CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: MẠCH PHI TUYẾN

CHUYÊN ĐỀ MẠCH PHI TUYẾN
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các kiến thức Vật Lý về mạch
điện, cả giáo viên và học sinh đều gặp khó khăn về các vấn đề về mạch phi tuyến.Vì tài
liệu tham khảo phần này tương đối ít; các vấn đề khó nên ảnh hưởng không nhỏ đến quá
trình học tập của các em. Qua quá trình dạy chuyên và bồi dưỡng học sinh giỏi, bản thân
tôi tìm hiểu và đúc rút một số kinh nghiệm của bản thân về các vấn đề về mạch phi tuyến.
Nhằm giúp bản thân tôi trong quá trình giảng dạy được tốt hơn và để chia sẽ những kinh
nghiệm với đồng nghiệp tôi chọn chuyên đề: “PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
VỀ MẠCH PHI TUYẾN”
Cấu trúc đề tài:
- Lý thuyết về mạch phi tuyến.
- Phương pháp giải các vấn đề về mạch phi tuyến.
- Một số bài tập vận dụng.
Các loại bài tập:
- Mạch có chứa phần tử phi tuyến
- Bài toán đồ thị
- Bài toán điốt nắn dòng
II. TẦM QUAN TRỌNG CỦA CHUYÊN ĐỀ
Mạch điện phi tuyến là một dạng bài toán khá quan trọng trong chương trình chuyên
sâu về mạch điện, chính vì vậy loại bài toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi
học sinh giỏi, đặc biệt là trong đề thi học sinh giỏi quốc gia. Theo thống kê từ các đề thi
học sinh giỏi quốc gia từ 2001 đến 2014 thì số bài toán về mạch phi tuyến xuất hiện khá
thường xuyên.
III. THỰC TRẠNG CHUYÊN ĐỀ
Thực trạng bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí hiện nay, giáo viên cũng chưa chú trọng
nhiều đến dạng bài toán này vì đây là một dạng bài toán khá phức tạp, áp dụng nhiều công
cụ toán như đạo hàm, vi phân, tích phân, phương pháp số... Trong khi học sinh lớp 11
chưa kịp trang bị các công cụ này gây khó khăn với học sinh trong việc tiếp cận các bài
toán dạng này. Ngoài ra, trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh của tỉnh nhà cũng chưa
tiếp cận với dạng toán này nên chưa có động lực để giáo viên tìm tòi nghiên cứu.

IV. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
A.VĂN
LÝGIANG
THUYẾT MẠCH PHI TUYẾN
GIÁO VIÊN: LÊ
1. Mạch phi tuyến là gì?
BỘ MÔN: VẬT LÝMạch tuyến tính là mạch điện chứa các phần tử tuyến tính. Phân tử tuyến tính là các
phần tử như điện trở R,( có thể là cuộn dây L hay tụ điện C trong mạch xoay chiêu) có trị
số không đổi theo thời gian.
Cường độ dòng điện chạy qua phần tử tuyến tính thì tỉ lệ thuận với hiệu điện thế giữa hai
đầu phần tử đó.
Ví dụ: I =

U
R

Các phần tử trên được gọi là tuyến tính bởi vì đặc tuyến Vôn-Ampe của nó là một
đường thẳng. Nghĩa là, cường độ dòng điện I phụ thuộc vào hiệu điện thế U theo hàm số
I
bậc nhất (hàm số tuyến tính)

U


Mạch phi tuyến là mạch điện chứa các phần tử phi tuyến là những phần tử ví dụ như
điện trở R,( có thể là cuộn dây L hay tụ điện C trong mạch xoay chiêu) có trị số thay đổi
theo thời gian.
Đối với các phần tử phi tuyến thì dòng điện chạy qua nó không tuân theo định luật
Ôm. Ví dụ: khi trị số điện trở thay đổi thì:
I≠

