Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 5c - Nguyễn Văn Tiến

29/05/2017

PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN

CHƯƠNG 5c

HỒI QUI VÀ TƯƠNG
QUAN

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Correlation Analysis
• Dùng để đo độ mạnh của mối quan hệ tuyến
tính giữa hai biến ngẫu nhiên

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Hiệp phương sai (Covariance)

Hệ số tương quan

• Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y. Hiệp phương sai
của X và Y, ký hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của
tích các sai lệch của các bnn đó và kỳ vọng toán
của chúng.

• Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y

ký hiệu và định nghĩa bởi công thức:

 X ,Y 

cov  X , Y   E  X -  X Y - Y 

cov  X , Y 

 XY

• Với hai biến ngẫu nhiên bất kỳ:

cov  X , Y   E  XY  -  X Y
3
Nguyễn
Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

-1   X ,Y  1
4
Nguyễn
Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Hệ số tương quan mẫu

Ví dụ

• Với mẫu ngẫu nhiên cỡ n: (Xi, Yi) i=1,2,…,n. Hệ
số tương quan mẫu ký hiệu là rX,Y được xác định
n
như sau:

• Số liệu về thời gian quảng cáo trên truyền hình
và lượng sản phẩm tiêu thụ ở một công ty sản
xuất đồ chơi trẻ em như sau:

  x - x  y - y 
i

rX ,Y 

i

i 1

n

n

2

  x - x .  y - y 
i

2

i

i 1

i 1

n

 x y - n.x. y
i

rX ,Y 

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Thời gian
28 37 44 36 47 35 26 29 33 32 31 28
Lượng tiêu thụ 41 32 49 42 38 33 27 24 35 30 34 25

i

i 1
n
2 
2
 n 2
2
  xi - nx  .   yi - n y 
 i 1
  i 1


Nguyễn Văn Tiến

• Thời gian: phút/tuần
• Lượng tiêu thụ: 1000sp/tuần
• Hãy tính hệ số tương quan mẫu và cho kết luận
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

1


29/05/2017

Ví dụ

Đánh giá hiệp phương sai

• Đáp số: r=0,63882
• Kết luận: mối liên hệ tương quan giữa thời gian
quảng cáo và số sản phẩm tiêu thụ được là
tương quan thuận, ở mức trung bình.

• Cov(X,Y)>0: X và Y có xu hướng thay đổi cùng
chiều
• Cov(X,Y)<0: X và Y có xu hướng thay đổi ngược
chiều
• Cov(X,Y)=0: X và Y độc lập (tuyến tính)

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Đánh giá hệ số tương quan

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Đánh giá hệ số tương quan

• Miền giá trị: -1  rX ,Y  1
• Nếu -1  rX ,Y  0 thì tương quan âm. rXY càng
gần -1 thì mối liên hệ tuyến tính nghịch giữa X,
Y càng mạnh
• Nếu 0  rX ,Y  1 thì tương quan dương. rXY càng
gần -1 thì mối liên hệ tuyến tính thuận giữa X, Y
càng mạnh
• rXY càng gần 0 thì quan hệ tuyến tính càng yếu.
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Kiểm định giả thuyết cho hệ số tương quan

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Kiểm định hệ số tương quan

• Ta cần kiểm định giả thuyết H0: không có mối
quan hệ tuyến tính giữa X và Y
H0 :   0
• Ta có:

• Ta có các bài toán:

• Tiêu chuẩn kiểm định:

• Với mức ý nghĩa

H 0 :   0
 H1 :   0

a 

H 0 :   0
 H1 :   0

H0 :   0
 H1 :   0

b 

c 

cho trước.

n-2
T r
~ t  n - 2
1- r2
• T có phân phối Student (n-2) bậc tự do
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

2


29/05/2017

Miền bác bỏ

Các bước kiểm định
• Phát biểu giả thuyết H0 và đối thuyết H1
• Xác định mức ý nghĩa
• Tính giá trị kiểm định

Tqs  r

n-2
1- r2

• So sánh với miền bác bỏ
• Kết luận bác bỏ/không bác bỏ H0

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Đối thuyết

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến



p  2 P T  Tqs

≠0

1:

>0

T  ta n -1

p  P T  Tqs 

1:

<0

T  -ta n -1

p  P T  Tqs 

Bài giảng Toán Cao cấp 1



Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ
• Công ty dầu ăn Tường An đang xem xét việc giảm
giá bán sản phẩm (bình 5 lít) để tăng lượng hàng
bán ra đồng thời quảng bá sản phẩm của mình đến
khách hàng. Người quản lý của công ty muốn tính
toán xem nếu sản phẩm này được giảm giá 1000
đ/l thì lượng hàng bán ra trung bình sẽ thay đổi
như thế nào.
• Nếu như giảm giá 1000 đ mà lượng hàng bán thêm
được nhiều hơn 50.000 sản phẩm thì công ty sẽ
tiến hành một chiến dịch khuyến mại trong một
tháng với mức giảm giá 10.000 đ/l
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Câu hỏi

Ví dụ

• Để tiến hành nghiên cứu này, phòng marketing của
công ty đã dựa vào số liệu bán hàng trong 15 tháng
qua (n=15 quan sát) để thu thập số liệu về giá bán P và
lượng bán Q.
• Sau khi tiến hành thống kê mô tả, nghiên cứu viên đã
quyết định dùng hàm cầu dạng tuyến tính để xem xét
ảnh hưởng của giá đến lượng bán.
Q i   0  1Pi  i

• Dùng số liệu của mẫu ta được hàm hồi qui mẫu dạng:

Q i  6227  30, 43Pi
Bài giảng Toán Cao cấp 1

T  ta n/ -21

P_value

1:

Phân tích hồi quy
• Phân tích hồi quy là tìm quan hệ phụ thuộc của một
biến, được gọi là biến phụ thuộc vào một hoặc nhiều
biến khác, được gọi là biến độc lập nhằm mục đích
ước lượng hoặc tiên đoán giá trị kỳ vọng của biến phụ
thuộc khi biết trước giá trị của biến độc lập.
• Một số tên gọi khác của biến phụ thuộc và biến độc
lập như sau:
• Biến phụ thuộc: biến được giải thích, biến được dự
báo, biến được hồi quy, biến phản ứng, biến nội sinh.

