Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1b - Nguyễn Văn Tiến (2017)

19/09/2017

CHỈ SỐ

Phân loại

Chỉ số trong thống kê là số tương đối thể hiện quan hệ
so sánh giữa các mức độ của một chỉ tiêu hay hiện
tượng kinh tế xã hội. Cụ thể, chỉ số được tính bằng cách
so sánh hai mức độ của hiện tượng ở hai thời gian hoặc
hai không gian khác nhau nhằm biểu hiện mức độ biến
động của chỉ tiêu hay hiện tượng qua thời gian hoặc
không gian
Valuein any given year
Index number 
 100%
Valuein base year

• Theo phạm vi tính toán : chỉ số cá thể và chỉ số tổng
hợp.
• Theo tính chất của chỉ tiêu : chỉ số chỉ tiêu chất
lượng và chỉ số chỉ tiêu khối lượng
• Theo gốc so sánh : chỉ số liên hoàn và chỉ số định
gốc
• Theo hình thức biểu hiện : chỉ số dạng cơ bản và chỉ
số dạng biến đổi
• Các loại khác
• Các chỉ số hay dùng: CPI; RPI; VN-Index

ố chỉ số =

á

ị ủ ă
á ị ă

đ
é
× 100%
ơ ở
140

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Chỉ số cá thể

• Chỉ số định gốc là chỉ số tính cho nhiều thời kỳ khác
nhau so với một thời kỳ được chọn làm gốc cố đinh.

p
i p  1 .100%
p0

p
ik  k .100%
• Công thức:
p0

• Trong đó:
• pk: giá tại kỳ thứ k
• p0: giá tại kỳ gốc
• Năm gốc còn được gọi là năm cơ sở

• Chỉ số cá thể khối lượng

Bài giảng Toán cao cấp 1

q1
.100%
q0

142

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Chỉ số liên hoàn

Nguyễn Văn Tiến

Hãy thể hiện các dãy giá trị dưới đây dưới dạng chỉ
số:

Năm
1995 1996 1997 1998 1999
Giá trị 46
52

62
69
74

p
ik  k .100%
• Công thức:
p
k 1
• Trong đó:
• pk: giá tại kỳ thứ k
• Pk-1: giá tại kỳ trước đó (kỳ thứ k-1)

144

143

Ví dụ

• So sánh đối tượng ở kỳ nghiên cứu với thời kỳ liền
kề trước đó.

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Chỉ số định gốc

• Chỉ số cá thể giá cả

iq 

141

a) Chỉ số định gốc với năm gốc là 1995.
b) Chỉ số liên hoàn.

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

145

Nguyễn Văn Tiến

1


19/09/2017

Ví dụ

Ví dụ

Năm
1995 1996 1997 1998 1999
Giá trị 46
52
62
69

74
a) Chỉ số định gốc với năm gốc là 1995.

Năm
1995
Chỉ số (%) 100

1996

1997

1998 1999

113

135

150

161

b) Chỉ số liên hoàn.

Năm
1995
Chỉ số (%) n/a

1996

1997

1998 1999

113

119

111

146

Bài giảng Toán cao cấp 1

• Năm cơ sở không nhất thiết là năm đầu tiên trong
chuỗi giá trị. Ta có thể chọn bất cứ năm nào
• Biểu diễn “1995=100” có nghĩa là các giá trị tương
ứng đều là chỉ số so với cơ sở là năm 1995. Chỉ số
của năm cơ sở (trong trường hợp này là năm 1995)
luôn luôn là 100.
• Kết quả ở trên được làm tròn cho tiện hình dung.
• Nếu có đề cập đến năm cơ sở thì ta hiểu đó là chỉ
số định gốc.

107
Nguyễn Văn Tiến

147

Bài giảng Toán cao cấp 1

Ví dụ

Ví dụ

Cho dãy giá trị sau:

Ta có:

Năm 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Giá trị 1.2 1.5 1.8 1.9 1.6 1.5 1.7
a) Hãy xác định chỉ số của các giá trị lợi nhuận ở bảng trên
với năm cơ sở là:
i) Năm 1991
ii) Năm 1994
b) Hãy giải thích ý nghĩa của chỉ số tương ứng của năm
1995 trong cả hai trường hợp
c) Tìm mức độ phần trăm tăng lên từ năm 1996 đến năm
1997
d) Hãy giải thích ý nghĩa của chỉ số 2500 biết chỉ số của
năm 1989 là 100.
Bài giảng Toán cao cấp 1

148

Nguyễn Văn Tiến

Năm

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

1991=100 100
1994=100 63

150
95

158
100

133
84

149

125
79

142
89

Nguyễn Văn Tiến

Thay đổi năm cơ sở

• Khi thời gian trôi đi càng ngày năm cơ sở càng mất ý nghĩa
và cuối cùng ta thấy phải chọn một năm cơ sở mới
• Năm cơ sở phải là một năm rất điển hình.
• Ví dụ. Khi chọn năm cơ sở cho quan sát về giá thì năm
được chọn phải:
• Có giá không quá thấp hoặc quá cao bất thường.