U
R

Khi đó đặc tuyến Vôn-Ampe của nó không phải là một đường thẳng. Nghĩa là,
cường độ dòng điện I phụ thuộc vào hiệu điện thế U theo hàm số không phải là hàm số bậc
nhất (hàm số phi tuyến tính)
Trong kỹ thuật và trong đời sống ta
thường gặp các phần tử phi tuyến nhiều hơn bởi
vì
trong thực tế mọi phần tử của mạch điện đều có
trị
số phụ thuộc vào nhiệt độ.
Một số phần tử phi tuyến:
- Dây tóc bóng đèn.
- Nhiệt điện trở thermistor
- Điện trở phi tuyến varister
- Điốt điện tử
- Điốt bán dẫn
2. Các thông số đặc trưng cho mạch phi tuyến
Một phần tử tuyến tính có các trị số không đổi ví dụ như điện trở R , cuộn cảm L, điện
dung C được gọi là các thông số “tĩnh”.
Một phần tử phi tuyến thì ngoài các thông sô “tĩnh” còn có các thông số “động”
Các thông số “động” hay thông sô tức thời của phần tử phi tuyến đặc trưng cho phần tử phi
tuyến đó,còn các thông số “tĩnh” và thông sô trung bình thường không mang nhiều ý nghĩa
vật lý ( ít được sử dụng trong bài toán)
+ Điện trở:
- Điện trở tĩnh: R =

U

I

- Điện trở trung bình: Rtb =
- Điện trở động: Rd =
+ Độ tự cảm của cuộn dây:
- Độ tự cảm tĩnh: L =

∆U
∆I

du
=u'
di
Φ
I

- Độ tự cảm trung bình: Ltb =
- Độ tự cảm động: Ld =

dΦ
di

∆Φ
∆I

+ Điện dung tụ điện:
- Điện dung tĩnh: C =

Q
U

- Điện dung trung bình: Ctb =
- Điện dung động: C =

dq
dt

∆Q
∆U


Các thông số Rd , Ld , Cd là hàm theo cường độ dòng điện i hoặc hiệu điện thế u của chúng
nên nó đặc trưng cho phần tử phi tuyến tại mỗi điểm trên đặc tuyến vôn – ampe.
3. Các cách biểu diễn đặc tuyến của một phần tử phi tuyến thường gặp
Cách 1: cho hàm số u = f(i) hay i = f(u), với f không phải là một hàm tuyến tính
Cách 2: cho đặc tuyến vôn – ampe của phân tử đó
Cách 3: cho đồ thị hoặc đặc tuyến vôn – ampe của phân tử đó và kèm theo số liệu hoặc
toạ độ của 1 số điểm.
Cách 4: cho bảng ghi số liệu U – I đây cũng là một cách cho dữ kiện mang tính sử lý số
liệu.
4 Các tính chất của mạch phi tuyến
+ Mạch phi tuyến không có tính xếp chồng nghiệm hay không áp dụng được nguyên lý
chồng chập các trạng thái điện
+ Mạch phi tuyến có tính chât tạo tần số
Ví dụ: với những phần tử phi tuyến R, L ,C trong mạch điện xoay chiều điện áp có
tần số góc ω thì dòng qua mạch có thể có tần số góc là 0, ω, 2ω, 3ω,…
Nếu điện áp kích thích dạng hình sin thì do quan hệ phi tuyến nên cường độ dòng
điện trong mạch có thể không có dạng sin mà có thể phân tích thành tổng các dao động
điều hoà có tần số khác nhau.
+ Các định luật Kirchhoff vẫn đúng trong mạch điện phi tuyến.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ MẠCH PHI TUYẾN
Thông thường dựa vào dữ kiện và yêu cầu của đề bài thì có 3 phương pháp sau để
tìm nghiệm gần đúng trong một bài toán mạch phi tuyến và các phương pháp này kết hợp
với các những định luật nghiệm đúng trong mạch phi tuyến.
Ba phương pháp đó là: Phương pháp đồ thị, phương pháp số và phương pháp biểu
diễn gần đúng đặc tuyến bằng một hàm xấp xĩ.
1. Phương pháp đồ thị:
Từ đặc tuyến của các phần tử, ta vẽ đặc tuyến chung của mạch, sau đó xác định điểm
làm việc theo dữ kiện bài tập.
Do các mạch điện chủ yếu được cấu thành từ hai cách ghép cơ bản là ghép sông
song và ghép nối tiếp nên ta xét hai trường hợp cơ bản của mạch phi tuyến.
* Trường hợp các phần tử ghép nối tiếp:
Nguyên tắc: trong
mạch nối tiếp thì dựa vào 2
i (U1)
định luật Kirchhoff, ta có:
i (U2)
U
 Ii = I