• Biến độc lập: biến giải thích, biến dự báo, biến hồi
quy, biến tác nhân hay biến kiểm soát, biến ngoại sinh.

Miền bác bỏ

Nguyễn Văn Tiến

• Khi giá giảm 1 đơn vị thì lượng bán hàng thay
đổi như thế nào?
• Khi giá giảm 1000 đ/l thì lượng bán ra có lớn
hơn được 50.000 sản phẩm như công ty mong
muốn không
• Giá bán quyết định bao nhiêu % trong thay đổi
lượng bán
• Nếu giá bán là 150.000 đồng/bình thì lượng
bán dự báo là bao nhiêu
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

3


29/05/2017

Phân tích hồi quy

Hàm hồi quy tổng thể

• Phân tích hồi quy được sử dụng để xác định

mối liên hệ giữa:

• Hàm hồi quy tổng thể

– Một biến phụ thuộc Y (biến được giải thích)
– Một hay nhiều biến độc lập X1, X2, …,Xn (còn được
gọi là biến giải thích)

Y

• Biến phụ thuộc Y phải là biến liên tục
• Các biến độc lập X1, X2, …, Xn có thể là biến liên
tục, rời rạc hay phân loại.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

E Y | X  X i   1   2 X
• Đối với một quan sát cụ thể ta có:

Yi  1   2 X i  i
• Mô hình chỉ có một biến phụ thuộc Y và một biến giải
thích X.
•
và
gọi là hệ số chặn (intercept) và hệ số góc
(slope) của đường thẳng hồi quy.
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Đường hồi quy tổng thể

Tiêu dùng, Y (XD)

Hàm hồi quy tổng thể
Y= b1b2Xi

Yi= b1 + b2Xi + i

500

i

E(Y/Xi)= b1 + b2Xi

400
300
b2
200
100

• Ta ít khi có số liệu của cả tổng thể mà chỉ có số
liệu của mẫu (số liệu quan sát được)
• Ta dùng số liệu mẫu để ước lượng tổng thể
• Hàm hồi quy mẫu:
Yi  1  2 X i

Yi
Y = E(Y/Xi)

• Đối với quan sát thứ i:

b1

0
0

Nguyễn Văn Tiến

Hàm hồi quy mẫu SRF

700
600

 1   2 X

100

200

300

400

500

Xi
600

700

800

Y i  1  2 X i  e i

900

Thu nhập khả dụng, X (XD)

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

PRF và SRF

PRF và SRF
Trong đó

SRF

Y

bˆ 2

PRF
b2

b1

Nguyễn Văn Tiến

•

là ước lượng cho b1.

•  

là ước lượng cho b2.

•  

là ước lượng cho Y hay E(Y|Xi)

•

bˆ1

X

Ta sử dụng phương pháp bình phương nhỏ
nhất thông thường (OLS) để tìm   ;  

Hệ số hồi quy trong hàm hồi quy PRF và SRF
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

23

Bài giảng Toán Cao cấp 1

24

Nguyễn Văn Tiến

4


29/05/2017

Phương pháp OLS

Phương pháp OLS
• Từ hàm hồi quy mẫu ta có:



ei  y i  
y i  y i   1   2x i

n

e
i 1

2
i



 y
n

i 1

i

  1   2x i




2






 SSE
  2  y i   1   2x i  0

i 1
1
n
 SSE



  2  y i   1   2x i x i  0

i 1
 2
n

• Tổng bình phương sai số (Sum of squares for Errors
– SSE) hay tổng bình phương thặng dư cho n điểm
dữ liệu :

SSE 

 ;   ta có:

• Ta lấy đạo hàm theo biến



• Nội dung của phương pháp bình phương bé nhất là
tìm các ước lượng sao cho SSE đạt giá trị bé nhất.
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Phương pháp OLS

Phương pháp OLS

• Ta được hệ phương trình sau:

• Để thuận tiện ta ký hiệu như sau:

n
 n
 n








  y i   1   2x i  0
 y i  n  1   2  x i  0



 i 1
i 1
 
 i n 1
n
n
n







2


  y i   1   2x i x i  0
 x iy i   1  x i   2  x i  0


i 1
i 1
 i 1


 i 1


x 2 .y  x .xy



1 

2








ny  n   n  x  0
   x  y

x2  x



1
2
2

 1

 











n .xy  n  1 x  n  2 x 2  0
 x   2 x 2  xy



   xy  x .y




 1
2
2



x2  x












2

S xx 

S xy 

n

Nguyễn Văn Tiến

 n


x i 
 

i 1
2
xi  x   xi 
n
i 1


i 1

 x
i 1

i

x

y

4

6

2
9

i 1

S

 2  xy
S xx

i

i



n



1  y  2x

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

5
5

5
4

7
2

• Ta lập bảng sau:
Stt
1
2
3
4
5
6
sum

• Ta có:
Bài giảng Toán Cao cấp 1

 xy

y 

 n
 n


x i    y i 
 

  i 1 

i 1

Ví dụ

• Quan sát sự biến động của nhu cầu gạo Y
(tấn/tháng) vào đơn giá X (ngàn đồng/kg) ta
được các số liệu cho ở bảng. Hãy lập mô hình
hôi quy mẫu biễu diễn mối phụ thuộc về nhu
cầu vào đơn giá gạo
1
10

i

n

• Ta có:

Ví dụ

Xi
Yi

n



n



Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Xi
1
4
2
5
5
7
24

Yi
10
6
9
5
4
2
36

X

XiYi
10
24
18
25
20
14
111

X^2
1
16
4
25
25
49
120

24
36
4 Y  6
6
6
Nguyễn Văn Tiến

5


29/05/2017

Ví dụ

Ví dụ
• Nhận xét: Yˆi  11,5 - 1,375 . X i
• X và Y có quan hệ nghịch biến

• Ta có:
n

bˆ2 

Y X
i

i

- n. X .Y

i 1
n



X

2
i

- n.( X )

2

111 - 6.4.6
 -1,375
120 - 6.(4)2

i 1

bˆ1  Y - bˆ2 X  6 - (-1,375).4  11,5

= 11,5 nên nhu cầu tối đa là 11,5 tấn/tháng

•

= −1,375 nên khi giá tăng 1000 đồng/kg thì
nhu cầu trung bình sẽ giảm 1,375 tấn/tháng với
các yếu tố khác trên thị trường không đổi.

