
và so sánh số đo tổng diện tích của ba tam giác trên với diện tích của ngũ giác ABCDE.
Như vậy, học sinh tiếp thu tính chất này thuận lợi hơn nhờ công cụ đo của phần
mềm Sketchpad. Ở đây cũng có thể thực hiện tính diện tích các tam giác có đỉnh C, D
hay E.
3.2 Giảng dạy các định lí có chứng minh
Yêu cầu chứng minh định lí, tính chất ở hình học THCS được bắt đầu từ chương
II lớp 7, lên lớp 9 thì hầu hết các định lí đều được chứng minh hoặc gợi ý cho học sinh
về nhà chứng minh. Trong giảng dạy định lí có chứng minh, việc thiết kế hình vẽ cần
đạt được mục đích sau:
* Thể hiện rõ giả thiết và kết luận của định lí ở nhiều vị trí khác nhau.
16


* Gợi ý cho học sinh tìm tòi con đường để chứng minh, tìm những dấu hiệu cần
thiết qua hình vẽ, giúp giáo viên chốt lại vấn đề thuận lợi.
Ví dụ 3.5. Định lí: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
* Thể hiện giả thiết, kết luận
Để giảng dạy định lí này, ta có thể thiết kế hình vẽ thực hiện hai chuyển động
sau:
∆ABC

- Vẽ
, cho điểm A di chuyển trên một đường thẳng để biến đổi hình dạng
tam giác, cho học sinh quan sát số đo của hai đoạn thẳng AB và AC thay đổi (có thể
AB>AC, AB = AC, AB<AC). Từ đó đặt vấn đề: Nếu cho AC>AB, so sánh số đo

µ
C

của

∆ABC

∆ABC

. Trên hình vẽ, dừng chuyển động ở vị trí AC>AB.

- Tiếp tục cho điểm A chuyển động sao cho AC>AB, so sánh số đo

µ
B

và

µ
B

µ
C

và

của

. Sau đó chốt lại vấn đề của định lí bằng cách cho hiện số đo cạnh AB, cạnh AC
µ

B

µ
C

∆ABC

và số đo
và của
* Gợi ý chứng minh

để học sinh quan sát: Khi AC>AB thì

µ >C
µ
B

.

∆ABC

Cho giả thiết
có AC>AB.
Để gợi ý chứng minh định lí này, sau hoạt
động gấp hình để cạnh AB nằm trên cạnh AC của
∆ABC

, tạo ra điểm

B ' ∈ AC

để

AB = AB’

Vẽ tia phân giác AM của
·ABM

.

∆ABC

, cho học

·AB ' M

sinh so sánh số đo hai góc:
và
, chốt lại
bằng cách cho hiện số đo hai góc đó. Từ đó, học
·AB ' M

µ
C

sinh có thể so sánh
và ở một số trường
hợp khác nhau của hình vẽ khi điểm A di động.
Minh họa định lí đảo
Bằng cách di chuyển một định của tam giác, ta cũng dễ dàng minh họa định lí

µ >C
µ
B

đảo của định lí này: Nếu
thì AC>AB và trong tam giác tù (hoặc trong tam giác
vuông), góc tù (hoặc góc vuông) là lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc
vuông) là cạnh lớn nhất.
Khắc sâu định lí
Để khắc sâu định lí, bằng công cụ đo độ dài của đoạn thẳng ta cho học sinh so
sánh các góc của tam giác (khi cho đỉnh A di chuyển).
Ngược lại, bằng công cụ đo góc, ta cũng cho tam giác với số đo của các góc để
học sinh so sánh các cạnh của tam giác đó.
17


∆ABC

Chú ý: Có thể biến đổi
bằng cách tạo ra các thanh trượt ứng với độ dài ba
cạnh AB, BC, CA rồi kéo điểm điều khiển để thay đổi độ dài mỗi cạnh.
4. Ứng dụng phần mềm The Geometer’s Sketchpad trong giảng dạy bài tập, ôn
tập
4.1 Ứng dụng phần mềm Sketchpad trong giảng dạy các bài toán chứng minh
Việc thiết kế hình vẽ bằng phần mềm Sketchpad đạt được các mục đích sau:
- Gợi ý, tìm tòi, dự đoán
Thiết kế bằng hình vẽ động thích hợp nhằm dự đoán các tính chất giúp học sinh
tìm ra con đường đi từ giả thiết đến kết luận.
- Nhấn mạnh vấn đề trọng tâm
Hình vẽ được thiết kế bằng phần mềm không thay đổi tính chất của hình khi kéo

