Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 0 - Nguyễn Văn Tiến

03/04/2017

Định nghĩa hàm một biến

CHƯƠNG 0

HÀM SỐ, GIỚI HẠN,
LIÊN TỤC
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Cho D, E là tập con của tập số thực R. Hàm số f là
một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x trong
tập D với duy nhất một phần tử f(x) trong tập E.

D: miền xác định (domain)
E: miền giá trị (range)
x: biến độc lập (independent variable)
f(x): biến phụ thuộc (dependent variable)

E

1

f 1
f a 

a

Bài giảng Toán cao cấp 1

Định nghĩa hàm một biến
•
•
•
•

f

D

Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm số
• Cho hàm số: f : D  E
• Đồ thị của hàm f là tập hợp tất cả các điểm (x,y)
thỏa y=f(x) với xD.
• Ký hiệu đồ thị hàm f là G(f). Ta có:

G f  

x, f x  x  D 

• Biểu diễn tập G(f) lên mặt phẳng Oxy ta được
một đường (cong hoặc thẳng), đường này gọi là
đồ thị của hàm số f.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Đồ thị hàm số
• Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số
y

y=2x+x2
range
 mgt

f 2 

Nguyễn Văn Tiến

y  f x 

f 2 

x

0
domain  mxd
2
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

1


03/04/2017

Tiêu chuẩn đường thẳng đứng
• Đường cong trong mặt phẳng Oxy là đồ thị của
hàm f khi và chỉ khi không có đường thẳng
đứng nào cắt đường cong nhiều hơn một điểm.
• Chú ý: đường thẳng đứng trong Oxy có dạng:
x=a

Ví dụ

x a

y

x

0

Đây là đồ thị của hàm một biến
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ
y

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Hàm xác định từng khúc


• Được định nghĩa khác nhau trên mỗi tập con
khác nhau của miền xác định.
Ví dụ 1: Hàm giá trị tuyệt đối

x
f x   x  


x



x

0

Nguyễn Văn Tiến

Hàm xác định từng khúc
y  x

y

,x  0

 mxd  ???

Ví dụ 2:

Đây không phải là đồ thị của hàm một biến
Bài giảng Toán cao cấp 1

,x  0


1  x , x  1
f x   
 mxd  ???
 2

x
,x  1




Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Hàm xác định từng khúc

yx

y

y  x2

f 0   1


1  x , x  1
f x   
 2

x
,x  1




f 1  0

f 2   4

f 0   0

0

Bài giảng Toán cao cấp 1


x
f x   


x



x

1

0

,x  0
,x  0

Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị f(x) có màu đỏ.
Bài giảng Toán cao cấp 1

1

x

y  1 x
Nguyễn Văn Tiến

2


03/04/2017

Tính đối xứng

Ví dụ

• Hàm số chẵn: f là hàm chẵn trên miền D nếu:

x  D  x  D và f x   f x 
• Hàm số lẻ: f là hàm lẻ trên miền D nếu:

x  D  x  D và f x   f x 

• Hàm số sau đây là chẵn, lẻ hay không chẵn
không lẻ?
a ) f x   x 5  x

b ) g x   1  x 4

c ) h x   x  x 2
• Giải:

d ) k x  

3x

f x   x   x   x 5  x   f x 
5

• Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy là trục đối xứng.
• Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O là tâm đối
xứng.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Vậy hàm f(x) là hàm lẻ.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Ví dụ

b) Ta có:
4
g x   1  x   1  x 4  g x 
Vậy g là hàm chẵn.
c)
h x   x  x 2



D  ; 3 




h x   x  x   x  x 2
2

h x   h x 

d) Tập xác định:

h x   h x 

Vì:  4  D  ; 3  m à 4  D

Nên hàm số đã cho có tập xác định không đối
xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.

Vậy hàm h không chẵn, không lẻ.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Hàm số tăng, giảm

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

y

• Hàm số f tăng trên khoảng I nếu:

y  f x 

x 1  x 2  f x 1   f x 2 , x 1, x 2  I

Hàm số đã cho
tăng trên đoạn
[a;b] và giảm trên
đoạn [c;d]

• Hàm số f giảm trên khoảng I nếu:

x 1  x 2  f x 1   f x 2  , x 1, x 2  I
• Đồ thị hàm số tăng đi lên từ trái sang phải.
• Đồ thị hàm số giảm đi xuống từ trái sang phải.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

a0

b

Bài giảng Toán cao cấp 1

c

d

x

Nguyễn Văn Tiến

3


03/04/2017

Hàm số ngược

Ví dụ

• Định nghĩa hàm 1-1: Hàm số f gọi là hàm 1-1
nếu nó không nhận cùng một giá trị nào đó 2
lần trở lên. Nghĩa là:

• Hàm f là hàm 1-1; hàm g không là hàm 1-1.

f x 1   f x 2 ,  x 1  x 2

1

• Tiêu chuẩn đường nằm ngang: Hàm f là hàm 11 khi và chỉ khi không có đường thẳng nằm
ngang nào cắt đồ thị của nó tại nhiều hơn một
điểm.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

5
4

6

x 1  x 2  x 13  x 23  f x 1   f x 2 

• Theo định nghĩa f là hàm 1-1.

