Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 4 - Nguyễn Văn Thùy

Review

Lecture 4
Nguyen Van Thuy


Định lý. Nếu f ( x)  g ( x)  h( x) khi x gần a và

lim f ( x)  lim h( x)  L

ĐẠO HÀM, VI PHÂN

x a

thì

x a

lim g ( x)  L
x a

HÀM MỘT BIẾN



Định lý.

lim f ( x)  L  lim f ( x)  L  lim f ( x)
x a

x a

10/31/2010

Review

Toan C1-Nguyen Van Thuy

Định nghĩa. Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu



f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a



Hàm đa thức

f liên tục trên khoảng (a, b) nếu f liên tục tại mọi
điểm thuộc khoảng đó



Hàm phân thức hữu tỷ



Hàm căn thức



Hàm mũ



Hàm logarithm



Hàm lượng giác



Hàm lượng giác ngược



lim f ( x)  f (a)
x a



Ví dụ. Tìm a để hàm số sau
liên tục tại x=1

10/31/2010

1

arctan ( x  1) 2 , x  1
f ( x)   2

 x  3x  a , x  1

x2  1

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-3

0 
, ,   , .0,1 , 00 , 0
0 

7 dạng vô định



Các giới hạn cơ bản





u



sin u
 1
 1, lim 1    e, lim(1  u)1/ u  e
u 

u 0
u
 u

Ví dụ. Tính
tan 2 x
a) lim
x 0
x
10/31/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-4

Hệ số góc của tiếp tuyến



u 0

Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên miền
xác định

10/31/2010

Review

lim

4-2

Review





x a

1 

b) lim 1  
x 
 2x 
Toan C1-Nguyen Van Thuy



Mối liên hệ giữa hệ số a với góc tạo bởi trục hoành
và đường thẳng (d): y = ax+b?
Hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(xA,yA)
và B(xB,yB)?
Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C):
y=f(x) tại điểm P(a,f(a))?

x

ktt  lim
h 0

4-5

10/31/2010

f ( a  h)  f ( a )
h
Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-6

1


Hệ số góc của tiếp tuyến

Vận tốc tức thời




Một chất điểm chuyển động cách gốc O tại thời
điểm t là s = f(t)
Vận tốc trung bình từ thời điểm t=a đến thời điểm
t=a+h

v


f ( a  h)  f ( a )

h

Vận tốc tức thời tại thời điểm t=a

v(a)  lim
h 0

10/31/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-7

f ( a  h)  f ( a )
h

10/31/2010

Vận tốc tức thời

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-8

Đạo hàm


Định nghĩa. Đạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệu
f’(a), được xác định bởi

f '(a)  lim
h 0

f ( a  h)  f ( a )
h

nếu giới hạn đó tồn tại


Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
y=f(x) tại điểm P(a,f(a))
y = f’(a)(x-a) + f(a)

10/31/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-9

10/31/2010

Đạo hàm


Ví dụ. Tính đạo hàm bằng định nghĩa



Ký hiệu đạo hàm của hàm số y = f(x)

f '( x)  y ' 

f (3  h)  f (3)
(3  h)  (3  h)  12
 lim
h

0
h
h
h2  7h
 lim
 lim(h  7)  7
h 0
h 0
h
2

f '(3)  lim
h 0

10/31/2010

4-10

Đạo hàm

1) f(x) = x2 + x, tính f’(3).

2) f ( x) 

Toan C1-Nguyen Van Thuy

x . Tính f’(2).

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-11




dy df
d


f ( x)  Df ( x)  Dx f ( x)
dx dx dx

Chú ý. f’(a) nghĩa là giá trị tại x=a của hàm f’
Ví dụ. f(x) = sinx, phát biểu “f’(0) = 0 bởi vì f(0)=0
là hằng số, và đạo hàm của hằng số là zero” đúng
hay sai?

10/31/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-12

2


Đạo hàm


Đạo hàm

Các công thức đạo hàm cơ bản

(u ) '   u 1u ', (eu ) '  eu u ', (ln u ) ' 



(u  v) '  u ' v ', (c.u ) '  c.u '

u'
u

 u  u ' v  uv '
(uv) '  u ' v  uv ',   
v2
v
'

(sin u ) '  u 'cos u, (cos u ) '  u 'sin u
(tan u ) '  u '(1  tan 2 u ), (cot u ) '  u '(1  cot 2 u )
u'
u'
(arcsin u ) ' 

, (arccos u) '  
1 u2
1 u2
u'
u'
(arctan u ) ' 
, (arc cot u ) '  
1 u2
1 u2
10/31/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy



f '(a)  lim
h 0

d 1cos x
(e
)  e1cos x .(1  cos x) '  e1cos x .sin x
dx



d
ln ln cos x ?
dx

4-13

10/31/2010






Giới hạn này có thể không tồn tại



Nếu f’(a) tồn tại hữu hạn, f được gọi là khả vi tại a



Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a.

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-15



Ví dụ



(1) n !
 1 

(eax )( n )  a n eax

 
( x  a)n 1
 xa




(sin x)( n )  sin  x  n 
(sin ax)( n )  a n sin  ax  n 
2
2



10/31/2010

4-16

( fg ) '  f ' g  fg '
( fg ) ''  f '' g  2 f ' g ' fg ''
( fg ) '''  f ''' g  3 f '' g ' 3 f ' g '' fg '''

n



(cos ax)( n )  a n cos  ax  n 
2



Toan C1-Nguyen Van Thuy

Toan C1-Nguyen Van Thuy

Công thức Leibniz

Công thức



(cos x)( n )  cos  x  n 
2


 1, x  0

Đạo hàm cấp cao

y ''  ( y ') ', y '''  ( y '') ',..., y ( n )  ( y ( n1) ) '
(n)

4-14

f(x)=|x| có f '( x)  
và không có đạo hàm
1, x  0
tại x=0.