hình nên giả thiết của bài toán được thể hiện rõ ràng, những yếu tố không đổi, những
điểm cố định được xác định trực quan. Dựa vào hình vẽ được xây dựng ở nhiều trường
hợp khác nhau, giáo viên có thể chốt lại trọng tâm của kết luận mà bài toán đặt ra.
- Kiểm tra lời giải
Khi biến đổi hình vẽ, để đưa ra nhiều bài toán khác nhau liên quan đến số đo
góc, số đo cung, số đo độ dài, … ta có thể sử dụng công cụ đo của máy để kiểm tra kết
quả một cách nhanh chóng. Hơn nữa, ta còn có thể xem xét được các trường hợp có thể
xảy ra rất thuận lợi.
Hơn nữa, có thể dùng hình vẽ mà chỉ ra những sai sót của học sinh khi trình bày
lời giải.
- Khai thác bài toán
Ở chương trình THC, một số định lí khó đã không được chứng minh mà chỉ cho
dưới dạng bài tập thông qua một số hình vẽ cụ thể. Do đó, bằng sự biến đổi hình vẽ, có
thể cho học sinh khai thác bài tập cụ thể đó mà đến được kết luận của định lí. Cũng có
thể dùng hình vẽ để đặt ra bài toán mới trên cơ sở nhận biết tính chất đặc trưng của
hình.
4.1.1. Nhấn mạnh vấn đề trọng tâm
Ví dụ 4.1. Tìm và chứng minh cặp tam giác bằng nhau trong các hình vẽ sau,
biết AB//CD và AB=CD.

18


- Sử dụng công cụ đo độ dài OA, OB, OC, OD, AB, CD để học sinh kiểm tra kết

luận

∆OAB = ∆COD

(hình a).

- Cho điểm B di chuyển trên đường thẳng qua A song song với DC, các số đo đó
thay đổi nhưng vẫn có hai tam giác bằng nhau (hình a).
·ADB, DBC
·
·
, ·ABD, BDC

- Có thể sử dụng số đo
để khẳng định có hai tam giác bằng
nhau (hình b).
- Dựa vào hình b, giáo viên có thể nhấn mạnh vấn đề hai tam giác bằng nhau
theo trường hợp c.c.c (trường hợp 1) hay theo trường hợp c.g.c (trường hợp 2) mà bỏ
qua dấu hiệu không bản chất là số đo cạnh và góc cụ thể của từng hình vẽ.
- Có thể khai thác bài toán bằng cách cho điểm B di chuyển trên đường thẳng
qua điểm A song song với DC để tìm cặp tam giác bằng nhau trên hình vẽ.
Ví dụ 4.2. Tìm tòi, dự đoán, phát
hiện các tam giác bằng nhau trong hình vẽ
∆ABC

bên (hình được thiết kế sao cho
cân
đỉnh A) khi cho điểm D, E di động trên
đường thẳng BC sao cho DB = CE.
Bằng trực giác, khi quan sát D, E di
động, học sinh có thể phát hiện ra:
+

∆ABD = ∆ACE

∆ACD = ∆ABE

.

+
- Cũng có thể đặt ra bài toán mới bằng cách thay đổi giả
·
·
DAB
= CAE

thiết, giữ nguyên kết luận bằng cách cho hiện số đo
.
- Hơn nữa, nếu lấy điểm D và điểm E lần lượt di động trên
đường thẳng AB và đường thẳng AC sao cho BD = CE để học
sinh
phát
hiện
các
tam
giác
bằng
nhau:
∆ACD = ∆ABE , ∆CED = ∆BED, ∆BCD = ∆CBE.

- Bằng công cụ đo góc và đo độ dài mà giáo viên nhấn mạnh vấn đề các tam giác
đó bằng nhau theo trường hợp nào.
Ở đây, học sinh sẽ thấy các tam giác thay đổi hình dạng
khi D và E chuyển động, song các cặp tam giác đã chỉ ra vẫn
bằng nhau (không phụ thuộc vào số đo cạnh và góc ở từng hình
vẽ cụ thể).