Yˆi  11,5 - 1,375 . X i
Bài giảng Toán Cao cấp 1

•

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Giải hồi quy bằng máy tính

Bài tập 1

1. Bật tần số: Shift+Mode+↓ +4+1 (Freq On
2. Chọn Mode Regression: Mode+3+2(chọn
A+Bx)
3. Nhập dữ liệu theo cột
4. Kiểm tra và nhấn AC thoát
5. Xem kết quả: Shift +1+ 3,4,5 (tùy theo Sum,
Var hay Reg)

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Thu thập số liệu về điểm học tập của học sinh và
mức thu nhập hàng năm của bố mẹ ta có bảng số
liệu sau:
Xi 45 60 30
90 75 45 105 60
Yi 8,75 7,5 6,25 8,75 7,5 5,0 9,5 6,5

Hãy tìm hàm hồi quy mẫu và tính các đặc trưng
của nó
Xi: thu nhập (triệu/năm)
Yi: điểm trung bình
33

Bài giảng Toán Cao cấp 1

• Các ước lượng  ;   tìm được gọi là các ước

lượng bình phương tối thiểu
• Đường thẳng
= +
gọi là các ước
lượng bình phương tối thiểu.
• Gọi giá trị quan sát trung bình của y và trung
bình của x là:
y, x

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

34

Ước lượng OLS

Ước lượng OLS

• Ứng với xi ta gọi yi là giá trị quan sát thực tế và
•
là giá trị ước lượng theo đường hồi quy mẫu

Nguyễn Văn Tiến

• Từ hàm hồi quy mẫu: Y i  1  2 X i  e i
• Đặt:
Y i  1  2 X i

Ta có:



ei  y i  
y i  y i   1   2x i



ei là sự khác biệt giữa giá trị thực tế yi
và giá trị dự đoán theo phương trình hồi quy
tuyến tính SRF
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

6


29/05/2017

Ước lượng OLS

Tính chất đường hồi quy mẫu SRF

• Một số tính chất:
• A) Tổng bình phương sai số đạt giá trị nhỏ nhất

• Ứng với một mẫu cho trước thì các hệ số

 ;   được xác định duy nhất
• Đường hồi quy mẫu SRF đi qua điểm có tọa độ
giá trị trung bình x ; y 
• Giá trị trung bình của các ước lượng bằng giá
trị trung bình các quan sát

 y
n

SSE 

i 1

i



2


 yi

• B) Tổng các giá trị thặng dư triệt tiêu.
SE 

 y
n

i 1

i




 yi 

n

e
i 1

i

0

• SE: Sum of Errors
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

n

e
i 1

• Các phần dư ei và

i

0

 e i .Yi  0

i 1

i 1

i

Nguyễn Văn Tiến

Các tổng bình phương độ lệch
   


  y  y    y  y    y

y

i



 y  y i  y  yi  yi
n

2

i 1

n

2

i

i

i 1

i 1

 y
n

• Mà

n

i

• Ta có:
n

không tương quan

n

1

 Y  n  Y

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Tính chất đường hồi quy mẫu SRF
• Giá trị trung bình của các phần dư ei bằng 0

n

1
n

i

y

i 1


 yi

i

  2 y  y y
n

2

i

i 1

i


 yi



y  y   0
i

i

i 1

• Các phần dư ei và Xi không tương quan

 e .X
i

i 1

 y

0

i

Bài giảng Toán Cao cấp 1

i 1

Nguyễn Văn Tiến

Đo sự biến thiên của dữ liệu a
• Tổng bình phương toàn phần (Total Sum of Squares)

TSS 

n

 y
i 1

i

 yi

i 1



n

i 1

Bài giảng Toán Cao cấp 1



2



 y
n

i

i


 yi



2



 y
n

i 1

i



 yi



2

Nguyễn Văn Tiến

• Tổng bình phương toàn phần (Total Sum of Squares)

SST 

n

 y
i 1

i

 yi



2

• Explained Sum of Squares - Bình phương sai số được
giải thích
n
2


SSE   y i  y i





• Tổng bình phương sai số (Residual Sum of Squares)



2

Nguyễn Văn Tiến

y

i 1

i 1

• Tổng bình phương sai số (Error Sum of Squares)

 y

y

Đo sự biến thiên của dữ liệu b





i

Bài giảng Toán Cao cấp 1

2

• Tổng bình phương hồi quy (Regression Sum of
Squares)
n
2

RSS   y i  y i

ESS 

• Nên ta có:
n

n

SSR 

 y
n

i 1

Bài giảng Toán Cao cấp 1

i

 yi



2

Nguyễn Văn Tiến

7


29/05/2017

Ý nghĩa các độ đo

Tính các độ đo

• SST: đo sự biến thiên của các giá trị
xung
quanh giá trị trung tâm của dữ liệu
• SSR: giải thích sự biến thiên liên quan đến mối
quan hệ tuyến tính của X và Y
• SSE: giải thích sự biến thiên của các nhân tố
khác (không liên quan đến mối quan hệ tuyến
tính của X và Y)

• Ta có:

SST 

n

 y
i 1

SSR 

i



2

 yi

 y
n



 2
 2  xi  x

 yi

i

i 1

SSE 

 y
n

i 1

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến


 y  y 
i

2

i



2
  2  x i  x


 yi



2



n

 e

SSE 

Y
2 S2
  2 X2
SY

S

2
Y



 y
i 1

i

y



n 1

n

2

;S

2
X



 x
i 1



2

2

i

i 1

 y
n

i 1

i


 yi



2

SRF

Yˆi

Tổng chênh lệch

SSE

SST 

i

x



2

n

 y
i 1

SSR
n

2
i

Nguyễn Văn Tiến

2

x

2

Các tổng bình phương độ lệch

• Ta có:

 x

2

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Tính các độ đo
2

SSR
R2 
  2
SST

i



  e

Yi
SSR 

Xi

 yi

 y
n

i

i 1

n 1

i



2

 yi



2

X

Ý nghĩa hình học của SST, SSR và SSE
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

46

Hệ số xác định

Hệ số xác định

• Coefficient of determination
• Là tỷ lệ của tổng sự biến thiên trong biến phụ
thuộc gây ra bởi sự biến thiên của các biến độc
lập (biến giải thích) so với tổng sự biến thiên

toàn phần.
• Tên gọi: R_bình phương (R squared)
• Ký hiệu:
SSR
2

• Hệ số xác định của một mô hình hồi quy cho
phép ta đánh giá mô hình tìm được có giải thích
tốt cho mối liên hệ giữa biến phụ thuộc Y và
biến độc lập X hay không

R 

• Dễ thấy:
Bài giảng Toán Cao cấp 1

SST

0  R2  1
Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

8


29/05/2017

Hệ số xác định điều chỉnhR2

Tính chất của hệ số xác định R2
•

0≤ R2≤1

•

Cho biết % sự biến động của Y được giải thích bởi
các biến số X trong mô hình.

•

R2 =1: đường hồi quy phù hợp hoàn hảo

•

R2

2

R  1- (1 - R2 )
• Khi k > 1, R2 < R2.

=0: X và Y không có quan hệ

• Do vậy, khi số biến X tăng,R2 sẽ tăng ít hơn R2.

• Nhược điểm: R2 tăng khi số biến X đưa vào mô hình

tăng, dù biến đưa vào không có ý nghĩa.

• Khi đưa thêm biến vào mô hình mà làm choR2
tăng thì nên đưa biến vào và ngược lại.

• => Sử dụng R2 điều chỉnh (adjusted R2 -R2) để quyết
định đưa thêm biến vào mô hình.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

49

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Hệ số xác định

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Hệ số xác định

n -1
n-k

Nguyễn Văn Tiến

50

Hệ số xác định

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Các giả thiết của phương pháp OLS
• Giả thiết 1: Các giá trị Xi được xác định trước và không
phải là đại lượng ngẫu nhiên.
• VD: Mẫu 1
Mẫu 2
Chi tiêu Y
70
65
90
95
110
115
120
140
155
150

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Thu nhập X
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260

Chi tiêu Y
55
88
90
80
118
120
145
135
145
175

Thu nhập X
80
100
120
140
160

180
200
220
240
260

Nguyễn Văn Tiến

54

9


29/05/2017

Các giả thiết của phương pháp OLS

Các giả thiết của phương pháp OLS
• Giả thiết 2: Kỳ vọng hoặc trung bình số học của
các sai số là bằng 0 (zero conditional mean),
nghĩa là E
=0
• Giả thiết 3: Các sai số có phương sai bằng nhau
(homoscedasticity).

V

Bài giảng Toán Cao cấp 1

= σ2

Nguyễn Văn Tiến

55

Phương
sai sai số
đồng
nhất

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Các giả thiết của phương pháp OLS

Nguyễn Văn Tiến

56

Các giả thiết của phương pháp OLS
•

Giả thiết 4: Các sai số

không có sự tương

quan, nghĩa là

Cov( , ) = E(

) = 0, nếu i  j

Phương sai sai số không đồng nhất:
var(Ui|Xi) = i2
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

57

Các giả thiết của phương pháp OLS

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Sai số chuẩn của các ước lượng OLS

• Giả thiết 5: Các sai số độc lập với biến giải
thích.
Cov( , Xi) = 0
• Giả thiết 6: Đại lượng sai số ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn ~ N(0, σ2 )

• Các nhiễu (sai số)
sai:
2

Nguyễn Văn Tiến

59

của tổng thể có phương

  V i 

• Trong thực tế ta không biết được giá trị này nên
ta ước lượng bằng ước lượng không chệch của
mẫu:

ˆ
Bài giảng Toán Cao cấp 1

58

Bài giảng Toán Cao cấp 1

2

2
i

e


n-2



SSE
n-2

Nguyễn Văn Tiến

10


29/05/2017

Tính chất của các ước lượng OLS

Sai số chuẩn của các ước lượng OLS

 ;  

ˆ 

Sai số chuẩn của hồi quy: là
độ lệch tiêu chuẩn các giá trị
Y quanh đường hồi quy mẫu

2
i

e

n-2

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

 ;   được xác định một cách duy nhất với n
cặp giá trị quan sát (Xi , Yi)

•

 ;   là các đại lượng ngẫu nhiên, với các mẫu
khác nhau, giá trị của chúng sẽ khác nhau
• Ta đo lường độ chính xác các ước lượng bằng sai
số chuẩn (standard error – se).
•

61

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Tính chất của các ước lượng OLS
 ;  

có phân phối chuẩn.

