Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 3 - Nguyễn Văn Thùy
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (321.32 KB, 4 trang )
Nội dung
Lecture 3
Nguyen Van Thuy
VÔ CÙNG BÉ-HÀM LIÊN TỤC
Review
Vô cùng bé
Ứng dụng tìm giới hạn
Hàm liên tục
10/31/2010
Review-Giới hạn bên trái
Toan C1-Nguyen Van Thuy
Review-Giới hạn bên phải
y
x
y
f(x)
a
2-2
a
L
f(x)
x
L
x
x a
xa
lim f ( x) lim f ( x) L
x a
x a
10/31/2010
O
lim f ( x) L
lim f ( x) lim f ( x) L
x
a
x
O
x a
xa
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-3
10/31/2010
Review
x a
f ( x) g ( x) h( x) khi
x a
x a
10/31/2010
x a
Toan C1-Nguyen Van Thuy
Các giới hạn cơ bản
u
x a
sin u
0
1
1 , lim 1 e (1 )
u 0
u
u
0
u
1/ u
lim(1 u ) e (1 )
lim
lim f ( x) L lim f ( x) L lim f ( x)
x a
2-4
0
, , , .0,1 , 00 , 0
0
lim g ( x) L
Định lý
Toan C1-Nguyen Van Thuy
7 dạng vô định
lim f ( x) lim h( x) L
lim f ( x) L
x a
Review
Định lý (kẹp). Nếu
x gần a và
thì
x
a
x a
u 0
2-5
10/31/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-6
1
Vô cùng bé
So sánh các vô cùng bé
Định nghĩa. Nếu lim ( x) 0 thì (x)
x a
được gọi là vô cùng bé khi xa
Ký hiệu: (x): VCB(xa)
Ví dụ
lim(1 cos x) 0,lim x 2 0 1-cosx, x2
x 0
x 0
là các vô cùng bé khi x0
10/31/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-7
Định nghĩa. Giả sử (x), (x) là các VCB khi xa
và giả sử
( x)
lim
L
x a ( x)
Nếu L=0 thì (x) được gọi là VCB cấp cao hơn
(x), ký hiệu (x)=O((x))
Nếu L= thì (x) được gọi là VCB cấp thấp hơn
(x)
Nếu L0 và hữu hạn thì (x) và (x) được gọi là
hai VCB cùng cấp
10/31/2010
Vô cùng bé tương đương
x 0
10/31/2010
sin u
u
1 cos u
sin x
1 nên sin x
x
tan u
x
Toan C1-Nguyen Van Thuy
(x)(x) (tính phản xạ)
(x)(x), (x)(x) (x)(x) (tính bắc cầu)
Nếu (x)=O((x)) (x)+(x)(x)
( x) 1 ( x)
( x) ( x) 1 ( x) 1 ( x)
( x) 1 ( x)
Toan C1-Nguyen Van Thuy
u
e 1 u
2-9
10/31/2010
ln(1 u ) u
arcsin u u
arctan u u
n
1 u 1
1
u
n
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-10
Ứng dụng tính giới hạn
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao. Khi tính giới
hạn tỷ số 2 VCB mà tử và mẫu là tổng các
VCB khác cấp thì ta chỉ giữ lại các VCB cấp
thấp nhất ở tử và mẫu
Ví dụ. Câu 28
arcsin 3 x 2 arcsin 2 x 3arcsin x
x 0
x3 2 x 2 x
a) L 0
b) L 1 c ) L 2 d ) L 3
L lim
( x) 1 ( x)
( x)
( x)
lim
lim 1
x
a
x
a
( x)
1 ( x)
( x) 1 ( x)
10/31/2010
u2
2
u
Tính chất của VCB tương đương
Khi u0 thì
Ví dụ. sinx và x là các VCB khi x0 và
lim
2-8
Các VCB tương đương cơ bản
( x)
1 thì (x),
Nếu L=1 nghĩa là lim
x a ( x)
(x) được gọi là hai VCB tương đương, ký
hiệu (x)(x)
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-11
10/31/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-12
2
Ví dụ
Câu 29
L lim
x 0
(1 cos x) 2
x sin x tan 2 x
a) L 0
Hàm liên tục
b) L 1
Câu 37
lim f ( x) f (a)
x a
1
c) L
2
1
d )L
4
lim f ( x) lim f ( x) f (a)
x a
1 cos x ln(1 tan 2 2 x) 2 arcsin 3 x
L lim
x 0
1 cos x sin 2 x
a) L 0
b) L 1 c ) L 2 d ) L 3
10/31/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-13
f(a) xác định (nghĩa là aDf)
lim f ( x) tồn tại
lim f ( x) f (a)
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-14
Ví dụ. Đồ thị của hàm f như hình vẽ sau. Tại
những điểm nào hàm số không liên tục? Tại
sao?
x a
x a
10/31/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-15
10/31/2010
Hàm liên tục
f liên tục trên khoảng (a, b) nếu f liên tục tại
mọi điểm thuộc khoảng đó
Hàm liên tục
Chú ý. Hàm f liên tục tại a phải thỏa 3 điều
kiện
x a
f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a
10/31/2010
Hàm liên tục
Định nghĩa. Hàm f được gọi là liên tục tại a
nếu
2-16
Hàm liên tục
Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên
miền xác định
Ví dụ
f (t )
t
t 1 gián đoạn tại t=1 và liên tục tại tất cả
các điểm còn lại
Hàm đa thức
Hàm phân thức hữu tỷ
Hàm căn thức
Hàm mũ
Hàm logarithm
Hàm lượng giác
Hàm lượng giác ngược
10/31/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-17
1
g()=tan gián đoạn tại (n ) , n và liên
2
tục tại tất cả các điểm còn lại
sin x
,x 0
sin x
1 f (0)
f ( x) x
liên tục trên , vì lim
x 0
x
1, x 0
10/31/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-18
3
Hàm liên tục
Ví dụ. Với giá trị nào của c thì hàm số sau liên tục
trên ?
2
cx 2 x, x 2
f ( x) 3
x cx, x 2
Ví dụ. Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên
x2 4
,x 2
2 x 2
f ( x) ax bx 3, 2 x 3
2 x a b, x 3
10/31/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2-19
4
