Bài giảng Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến

HÀM
NHIỀU BIẾN

CHƯƠNG 3


KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN
Định nghĩa: Cho không gian:
R2 =

Ánh xạ:

{

(x , y ) : x , y Î R

f : D

}

va

D Ì R2

® R

(x , y ) a

z = f (x , y )

Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D

Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực z
x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc


KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN
Mỗi cặp (x,y)∈

tương ứng với một số thực z

x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc

Tập D là miền xác định (domain)
Miền giá trị (range) của hàm f





T  f  x, y   x, y   D


TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN
Khái niệm. Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các
cặp (x,y) sao cho giá trị biểu thức f(x,y) là số thực.
Ví dụ 1. Với D = ¡ 2 và f ( x, y )  x 3  x 2  xy.
Miền xác định của hàm số là cả không gian ¡ 2 .
Ứng với cặp số ( x, y)  (2, 1)  D , ta có z  f (2, 1)  23  (1)2  2.(1)  5
Ứng với cặp số ( x, y)  (3, 2)  D, ta có z  f (3,2)  33  22  3.2  29.
Ví dụ 2. Với mỗi hàm số sau, tìm f(3,2) và miền xác định.
a) f  x, y  

x  y 1
x 1

b) f  x, y   x ln  y 2  x 


TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN
A) Ta có:
f  3, 2  

Tập xác định:

3  2 1
6

3 1
2

D   x, y  x  y  1  0, x  1

b) Ta có:
f  3, 2   3ln  22  3  0

Tập xác định:
D

2
x
,

y
x

y






VÍ DỤ 1
Tìm và vẽ tập xác định của các hàm số sau:
a ) f (x , y ) =

y - x2

b ) f (x , y ) = ln (2x - y + 1)


KHÁI NIỆM HÀM BA BIẾN
Định nghĩa: Cho không gian:

R3 =
Ánh xạ:

{

(x , y , z ) : x , y , z Î R

f : D

}

va

D Ì R3

® R

(x , y , z ) a

u = f (x , y , z )

Được gọi là hàm ba biến xác định trên tập hợp D
Mỗi cặp (x,y,z)∈

tương ứng với một số thực u

x, y, z là các biến độc lập; u là biến phụ thuộc
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y,z) sao
cho giá trị biểu thức f(x,y,z) là số thực.


ĐỒ THỊ.
Định nghĩa. Nếu f là hàm hai biến với miền xác định D thì
đồ thị của f là tập hợp tất cả các điểm (x,y,z) sao cho
z  f  x, y 

 x, y   D

ĐỒ THỊ HÀM MỘT BIẾN


ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN
f  x, y   x 2 y  2 y


ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN
f  x, y   x 2  y 2


ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN
f  x, y   x 3  3 x  2 y 2


ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN
f  x, y    4 x  1 e
2

 x2  y 2


HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ
a) Hàm sản xuất
b) Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận
c) Hàm lợi ích
d) Hàm cung, hàm cầu

VÍ DỤ 2
Tìm các giới hạn sau
3x2 y
a) lim
 x , y  0,1 x 2  y 2

b) lim

3x 2 y
c) lim
 x , y 1,2  x 2  y 2

3x 2 y
d ) lim
 x , y  0,0  x 2  y 2

 x , y 1,2

x y  x y

2

3

2

 2 xy 

Sinh viên tự tham khảo thêm

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Định nghĩa. Hàm số hai biến f liên tục tại (a,b) nếu

lim

 x , y   a ,b 

f  x, y   f  a, b 

Hàm số f liên tục trên D nếu liên tục tại mọi điểm (a,b) trên D.
Chú ý.
Các hàm đa thức liên tục trên R2 , các hàm hữu tỉ liên tục trên
miền xác định của nó.


VÍ DỤ 3.
Tìm các khoảng liên tục của hàm số:

x2  y2
f  x, y   2
x  y2


ĐẠO HÀM RIÊNG
Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D.
Xem y như hằng số ta được hàm một biến theo x.
Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàm riêng theo biến
x.
Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến y

Ký hiệu:
¶f
¶
=
f (x , y ) =
¶x
¶x
¶f
¶
fy¢(x , y ) = fy¢=
=
f (x , y ) =
¶y
¶y
f x¢(x , y ) = f x¢ =

¶z
= D x f = z 'x
¶x
¶z
= D y f = z 'y
¶y


ĐẠO HÀM RIÊNG
Đạo hàm riêng của hàm f(x,y) tại điểm (x0,y0)
f (x , y 0 )¶f
f 'x =
= lim
x® x0

¶x
xf (x 0 , y )¶f
f 'y =
= lim
y ® y0
¶y
y-

f (x 0 , y 0 )
x0
f (x 0 , y 0 )
y0

Lấy đạo hàm riêng theo biến nào thì xem biến còn lại như
hằng số và tiến hành lấy đạo hàm như hàm 1 biến.


VÍ DỤ 4.
Cho hàm số
z = x 3 + 3xy 2 - y 4

Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số)
z 'x = 3x 2 + 3y 2

Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số)
z 'y = 6xy - 4y 3


VÍ DỤ 5.
Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:

a ) f  x, y   x 3  x 2 y 3  2 y 2
 x 
b) f  x, y   sin 

1

y


c) f  x, y, z   e xy ln z

Với hàm nhiều hơn hai biến ta làm tương tự.


ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO
Đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 1 gọi là ĐHR
cấp 2
Tương tự cho các cấp cao hơn.
Ký hiệu:
2
2


z

f

z



 f x x  f xx     2  2
x  x  x
x

2
2


z

f

z



 f x y  f xy    
y  x  xy xy

  z   2 f
2 z

 f y  x  f yx  x  y   yx  yx
 

  z   2 f  2 z

 f y  y  f yy  y  y   y 2  y 2
 

VÍ DỤ 6.
Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau.
3

2

z  x  y  xy
Đáp án

z 'x  3 x 2  y

z ' y  2 y  x

z "xx  6 x

z "xy  1

z "yx  1

z "yy  2


VÍ DỤ 7.
Tính các ĐHR cấp 2 của hàm số:

a) z  x

y

b) z  e

xy

x
c) z  ln  
 y


VÍ DỤ 8.
Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số:
3

2

3

f  x, y   x  x y  2 y

2

Hỏi:
- Hàm 2 biến có bao nhiêu ĐHR cấp 2?
- Hàm n biến có bao nhiêu ĐHR cấp 2?
- Thứ tự lấy ĐHR có ảnh hưởng đến kết quả???