• B) Kỳ vọng và phương sai của

 

E  1   1

 

E  2   2
Bài giảng Toán Cao cấp 1

bˆ1

 ;  

lần lượt là:

2


x 
1


  2
V  1   
 n
S xx 


2

V  2 
S xx

 

Nguyễn Văn Tiến

62

Sai số chuẩn của các ước lượng OLS

• Ta có:
• A)

là ước lượng điểm của ; tìm được
bằng phương pháp OLS có tính chất:



bˆ2

 

2

x  2

 1 
V b
1
 n S xx 



 



2

 
V b
2
Sxx

 

SSE /  n - 2
SE(bˆ2 ) 
Sxx

V: phương sai

Nguyễn Văn Tiến

SE: UL sai số chuẩn

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Định lý Gauss-Markov

2
SSE  1 x 
.  

n - 2  n Sxx 

SE(bˆ1) 

Nguyễn Văn Tiến

64

Định lý Gauss-Markov
• Một ước lượng được gọi là “ước lượng không chệch
tuyến tính tốt nhất” (BLUE) nếu thỏa các điều kiện:
– Nó là tuyến tính, có nghĩa là một hàm tuyến tính
của một biến ngẫu nhiên,

• Định lý: Với những giả thiết (từ 1 đến 5) của mô

hình hồi quy tuyến tính cổ điển, mô hình hồi quy
tuyến tính theo phương pháp bình phương tối
thiểu là ước lượng tuyến tính không chệch tốt
nhất, tức là, chúng là BLUE.

n

bˆ j   kiYi

– Nó không chệch,

i 1

– Nó có phương sai nhỏ nhất, hay còn gọi là ước
lượng hiệu quả (efficient estimator).
E ( bˆ )  b
var( bˆ ) min

j

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

65

Bài giảng Toán Cao cấp 1

j

j

Nguyễn Văn Tiến

66

11


29/05/2017

Phân phối của các ước lượng OLS

Phân phối của các ước lượng OLS

• Ta có:

• Tương tự ta có:





  2
 2 



  Z 2  2
 2 ~ N   2 ;
 N 0;1


S xx 
2



S xx



SSE

2

  n  2 


2




t 
2

2   2

Z2
SSE
/ n  2 
2

~ t n  2 

t 
1

~ t n  2 

SSE / n  2 

1   1
2 


x 
SSE  1

.  

n  2   n S xx 





~ t n  2 

S xx
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Khoảng tin cậy của hệ số hồi quy b1 , b2
Bài toán: Tìm khoảng ( − ;

Khoảng tin cậy của hệ số hồi quy b1
Khoảng tin cậy của hệ số b1

+ ) sao cho

xác suất của khoảng ( − ;
trị thực của bi là 1 - a hay:

+ ) chứa giá





1

 1 ;  1  1



1  t  /2 n  2  .

 i  ta /2  n - 2  .SE b i

 

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

69

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Khoảng tin cậy của hệ số b2
2

 2 ;  2  2

Bài giảng Toán Cao cấp 1

SSE

Nguyễn Văn Tiến

70

( − ; + ): là khoảng tin cậy
i : độ chính xác của ước lượng
1 - a: hệ số tin cậy,
a với (0 < a < 1): là mức ý nghĩa.
ta/2(n-2): giá trị tới hạn (tìm bằng cách tra bảng số
t-student)
• n: số quan sát
• Ví dụ: nếu a = 0,05 = 5%, ta đọc “xác suất để khoảng
tin cậy chứa giá trị thực của b1 , b2 là 95%.



n  2 



•
•
•
•
•

Trong đó:

2  t  /2 n  2  .

2 


x 
SSE  1

.  
n  2   n S xx 



Khoảng tin cậy của hệ số hồi quy b1 , b2

Khoảng tin cậy của hệ số hồi quy b2





Trong đó:

 -  b  b
  1-a
Pb
i
i
i
i

i
Với:

Nguyễn Văn Tiến

.

1
S xx

Nguyễn Văn Tiến

71

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

72

12


29/05/2017

Khoảng tin cậy của hệ số hồi quy σ2

Khoảng tin cậy của hệ số hồi quy σ2

• Phân phối xác suất của SSE:

• Khoảng tin cậy của phương sai sai số tổng thể:

SSE

2

~  2  n - 2

 SSE

SSE
; 2
 2


n
2

n
2
 1-a /2   
 a /2 

SSE


P  12-a /2  n - 2  2  a2/2  n - 2   1 - a




 SSE

SSE
 P  2
2  2
  1-a

n
2

n
2

 
1-a /2 
 a /2 
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Ví dụ

Ví dụ
Thu thập số liệu về điểm học tập của học sinh và
mức thu nhập hàng năm của bố mẹ ta có bảng số
liệu sau:

• Tìm khoảng ước lượng cho các hệ số hồi quy
với độ tin cậy 95%
• Với mức ý nghĩa 5% có thể kết luận thu nhập
của bố mẹ có ảnh hưởng đến kết quả học tập
của con cái không
• Tính SSE, SST

Xi 45 60 30
90 75 45 105 60
Yi 8,75 7,5 6,25 8,75 7,5 5,0 9,5 6,5

Hãy tìm hàm hồi quy mẫu và tính các đặc trưng
của nó
Xi: thu nhập (triệu/năm)
Yi: điểm trung bình
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

75

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT
•

•

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT
1. Kiểm định giả thuyết về hệ số hồi quy

Do ei theo phân phối chuẩn, các ước lượng
OLS của b1 và b2 cũng theo phân phối chuẩn vì
chúng là các hàm số tuyến tính của ei.
Chúng ta có thể áp dụng các kiểm định t, F, và
2 để kiểm định các giả thuyết về các ước
lượng OLS.

Hai phía:

H 0 : b i  b i*
H1 : b i  b i*

Phía phải:

H 0 : bi  bi*
H1 : b i  b i*

Phía trái:

H 0 : bi  b i*
H1 : b i  bi*

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

77

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

78

13


29/05/2017

Kiểm định giả thuyết về hệ số hồi quy

Kiểm định giả thuyết về hệ số hồi quy

H 0 : b i  b i* ; H 1 : b i  b i*

f(t)

Cách 1: Phương pháp giá trị tới hạn
Bước 1: Tính t
bˆ i - b i*

t 

SE ( bˆ i )

Bước 2: Tra bảng t-student để có
Bước 3: Quy tắc quyết định

ta / 2  n - 2 

Nếu

t  ta /2  n - 2 

bác bỏ H0.

