Các bài toán chứng minh khó

Một số bài toán chứng minh, khó của bậc trung học
I .Phương pháp giải các bài chứng minh :
Một số cách giải bài toán chia hết :
Cách 1 : Để chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố p có thể xét mọi trường
hợp về số dư khi chia n cho p .
Vd : Chứng minh rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp có một số và chỉ một số chia hết cho
3 .
Giải
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a, a +1, a + 2 ( a thuộc N )
Ta xét 3 trường hợp :
TH1: a chia cho 3 dư 0
Suy ra : a chia hết cho 3
TH2: a chia cho 3 dư 1
Ta có : a = 3q + 1
a + 2 = 3q +1 + 2
a + 2 = 3q + 3
a + 2 = 3q + 3 .1
a + 2 = 3.(q + 1 )
Suy ra : a +2 chia hết cho 3
TH3 : a chia cho 3 dư 2
Ta có : a = 3q + 2
a + 1 = 3q +2 + 1
a + 1 = 3q + 3
a + 1 = 3q + 3 .1
a + 1 = 3.(q + 1)
Suy ra : a + 1 chia hết cho 3
Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp có duy nhất 1 số chia hết cho 3 .
Cách 2 : Để chứng minh A(n) chia hết cho một hợp số m ta phân tích m = p .q
a) Nếu ƯCLN ( p,q ) = 1 thì ta lần lượt chứng minh A(n) chia hết cho p , A(n) chia hết
cho q rồi suy ra A(n) chia hết cho p .q hay A(n) chia hết cho m .
Vd : Chứng minh tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 .

Giải
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n +2 . Tích của chúng là :
A(n) = n .( n + 1 ) .( n +2 )
* Ta chứng minh A(n) chia hết cho 2
Trong 2 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 2
Suy ra : A(n) chia hết cho 2 .
*Ta chứng minh A(n) chia hết cho 3
Trong 3 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có duy nhất 1 số chia hết cho 3
Suy ra : A(n) chia hết cho 3
*Mà : ƯCLN( 2;3 ) = 1
Do đó : A(n) chia hết cho 2 .3
Hay : A(n) chia hết cho 6
Vậy tích 3số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 .
b) Nếu ƯCLN( p,q ) khác 1 thì ta tìm cách phân tích A(n) thành tích của các thừa số
trong đó có thừa số chia hết cho p, thừa số khác chia hết cho q .
Vd : Chứng minh rằng tích 2 số chẵn liến tiếp chia hết cho 8 .
Giải
Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n thuộc N )
Ta có : Tích của chúng là A(n) = 2n .( 2n + 2 )
= 2 .n .2 .( n + 1 )
= 2 .2 .n .( n + 1 )
= 4n .( n +1 )
Ta có : 4 chia hết cho 4
n .( n + 1 ) chia hết cho 2 ( vì n ; n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp )
Suy ra : A(n) chia hết cho 8
Vậy tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 .
Cách 3 :
a) Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta có thể phân tích A(n) thành tổng rồi chứng
minh tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho m .

Vd : Chứng minh A(n) = n^2 + 3n chia hết cho 2 .
Giải
Ta có : A(n) = n^2+ 3n
= n^2 + n + 2n
= n .n + n .1 + 2 .n
= n .( n + 1 ) + 2n
Ta có : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 ( vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp )
2n chia hết cho 2
Suy ra : A(n) chia hết cho 2
Vậy A(n) = n^2 + 3n chia hết cho 2 .
b) Để chứng minh A(n) không chia hết cho m ta có thể phân tích A(n) thành tổng rồi
chứng minh một số hạng nào đó của tổng không chia hết cho m còn tất cả các số hạng
khác đều chia hết cho m .
Cách 4 :
Ta có thể sử dụng tính chất sau để chứng minh chia hết :
Nếu : a = 1bs(d) + r thì
a^n = 1bs(d) + r ^n ( 0 < r < d )
Vd : Chứng tỏ A(n) = n . ( n^2 – 49 ) . ( n^2 + 49 ) chia hết cho 2 .
Giải
Ta xét 2 trường hợp :
TH1 : n là số chẵn
Suy ra : n chia hết cho 2
Do đó : n . ( n.n – 49 ) . ( n.n + 49 ) chia hết cho 2
Vậy A(n) chia hết cho 2
TH2 : n là số lẻ
Suy ra : n = 1bs(2) + 1
n^2= 1bs(2) + 1^2
n^2= 1bs(2) + 1
Do đó : n^2 – 49
= 1bs(2) + 1 – 49

= 1bs(2) – 48
Vì 1bs(2) + 48 chia hết cho 2 nên n^2 – 49 chia hết cho 2
Hay n . ( n^2 – 49 ) . ( n^2 + 49 ) chia hết cho 2
Vậy A(n) chia hết cho 2 .
Cách 5 :
Có thể sử dụng các công thức sau đây để chứng minh chia hết :
a^2 – b^2 = ( a – b ) .( a + b ) (1)
a^2 – b^2 = ( a + b ) . ( a^2 – ab + b^2 ) (2)
a^3 + b^3 = ( a + b ) . ( a^2 – ab + b^2 ) (3)
Một cách tổng quát :
(1) a^2 – b^n = ( a – b ) .M
với n là số bất kì . Trong đó :
M = a^ n – 1 + a^ n – 2 . b + .....+ a .b^ n – 2 + b^n – 1
(2) a^n – b^n = ( a + b ) . N
với n là số chẵn . Trong đó :
N = a^n – 1 + a^n – 2 .b + .....+ ab^n – 2 + b^n – 1
(3) a^n + b^n = ( a + b ) .P
với n là số lẻ . Trong đó :
N = a^n – 1 – a^n – 2 .b + .....+ ab^n – 2 + b^n – 1
Do đó :
Theo (1)và(2) :
_ a^n – b^n chia hết cho a – b ( nếu a khác b và n là số bất kì ) .
_ a^n – b^n chia hết cho a + b ( nếu a khác b và n là số chẵn ) .
Theo (3) :
_ a^n + b^n chia hết cho a + b ( nếu a khác b và n là số lẻ ) .
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp :
Ta xét A(n) là số nhỏ nhất . Rồi giả sử nó đúng với số k . Tiếp theo, ta cân chứng minh
nó đúng với k + 1 .
Vd : Chứng tỏ : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 .
Giải