U = ΣU i

Từ nguyên tắc trên ta có thể vẽ được đặc tuyến vôn –
ampe của mạch nối tiếp bằng cách cộng các đặc tuyến I(Ui) theo
trục hoành ( trục OU) như hình vẽ sau.
* Các phần tử ghép song song:
i(U1)
Đối với trường hợp các phần
tử Phi tuyến ghép song
song ta có:

U = U i

 I = ΣI i

I

U

i2(U)
i1(U)

Từ nguyên tắc trên ta có thể vẽ được đặc tuyến vôn –
ampe của mạch nối tiếp bằng cách cộng các đặc tuyến
I(Ui) theo trục tung ( trục I) như hình vẽ.
u

V


Đối với mạch phức tạp ta có thể nhóm các nhóm nối tiếp và song song rồi vẽ đặc
tuyến chung cho cả đoạn mạch.
Ưu điểm của phương pháp này là giải quyết được những bài toán đồ thị bài
hay đặc tuyến vôn-ampe.
Nhược điểm của phương pháp này là khi giải quyết các mạch phức tạp thì giải bài
toán bằng phương pháp đồ thị trở nên khó khăn và tính chính xác không cao,
2. Phương pháp số:
Để khắc phục nhược điểm của phương pháp đồ thị cho mạch phức tạp người ta
dùng phương pháp số. Nội dung của phương pháp này là:
- Biểu diễn gần đúng đặc trưng V-A của các phần tử bằng các hàm số đại số.
- Giải phương trình đại số bằng phương pháp đại số hoặc phương phá số.

Phương pháp số có độ tin cậy và chính xác cao là phương pháp lặp
 Phương pháp lặp cơ bản:
Cơ sở toán học: xét phương trình g(x) = 0 (1)
Ta đưa phương trình về dạng x = f(x) (2) sao cho f(x) là hàm có tập xác định là R
Chọn x0 là một nghiệm gần đúng của (1)
Ta có x1 = f(x0); x2 = f(x1); x3 = f(x2),…, xn+1 = f(xn)
Ta lặp đi lặp lại đến khi xn+1 = xn = x (*) thì x là nghiem của (1)
Chứng minh: dễ dàng thấy rằng khi xảy ra điều kiện (*) thì x thoả (2) do đó x là nghiệm
của (1)
 Phương pháp lặp Newton:
Vận dụng công thức Newton: Biểu diễn đặ tuyến bằng hàm phi tuyến g (x) = 0. Chọn
x0 là nghiệm gần đúng.
g ( x0 )