Nếu

t  ta /2  n - 2 

chấp nhận H0.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

1-a
a/2
Miền bác bỏ Ho

a/2

1

2

Nguyễn Văn Tiến

Bước 2: Tính

3

4

80

bi - bi
SE ( bˆ i )

P (T  t i )  p

Bước 3: Quy tắc quyết định
- Nếu p ≤ a: Bác bỏ H0
- Nếu p > a: Chấp nhận H0
Bài giảng Toán Cao cấp 1

81

Kiểm định giả thuyết về hệ số hồi quy

Nguyễn Văn Tiến

82

Kiểm định giả thuyết về hệ số hồi quy

Thực tế
H0 đúng
H0 sai
Quyết định
Không bác Quyết định đúng, Quyết định sai, xác
bỏ
xác suất 1-α suất β (Sai lầm loại 2)

Loại GT
Hai phía
Phía phải
Phía trái

Quyết định sai, Quyết định đúng, xác
xác suất α
suất 1-β
(Sai lầm loại 1)

Nguyễn Văn Tiến

0
t

ti 

Quy tắc quyết định
- Nếu bi*  (bˆi -  i ; bˆi   i ) chấp nhận H0
*
- Nếu bi  (bˆi -  i ; bˆi   i ) bác bỏ H0

Bài giảng Toán Cao cấp 1

t
-1

Cách 3: Phương pháp p-value
Bước 1: Tính
*
ˆ

với mức ý nghĩa a trùng với mức ý nghĩa
của H0

Bác bỏ

-2

Kiểm định giả thuyết về hệ số hồi quy

i  ta /2  n - 2 .SE(bˆi )

Nguyễn Văn Tiến

-3

Bài giảng Toán Cao cấp 1

79

Cách 2: Phương pháp khoảng tin cậy
Khoảng tin cậy của bi:

Bài giảng Toán Cao cấp 1

a/2
Miền bác bỏ Ho

-t
a/2
-4

Kiểm định giả thuyết về hệ số hồi quy

bi  (bˆi -  i ; bˆi   i )

Miền chấp nhận Ho

83

Bài giảng Toán Cao cấp 1

H0
βi = βi*
βi ≤ βi*
βi ≥ βi*

H1
βi ≠ βi*
βi > βi*

βi < βi*

Miền bác bỏ
|t|>ta/2 (n-2)
t > ta (n-2)
t < -ta (n-2)

Nguyễn Văn Tiến

84

14


29/05/2017

Kiểm định phía trái

Kiểm định phía phải
f(t)

f(t)

H0 : βi ≤ βi*
H1 : βi > βi*

H0 : βi ≥ βi*
H1 : βi < βi*
1-a
1-a

a

a

Miền bác bỏ Ho
t

Miền bác bỏ Ho
-t
a

a
t

0
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

85

Kiểm định sự phù hợp của mô hình
Kiểm định giả thiết H0: R2 = 0
(tương đương H0: β2= 0)
với mức ý nghĩa a hay độ tin cậy 1 - a
Bước 1:
R 2 (n - 2)
Tính
F 
2

1- R

Bài giảng Toán Cao cấp 1

0
t

Nguyễn Văn Tiến

86

Kiểm định sự phù hợp của mô hình
b. Phương pháp p-value
Bước 2: Tính p-value= p (Fa(1,n-2)>F)
Bước 3: Quy tắc quyết định
- Nếu p ≤ a : Bác bỏ H0
- Nếu p > a: Chấp nhận H0

a. Phương pháp giá trị tới hạn
Bước 2: Tra bảng F với mức ý nghĩa a và hai bậc
tự do (1, n-2)
Bước 3: Quy tắc quyết định
- Nếu F > Fa(1,n-2): Bác bỏ H0
- Nếu F ≤ Fa(1,n-2): Chấp nhận H0
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

87

Bài giảng Toán Cao cấp 1

88

DỰ BÁO

Kiểm định sự phù hợp của mô hình
F

Nguyễn Văn Tiến

• Ta cần dự đoán giá trị của biến phụ thuộc Y ứng với
một giá trị cho trước của biến độc lập X, chẳng hạn là
X0.
• Có hai câu hỏi:
• Giá trị thực của Y0 là bao nhiêu
• Giá trị trung bình của Y0 là bao nhiêu

Thống kê F

Miền bác bỏ Ho
Miền chấp nhận Ho

a=0,05
Fa(1,n-2)

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

90

89

15


29/05/2017

DỰ BÁO

DỰ BÁO

• Dựa vào mối quan hệ tuyến tính giữa Y và X thì:

Y0  b 1  b 2 X 0   0

Ước lượng khoảng cho giá trị thực của Y0 với độ
tin cậy 1 −
là:

• Trong đó: Y0 là giá trị thực của Y; X0 là giá trị của X và
0 là sai số ngẫu nhiên.
• Các hệ số 1; 2 được ước lượng từ mẫu. 0 được
ước lượng bằng 0

• Như vậy ước lượng điểm của Y0 là:



Y0  Yˆ0 -  1 ; Yˆ0   1

 1  ta / 2  n - 2  .SE (Yˆ0 - Y0 )



Yˆ0  bˆ1  bˆ 2 X 0

Bài giảng Toán Cao cấp 1



x0 - x
1
SE (Yˆ0 - Y0 )   1  
n
S xx

Nguyễn Văn Tiến

91

Bài giảng Toán Cao cấp 1

DỰ BÁO



2

Nguyễn Văn Tiến

92

Ví dụ 1

Ước lượng khoảng cho giá trị trung bình của Y0 là

E (Y / X 0 )  (Yˆ0 -  2 ; Yˆ 0   2 )
Với:

 2  ta / 2  n - 2  .SE (Yˆ0 )
SE (Yˆ0 )  

1

n



x - x0



a)
b)

c)
d)

2

Tìm đường thẳng hồi quy
Tìm ước lượng 2
Tìm khoảng tin cậy 95% của các hệ số
Tìm khoảng dự đoán 95% tại x=5.