• Năm cơ sở được chọn phải đủ gần đây để mọi so sánh
với năm cơ sở này mang đến nhiều ý nghĩa.
• Ví dụ. Nếu ta kết luận rằng sản xuất đã thay đổi với một tỷ
lệ nào đó trong vòng 2 năm, 4 năm, hoặc 10 năm so với
năm cơ sở thì tạm được. Tuy nhiên nếu ta nói là có sự
thay đổi so với 50 năm trước thì điều này không mang lại
nhiều ý nghĩa.
150

125
79

Bài giảng Toán cao cấp 1

Về chọn năm cơ sở

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

• Cho chuỗi giá trị sau:
Năm 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
Giá trị 8
9
9
12
20
22

24
25
27

a) Đưa các giá trị trên về dạng chỉ số với năm cơ
sở là năm 1990
b) Sử dụng dữ liệu gốc đưa năm cơ sở về năm
1995
c) Sử dụng các chỉ số tìm được ở câu a) như các
dữ liệu gốc và đưa năm cơ sở về năm 1995.
So sánh kết quả với câu b).
Bài giảng Toán cao cấp 1

151

Nguyễn Văn Tiến

2


19/09/2017

Thay đổi năm cơ sở

Ghép các dãy số chỉ số

• Các chỉ số dưới đây được tính với năm cơ sở 1989
Năm
1995 1996 1997 1998 1999
1989=100 129,0 140,3 148,5 155,1 163,2

• A) Hãy chuyển cơ sở sang năm 1996
• B) Hãy giải thích ý nghĩa 2 chỉ số của năm 1999 tương
ứng với hai năm cơ sở là 1989 và 1996

Năm
1980
1981
1982
1983
1984
1985

152

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Chỉ số giá
(1970=100)
263
271
277
280
(1983=100)
104
107

Chỉ số giá
(1970=100)

263
271
277
280
(1983=100)
104
107

1980
1981
1982
1983
1984
1985

Chỉ số giá
(1983=100)
94
97
99

Năm
1987
1988
1989
1990

100
104
107

154

Nguyễn Văn Tiến

1991
1992
1993
Bài giảng Toán cao cấp 1

Ghép các dãy số chỉ số
Năm
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
Bài giảng Toán cao cấp 1

Chỉ số giá
(1980=100)
141
148
155
163
(1990=100)
106
110

116

Chỉ số giá dưới đây đã
thay đổi năm cơ sở
sang 1990.
Hãy hợp nhất hai
chuỗi với nhau sang
năm cơ sở 1990 và sau
đó chuyển năm cơ sở
sang 1989.

155

Nguyễn Văn Tiến

Chỉ số kết hợp

Chỉ số giá
Chỉ số giá
Chỉ số giá
(1980=100) (1990=100) (1989=100)
141
86,5
91
148
90,8
95
155
95,1
100

163
100
105
(1990=100)
106
106
111
110
110
116
116
116
122
156

Nguyễn Văn Tiến

Ghép các dãy số chỉ số

Do đó giá đã tăng lên 10% từ năm 1981 đến
năm 1985.
Bài giảng Toán cao cấp 1

153

Bài giảng Toán cao cấp 1

Ghép các dãy số chỉ số
Năm

• Chỉ số giá dưới đây thay đổi cơ
sở sang năm 1983 sau nhiều
năm tính với cơ sở 1970.
• Hãy tính toán lại chỉ số của dãy
với năm cơ sở 1983. Từ 1981
đến 1985 giá đã tăng bao nhiêu
phần trăm.