4.1.2 Tìm hiểu giả thiết, kết luận
19


Ví dụ 4.3. Chứng minh rằng: Hình vuông luôn có diện tích lớn hơn diện tích
hình thoi có cùng chu vi.
Để minh họa khẳng định này, ta dùng công cụ đo để đo các cạnh AB, A’B’, đo
diện tích hình vuông ABCD và hình thoi
A’B’C’D’. Cho điểm A di động trên đường
thẳng a để học sinh quan sát sự thay đổi diện
tích của hai hình này.
4.1.3 Tìm tòi lời giải
Ví dụ 4.4. Bài tính chất ba đường cao
của tam giác.
Ở tiết lí thuyết, học sinh tiếp cận định
lí bằng hoạt động vẽ hình, định lí được
công nhận không chứng minh.
Ở tiết luyện tập, ta cũng có thể gợi ý
cho học sinh chứng minh định lí này thông
qua bài tập cụ thể, xuất phát từ kiến thức về
tính chất góc so le trong tạo bởi hai đường
thẳng song song cắt bởi một cát tuyến và
các trường hợp bằng nhau của hai tam giác.
∆ABC

Vẽ
và các đường cao AH, BK,
CL (hai điểm B, C cố định, A là điểm di
động). Qua điểm A vẽ đường thẳng song
song với BC, qua điểm B vẽ đường thẳng

song song với CA, qua điểm C vẽ đường thẳng song song với AB. Các đường thẳng
này cắt nhau tạo thành ∆DEF.
Cho điểm A di động để học sinh nhận ra ba điểm A, B, C lần lượt là trung điểm
của các cạnh EF, FD, DE và tìm cách chứng minh điều đó. Để gợi ý chứng minh, giáo
viên có thể cho hiện độ dài hai bộ ba đoạn thẳng AF, BC và AF; BF, AC và BD (hoặc
CF, AB và CD) mục đích để học sinh thấy được BC, AC (hoặc AB) là đường trung
bình của ∆DEF.
Học sinh quan sát thấy A, B, C lần lượt là trung điểm các cạnh EF, FD, ED của
∆DEF. Các em còn có thể nhận ra AH, BK, CL nằm trên các đường trung trực của các
cạnh của ∆DEF. Suy ra, theo tính chất ba đường trung trực của tam giác đồng quy, ta
có AH, BK, CL đồng quy.
Hơn nữa, như thiết kế trên, ta có hai điểm B, C cố định còn điểm A di động nên
khi cho điểm A di động đến vị trí mà ∆ABC vuông, ta sẽ thấy điểm đồng quy của các
đường cao trùng với điểm B – là đỉnh của góc vuông.
Rõ ràng, bằng hình vẽ thiết kế động, việc biến đổi hình vẽ nhanh chóng giúp học
sinh thuận lợi trong việc dự đoán, khám phá các tính chất, giáo viên có thêm công cụ
20


hữu hiệu gợi ý học sinh con đường chứng minh, chốt lại vấn đề có tính chất trọng tâm.
Hơn nữa, nhờ công cụ đo của phần mềm Sketchpad mà ta có thể dễ dàng kiểm tra dự
đoán của mỗi cá nhân. Các hình vẽ được thiết kế sẵn tiết kiệm rất nhiều thời gian trên
lớp, tăng cường hội thoại giữa giáo viên và học sinh.
4.1.4 Khai thác bài toán
Ví dụ 4.5. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Khi học về tính chất ba đường phân giác của tam giác, định lí mới khẳng định
giao điểm của ba đường phân giác của một tam giác
cách đều ba cạnh của nó.
- Ta có thể đặt vấn đề ngược lại: Điểm nằm
trong tam giác và cách đều ba đường thẳng chứa ba

cạnh của tam giác có là giao điểm của ba đường phân
giác của tam giác hay không?
- Bằng công cụ đo góc, cho hiện số đo hai góc
· , OAJ
·
OAI

· , OBK
·
OBI

và hai góc
để khẳng định dự đoán
đó và cũng là để học sinh tìm con đường chứng minh.
- Ngoài ra, có thể cho điểm O chuyển động trên
tia phân giác của

µA

để học sinh đưa ra nhận xét: Có

∆ABC

điểm nằm ngoài
song song vẫn cách đều ba
đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác để từ đó đưa
ra bài toán mới. Điểm nằm ngoài tam giác, cách đều
ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác đó là điểm
chung của một đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của tam giác.
4.1.5 Vẽ hình bài toán phụ