Nguyễn Văn Tiến

93

Bài giảng Toán Cao cấp 1

VÍ DỤ 2

Xi
1
4
2
5
5
7

Nguyễn Văn Tiến

94

VÍ DỤ 2

Theo số liệu quan sát sự biến động của nhu cầu
gạo Y (tấn/tháng) vào đơn giá X (ngàn đồng/kg)

Bài giảng Toán Cao cấp 1

2

S xx

Bài giảng Toán Cao cấp 1

STT
1
2
3
4
5
6

1;

Yi
10
6
9
5
4
2

Nguyễn Văn Tiến

95

a.Hãy lập mô hình hồi quy mẫu biễu diễn mối phụ
thuộc về nhu cầu vào đơn giá gạo
b.Tìm khoảng tin cậy của b1, b2 với a=0,05
c. Hãy xét xem nhu cầu của loại hàng trên có phụ
thuộc vào đơn giá của nó không với a=0,05.
d. Có thể nói rằng nếu giá gạo tăng 1.000đ/kg thì
nhu cầu gạo trung bình giảm 2 tấn/tháng không?
Cho với a=0,05

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

96

16


29/05/2017

VÍ DỤ 2

VÍ DỤ 2
a. Mô hình hồi quy mẫu biễu diễn mối phụ thuộc về nhu
cầu vào đơn giá gạo

e. Hãy kiểm định sự phù hợp của mô hình. Cho
a=0,05.
f. Hãy dự báo nhu cầu trung bình và nhu cầu thực
của loại hàng trên khi đơn giá ở mức 6.000
đồng/kg với độ tin cậy 95%.
g. Hãy viết lại hàm hồi quy nếu nhu cầu gạo được
tính theo đơn vị là tạ và giá có đơn vị là đồng.
h. Tính SST, SSE, SSR, R2

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Stt
1
2
3
4
5
6
sum
97

Xi
1
4
2
5
5
7

24

Yi
10
6
9
5
4
2
36

Bài giảng Toán Cao cấp 1

24
  4;
n
6
X
Y
 i i  111
XY 
n
6

• Ta có: X 

2

36
 6

n
6
2
X
  120  20
X2 
n
6
Y

Syy

2

2
i

i

2

2

2

i

X

2

bˆ 2 

 XY
X

1

2



1 1 1 / 6 - 4 .6
 - 1, 3 7 5
4

- n X .Y
2

- nX



1 1 1 - 6 .4 .6
 - 1, 3 7 5
1 2 0 - 6 .4 2
Nguyễn Văn Tiến

VÍ DỤ 2
Như vậy, mô hình hồi quy mẫu

ta tính như sau:
x 2 .y  x .xy

1 
2
x2  x



Yˆi  11,5 - 1,375 . X i
=> X và Y có quan hệ nghịch biến
*bˆ = 11,5: nhu cầu tối đa là 11,5 tấn/tháng
1

*

• Hoặc đơn giản hơn:

bˆ1  Y - bˆ2 X  6 - (-1,375).4  11.5

Bài giảng Toán Cao cấp 1

 

- X

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Ví dụ 2

• Hệ số

2

• Chú ý sinh viên có thể tính bằng CT sau:

2

Nguyễn Văn Tiến

X Y - X .Y

bˆ 2 

i

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Yˆi  bˆ1  bˆ 2 X i

• Ta có:

X - X  20 - 4  4
Sxx

98

• Giả sử mô hình hồi quy mẫu dạng:

2

2

Yi^2
100
36
81
25
16
4
262

Ví dụ 2
Yi

 
  X - X   X - n X   120 - 6.4  24
 Y -Y   Y - nY   262 - 6.6  46
2

Xi^2
1
16
4
25
25
49
120

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 2
Xi

XiYi
10
24
18
25
20
14
111

Nguyễn Văn Tiến

bˆ

2

= -1,375: khi giá tăng 1000 đồng/kg thì nhu cầu

trung bình sẽ giảm 1,375 tấn/tháng với điều kiện
các yếu tố khác trên thị trường không đổi.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

102

17


29/05/2017

Ví dụ 2b

Chú ý 1
• Để thuận tiện sinh viên có thể sử dụng công thức sau:

• Tìm khoảng tin cậy của b1, b2 với a=0,05
• Ta có:

2

2


SSE  1 x 
ˆ
ˆ
b1 - 1  b1  b1  1; 1  ta /2  n - 2 .
. 
 n - 2  n Sxx 





SSE 1

bˆ2 -  2  b2  bˆ2   2 ;  2  ta /2  n - 2 .
.
 n - 2 Sxx
Bài giảng Toán Cao cấp 1

2

 
 
 Y -Y   Y - nY 
  X - X Y -Y   XY - nX.Y

Sxx   Xi - X  Xi2 - n X ;

Nguyễn Văn Tiến

Syy
Sxy

b2 

2

i

i

i

Sxy

SST  Syy

Sxx

 .S
SSR  b
2
xx
2

SSE  SST - SSR

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Chú ý 2

Ví dụ 2b

• Để thuận tiện sinh viên có thể sử dụng công thức sau:

R2 

SSR  2 Sxx
 b2 .
SST
Syy

   .
SE b
1

 

2
i

X

nSxx

SSE SST - SSR  2


n-2
n-2

1  ta/2  n - 2 .SE b
1

 

1
SE b2   .
2  ta/2  n - 2 .SE b2
Sxx

 

 

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Ta có:
SST   Yi - Y





SSR  b2

i

 

2
i

X

nSxx



 X

 S yy  46

-X



2

 b2 S xx   -1,375 .24  45,375
2

2

SSE
0,625

 0,395285
n-2
4
SSR 45,375
R2 

 0,986413
SST
46
t0,025  4  2,776

ˆ 

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 2b – cách cũ

0,625 120
 0,360844
4 6.24

• Do đó:
1  2,776.

  2,776*0,360844 1,001703
1  ta/2  n - 2 .SE b
1

 

   . 1  0,625 1  0,080687
SE b
2
Sxx
4 24

 

2  ta /2  n - 2 .SE b2  2,776*0,080687  0,223988

 

Bài giảng Toán Cao cấp 1

2

2

SSE  SST - SSR  0,625

Chú ý 2
• Vậy:

   .
SE b
1

2

2

i

Nguyễn Văn Tiến

 2  2,776.