Thì nghiệm gần đúng bậc 1 sẽ là: x1 = x0 - g ' ( x )
0
Nghiệm gần đúng bậc n+1 là:
g(xn )

xn+1= xn - g ' ( x )
n
Khi n → 0 thì g(x) → 0. Khi g(xn+1) = g( xn ) = 0 thì lấy xn+1là nghiệm của phương trình.
Phép lặp càng nhiều lần thì hiệu xn+1 – xn càng nhỏ do đó nghiệm càng chính xác.
Phương pháp lặp cơ bản và phương pháp lặp Newton thường được dùng trong các bài
toán về mạch phi tuyến khi phải giải các phương trình phi tuyên tính tính.
Nếu kết hợp với phương pháp đồ thị nhằm tìm ra x0 gần đúng nhất thì chỉ sau vài bước
lặp ta có thể xác định đựơc nghiệm gấn đúng của phương trình. Phương pháp lặp Newton
tuy không chính xác bằng phương pháp lặp cơ bản nhưng lại nhanh cho nghiệm hơn đối
với những hàm tương đối phức tạp. Do đó, khi phải sử dụng đến phương pháp lặp mà
không cần độ chính xác quá cao thì ta nên dùng phương pháp lặp Newton để giải quyết bài

toán một cách nhanh nhất.
3. Phương pháp biểu diễn gần đúng các đặc tuyến bằng hàm xâp xĩ:
Đôi khi gặp các bài toán cho đồ thị hoặc bảng số liệu mà khi vẽ đồ thị ta ra những
dạng đồ thị gần đúng với với đồ thị của các hàm giải tích quen thuộc và ta biểu diễn I =
f(U) hay U = f(I) cho bởi các hàm giải tích đó.
Phương pháp trên được gọi là biểu diễn gân đúng đặc tuyến bằng một hàm xấp xĩ.
Lưu ý là để tăng độ chính xác, sau khi tìm ra hàm xấp xĩ thì ta nên vẽ một đồ thị biểu diễn
quan hệ I – f(U) (hayU – f(I)) với I = kf(U) ( hay U = kf(I)) và k là một hằng số
Ta xem thử đồ thị I – f(U) có gần đúng là đường thẳng hay không và sẽ có lợi hơn
khi dùng đường thẳng để ngoại suy trên đồ thị.


Một số hàm giải tích cơ bản:
y = ex

x+a
y=
x+b

y = a.x 2

Lưu ý: Ngoài ba phương pháp điển hình nêu trên, nhiều bài toán về mạch phi tuyến
chỉ cần dùng các định luật Kiếc-sốp lập hệ phương trình để giải.
4. Bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho mạch điện như hình vẽ: có nguồn không đổi E = U =
10V, điện trở R là một điện trở phi tuyến.
Đóng khoá K. Tìm số chỉ Ampe kế, cho biết điện trở của Ampe
kế, của nguồn và các dây dẫn tổng cộng là R1 = 500Ώ.
Cho biết R có đặc tuyến vôn – ampe như sau:

a. Cho đồ thị I(U) như hình vẽ.
b. Cho bảng số liệu:
U(V)
1,0
2,0
3,0
4,0
I(mA)
4,0
5,7
6,9
8,0
Giải:
a. Ta dùng phương pháp đồ thị
E −u

U −u

Ta có: E = i.R1 + u ⇒ i = R = R
1
1
Thay số ta được: i = 20 − 2u
Vẽ đồ thị của hàm số i = 20 − 2u như sau:
Giao điểm hai đồ thị chính là tọa độ mà mạch đang làm việc.
Dựa trên đồ thị ta xác định được i = 9,3mA và u = 5,4V
b. Dựa vào bảng số liệu ta có đồ thị gần đúng như hình vẽ
Ta nhận thấy đồ thị có dạng xấp xĩ là một parabol nên ta vẽ đồ thị
u=k.0,25i2
Từ đồ thị suy ra được k = 0,25.
Vậy: u = 0,0625i2

Kết hợp với u = U − i.R1 ⇒ 0, 0625i 2 + i.R1 − U = 0
Thay số vào ta được: 0.0625i +0.5i – 10 = 0 (với R1 = 0,5k Ω )
Giải phương trình bậc hai ta được: i=9,266499161mA
2