Đôi khi ta biến đổi bài toán dẫn đến bài toán phụ dễ giải hơn giúp chúng ta sử
dụng kết quả của nó để giải bài toán ban đầu. Thay cho việc biểu diễn các hình tĩnh
trên bảng, các hình động có thể được biến dạng bằng cách dịch chuyển trực tiếp trên
màn hình các thành phần cơ sở của chúng, trong khi dịch chuyển vẫn bảo toàn các tính
chất ban đầu của hình này. Chẳng hạn, ta có thể làm biến dạng “một cách liên tục” một
tam giác và thấy rằng các đường cao của nó vẫn luôn đồng quy tại một điểm; làm biến
dạng một đường tròn nhưng vẫn thấy nó đi qua hai điểm cố định cho trước (chùm
đường tròn);…
* Vẽ hình các bài toán đặc biệt hóa
21


Trong các phương pháp giải toán, phương pháp đặc biệt hóa dùng để bác bỏ một
mệnh đề, phát hiện một tính chất, dự đoán một kết quả hay đặt ra một bài toán mới.
Như vậy, việc biến dạng một hình vẽ (giữ nguyên tính chất ban đầu) còn giúp học sinh
nhanh chóng bác bỏ một mệnh đề dựa trên khả năng đo chiều dài, đo góc của phần
mềm Sketchpad, hay dựa vào sự di chuyển của hình vẽ mà dự đoán một kết quả.
Ví dụ 4.6. Cho hình bình hành ABCD và M là điểm nằm trên đường chéo BD.
E ∈ AD

F ∈ AB

Dựng ME//AB (
), MF//AD (
). Chứng minh rằng CM, BE, DF đồng quy.
Sử dụng hình động ta thấy rõ khi điểm M di động trên BD thì CM, BE, DF luôn
đồng quy, điểm đồng quy không là điểm cố định.
Bằng việc kéo hình, thay giả thiết hình bình hành
là
hình vuông, ta có bài toán đặc biệt hóa.

Hơn nữa, với bài toán đặc biệt hóa này, dựa vào
hình vẽ ta có thể xây dựng bài toán mới: Chứng minh
điểm đồng quy là trực tâm của

∆CEF

.

* Tìm bài toán tương tự
Ngoài ra, việc sử dụng hình động trong giảng dạy còn giúp học sinh xây dựng
chương trình giải một bài toán thuận tiện hơn khi cần tìm một bài toán tương tự trước
đó, chẳng hạn:
∆ABC

∆ABC

Bài toán: Cho
nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của
, M là
trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH = 2OM.
Có thể cho học sinh liên hệ bài toán này với bài toán tìm quỹ tích của điểm H
khi điểm A di động trên đường tròn đi qua hai điểm B, C (B, C cố định) để tìm ra cách
AH ⊥ BC

giải (
, AH không đổi).
4.1.6 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Sử dụng hình động giúp chúng ta có điều kiện trực quan để nghiên cứu những
giả thiết của bài toán là nghiêm ngặt hay không, hơn nữa giáo viên có thể giúp học sinh
khai thác hình vẽ để đưa ra nhiều lời giải khác nhau của bài toán.

OA ⊥ xy

Ví dụ 4.7. Cho đường thẳng xy không cắt đường tròn tâm O. Kẻ đường thẳng
.
Qua điểm A kẻ một cát tuyến cắt (O) tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C cắt xy lần lượt ở
D và E. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Ở bài toán này, giả thiết là xy không cắt (O). Nếu ta thay đổi giả thiết của bài
toán bằng cách kéo hình để đường thẳng xy cắt
(O) tại hai điểm M và N. Thiết lập bài toán tương
tự, khi đó A có là trung điểm của đoạn thẳng DE
nữa hay không ?
22