10/31/2010

Đạo hàm cấp cao


Toan C1-Nguyen Van Thuy

Đạo hàm

f ( a  h)  f ( a )
h

10/31/2010

Ví dụ



Khi nào đạo hàm tồn tại?



Các tính chất của đạo hàm

4-17



Tổng quát
n

( fg )( n )   Cnk f ( k ) g ( n k ) , f (0)  f , Cnk 
k 0



Ví dụ. a) Tính ( x
10/31/2010

2 x (100)

e )

n!
k !(n  k )!

 2x 1 

2
 x  5x  6 

(n)

b) Tính 

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-18

3

Vi phân

Quy tắc L’Hospital



Vi phân của hàm số y=f(x) tại x: dy=f’(x)dx



Vi phân cấp n

d y  y ( x).(dx)
n

(n)



Định lý. Nếu
lim
x a

n

 y ( n ) ( x).dx n





Ví dụ

x 0

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-19

Ví dụ
a) L  lim
x 0

x  arctan x  0 
 
x3
0

x 1

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-20

Đạo hàm của hàm ẩn


ln x   

 
x  x 2


b) L  lim



1 
 x
im xe x (.0)
c) L  lim 

      d ) L  xl
x 1 x  1
ln x 


e) L  lim x1/(2 x 2) (1 )

x  sin x  0 
1  cos x  0 
sin x  0 
cos x 1

   lim
   lim
   lim
x 3  0  x 0 3 x 2  0  x 0 6 x  0  x 0 6
6

10/31/2010

Quy tắc L’Hospital


f '( x)
f ( x)
f '( x)
 lim
thì lim
x a g ( x)
x a g '( x)
g '( x)

Chú ý. Quá trình xa có thể thay bởi xa+, xa-,
x, x-

lim
10/31/2010

f ( x)
0 
có dạng , khi xa và tồn tại
g ( x)
0 

f ) L  lim x x (00 )



Định nghĩa. Hàm số y = y(x) cho bởi
phương trình F(x,y) = 0 được gọi là hàm ẩn.
Ví dụ. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi
phương trình x2 + y2 = 2.
Phương trình trên xác định hai hàm ẩn

x 0

y  2  x2 , y   2  x2

g ) L  lim( x  e x )1/ x (0 )
x 

10/31/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-21

10/31/2010

Đạo hàm của hàm ẩn




F ( x, y)  0   F ( x, y)  x  0
'



Chú ý. y là hàm số theo x, còn x là biến số



Ví dụ. Tính y’(x) biết x2 + y2 = 2



Lấy đạo hàm theo x cả hai vế, ta được

2 x  2 yy '  0  y '  
Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-22

Đạo hàm của hàm ẩn

Để tính đạo hàm của hàm ẩn, chú ý rằng

10/31/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của
đường cong cardioid

x2  y 2  (2 x2  2 y 2  x)2

tại (0, 1/2)

x
y

4-23

10/31/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-24

4


Đạo hàm của hàm ẩn


Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số

Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của
đường cong lemniscate



2( x2  y 2 )2  25( x2  y 2 )
tại (3, 1)





Định nghĩa. Hàm số y = y(x) cho dưới dạng
x = x(t), y = y(t) được gọi là hàm số cho
dưới dạng tham số
Ví dụ. Hàm số y = y(x) cho bởi x = sint, y =
y
cost, –/2  t  /2
Đó là hàm số

y  1  x 2 , 1  x  1
10/31/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-25

10/31/2010

Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số


Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham
số

y '( x) 


10/31/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy





4-27

Ví dụ (câu 86). Tìm đạo hàm y’=y’(x) của
hàm số y=y(x) được cho bởi pt tham số

a) y ' 

2t 2
1 t2

c) y '  t
10/31/2010

 x  2et

2
y  t t

b) y '  

Giải.

b) 1

x0=2=2et

c) 5/e2

 t=0

y (t  t 2 ) ' 1  2t
1


 y '( x0  2) 
x
(2et ) '
2et
2
Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-28

Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số



2t 2
1 t2

4-29

d) đều sai

'
t
'
t

Đạo hàm cấp 2 của hàm số cho dưới dạng
tham số
( y '( x))t'

y ''( x) 

d ) y '  t
Toan C1-Nguyen Van Thuy

a) 1/2

10/31/2010



 x  ln(1  t 2 )

 y  2t  2 arctan t

4-26

Ví dụ. (câu 89) Tìm y’(x) tại x0 = 2 của hàm
số y = y(x) cho bởi phương trình tham số

y '( x) 

Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số


1

Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số



x  a cos t , y  b sin t
 x '(t )  a sin t , y '(t )  b cos t
 y '( x)  y '(t ) / x '(t )  b / a cot t

0

Toan C1-Nguyen Van Thuy

dy y '(t )dt y '(t )


dx x '(t )dt x '(t )

Ví dụ. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi

x
-1

xt'

Ví dụ (câu 92). Tính y’’(x) tại x0 = /4 của
hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham
số
 x  arctan t
a) 0
10/31/2010


 y  ln t

b) 1

c) 2

Toan C1-Nguyen Van Thuy

d) 1 – 16/2
4-30

5


Bài tập


Câu 85  câu 104

10/31/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

4-31

6