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

hàm

x , x
1

Bài giảng Toán cao cấp 1

2

  0;  


y

số

x
0

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Hàm số: g(x)=x2 có phải hàm 1-1?
• Đáp số:
Vì 1-1 nhưng g(1)=1=g(-1) nên hàm đã cho
không là hàm 1-1.
Tuy nhiên xét riêng trên miền [0, +) thì hàm g là
hàm 1-1.
Vì: x  x  x 2  x 2  g x   g x 
2

g

Nguyễn Văn Tiến

• Ta thấy mọi đường
nằm ngang chỉ cắt
đồ thị tại một điểm
duy nhất. Không có
đường nào cắt
nhiều hơn một
điểm. Vậy f là hàm

1-1.

Ví dụ

1

8

f

Bài giảng Toán cao cấp 1

• Đồ thị
f(x)=x3

f x   x 3

2

4

Ví dụ

• Hàm số sau có là hàm 1-1?

1

15

3

2

Ví dụ

• Ta có:

2

21

3

3

1

10



1

• Xét trên toàn
trục số g
không là 1-1.
• Xét trên miền
[0; +) hàm g
là 1-1.

0

2

Nguyễn Văn Tiến

y

Bài giảng Toán cao cấp 1

x

Nguyễn Văn Tiến

4


03/04/2017

Hàm số ngược

Ví dụ

Định nghĩa:
• Cho f là hàm 1-1, có miền xác định A và miền
giá trị B.
• Hàm ngược của hàm f kí hiệu là f -1, có miền xác
định B, miền giá trị A.
• Được xác định theo hệ thức sau:
f

1

y   x

 f x   y ,

• Hàm số ngược của hàm f.
10
1
1
21
2
2
5
3
3
4

y  B

Bài giảng Toán cao cấp 1

f  1 10   1
Nguyễn Văn Tiến

• Hàm ngược của hàm:

f x   x 3
• Là:

f 1 x   x 1/3  3 x

• Vì:

f y   f x 1/3  x 1/3

y  f 1 x   f y   x

Nguyễn Văn Tiến

   

x

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ
• Tìm hàm ngược của hàm:

y  f x 

2. Giải phương trình trên tìm x theo y (nếu
được).
3. Hoán đổi x và y. Ta có kết quả:

• Giải:

y  x3 2  x3  y 2  x  3 y 2
• Hoán đổi:

x 

f x   x 3  2

y  3 x 2



• Vậy hàm ngược: y  f 1 x 
Bài giảng Toán cao cấp 1

3

Bài giảng Toán cao cấp 1

Cách tìm hàm ngược

yf

6

f 1

Ví dụ

• Miền xác định của f -1 = miền giá trị của f.
• Miền giá trị của f -1 = miền xác định của f.
• Ta thường ký hiệu y là biến phụ thuộc và x là
biến độc lập nên hàm số ngược thường viết

dạng:

1

5

Bài giảng Toán cao cấp 1

Chú ý

1. Viết:

21

4

f 1  10
Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

6

f

10

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

3

x 2
Nguyễn Văn Tiến

5


03/04/2017

Ví dụ

Chú ý

• Tìm hàm ngược của:

g x   x 2, 0  x  

• Từ định nghĩa ta có:



y  x , 0  x    x  y  x   y
2

ii )

2

• Hoán đổi:

Vậy hàm ngược:
g 1 x   x 0  x  

y x  x
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến


f  f x   x ,

i ) f 1 f x   x ,

• Chú ý: trên miền đã cho g là hàm 1-1 nên có hàm
ngược.
• Ta có:

1

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Các phép toán hàm số
Đồ thị hàm ngược
f-1 đối xứng với
hàm f qua đường
thẳng y=x (phân

giác góc phần tư
thứ nhất)

• Cho hai hàm số f, g có miền xác định là A, B. Khi đó:
• Tổng và hiệu của f và g:

 f  g x   f x   g x ,

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

mxd : A  B

• Tích của f và g:

 f .g x   f x .g x ;
• Thương của f và g:
 f 
f x 
  x  
g x 
 g 

mxd : A  B





mxd : x  A  B g x   0

Bài giảng Toán cao cấp 1

Hàm số hợp
• Thỏa:

x  B

• Đồ thị hàm ngược f-1 đối xứng với hàm f qua
đường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứ
nhất)

Đồ thị

• Cho hai hàm:
f :X  R

x  A

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ
• Cho

g :Y  R

g Y   X

g x   x  3;

f x   x 2

• Ta có:

• Khi đó tồn tại hàm hợp:  fog   h
• Ta có:
fog : X  Z



 
g f x   g  f x   g x   x

fo g x   f g x   f x  3  x  3
2

o

2

2

3



h x    fog x   f g x 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

6


03/04/2017

Ví dụ

Giải
• Ta có:

• Cho hai hàm số:



f x   x  mxd : A   0;  


f x   x ; g x   2  x
• Xác định và chỉ ra miền xác định của các hàm
sau:

a ) f  g; f  g; fg ;

f
g

b) fog; go f ; fo f ; gog
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến



g x   2  x  mxd : B  ;2


• Vậy:

 f  g x  

x  2x

mxd : A  B   0;2

 f  g x  

x  2x

mxd : A  B   0;2

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Giải

Giải

• Vậy:

 fg x  
 f 
  x  
 g 

mxd : A  B   0;2

x. 2x

x

2x
mxd : A  B \ x g x   0   0;2 \ 2   0;2





 f g x   f g x   f 
0



2x 



 mxd : ; 2


2 x  4 2x

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

g f x   g  f x   g 



x  0
DK : 
 0  x  4  mxd : 0; 4
2  x  0




 f f x   f  f x   f 
0

0



x  4x

x 



mxd : 0;  


Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Giải
g g x   g g x   g 



x  2 x

0



2x  2



2x



2  x  0


x  2

DK : 

 2  x  2



2

2

x

0

2  x  4



 mxd : 2; 2

• Cho hàm số:

F x   cos2 x  9

• Tìm các hàm f, g, h sao cho: F  f0g 0h
• Đặt:
h x   x  9,

• Khi đó:

g x   cos x,





f x   x 2

f0g 0h x   f0g h x   f0g x  9









 f g x  9  f cos x  9

2

 cos x  9  cos2 x  9  F x 


Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

7


03/04/2017

Hàm tuyến tính

CÁC LOẠI
HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Ta nói y là hàm tuyến tính của x nếu:

y  ax  b

• Đồ thị hàm y là một đường thẳng cắt trục tung
tại điểm có tung độ b, hệ số góc là a.

