Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến

26/05/2017

Khái niệm chung

CHƯƠNG 6

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CẤP 1 & ỨNG DỤNG

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn
nhau giữa các đối tượng, nhiều khi chúng ta không
thể thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng
hàm số giữa các đối tượng đó, mà chỉ có thể thiết
lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm
mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích
phân của hàm số chưa biết ấy.
• Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết
dưới dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là
phương trình vi phân.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa

Cấp của PTVP

• Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc
lập, hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của
nó gọi chung là phương trình vi phân.
• Ví dụ.

• Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của
đạo hàm có mặt trong phương trình.
• Phương trình vi phân cấp một là phương trình có
dạng:

y y ' x   x 2y '  0 ;



dy
 2xy
dx

F x , y, y ', y ,..., y

n 

Bài giảng Toán cao cấp 1

F x , y, y '  0 hay y '  f x , y 

• Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có
dạng:
• Phương trình vi phân cấp n là phương trình có
dạng:

n 

0



F x, y, y , y ,..., y

Nguyễn Văn Tiến

0

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Phương trình vi phân cấp 1

Ví dụ

• Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 là phương
trình có dạng:

• Nêu cấp của các PTVP sau:
a ) y y ' x   x 2y '  0


dy 
F x , y, y '  0 hay F x , y,   0


dx 
• Trong đó:

b ) 2x  1dx  x 2 y  1dy  0
c ) y ''  4xy 2  2xy '

• - F xác định trong miền G thuộc R3
• - x là biến độc lập, y là hàm cần tìm

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

1


26/05/2017

Nghiệm của PTVP cấp 1

Nghiệm tổng quát

• Nghiệm tổng quát
• Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn (tích phân tổng
quát)
• Nghiệm riêng

• Nghiệm kỳ dị

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

y   x ,C 
• Dạng:
• Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C
• Với mọi điểm ( 0, 0) ∈ ta đều tìm được C0 sao
cho
y 0   x 0 , C 0 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nghiệm tổng quát dạng ẩn

Nghiệm riêng

• Tên khác: tích phân tổng quát
• Hệ thức Φ , ,
= 0 hay Φ , ) =
gọi là
nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trong
miền D nếu nó xác định nghiệm tổng quát của
phương trình trong D.

• Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng

số C0 xác định được gọi là nghiệm riêng.
• Nghiệm riêng:
• Tích phân riêng:

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nghiệm kỳ dị

PTVP cấp 1 thường gặp

• Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể nhận được từ
nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị nào của C.

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

•
•
•
•
•
•

PT biến số phân ly
PT biến số phân ly được
PT đẳng cấp cấp 1
PT tuyến tính cấp 1
PT Bernoulli
PT vi phân toàn phần

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

2


26/05/2017

PT biến số phân ly

PT biến số phân ly được

• Dạng:
g(y)dy=f(x)dx
• Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x.
• Ta có:

 g y dy   f x dx

• Dạng 1.

 G y   F x   C

• Ví dụ.

• Cách giải:
• Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa về dạng biến số
phân ly
• Xét riêng tại những giá trị f1(x)g2(y)=0

2x
dx
1 x2

ydy 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Bài giảng Toán cao cấp 1

• Dạng 2.





x y  1dx  x 1 y 1dy  0
3

Nguyễn Văn Tiến

PT biến số phân ly được

• Giải phương trình:
2

f1 x  g 1 y dy  g 2 y  f2 x  dx

• Đáp án:
1
• Nghiệm tổng quát: ln x 3  1  y  2 ln y  1  C
3

y   f ax  by 

• Cách giải:
• Đặt z=ax+by
• Đưa về phương trình biến số phân ly dx, dz

• Nghiệm: y=-1
• Nghiệm: x=1

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ
• Giải phương trình sau:

• Đáp số:

Bài giảng Toán cao cấp 1

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Phương trình đẳng cấp cấp 1

y   3x  y

• Dạng:

1
 Ce x
3x  y  3

y
y  f  
x

• Cách giải:
• Đặt t=y/x
• Đưa về dạng biến số phân ly

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

3


26/05/2017

Ví dụ

Phương trình tuyến tính cấp 1

• Giải phương trình sau:
2

x y
2xy

y 

• Dạng phương trình:
y   p x  y  q x 
• trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trong khoảng
(a,b) nào đó.
• Nếu q(x)=0 ta có phương trình thuần nhất.
• Nếu q(x) ≠ 0 ta có phương trình không thuần
nhất.