Chỉ cần kéo đường thẳng xy trên hình vẽ ta thấy ngay điều đó vẫn còn đúng.
A≡B

Nhưng khi đường thẳng xy là tiếp tuyến của (O) thì
, bài toán không có lời giải.
Hay khi cát tuyến qua điểm A là đường kính, bài toán cũng không có lời giải.
Sử dụng hình động trong giảng dạy bài toán chứng minh cho phép thực hiện rất
nhiều hình vẽ một cách dễ dàng, nhanh chóng bằng cách biến đổi hình vẽ. Như vậy,
với vai tròn là vở nháp, hình động tạo thuận lợi cho giáo viên giảng dạy trên lớp và
cũng giúp học sinh phát hiện hay bác bỏ những tính chất dễ dàng hơn. Từ đó phát huy
được tính tích cực, hứng thú của người học.
4.1.7 Xây dựng bài toán mới
Cùng với việc thay đổi vị trí bất kì của một điểm, của một đối tượng tại các vị trí
đặc biệt của nó trên hình vẽ, việc di chuyển hình vẽ còn giúp ta xây dựng bài toán mới
bằng cách thay vị trí đặc biệt của một điểm, của một đối tượng bởi vị trí bất kì của nó
để xem xét những tính chất không đổi.

Ví dụ 4.8. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, ta lấy theo thứ tự các điểm
D, E, trên BA, CA sao cho BD = CE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DE,
đường thẳng qua M, N lần lượt cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng
·
·
MPB
= MQC

.
Dựa vào nhiều vị trí của hình vẽ khi hai điểm D, E
di động (sao cho BD = CE), ta thấy rõ MN song song với
·
BAC

đường phân giác của
và điểm A luôn nằm trên đường
trung trực của đoạn thẳng PQ. Hơn nữa, ta thấy điểm N
luôn chạy trên một đường thẳng cố định. Từ đó, ta sẽ xây
dựng được các bài toán mới :
Bài toán 1: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, lấy hai điểm D và E theo thứ tự
trên BA, CA sao cho BD =CE. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của BC và DE.
Đường thẳng qua M, N cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng MN song
·
BAC

song với đường phân giác của
.
Bài toán 2: Cho tứ giác lồi BDEC có hai cạnh đối BD, CE bằng nhau. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của BD và CE. Đường thẳng qua M, N theo thứ tự cắt các đường
thẳng BD, CE tại P và Q. Gọi A là giao điểm của BD và CE, chứng minh rằng điểm A

nằm trên đường trung trực của PQ.
∆ABC

Bài toán 3: Cho
. Lấy hai điểm D và E lần lượt trên AB và AC sao cho BD = CE.
Gọi N là trung điểm của DE. Tìm quỹ tích điểm N khi hai điểm D và E di động.
4.2 Ứng dụng phần mềm Sketchpad trong giảng dạy các bài toán quỹ tích
4.2.1. Đặc điểm của bài toán quỹ tích
23


Bài toán quỹ tích là một trong những nội dung cơ bản của hình học phẳng. Bài
toán đặt ra ở đây là: Một hình được cho theo tính chất đặc trưng nào đó, hãy xem nó là
điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, đường tròn, …Học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc
giải bài toán quỹ tích do tính trừu tượng, tư duy logic của dạng toán này.
Khi giải bài toán quỹ tích, học sinh phải tự dự đoán hình dạng của quỹ tích trên
cơ sở tạo ra các yếu tố cần thiết của hình vẽ, sau đó xét sự liên quan của ba yếu tố cơ
bản: Yếu tố cố định (thông thường là các điểm), yếu tố không đổi (độ dài đoạn thẳng,
độ lớn các góc, …), yếu tố thay đổi (thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích
hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích).
Đối với giáo viên, vấn đề quan trọng không chỉ là lời giải của bài toán mà là vấn
đề hướng dẫn học sinh giải bài toán quỹ tích thế nào.
4.2.2. Các vấn đề trong giảng dạy bài toán quỹ tích bằng phương pháp sơ cấp
4.2.2.1 Dự đoán quỹ tích
Vấn đề khó khăn thứ nhất của việc hướng dẫn học sinh đó là dự đoán quỹ tích vì
trên cơ sở dự đoán được quỹ tích mà học sinh sẽ thực hiện các bước tiếp theo.
Tuy bước này không trình bày vào bài giải nhưng lại rất quan trọng vì nó xác
định cho ta phương hướng để giải toán. Để dự đoán được quỹ tích người ta thường
dùng các phương pháp sau đây:
a) Phương pháp thực nghiệm