Nếu dùng phương pháp lặp cơ bản i = 4 10 − 0,5i
Chọn i= 10 ta bắt đầu lặp ta có bảng sau:
i = 4 10 − 0,5i
I
10
8.94427191
8.94427191
9.404564037
9.404564037
9.206708842
9.206708842
9.292272556
9.292272556
9.255367067
9.255367067
9.271303223
9.271303223
9.264425196
9.264425196
9.267394371
9.267394371
9.266112725
9.266112725
9.26666597

9.26666597
9.266427156
9.266427156
9.266530243
9.266530243
9.266485745
9.266485745
9.266504953
9.266504953
9.266496661
9.266496661
9.266500241
9.266500241
9.266498696
9.266498696
9.266499362
9.266499362
9.266499075
9.266499075
9.266499199
9.266499199
9.266499145
9.266499145
9.266499168
9.266499168
9.266499158
9.266499158
9.266499163
9.266499163
9.266499161

9.266499161
9.266499162
9.266499162
9.266499161
Vậy nếu chỉ muốn nghiệm chính xác đến 3 chữ số thập phân thì ta chỉ cần lặp 10 lần.
Tuy nhiên phương pháp lặp chỉ nên sử dụng đối với trường hợp phương trình phi tuyến
không giải được bằng cách thông thường.
Nếu dùng phương pháp lặp Newton, ta có:
g(i) = 0.0625i +0.5i – 10 do đó g’(i) = 0.125i + 0.5
2


g ( xn )
0.0625in 2 + 0.5in – 10
= in −
Nên: in +1 = i n −
g '( xn )
0.125in + 0.5
Chọn i0 = 10mA thực hiện phép lặp ta có bảng:
in −

in +1

0.0625in 2 + 0.5in – 10
0.125in + 0.5

10
9.285714285
9.285714285
9.266513057

9.266513057
9.266499161
9.266499161
9.266499161
Ta thấy sau 4 bước lặp đã cho kết quả chính xác đến 3 chữ số
thập phân.
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ, các pin đều có suất
điện động là E và điện trở trong r. Điện trở của biến trở có giá
trị R. Các dây nối có điện trở không đáng kể. Đ là một điốt lí A
tưởng. Tính hiệu điện thế giữa hai đầu biến trở khi R giảm từ
lớn xuống nhỏ. Có một giá trị đặc biệt R0 của R, hãy xác định
giá trị đó. (trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 19841985)
Giải: Khi R lớn Thì I nhỏ. Nếu chọn VA = 0 thì: VB = 2ξ − 2rI ≈ 2ξ
Dòng i2 qua nhánh trên cũng nhỏ VC = ξ − ri2 ≈ ξ
Ta thấy VB > VC nên đi ốt không cho dòng điện chạy qua. Do đó ta có:

Đ
C
B

R

2ξ
2ξ R
⇒ UR =
(1)
R+r
R+r
Nếu R giảm thì I tăng, VB giảm; Khi VB = VC = ξ thì điốt mở. Lúc đó: U R = VB = ξ
I=

Thay vào trên ta tính ra giá trị R = R0 = 2r
Khi R<2r thì điốt mở. Áp dụng định luật ôm:

VB = Ri1 = 2ξ − 2rI = ξ − ri2
Đồng thời: i1 = I + i2
4ξ
4ξ R
Từ đó tìm được: i1 =
và U R =
(2)
3R + 2r
3R + 2r
Như vậy khi R giảm thì U R giảm theo biểu thức (1), khi R=2r và khi R<2r thì điốt mở và đ
U R giảm theo biểu thức (3).