2

• Đáp án:
y 2

x  2  1  C1  y 2  x 2  C1x
 x


Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Phương pháp giải

Ví dụ

• B1. Giải phương trình thuần nhất
y   p x  y  0
• B2. Giải phương trình không thuần nhất bằng
phương pháp biến thiên hằng số





y   p x  y  q x  q x   0
• B3. Công thức nghiệm tổng quát:

y e 


px dx



p x dx
 q x e    dx  C 

 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

1
y   y  2x
x
• A) Giải phương trình
• B) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y(1)=-1
• Đáp số:
• Nghiệm tổng quát: y  2x 2  Cx
• Nghiệm riêng: y  2x 2  3x
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Phương trình Bernoulli

• Giải phương trình sau:

• Dạng phương trình:

y   2xy  xe

y   p x  y  q x  y 

x 2

• Đáp số:



• Cho phương trình vi phân:



y  x 2 C ex

• Cách giải:
• Chia hai vế phương trình cho

2

z
• Đặt z  y 1 ta có: z   1   y y  hay y y  

1

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

4


26/05/2017

Phương trình Bernoulli
•
•
•
•

Chú ý:
Nếu > 0 thì y=0 cũng là nghiệm.
Nếu > 1 thì y=0 là nghiệm riêng.
Nếu 0 < < 1 thì y=0 là nghiệm kỳ dị

Ví dụ
• Giải phương trình sau:

y  xy   y 2

• Đáp số:
• Nghiệm tổng quát:

y 

x
x C

• Nghiệm kì dị: y=0

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Phương trình vi phân toàn phần
M  x, y  dx  N  x, y  dy  0

• Dạng:

Ví dụ 1
• Giải phương trình vi phân:

 3x

M N

y
x

• Điều kiện:

Nguyễn Văn Tiến

2

 6 xy 2  dx   6 x 2 y  4 y 3  dy  0

• Ta có:

• Nghiệm tổng quát:

y

x

u  x, y    M  x, y0  dx   N  x, y  dy  C
x0

y0

y

x

M  x, y    3x 2  6 xy 2 

N  x, y    6 x 2 y  4 y 3 

M N

 12 xy
y
x

u  x, y    M  x, y  dx   N  x0 , y  dy  C
x0

y0

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Ví dụ 1

Ví dụ 2

• Nghiệm tổng quát của phương trình:
x

• Giải phương trình vi phân:

y

  x, y     3x 2  6 xy 2  dx    0  4 y 3  dy  C
0

Nguyễn Văn Tiến

0

a)  x  y  1 dx   x  y 2  3 dy  0
b)  xy.cos  xy   sin  xy   dx  x 2 cos  xy  dy  0

x3  3x 2 y 2  y 4  C

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

5


26/05/2017

Thừa số tích phân

Ví dụ

• Xét phương trình vi phân dạng:

• Giải phương trình sau:

M  x, y  dx  N  x, y  dy  0
• Nếu phương trình trên chưa có dạng phương trình
vi phân toàn phần thì ta có thể tìm hàm ( , )
sao cho phương trình:

  x, y  .M  x, y  dx    x, y  .N  x, y  dy  0

2

 3 y 3  dx   7  3xy 2  dy  0

• Bằng cách sử dụng thừa số tích phân dạng ( )
• Chú ý:
– Thừa số tích phân khá khó tìm
– Ta tìm dạng đặc biệt như ( ) hay ( )
– Sinh viên không cần trình bày cách tìm thừa số TP

• Là phương trình vi phân toàn phần.
• Hàm ( , ) gọi là thừa số tích phân.
Bài giảng Toán cao cấp 1

 2 xy

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Ví dụ

Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 1

• Giải các ptvp sau
a) tan ydx  x ln xdy  0

b) y  2 x  y   1; y  0   1

c ) x 2 y  y 2  xy  x 2  0

y
d ) xy  y ln ; y 1  1
x
x  y 1
f ) y 
x y 3

e) y  2 xy  1  2 x 2

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Bài tập 2

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 3

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

6


26/05/2017

Bài tập 4

Bài giảng Toán cao cấp 1

Bài tập 5

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Ứng dụng PTVP cấp 1

Bài tập 6
• Giải các phương trình vi phân sau bằng phương
pháp thừa số tích phân

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

•
•
•
•
•

Phân tích định tính bằng phương pháp đồ thị
Tìm hàm số khi biết hệ số co giãn
Mô hình điều chỉnh giá thị trường
Mô hình tăng trưởng Domar (tự tham khảo)
Mô hình tăng trưởng Solow (tự tham khảo)

Bài giảng Toán cao cấp 1

dy
 f  y
dt

• Đồ thị pha (đồ hình pha)
• Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu diễn y
và trục tung biểu diễn y’ ta lập đồ thị hàm số f(y).
• Đồ thị đó được gọi là đường pha

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị pha

Phân tích định tính bằng phương pháp đồ thị

• Xét phương trình vi phân cấp 1 dạng:

Nguyễn Văn Tiến

• Tại các điểm trên trục hoành thì y’ dương nên y
tăng theo thời gian, y đi từ trái sang phải
• Tại các điểm dưới trục hoành thì y’ âm nên y giảm
theo thời gian, y đi từ phải sang trái
• Tại giao điểm với trục hoành, giả sử là tại , ta có
y’=0. Ta gọi là trạng thái cân bằng.