Bài giảng Toán cao cấp 1

Đa thức

Hàm hữu tỷ

• Hàm P gọi là một đa thức nếu:

P x   an x  an 1x
n

n 1

• Dạng:

f x  

2

 ...  a2x  a1x  a 0

n  

Bài giảng Toán cao cấp 1

f x  
Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1





; mxd : x  R x  3

Nguyễn Văn Tiến

• Dạng:

y  x ,

  ,   0

• >0 : hàm số tăng.
• <0 : hàm số giảm
• Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1,1) và đi
qua gốc (0,0) và không qua gốc nếu <0 .

f x   x 2  2x  5
x 1

x 5  3x 2  1
x2  9

Hàm lũy thừa

• Sử dụng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia,
lấy căn các hàm đa thức ta được hàm đại số.
• Ví dụ:

x  2x  3

Q x 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Hàm đại số

g x  

P x 

• Trong đó P, Q là các đa thức.
• Miền xác định: là tập các giá trị x thỏa Q(x) 0.
• Ví dụ:

• a0,a1, …, an: hệ số của đa thức
• n: bậc của đa thức (an0)
• Miền xác định: D=R

2

Nguyễn Văn Tiến

 x  2 x 3  4x

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

8


03/04/2017

Hàm lũy thừa

Hàm số mũ

• Miền xác định: tùy thuộc vào số mũ 

• Dạng:

Miền xác định

Giá trị của 



•
•
•
•
•


 *   \ 0

Z

Q


 0;  


  0;  


 hay  \ 

 *

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

y  a x ,(a  0, a  1)

Miền xác định: D=R .
Miền giá trị: (0; +) .
Nếu a>1: hàm số tăng.
Nếu 0Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0,1), nằm

phía trên và tiệm cận với trục hoành.

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm số 2x và (1/3)x

Hàm số mũ
• Tính chất:

i 
ii 

a x y  a x .a y
ax
1
 a x  x
ay
a
 a x .y

a x y 

iii  a 
iv  a.b   a .b
v  a  a , m, n  N ; n  0
x

y

x

m
n

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Hàm logarit cơ số a
• Dạng:

y  loga x ,

Bài giảng Toán cao cấp 1

x

n

x

m

Nguyễn Văn Tiến

Logarit là hàm ngược của hàm mũ

a  0, a  1

• Miền xác định D= (0; +), miền giá trị: R
• Là hàm số ngược của hàm số mũ y=ax.

y  loga x  x  a y
• Logarit với cơ số e (e≈2.71828) gọi là logarit cơ số tự
nhiên.

loge x  ln x

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

9


03/04/2017

Đồ thị log2x và log1/3 x

Hàm logarit
• Tính chất:

i 
ii 

iii 
iv 
v 

Hàm số tăng nếu a>1
và giảm nếu 0
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

loga (x .y )  loga x  loga y
x
 loga x  loga y
y
loga (x  )   loga x
loga

x a

loga c  loga b. logb c

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Hàm logarit

Hàm lượng giác
• 1. Hàm sin, cos:

• Tính giá trị sau:
a ) log2 80  log2 5  ?

b) log2 10. log10 4

• Giải:

 80 
a ) log2 80  log2 5  log2    log2 16  log2 24  4
 5 

 

y  sin x ; y  cos x
• Tập xác định R,
• Tập giá trị là [-1, 1]
• Tuần hoàn với chu kỳ 2π.

sin x  k 2  sin x ,

b) log2 10.log10 4  log2 101/2.log10 4


loga x

cos x  k 2  cos x,

1
1

log2 10. log10 4  log2 4  1
2
2

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Hàm lượng giác

k Z
Nguyễn Văn Tiến

Hàm lượng giác

• Đồ thị hàm
sin x và cosx
trên [-2;
2]

• 2. Hàm tan:

y  tan x
•
•
•
•



Điều kiện xác định: x   k 
2
Tập giá trị là R.


Tăng trên các khoảng: (  k ,  k )
2
2
Tuần hoàn với chu kỳ π.

tan x  k    tan x,
Bài giảng Toán cao cấp 1

k Z

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

k Z
Nguyễn Văn Tiến

10


03/04/2017

Đồ thị hàm tan(x)

4. Hàm lượng giác
• 3. Hàm cot:

y  cot x
•
•
•
•

Điều kiện xác định: x  k
Tập giá trị là R.
Tăng trên các khoảng: (k ,   k )
Tuần hoàn với chu kỳ π.

cot x  k    cot x ,
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Quan hệ hàm lượng giác
sin2 x  cos2 x  1

iii) cot x 

cos x
sin x

v ) 1  tan2 x 

Nguyễn Văn Tiến

Hàm arcsinx
• Đồ thị hàm sinx trên [-; ]

• Ta hay dùng công thức sau:
i)

k Z

ii) tan x 

sin x
cos x

iv ) tan x . cot x  1
1
cos2 x

vi ) 1  cot2 x 

1
sin2 x

• Sinh viên tự ôn lại các kiến thức lượng giác.
• Đồ thị y=sinx trên [-/2; /2]
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Hàm lượng giác ngược
1. Hàm arcsin: (đọc là ác – sin) hay

Hàm arcsinx

sin-1

• Đồ thị hàm arcsin x:

1

y  arcsin x  sin x

Tập xác định: [-1,1].
Tập giá trị: [-/2; /2]
Là hàm lẻ, tăng.