Ta vẽ ba điểm của quỹ tích, nếu thấy chúng thẳng hàng thì dự đoán quỹ tích có
thể là đường thẳng (hoặc đoạn thẳng), trường hợp ngược lại, ở chương trình THCS ta
dự đoán quỹ tích có thể là đường tròn (hoặc cung tròn).
b) Sử dụng tính đối xứng
- Nếu quỹ tích thuộc loại đường thẳng và đối xứng qua một trục thì nó phải
vuông góc với trục đối xứng.
- Nếu quỹ tích thuộc loại đường tròn (cung tròn) mà có trục đối xứng thì tâm của
nó phải nằm trên trục này.
c) Sử dụng phần tử vô tận
- Nếu quỹ tích có chứa các điểm vô tận thì quỹ tích phải là một đường thẳng hay
một tia.
- Trường hợp ngược lại, quỹ tích có thể là một đường tròn, cung tròn hay đoạn
thẳng.
Như vậy, để dự đoán được quỹ tích, ta phải sử dụng tư duy logic và suy luận có
lí. Tuy nhiên, làm được điều đó cũng chỉ thấy được phần nào đặc điểm của quỹ tích cần
tìm, ví dụ: Dạng tròn là cung của đường tròn hay parabol, …; không có điểm vô tận là
cung tròn, đường tròn hay đoạn thẳng.
Sử dụng phần mềm Sketchpad chẳng những cho học sinh thấy được những vị trí
đặc biệt của điểm phải tìm quỹ tích mà trong nhiều trường hợp còn giúp học sinh kiểm
tra dự đoán của mình. Giáo viên có thể cho phép học sinh quan sát sự di động của điểm
được chọn khi một điểm khác dịch chuyển (giữ nguyên các ràng buộc khác của hình
vẽ), cho phép sự biến đổi của chúng trong thời gian thực mà nếu sử dụng bảng hoặc
24


giấy vẽ hình tĩnh thì sẽ không bao giờ thấy được. Từ đó giúp học sinh phân tích, tìm ra
quan hệ của điểm cố định, đường cố định để đưa về bài toán quỹ tích cơ bản nào đó.
Ví dụ 4.9. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Một điểm M di chuyển
trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM. Tìm tập hợp các
điểm N.

M ≡B

- Khi
thì BM = 0. Do vậy, AN = 0 hay
.Vậy, A là một điểm của quỹ tích.
- Khi

M ≡I

do AI = BI nên

N≡A

(I là điểm chính giữa của cung AB) thì

N≡I

M ≡A

. Vậy, I là một điểm của quỹ tích.

- Khi
thì dây cung AM đến vị trí của tiếp
tuyến At với đường tròn tại điểm A và do BM = BA nên
điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B’ trên tiếp tuyến At sao cho
AB’ = AB = 2R. Vậy, B’ là một điểm của quỹ tích.
Do ba điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên học sinh
có thể dự đoán được điểm N sẽ nằm trên đường tròn đi qua ba điểm A, I, B’ tức là
đường tròn đường kính AB’.
Trong nhiều trường hợp, sử dụng hình học động không những để minh họa cho

dự đoán quỹ tích mà còn giúp học sinh thấy trước tập hợp các điểm phải tìm khi dự
đoán gặp khó khăn, từ đó có phương pháp thích hợp để giải quyết bài toán dựa vào mối
quan hệ giữa tập hợp điểm phải tìm với hình cho trước.
4.2.2.2. Giới hạn quỹ tích
Đây là một vấn đề khó khăn khi giải bài toán quỹ tích.
Giả sử trong phần thuận, ta đã chứng minh được điểm M có tính chất p thì M
thuộc hình (H).
⊂

Ta tìm giới hạn quỹ tích bằng cách: Tìm hình (H’) (H) với hình (H’) là tập
hợp tất cả những điểm của hình (H) không có tính chất p. Khi đó, quỹ tích phải tìm là
hình (H’) = (H)\(H’). Nhưng đôi khi do không thấy hết được các vị trí của điểm được
họn khi điểm khác dịch chuyển (theo đề bài) nên việc giới hạn quỹ tích dễ mắc sai lầm,
gây khó khăn cho chứng minh phần đảo.
Dùng hình động có tác dụng minh họa trực quan giới hạn của quỹ tích, đặc biệt
là khi tập hợp điểm phải tìm chỉ là một đoạn thẳng hay một cung tròn.
Ví dụ 4.10. Cho

·
xOy
= 900

, điểm A cố định nằm trong góc

trên tia Ox, điểm C chạy trên tia Oy sao cho
tập hợp hình chiếu của điểm A lên cạnh BC.

AB ⊥ AC

·

xOy

. Điểm B chạy

. Tìm

25