Nguyễn Văn Tiến

Trung bình có trọng số (quyền số)

weighted average 

 wx
w

Trong đó:
• w là trọng số (mức độ quan trọng của các giá
trị thành phần)
• x: chỉ số cần tính trung bình (giá cả, lượng …)
Bài giảng Toán cao cấp 1

157

Nguyễn Văn Tiến

3

19/09/2017

Chỉ số kết hợp

Chỉ số giá cả

Ba loại bánh mì được bán trong cửa hàng có
chỉ số giá lần lượt là 107,0; 103,6 và 102,9 so
với năm ngoái. Tìm trung bình trọng số của chỉ
số giá bánh mì, biết trọng số là số lượng bán
được với tỷ lệ là 10:2:1
weighted average 

10.107, 0  2.103,6  1.102,9
 106, 2
10  2  1

P0: giá trong năm cơ sở

P1: giá trong năm hiện tại

Q0: lượng trong năm cơ sở

Q1: lượng trong năm hiện tại

V0=P0.Q0: giá trị trong năm
cơ sở

V1=P1.Q1: giá trị trong năm
hiện tại

Công thức:

 w  P / P  100
w
 wP 100
aggregative price index 
 wP

relative price index 

i

0

1

0

Bài giảng Toán cao cấp 1

158

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Chỉ số khối lượng
1

0

1
0

Trọng số (quyền số) w có thể là giá (P); lượng
(Q); giá trị (PQ) của năm gốc hoặc năm hiện tại.

Bài giảng Toán cao cấp 1

160

Nguyễn Văn Tiến

Một tạp hóa muốn tính chỉ số giá của bốn loại trà
khác nhau, với năm cơ sở là năm 1990 và năm hiện
tại là 1995.
1990
1995
Giá
Lượng
Giá
Lượng
Loại trà
(bảng)
(thùng)
(bảng)
(thùng)
P0
Q0

P1
Q1
A
0,89
65
1,03
69
B
1,43
23
1,69
28
C
1,29
37
1,49
42
D
0,49
153
0,89
157
Bài giảng Toán cao cấp 1

Chỉ số giá tương đối

161

Ta có bảng sau:
Loại trà

A
B
C
D

Giá tương
đối (Rel)

1,157
1,182
1,155
1,816
Tổng

Lượng của
năm cơ sở
(Q0)
65
23
37
153
278

relative price index 
162

Nguyễn Văn Tiến

Chỉ số giá tương đối

1. Tính toán chỉ số giá cả tương đối với trọng số là:
a) Khối lượng của năm gốc.
b) Giá trị của năm gốc
2. Tính toán chỉ số giá tổng hợp với trọng số là:
a) Khối lượng của năm gốc
b) Khối lượng của năm hiện tại
3. Sinh viên làm tương tự cho chỉ số khối lượng.

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Chỉ số giá tương đối

 w  Q / Q  100
w
wQ
aggregative quantity index  
 100
wQ


relative quantity index 

159

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

163

Giá trị của
năm cơ sở Rel x Q0 Rel x V0
(V0)
66,95
57,85
75,22
38,88
32,89
27,19
55,13
47,73
42,74
74,97
277,85 136,15
213,44
423,00 297,11

 w  P / P   100
w
i

0

Nguyễn Văn Tiến

4

19/09/2017

Chỉ số giá tương đối

Chỉ số tổng hợp hay gặp
• Chỉ số tổng hợp giá cả: chọn quyền số (trọng số) là
khối lượng. Gồm các loại: Laspeyres; Paasche; Fisher

Trọng số là số lượng:

 Rel  Q
Q

0

 100 

0

423
.100  152, 2
278

• Chỉ số tổng hợp khối lượng: chọn quyền số (trọng
số) là giá cả. Gồm 3 loại: Laspeyres; Paasche; Fisher

Trọng số là giá trị:

 Rel  V
V

0

 100 

0

297,11
.100  139, 2
213,44

Chỉ số đầu tiên có nghĩa là giá đã tăng trung bình 52%;
Chỉ số thứ 2 nói rằng giá đã tăng lên 39%. Tại sao lại thế?
164

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Chỉ số tổng hợp giá cả
• Laspeyres

ip 

pq
p q

1 0

165

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Chỉ số tổng hợp giá cả
• Chú ý. Nhiều sinh viên nhầm

.100%

0 0

• Paasche

 p1q1

ip 

p q

ip 

pq
pq

1 0

.100% 

0 0

.100%

q0  p1
q0  p0

.100% 

p
p

1

.100%

0

0 1

• Fisher
ip 

pq pq
p q p q
1 0

1 1

0 0

0 1

166

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

167

Bài giảng Toán cao cấp 1

Ví dụ

Ví dụ

• Bảng liệt kê giá cả và lượng hàng tiêu thụ tương ứng
của một số mặt hàng tại cửa hàng A ở kỳ gốc năm
2000 và kỳ nghiên cứu năm 2005
Giá (ngàn đồng)
Tên hàng hóa