Là hàm ngược của hàm y=sin(x)
 

y  arcsin x  x  sin y   y  
 2
2 
  
Tập xác định: [-1,1]. Tập giá trị:  , 
 2 2



Là hàm lẻ, tăng.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

11


03/04/2017

Đồ thị hàm sin(x) và arcsin(x)

Ví dụ
• Tính:
1
a )sin1  
 2 
• Giải:


1
b) tan arcsin 

3 


1 
  1
    
sin1    vì sin    và
  ;
 6  2
 2  6
6  2 2 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Ví dụ

Ví dụ



• Tính: b) tan arcsin 1 


3 

• Tìm

   
a )sin1 sin  
  6 

• Đặt:
x  arcsin

1
1


 sin x  và   x 
3
3
2
2

• Vậy:

Nguyễn Văn Tiến





c) sin sin1 2

    
    
  ;  sin1 sin   

  6  6
6  2 2 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Hàm lượng giác ngược

Ví dụ

2. Hàm arccos: (đọc là ác – cô sin) hay cos-1

• Ta có:
  7  7
7    
  ;  sin1 sin   


6
6
  6 
 2 2
• Tính trực tiếp:
  7 
 1  
sin1 sin    sin1   
 2 
  6 
6

 
    
vì sin   và
  ;
 6 
 2 2
6



Bài giảng Toán cao cấp 1

  7 
b)sin1 sin  
  6 

• Giải:
a)


1
1
tan arcsin   tan x 

3 
2 2
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

y  arccos x  cos1 x
Là hàm ngược của hàm y=cos(x)

y  arccos x  x  cos y, 0  y  
Tập xác định: [-1,1]. Tập giá trị: [0; ]
Là hàm giảm.

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

12


03/04/2017

Hàm arccos x

Hàm arccos(x) và cos(x)

y=cosx trên miền [0; 2]

y=cosx trên miền [0; 2]
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Hàm lượng giác ngược

Ví dụ

3. Hàm arctan: (đọc là ác – tang)

• Đơn giản biểu thức:

y  arctan x  tan1 x

Là hàm lẻ, tăng.
Tập xác định: R.
Tập giá trị:  / 2;  / 2
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

 

y  tan1 x  x  tan y,   y  
 2
2 
1
1
1  tan2 y 
 cos2 y 
cos2 y
1  tan2 y
1

1
 cos y  

2
1  tan y
1  x2
Bài giảng Toán cao cấp 1

Hàm lượng giác ngược

Nguyễn Văn Tiến

Hàm siêu việt

4. Hàm arccot: (đọc là ác – cô tang)

y  arccot x  cot1 x
Là hàm ngược của hàm y=cot(x)

y  arccot x  x  cot y, 0  y   

Bài giảng Toán cao cấp 1



• Ta có:

 

y  arctan x  x  tan y,   y  

 2
2 

Tập giá trị:



cos tan1 x

Là hàm ngược của hàm y=tan(x)

Tập xác định: R.
Là hàm giảm.

Nguyễn Văn Tiến

• Các hàm không phải hàm đại số gọi là hàm siêu
việt.
• Các hàm siêu việt đã biết: hàm lượng giác, hàm
lượng giác ngược, hàm mũ, hàm logarit.

0, 

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

13

03/04/2017

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Một số hàm trong phân tích Kinh tế
•
•
•
•
•
•

Hàm sản xuất: Q=Q(L)
Hàm doanh thu: R=R(Q)
Hàm chi phí: C=C(Q)
Hàm lợi nhuận: π= π(Q)=R(Q)-C(Q)
Hàm cung: Qs=S(p), tăng theo p
Hàm cầu: Qd=D(p), giảm theo p

•
•
•
•
•
•
•

Giới hạn dãy số

Giới hạn hàm số
Tính chất
Công thức giới hạn cơ bản
Vô cùng lớn
Vô cùng bé
Ngắt bỏ vô cùng bé tương đương

• Ghi chú: L là lao động; Q là sản lượng; p là giá
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Dãy số

Dãy số

• Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự
nhiên khác 0.
u : N*  R

• Cho dãy số:

n 1
2n  1

• Ta có:

n  u n 

u1 

• Ta thường ký hiệu dãy số là (un).
• un gọi là số hạng thứ n của dãy.

u n  

11
4
 2; u2  1; u3  ;...
2.1  1
5

• Hỏi:
u100  ? u999  ?

u9999999  ?

• Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu?
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Dãy số
• 10 giá trị đầu của dãy:

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

un
2
1
0.8
0.714285714
0.666666667
0.636363636
0.615384615
0.6
0.588235294
0.578947368

Bài giảng Toán cao cấp 1

Dãy số

• Các giá trị tiếp theo:
100

101

un
0.507537688
0.507462687

9999
10000

0.500075011
0.500075004

10000000
100000000
1000000000

0.500000075
0.500000008
0.500000001

n

10^ 9

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

• Nhận xét:

u n  

n 1
2n  1

• Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0.5.
• Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0.5
càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 109).
• Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng
n lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn.
• Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

14


03/04/2017

Định nghĩa giới hạn dãy số
• Dãy số (un) có giới hạn là a nếu:
• Chênh lệch (un) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn.