Ví dụ 3:
Một bóng đèn Đ được mắc vào mạch điện như hình vẽ. Trong đó U = 100V;
R1 = 14Ω; R2 = 36Ω; R3 = 18Ω . Biết đặc tuyến vôn –ampe I d ( A) U
Đ
của đèn được biểu diễn như hình vẽ.
R101
a. Tính điện trở của đèn khi K mở và
8,4
khi K đóng.
Đ
b. Biết hệ số nhiệt điện trở của đèn là
5
2
α = 3.10−4 K −1 . Hỏi nhiệt độ của đèn

K
khi K đóng và khi K mở chênh nhau
3
U
bao nhiêu?
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Giải:
UĐ
Khi K mở thì ta có: [ ( R1ntR2 ) / / Rd ] ntR3
Điện trở tương đương của mạch:

R

R


900 + 68 Rd
100(50 + Rd )
⇒I=
50 + Rd
900 + 68 Rd
R
5000
I d = I d 12 =
⇒ U d = 73,53 − 13, 23I d
Rd
900 + 68 Rd
Từ đó:
R=

⇒ I d = 5,56 − 0, 076U d

UĐ

100

Khi K đóng ta lại có: I d = R + 12 ⇒ U d = 100 − 12 I d
d
10
I
=
8,34
−
0,
084
U
Hay d
d
8,34
Vẽ đồ thị biểu diễn ta tìm các giao điểm. Ta được:
I d 1 = 4,5 A;U d 1 = 13V
U d1
Suy ra: Rd 1 = I = 2,84Ω
d1

5

Tương tự:
I d 2 = 6,55 A;U d 1 = 24V ⇒ Rd 2 =

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Ud 2
= 3, 66Ω
Id 2

UĐ

5. Bài tập
Bài 1. Có hai phần tử phi tuyến mà đặc trưng Vôn-Ampe được biểu thị bằng hệ thức
U = 10 I 2 trong đó I tính bằng A, U tính bằng V. Mắc hai phần tử đó nối tiếp nhau vào một
nguồn điện có suất điện động 10V có điện trở trong không đáng kể. Sau đó, mắc thêm một
điện trở Rsong song với một trong hai phần tử đó. Tìm R để công suất tỏa nhiệt trên điện
trở R đạt cực đại.
Bài 2. Cho mạch điện như hình vẽ, các điện trở có giá trị
R1 = 1k Ω; R2 = 2k Ω; R3 = 3k Ω; R4 = 2k Ω; Điốt Đ có đặc tuyến như hình vẽ. Đặt vào hai đầu A,B
một hiệu điện thế U AB = 100V .

R1

C

I(mA)

R3

A

10
B

D

R2 R4

0

10

20 30

U(V)

V. KẾT LUẬN
Mạch phi tuyến là một vấn đề khó trong chương trình chuyên Vật Lý 11. Trong quá
trình làm đề tài này, tôi đã rút ra nhiều kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giảng dạy.
Tôi đã đọc rất nhiều tài liệu về mạch phi tuyến. Tìm hiểu lý thuyết về mạch phi tuyến, các
phương pháp giải bài tập và một số bài tập vận dụng cho các phương pháp này.
Khi làm đề tài này, bản thân tôi đã đặt rất nhiều tâm huyết vào nó. Tôi hy vọng qua
quá trình giảng dạy thực tế, tìm hiểu trong sách báo, trên mạng các về mạch phi tuyến, kiến
thức Vật Lý về mạch phi tuyến của bản thân tôi sẽ được nâng cao, giúp tôi thuận lợi trong
quá trình giảng dạy. Mặt khác, đề tài này sẽ giúp các đồng nghiệp có một tài liệu tham
khảo bổ ích trong quá trình học tập.
Tôi hy vọng sẽ nhận được những phản hồi từ các bạn đồng nghiệp, để tôi hoàn thiện đề
tài này hơn cũng như dần hoàn thiện kiến thức của bản thân. Tôi xin chân thành cảm ơn.


VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tài liệu chuyên bài tập Vật lí 11- Vũ Thanh Khiết; Nguyễn Thế Khôi-NXBGD
2. Các đề thi học sinh giỏi Vật lí 2001-2010- Vũ Thanh Khiết; Vũ Đình Túy-NXBGD

3. SKKN của giáo viên Phạm Thị Hồng Hoa- THPT Chuyên Quảng Bình.


VII. PHỤ LỤC