ĐVT

X
Y
Z

Kg
Lít

Chục

• Ta có:
Tên
hàng
hóa

ĐVT

Kg
Lít
Chục

Số lượng tiêu thụ (ngàn ĐVT)

Kỳ gốc
(p0)

Kỳ n/c
(p1)

Kỳ gốc
(q0)

Kỳ n/c
(q1)

X
Y
Z

5
10
8

6
12,2
10

10
5
0,25

13
5,5
0,32

Tổng

 L

• Hãy tính các chỉ số tổng hợp giá cả?
Bài giảng Toán cao cấp 1

168

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

Giá
(ngàn đồng)

Số lượng tiêu thụ
(ngàn ĐVT)

Kỳ gốc Kỳ n/c Kỳ gốc
(p0)
(p1)
(q0)
5
10
8

6
12,2
10

i p  121, 08%;

Bài giảng Toán cao cấp 1

10
5
0,25

 P

Giá trị (triệu đồng)

Kỳ n/c
(q1)

p1q0

p0q0

p1q1

p0q1

13
5,5
0,32

60
61
2,5

50
50
2

78
67,1
3,2

65
55
2,56

123,5

102

148,3

122,5
6

i p  121%;
169

F 

i p  121,04%
Nguyễn Văn Tiến

5


19/09/2017

Chỉ số tổng hợp khối lượng

Chỉ số chỉ tiêu khối lượng & chất lượng

q p
q p

• Chỉ số chỉ tiêu chất lượng: nghiên cứu sự thay đổi
của các chỉ tiêu chất lượng
• Ví dụ như chỉ số giá thành sản phẩm, chỉ số giá cả
tiêu dùng … Chỉ số tổng hợp giá cả theo phương
pháp Laspeyres hay Paasche cũng đều là chỉ số chỉ
tiêu chất lượng.
• Chỉ số chỉ tiêu khối lượng: nghiên cứu sự thay đổi
của các chỉ tiêu khối lượng
• Ví dụ như chỉ số khối lượng sản phẩm sản phẩm, chỉ
số khối lượng hàng hóa tiêu thụ …
• Việc phân chia thành chỉ tiêu chất lượng và chỉ tiêu
khối lượng chỉ có ý nghĩa tương đối.

• Laspeyres

iq 

1

0

0

0

.100%

• Paasche

iq 

 q p .100%
q p
1 1
0

1

• Fisher

q p  q p
q p q p

iq 

1

0

1 1

0

0

0

1

170

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Chỉ số CPI

ℎ
ℎ

ℎí
ℎí

• Ví dụ.

CPI 

ỏ ℎà ℎó ă
ỏ ℎà ℎó ă
ơ ở

q
q

2000

2000

Bài giảng Toán cao cấp 1

pt

p2000

• Năm cơ sở sẽ được thay đổi trong vòng từ 5 đến 7
năm tùy quốc gia.
• CPI được dùng để tính chỉ số lạm phát theo thời kỳ.
• Ví dụ:
Chỉ số lạm phát 2017=

.100%

172

Nguyễn Văn Tiến

173

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Chỉ số VN-Index

• Tính theo chỉ số tổng hợp Laspeyres
• Công thức:

• Ví dụ
Tên cổ
phiếu

• Ngày được chọn làm ngày cơ sở là ngày 28/7/2000
hay được gọi là kỳ gốc, và tại ngày này giá trị của
VN-Index cơ sở là 100% hay gọi ngắn gọn là 100
điểm.

REE

Giá thực hiện Số lượng CP niêm Giá trị thị trường ( triệu
(đồng)
yết (triệu CP)
đồng)
Kỳ gốc Kỳ n/c Kỳ gốc
Kỳ n/c
p1q0
p0q0
(p0)
(p1)
(q0)
(q1)
16.000 16.600 15.000
15
249.000
240.000

SAM

17.000 17.500 12.000

pq

pq

1 0
0 0

Nguyễn Văn Tiến

12

Tổng

Ip 

174

. 100%

• CPI chưa thực sự là thước đo lý tưởng của mức lạm
phát

Chỉ số VN-Index

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Chỉ số CPI

• Chỉ số giá tiêu dùng
• Tính theo phương pháp chỉ số tổng hợp Laspeyres

• Cách tính: cố định giỏ hàng hóa xác định giá
cảtính chi phí để mua giỏ hàng hóalựa chọn kỳ
gốcÁp dụng công thức tính.
=

171

Bài giảng Toán cao cấp 1

Bài giảng Toán cao cấp 1

.100% 

210.000

204.000

459.000

444.000

459.000.000.000
.100%  103,38%
444.000.000.000
175

Nguyễn Văn Tiến

6