Ví dụ
• Chứng minh:
lim

  0, n 0  0 : n  n 0  un  a  .
nhỏ tùy ý

n đủ lớn

n 1
1
 0, 5 
2n  1
2

Chênh lệch

• Ký hiệu:
n 
lim un  a hay un 
a

n 

hay

n 

• Bước 1. Lấy >0
• Bước 2. Lập hiệu: un  a
• Bước 3. Tìm điều kiện của n để: (nếu có)

lim un  a

Bài giảng Toán cao cấp 1

un  a  
Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Ví dụ

• Bước 4. Chọn n0, viết lại dưới dạng định nghĩa
và kết luận.
• Giải.
• Với mọi >0. Ta có:
n 1 1
3
un  a 
 

2n  1 2
2 2n  1
3
3
1
 2n  1 
 n    

2
 4 2 

• Chọn

3
1
n 0    
 2 2 

• Ta có:
3
1
1
  0, n0     : n  n 0  un   
 2 2 
2

Vậy theo định nghĩa:
lim un 

n 
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Ví dụ
lim

Nguyễn Văn Tiến

Hệ quả

• Chứng minh giới hạn sau bằng định nghĩa:
n 

1
2

• Số a không là giới hạn của dãy (un) nếu:
  0, n0  0 : n1  n0 và un  a  .

n
1
n 1

1

• Tồn tại >0 sao cho với mọi n0 đều tồn tại n1>n0
để chênh lệch giữa un1 và a lớn hơn .
• Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cách
giữa dãy (un) và a. Độ chênh lệch giữa (un) và a
không thể nhỏ tùy ý.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

15


03/04/2017

Giới hạn vô cực của dãy số.
• Ta nói dãy (un) tiến đến + khi và chỉ khi:

Giới hạn vô cực của dãy số.
• Ta nói dãy (un) tiến đến - khi và chỉ khi:
A  0, n0  0 : n  n0  un  A.

A  0, n 0  0 : n  n 0  un  A.

• (un) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủ
lớn.
• Ký hiệu:

lim un  

• (un) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủ
lớn.
• Ký hiệu:
lim un  

n 

n 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Tính chất

Tính chất

• 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
• 2. Cho lim un ; lim vn tồn tại hữu hạn. Khi đó:
n 

n 

n 

n 





n 

lim un  lim zn  a

n 
Nguyễn Văn Tiến

n 

 zn

lim v  a

n  n

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ
n  n 
0

• Tìm giới hạn dãy số:
sin n
a)un  2
n 1
• Ta có:
0  un 

a

b)vn 

5n
nn

sin n
1

n2  1 n2  1

0

• Vậy: lim un  0  lim un  0
n 

Bài giảng Toán cao cấp 1

thì

Bài giảng Toán cao cấp 1

Minh họa
vn



• Nếu:

n 

Bài giảng Toán cao cấp 1

un 

n 

un  vn  zn n  n 0 

d ) lim un  lim un 
n 

n 

f ) lim un  0  lim un  0

n 

 u  lim un 
c) lim  n   n
, lim v   0
n   v 
 n  nlim
vn  n n




 lim un n  , lim un  0

• Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa:

n 

b) lim un .vn   lim un . lim vn 

n 

lim vn

vn

n 

n 

a ) lim un  vn   lim un   lim vn 
n 

e) lim un

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

n 

Nguyễn Văn Tiến

16


03/04/2017

Công thức giới hạn
1) lim C  C

n 



2) lim n   
n 
0




  0
  0

Các dạng vô định


0
3) lim q n  

n 






,q 1
,q  1

n


a
5) lim 1    ea
n  
n 


n


1
4) lim 1    e
n  
n 

1
6) lim   0 a  0
n  ln n
ln p n
8) lim   0   0
n  n

n

• Có 7 dạng vô định:
0
;
0


;


  ;

0

• Quy tắc cần nhớ:
ln n  n   a n  n !

,   0;a  1

7) lim n  1, p
n 

np
0
n  e n

9) lim

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Tìm giới hạn dãy số

Ví dụ

• Biến đổi đại số (nhân liên hợp, các hằng đẳng
thức …)
• Chia tử và mẫu cho biểu thức khác 0 (thường
chia cho n hay an…)
• Dùng công thức giới hạn dãy số e.
• Dùng định lý kẹp

Nguyễn Văn Tiến

• Tìm các giới hạn sau:



a ) lim n  n 2  1
n 





1
1
1

b) lim 

 ... 


n  1.2
2.3
n n  1


2
2
2
 1  2  ...  n 

c) lim 

n 
n3


3
 n2

n 
d ) lim 
 2
n  n  1
n  1

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Ví dụ

• Tìm các giới hạn sau:

• Tìm các giới hạn sau:

2n  3n
n  2n  3n
2n 1  3n 1
b) lim n
n  2  3n
5.2n  3.5n 1
c) lim
n  100.2n  2.5n
n
6  5n 1

d ) lim
n 1
n  n
5  6


2 

a ) lim 1 
n  


n  1

3n

a ) lim

Bài giảng Toán cao cấp 1

00 ;

p

Bài giảng Toán cao cấp 1

Bài giảng Toán cao cấp 1

0.; 1 ;