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

7


26/05/2017

Đồ thị pha – dạng 1
y

y

0

y

Đồ thị pha – dạng 2

• Tại các điểm trên
trục hoành y đi từ
trái sang phải
• Tại các điểm dưới
trục hoành y đi từ
phải sang trái
• Tại giao điểm với
trục hoành
là
trạng thái cân bằng.

y

0

y

• Tại các điểm trên
trục hoành y đi từ
trái sang phải
• Tại các điểm dưới

trục hoành y đi từ
phải sang trái
• Tại giao điểm với
trục hoành
là
trạng thái cân bằng.

• Trạng thái cân bằng không ổn
định động

• Trạng thái cân bằng ổn định động
Bài giảng Toán cao cấp 1

y

Nguyễn Văn Tiến

Trạng thái cân bằng ổn định

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Trạng thái cân bằng không ổn định

y0
y0
y

y

y0

y0

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nhận xét

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tính ổn định của trạng thái cân bằng phụ thuộc
dấu của đạo hàm tại điểm cân bằng
• Trạng thái cân bằng ổn định động khi:

 

f y 0

• Xét mô hình ptvt tuyến tính cấp 1:

• Ta có:
• Trạng thái cân bằng ổn định động khi và chỉ khi:

p0

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

8


26/05/2017

Tìm y(x) biết hệ số co giãn
• Ta có:

 yx 

Ví dụ 1
• Biết hệ số co giãn của hàm cầu theo giá:

y'
dy x
x .
y
dx y

 QP 

D

 yx    x 

• Giả sử:

5P  2 P 2
Q

• Tìm hàm cầu QD biết

10 = 500

• Ta có pt vi phân sau:

y'
dy   x 
x    x 

dx
y
y
x

 yx 

Bài giảng Toán cao cấp 1

• Đáp số:

Q  650  P 2  5P
Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Ví dụ 2

Biến động của giá trên thị trường

• Biết hệ số co giãn của hàm cầu:

 QP

D

• Giả sử hàm cầu, hàm cung của một loại hàng hóa
cho bởi:

2 P

2000  2 P

• Tìm hàm cầu QD biết

Nguyễn Văn Tiến

QD     p; Qs     p
• Điểm cân bằng thị trường:

0 = 2000

p

 
 

• Nếu giá ban đầu là p  0   p thì thị trường cân
bằng. Còn nếu không thì thị trường sẽ đạt giá cân
bằng sau một quá trình điều chỉnh nào đó.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Biến động của giá trên thị trường
• Trong quá trình điều chỉnh, các Qs, Qd và p đều
thay đổi theo t (biến thời gian).
• Giả sử theo thời gian t, giá p(t) tại thời điểm t luôn
tỷ lệ với độ chênh lệch giữa cầu và cung tại thời
điểm đó. Nghĩa là:

Biến động của giá trên thị trường
• Từ đó ta có:
p '  t   k    p     p 

  
 k       p 
 k       p  p 
   


• Do đó:

p '  t   k Qd  t   Qs  t  

dp



• Với k>0 là hằng số.

Nguyễn Văn Tiến

p p



 k      dt  ln p  p   k      .t  ln C

 p  p  C .e  k0 .t  p  p  Ce  k0 .t
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

9

26/05/2017

Biến động của giá trên thị trường

Nhận xét biến động của P(t) theo t
• Nếu giá ban đầu p(0) cao hơn giá cân bằng ̅ thì P(t) là
hàm giảm theo t và

• Với t=0, ta có giá tại thời điểm ban đầu:
p 0  p  C  C  p 0  p

lim p  t   p
t 

• Vậy:

• Nếu giá ban đầu p(0) thấp hơn giá cân bằng ̅ thì P(t)
là hàm tăng theo t và

p  t   p   p  0   p  e  k0t

lim p  t   p

• Dễ thấy:

t 



lim p  t   lim p   p  0   p  e
t 
t 

 k0 t

  p  do k

Bài giảng Toán cao cấp 1

0

 0

Nguyễn Văn Tiến

• Như vậy trong mọi trường hợp cùng với thời gian giá
cả sẽ dần dần trở về với giá tại điểm cân bằng. Do đó
điểm cân bằng thị trường có tính chất ổn định động
Bài giảng Toán cao cấp 1

Biến động của giá trên thị trường

Giải
• Ta có:

• Ví dụ: Cho:
Qd  1  2 p;

Nguyễn Văn Tiến

Qs  2  3 p; k  0, 2;

p  0   0, 4

k0  k       0, 2.  2  3  1;

p  0,6

• Vậy:

1
p  p  C.e  k0t   p  0   p  .e k0t   e  t
5
1 t
t
p  p  e  0, 01  e  0, 05  t  ln 0, 05
5
 t  ln 20  3

• Tìm thời gian t sao cho:
p  p    1%

• Vậy sau 3 đơn vị thời gian thì giá thỏa mãn yêu cầu
trên
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

10