*Xét n = 0, ta có :
0 .( 0 + 1 ) = 0 . 1 = 0
Mà : 0 chia hết cho 2
Do đó : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 với n = 0
*Giả sử : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 với n = k,
có nghĩa là k .( k + 1 ) chia hết cho 2
*Ta cần chứng minh : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 với n = k +1
Ta có : ( k + 1 ) . ( k + 1 + 1)
= ( k + 1 ) . ( k + 2 )
= ( k + 1 ) . k + ( k + 1 ) .2
Ta có : k . ( k + 1 ) chia hết cho 2
( k + 1 ) . 2 chia hết cho 2
Suy ra : ( k + 1 ) . ( k + 1 + 1 ) chia hết cho 2
Vây n .( n + 1 ) chia hết cho 2 .
II . Các kiến thức tổng quát thường được sử dụng chứng minh :
Tính số đoạn thẳng của một hình :
( n – 1 ) . n : 2 ( n là số điểm và từ 2 điểm trở lên )
Công thức tính một tổng nhiều số hạng :
Số số hạng : ( số cuối – số đầu ) : khoảng cách + 1
Tổng số hạng : ( số cuối + số đầu ) : 2 . số số hạng
So sánh hai lũy thừa :
1/Cách so sánh :
a) Nếu a > b thì a^n > b^n ( vd : 9 > 8 thì 9^2 > 8^2 )
b) Nếu m > n thì a^m > a^n ( vd : 5 > 3 thì 2^5 > 2^3 )
2/Để so sánh 2 luỹ thừa ta thường dùng các công thức sau : Lũy thừa của lũy thừa; Lũy
thừa của một tích; Lũy thừa của một thương .
3/Chú ý : Nếu a^m = a^n thì m = n ( a khác 0, a khác +/– 1 )
Tính chất của ƯC( a,b )
Nếu : a chia hết cho d,b chia hết cho d . Suy ra : a + b chia hết cho d ( hoặc a – b chia
hết cho d ) ( a, b thuộc N )

III . Một số kiến thức bổ sung :
Thuật tính Euclide :
Ta có :
a = b . q + r
b = q 1 . r + r 1
r = r 1 . q 2 + r 2
r 1 = r 2 . q 3 + r 3
.....
r n = r ( n +1 ) . q ( n +2 ) + r( n +2 )
r ( n + 1 ) = r ( n + 2 ) . q ( n + 3 ) + 0
ƯCLN ( a ; b ) = r ( n + 2 )
Một cách khái quát :
Muốn tìm ƯCLN của hai số đã cho, nếu hai số đã cho mà số lớn không chia hế cho số
nhỏ thì ƯCLN của hai số đó là số dư cuối cùng khác 0 trong dãy phép chia liên tiếp .
Vd : Tìm ƯCLN ( 152; 60 )
Giải
Ta có :
152 : 60 = 1 dư 32
60 : 32 = 1 dư 28
32 : 28 = 1 dư 4
28 : 4 = 7 dư 0
Vây ƯCLN ( 152; 60 ) = 4
Kiến thức nhận biết chữ số tận cùng :
1/Tích các số lẻ là 1 số lẻ .
2/Tích của một số tận cùng bằng 5 với 1 số lẻ bất kì là 1 số có chữ số tận cùng bằng 5 .
3/Tích của 1 số tận cùng bằng 0 với 1 số tự nhiên là 1 số có chữ số tận cùng bằng 0 .
4/Tích của 1 số chẵn với 1 số tự nhiên là 1 số chẵn .
5/Chữ số tận cùng của 1 lũy thừa :
a) ..... 1^n = ..... 1

..... 5^n = ..... 5
..... 6^n = ..... 6
b) ..... 7^4n = ..... 1
..... 9^2n = ..... 1
..... 9^4n = ..... 1
c) ..... 2^4n = ..... 6
..... 4^4n = ..... 6
..... 8^4n = ..... 6
..... 4^2n = ..... 6
IV . Các bài toán chứng minh ở Trung học :
Các bài toán chứng minh đại số :
1/Chứng minh n + 2 / n + 1 là phân số tối giản .
2/Chứng minh rằng : 12^2n +1 + 11^n +2 chia hết cho 133 .
3/Chứng minh rằng 4^n + 15n – 1 chia hết cho 9 .
4/Chứng tỏ :
a) /a/ lớn hơn hoặc bằng 0 (a thuộc Z ) .
b) /a/ lớn hơn hoặc bằng a (a thuộc Z ) .
5/Cho a;b thuộc Z . Chứng tỏ : a – b và b – a là hai số đối nhau .
6/Chứng minh phân số sau là phân số tối giản :
a) m + 2 / m + 3 .