3n 2 1

 n 2  1 

b) lim  2
n   n  5 



Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

17


03/04/2017

Ví dụ

Giới hạn hàm số

• Tìm các giới hạn sau:

• Để có cái nhìn trực
quan về giới hạn
hàm số ta xét ví dụ
sau.
• Cho hàm số:

n sin n
n2  1
arctan n
b) lim
n 
n
sin2 n  cos3 n
c) lim
n 
n

n  1. sin n !
d ) lim
n 
n
a ) lim

n 

f x   x 2  x  2

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Giới hạn hàm số

Giới hạn hàm số

• Bảng giá trị của hàm số khi x gần 2 (nhưng
không bằng 2)
x
f(x)
x
f(x)
• Ta có:
1
1.5
1.75

1.9
1.95
1.99
1.995
1.999

2
2.75
3.3125
3.71
3.8525
3.9701
3.985025
3.997001

3
2.5
2.2
2.1
2.05
2.01
2.005
2.001

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

8
5.75

4.64
4.31
4.1525
4.0301
4.015025
4.003001
Nguyễn Văn Tiến

• Từ bảng giá trị và đồ thị ta thấy. Khi x dần về 2
(cả 2 phía) thì giá trị của f(x) dần về 4. Có nghĩa
là giá trị f(x) có thể gần 4 một cách tùy ý nếu ta
chọn x đủ gần 2.
• Ta nói: Giới hạn của hàm số f(x)=x2-x+4 khi x
dần đến 2 bằng 4.





lim x 2  x  2  4
x 2

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa

Ví dụ





• Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a bằng L
nếu giá trị của f(x) có thể gần L một cách tùy ý
khi lấy giá trị của x đủ gần a nhưng x không
bằng a.
lim f x   L
• Ký hiệu:
x a
• Dạng toán học:

• CMR:

lim f x   L 

• B3. Khi x gần 2. Từ bất phương trình trên giải:

x a

x 2

• B1. Lấy >0 tùy ý.
• B2. Lập hiệu:

f x   4  x 2  x  2  

  0,   0, x  D : 0  x  a    f x   L  
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

lim x 2  x  2  4

x  2  ???
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

18


03/04/2017

Ví dụ

Ví dụ

• B3. Vì x gần 2 nên ta có thể giả sử:
x  1; 3  2  x  1  4
• Ta có:

• B4. Viết lại theo định nghĩa:
  0,  

x 2  x  2  x  2x  1  4 x  2


: 0  x 2    x2 x  2  4  

4





• Kết luận:





lim x 2  x  2  4

• Vậy:

x 2


 4 x 2    x2 x 2  
4

x 2 
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Định nghĩa

• Ta chỉ quan tâm đến giá trị
hàm số f(x) khi x gần a nhưng
xa. Do đó ta không quan
tâm việc hàm số có xác định
tại a hay không.
• Chẳng hạn hàm f(x)=sinx/x
không xác định tại 0. Nhưng
ta có:

x
1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.01
0.005
0.001

sin x
lim
1
x 0
x

Giới hạn bên trái
(sinx)/x
0.841470985
0.958851077

0.973545856
0.985067356
0.993346654
0.998334166
0.999983333
0.999995833
0.999999833

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
đến a từ bên trái bằng L nếu giá trị của hàm số
f(x) có thể gần L một cách tùy ý khi giá trị của x
đủ gần a và x nhỏ hơn a.
• Ký hiệu: lim f x  L
x a 

lim f x   L 

  0,   0, x  D : 0  a  x    f x   L  

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn bên phải
• Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
đến a từ bên phải bằng L nếu giá trị của hàm số

f(x) có thể gần L một cách tùy ý khi giá trị của x
đủ gần a và x lớn hơn a.
• Ký hiệu: lim f x  L

y  f x 
f x 

x a 

L



lim f x   L 

x
0



x a 

Giới hạn bên trái
y

Nguyễn Văn Tiến

x a 

  0,   0, x  D : 0  x  a    f x   L  

x
a
lim f x   L

x a
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

19


03/04/2017

Giới hạn bên trái

Định lý

y

• Hàm số f có giới hạn L khi x tiến tới a khi và chỉ
khi:
• f có giới hạn trái và giới hạn phải tại a.
• Hai giới hạn đó bằng nhau
• Bằng L

y  f x 

f x 

L

x
a

x
lim f x   L



f x   L
 xlim
a 
lim f x   L  

x a

lim f x   L


 x a 

0

x a

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Luật tính giới hạn

Luật tính giới hạn (tt)

2. lim x  a 3. lim x n  a n

1. lim C  C
x a

x a

x a

6. lim
x a

• Cho các giới hạn sau tồn tại hữu hạn:
x a

f x 
g x 



x a

8. lim

5. lim  f x  .g x   lim f x  . lim g x 

x a 
x a
x a

9. lim n x 

n

x a

x a

Nguyễn Văn Tiến

n

n

n

lim f x 
x a

a

Với điều kiện
các biểu thức
có nghĩa
Nguyễn Văn Tiến

• Tính:









a ) lim x 2  3x  4
x 2

lim f x   f a 
x a

• Nếu f x   g x ,  x  a và tồn tại giới hạn:
lim g x   L

Bài giảng Toán cao cấp 1

x a

Ví dụ

• Nếu f là một đa thức hay một hàm hữu tỷ và a
nằm trong tập xác định của f thì:

b ) lim

x  2

2x 2  1
5  3x

• Giải:
a ) lim x 2  3x  4  2 2  3.2  4  2
x 2

x a

2.  2   1
2x 2  1
7


x  2 5  3 x
11
5  3.  2 
2

lim f x   lim g x   L
x a

 lim g x   0

x a

Bài giảng Toán cao cấp 1

Tính chất

thì:

x a

lim g x 

f x  

4. lim  f x   g x   lim f x   lim g x 

x a 
x a
x a

Bài giảng Toán cao cấp 1

lim f x 

n
7. lim  f x    lim f x 


x a 
 x a


lim f x  ; lim g x 

• Ta có:

Nguyễn Văn Tiến

b ) lim

x a

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

20


03/04/2017

Ví dụ
• Tính:

lim
x 2

• Ta có:

Giới hạn vô cực

x2  4
 ???
x 2

x  2 x  2   x  2,  x  2
x2  4

x 2
x 2

• Mà:

lim x  2   4

• Vậy:

lim

x 2

x 2

x2  4
 lim x  2   4
x 2

x 2

Bài giảng Toán cao cấp 1

f x  

• Xét:

1
x2

• Khi x gần 0, f(x) có thể
lớn một cách tùy ý chứ
f(x) không dần đến một
số nào đó.
• Ta nói: giới hạn hàm số
tại x=0 không tồn tại và
1
viết:
lim
x 0

Nguyễn Văn Tiến

x2



Bài giảng Toán cao cấp 1

Giới hạn vô cực

Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vô cực

y

• Cho hàm f xác định về 2 phía điểm a, trừ điểm
a.
• Nếu giá trị f(x) có thể lớn tùy ý khi x đủ gần a,
xa. Ta nói:

x  a

lim f x   
x a

x

• Nếu giá trị f(x) có thể nhỏ tùy ý khi x đủ gần a,
xa.

0

lim f x   

lim f
x  a

x a

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Định lý kẹp

sin x
1. lim
1
x0
x

2. lim
x 0

1

x 0

x a



1  x 
5. lim
x 0

lim g x   L
x a

7. lim
x 0

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

3. lim 1  x x  e

lim f x   lim h x   L

• Thì:

 

Công thức giới hạn

• Nếu f x   g x   h x  khi x gần a (có thể trừ
điểm a) và:
x a

x  

Nguyễn Văn Tiến

1

x

ex  1
1
x

Bài giảng Toán cao cấp 1



tan x
1
x
x


1
4. lim 1    e
x  
x 


1  cos x
1

2
x2
ln 1  x 
8.lim

1
x 0
x

6. lim
x 0

Nguyễn Văn Tiến

21


03/04/2017

Công thức giới hạn
arcsin x
1
x

9. lim
x0

11. lim arctan x  
x 

10. lim
x 0

Ví dụ

arctan x
1
x

• Nhận dạng và tính giới hạn sau
x4


2

13. lim arcco t x  

12. lim arctan x 
x 


2

14. lim arcco t x  0

x 

x 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

b . lim

 0 
 
 0 

2x  1  3

a . lim
x  



x 2
x 1 x



   

sin 2x
c . lim
x  0 sin 3 x
ln x  a   ln a
d . lim
x 0
x
e 2 x  e 3 x  0 
e . lim
 
x0
 0 

x

 0 
 
 0 

 0 
 
 0 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Ví dụ

• Nhận dạng và tính giới hạn:

• Nhận dạng và tính giới hạn:



1

 .0

x 

ln x  1
x e



c . lim x   tan x
 
2 
x 

b . lim
x e

x0

 0 
 
 0 

0. 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

1 


5 


Bài giảng Toán cao cấp 1

Vô cùng bé

Nguyễn Văn Tiến

Tính chất

• Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé
(VCB) khi xa nếu:
lim f x   0

1. Tổng hữu hạn các VCB là một VCB.
2. Tích hai VCB là một VCB.

x a

• Ví dụ:
sinx là VCB khi x 0 vì: lim sin x  0
x0

Bài giảng Toán cao cấp 1



 5x 2  x 2 x
b . lim  2

x    5x  4 



 5x 2  3 2 x

c . lim  2
x   x  4 



2

1/x là VCB khi x  vì:

1 

a . lim cos x x 2

a . lim x e 1/x  1

lim

x 

1
0
x

3. Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một
VCB.
4. Thương của hai VCB có thể không là một VCB.

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

22


03/04/2017

Định nghĩa

Các VCB tương đương khi x0

• Cho f(x); g(x) là hai VCB khi xa. Giả sử:
f x 
lim
k
x a g x
 
1. Nếu k=0 thì f(x) là VCB bậc cao hơn g(x).
Ký hiệu:
f(x)=0(g(x))
2. Nếu k hữu hạn, khác 0 ta nói f(x) và g(x) là hai VCB
cùng cấp
3. Nếu k=1 thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương.
Ký hiệu:
f(x) ~ g(x)

4. Nếu k= ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x).
Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

1) sin x  x

2) tan x  x

3) arcsin x  x

4) arctan x  x

1
5) 1  cos x   x 2
2
7) e x  1  x

6) 1  x   1   x

9) ln x  1  x

10) loga 1  x  





x a

 lim
x a

Bài giảng Tốn cao cấp 1

• Tính:

VCB bậc thấp nhất của tử
VCB bậc thấp nhất của mẫu

• Ta có:

Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

I  lim

J  lim

5

x0

1 x 1
arctan x



1/5

1
5

 1  x  1  1  x   1  x khi x  0

5


arctan x  x


1
• Vậy:
x
5
1  x 1
1
I  lim
 lim 5 
x 0 arctan x
x 0 x
5
Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ
• Tính:

Ví dụ
• Tính:

ln 1  x tan x 

2

• Ta có:

e x  cos x
3

x 0
2
sin x 2
e sin 5x  e x
L  lim
2
x  0 ln 1  2x



• Vậy:

M  lim

x0

x 2  sin 3 x

K  lim

2


 ln 1  x tan x   x tan x  x
khi x  0
 3
3

sin x  x




I  lim
x0

ln 1  x tan x 
x 2  sin 3 x

Bài giảng Tốn cao cấp 1



x0

x
x

 lim 2  1
2
3
x

0
x x
x
Nguyễn Văn Tiến

 1

sin e x 1  1

x 1

 lim

1
x
ln a

Ví dụ

Tổn g hữu hạn các VCB
Tổn g hữu hạn các VCB

• Các VCB bậc cao bị ngắt bỏ.
• Giới hạn có dạng 0/0
• Các dạng khác ta biến đổi để xuất hiện dạng

0/0.

8)a x  1  x ln a

• Đây là các VCB khi x 0.

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
lim



e
N  lim
x 0

Bài giảng Tốn cao cấp 1

x

ln x
 1 cos x  1



4

2x  sin 3 x



1
2
Nguyễn Văn Tiến

23


03/04/2017

Vơ cùng lớn

Định nghĩa

• Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là vơ cùng lớn
(VCL) khi xa nếu:
lim f x   
x a

hay





• Cho f(x); g(x) là hai VCL khi xa. Giả sử:
f x 
lim
k
x a g x
 

1. Nếu k=  thì f(x) là VCL bậc cao hơn g(x).

• Ví dụ:

2. Nếu k hữu hạn, khác 0 ta nói f(x) và g(x) là hai VCL
cùng cấp

1 1
i) ;
; cot x là VCL khi x  0 .
x sin x


ii ) tan x là VCL khi x   hay x  .
2
2
Bài giảng Tốn cao cấp 1

3. Nếu k=1 thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương.
Ký hiệu:
f(x) ~ g(x)

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
Tổn g hữu hạn các VCL

Tổn g hữu hạn các VCL

• Tính:I  xlim
 

VCL bậc cao nhất của tử
VCL bậc cao nhất của mẫu

• Ta có:

lim
x a

 lim
x a

Ví dụ
x 2  4  2x  3 x
x2  4  x



x2  4  x2  x


khi x  
 2

x 4  x





• Các VCL bậc thấp bị ngắt bỏ.
• Giới hạn có dạng /.
• Vậy:
I  lim

x 2  4  2x  3 x

x 

Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ
J  lim





ln e x  1
x

x  

x  

 lim

x 

Bài giảng Tốn cao cấp 1

 
x

x
1
x

lim

x  

K  lim

3x 3  2x 2  1  3 7 x 2  8

x  

x2  2 
3

 lim

x  

Bài giảng Tốn cao cấp 1

3x 3  3 7 x 2
2

x 

3

x

3

Nguyễn Văn Tiến

• Định lý: Xét q trình xa:
• Nếu f(x) là VCB thì: g x  

3

x  2x  3 x
3

x x
2

Liên hệ VCB và VCL

ln e x

lim

x2  4  x

• Nếu f(x) là VCL thì: g x  

x 1
3

 lim

x  

3x 3
x2



3

1
f x 
1
f x 

là VCL.
là VCB.

3

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

24


03/04/2017

Thay thế sai

Chú ý khi thay thế hàm tương đương
lim

tan x  sin x
x x
 lim
x0
x3
x3

f x   g x   f1 x   g 1 x   f1 x  
 g 1 x 

lim

tan x  sin x
tan x  x

 lim
x0
x3
x3

f x   g x   f1 x   g 1 x   f1 x  
 g 1 x 

lim

tan x  sin x
x  sin x
 lim
x 0
x3
x3

• Cho f(x)~f1(x) và g(x)~g1(x)
• Khi đó:

x0

x0

x0

2
1



cos 2 x 
 1  cos x 
lim  2 
  lim

2
2
2

x0 x
x

0

sin x 
x

x


Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Liên tục
•
•
•
•
•

Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Hàm số liên tục tại một điểm
• Định nghĩa 1. Hàm y=f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu
xác định tại điểm này và:
lim f x   f x 0 

Liên tục tại một điểm
Liên tục trái
Liên tục phải
Điểm gián đoạn
Liên tục trên khoảng

x x 0

• Định nghĩa 2. Hàm số f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi:
   0,    0 : 0  x  x 0    f x   f x 0   

Nếu hàm khơng liên tục tại x0 ta nói hàm gián
đoạn tại điểm này.
Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Tốn cao cấp 1

Liên tục trái – Liên tục phải

Điểm gián đoạn
• Cho x0 là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số
1. Điểm gián đoạn loại 1:
• Tồn tại hữu hạn: lim f x  ; lim f x 

• Hàm số f(x) liên tục trái tại x0:
lim f x   f x 0 

x x 0

x  x 0

x x 0

lim f x   lim f x  ta nói x 0 là điểm khử được .

• Hàm số f(x) liên tục phải tại x0:

x x 0

x x0

x  x 0

x x0

lim f x   lim f x  ta nói x 0 là điểm nhảy .

lim f x   f x 0 

x x 0

• Định lý: f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi f(x) liên
tục trái và phải tại x0.
Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

2. Điểm gián đoạn loại 2: nếu khơng là điểm gián đoạn
loại 1
- Một trong hai giới hạn khơng tồn tại.
- Hoặc tồn tại nhưng bằng .
Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

25