• Vậy:

0,625  1 42 
.    1,001702717

4  6 24 
0,625 1
.  0,2239875369
4 24

11,5 -1,0017  b1  11,5  1,0017
-1,375 - 0,22399  b2  -1,375  0,22399

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

18


29/05/2017

Ví dụ 2c

Ví dụ 2c

• Hãy xét xem nhu cầu của loại hàng trên có phụ
thuộc vào đơn giá của nó không với a=0,05.
• Bài toán kiểm định:
H 0 : b2  0

 H 1: b 2  0

• Giá trị quan sát::

t qs 

• Miền bác bỏ:

Wa  t : t  t0,025  4   2, 776

• Tiêu chuẩn kiểm định:

t

bˆ2 - b 2*
~ t n - 2
SE ( bˆ2 )

Bài giảng Toán Cao cấp 1

-1,375 - 0
 -17, 0379
0, 0806

Nguyễn Văn Tiến

• Do t qs  Wa nên bác bỏ H0, chấp nhận H1.
• Nhu cầu trung bình có phụ thuộc vào đơn giá
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 2c, e
• Sử dụng kiểm định F để kiểm định hệ số R2

• Bài toán kiểm định:

Ví dụ 2c
• Giá trị quan sát::

Fqs 

2

 H 0 : R  0

2
 H 1: R  0

(6 - 2)0,986413
 290,3991
(1 - 0,986413)

• Miền bác bỏ:

• Tiêu chuẩn kiểm định:

Wa  F : F  F0,05 1; 4   7, 71

2

F

Bài giảng Toán Cao cấp 1

( n - 2) R
~ F 1; n - 2 
(1 - R 2 )

Nguyễn Văn Tiến

• Do Fqs  Wa nên bác bỏ H0, chấp nhận H1.
• Nhu cầu trung bình có phụ thuộc vào đơn giá
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 2d,f,g

Ví dụ 2f

• d. Có thể nói rằng nếu giá gạo tăng 1.000đ/kg
thì nhu cầu gạo trung bình giảm 2 tấn/tháng
không? Cho với a=0,05
• f. Hãy dự báo nhu cầu trung bình và nhu cầu
thực của loại hàng trên khi đơn giá ở mức 6.000
đồng/kg với độ tin cậy 95%.
• g. Hãy viết lại hàm hồi quy nếu nhu cầu gạo
được tính theo đơn vị là tạ và giá có đơn vị là
đồng.

• Ước lượng điểm của nhu cầu khi giá gạo là
X0=6000

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Yˆ0  11, 5 - 1, 375.6  3, 25
• Dự báo giá trị trung bình của Y0:

E (Y / X  6)  Yˆ0  ta /2  n - 2  .SE (Yˆ0 )
• Với:
SE (Yˆ0 )  



x - x0
1

n
S xx

Bài giảng Toán Cao cấp 1



2

2



0, 625 1  4 - 6 
.


 0, 228218
4
6
24
Nguyễn Văn Tiến

19


29/05/2017

Ví dụ 2f

Ví dụ 2f
• Dự báo giá trị thực của Y0:

• Vậy ta có:

Y0  Yˆ0  ta /2  n - 2  .SE (Y0 - Yˆ0 )

ta / 2  n - 2  .SE (Yˆ0 )  2, 776 * 0, 228218  0, 633532

• Với:

• Do đó:

E Y X 0    3, 25 - 0, 6335; 3, 25  0, 6335 
E Y X 0    2, 6165; 3,8835 
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến



x - x0
1
SE (Y0 - Yˆ0 )   1  
n
S xx

ta / 2  n - 2  .SE (Y0 - Yˆ0 )  2, 776 * 0, 456435  1, 267065

• Do đó: Y0   3, 25 - 1, 2671; 3, 25  1, 2671

Y0  1, 9829; 4, 5171
• Vậy, khi đơn giá là 6.000 đồng/kg ở một tháng
nào đó thì nhu cầu sẽ dao động từ 2-4,5 tấn.
Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Cho số liệu chi tiêu
tiêu
dùng
Y
(USD/tuần) và thu
nhập hàng tuần X

(USD/tuần) của 10 hộ
gia đình. Giả sử X và Y
có quan hệ tuyến tính
trong đó Y là biến phụ
thuộc
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Ví dụ 3

Yi
70
65
90
95
110
115
120
140
155
150

Xi
80
100
120
140
160
180
200
220

240
260

Nguyễn Văn Tiến

VÍ DỤ 2

1. Viết hàm hồi quy Y theo X. Ý nghĩa các hệ số hồi
quy
2. Tính khoảng tin cậy của 2. Ý nghĩa của khoảng tin
cậy này là gì? Cho độ tin cậy 95%.
3. Nếu thu nhập của hộ gia đình tăng 1 USD/tuần thì
chi tiêu trung bình của hộ gia đình có tăng 0.7
USD/tuần không? Cho mức ý nghĩa 5%.
4. Mô hình có phù hợp không? Cho mức ý nghĩa 1%.
5. Dự báo chi tiêu và chi tiêu trung bình của hộ gia
đình khi thu nhập là 300 USD/tuần. Cho mức ý
nghĩa 5% và X trung bình là 170 USD/tuần.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

0, 625
1 4 - 6
. 1 
 0, 456435
4
6
24

Ví dụ 3

• Vậy ta có:

t 0 ,025  8   2, 306

2

2

SE (Y0 - Yˆ0 ) 

Ví dụ 2f

Bài giảng Toán Cao cấp 1



Chạy số liệu trên Eviews, ta có kết quả sau

F0 ,01 (1, 8)  11, 26
Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

120

20

29/05/2017

Ví dụ 3
• Tính toán các giá trị có thể và kiểm tra với kết
quả chạy phần mềm ở trên.

Yˆi  24 , 4545  0 ,5091 X i R 2  0,9621
df  8
se  ( 6 , 4138 )( 0 , 0357 )
F (1,8)  202,87
p  (0,0000)

t  ( 3,813 )(14 , 243 )
p  ( 0 , 005 )( 0 , 000 )

tj 
Bài giảng Toán Cao cấp 1

bˆ j
se ( bˆ j )
Nguyễn Văn Tiến

21