Tài liệu Các bài toán chứng minh tính vuông góc (Bài tập và hướng dẫn giải) ppt

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 03 tháng 01 năm 2010
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Các bài toán chứng minh tính vuông góc.
Bài 1 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh
a
và
SA SB SC a
= = =
.
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
2. Chứng minh
SBD
∆
vuông tại S.
Bài 2 : Tứ diện SABC có
( )
.SA mp ABC⊥
Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABC và SBC.
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
( ) ( )
SAC BHK
⊥
2. Chứng minh
( )
HK SBC
⊥
và
( ) ( )

.SBC BHK⊥
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm Ô và có cạnh SA vuông góc
với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
1. Chứng minh
( ) ( )
.SBD SAC⊥
2. Chứng minh
( )
||BD mp P

Bài 4 : Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông
góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (
S A
≠
). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông
góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh:

' , 'AB SB AD SD⊥ ⊥
và
. ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD
= =
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=
3a
, mặt bên
(SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD=
5a
.
a) Chứng minh:
( )SA ABCD
⊥

. Tính SA=?
b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của
SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR:
( )AK SBC
⊥
;
( )AL SCD
⊥
.
c) Tính diện tích tứ giác AKHL=?
………………….Hết…………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
Page 2 of 10
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
………… , ngày ….tháng… năm …..
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ LUYỆN BG SỐ 2

Quan hệ vuông góc trong không gian.
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
• BTVN – 04/02/2010:

Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
SA SB SC a
= = =
.
3. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
4. Chứng minh
SBD
∆
vuông tại S.
HDG:
1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì
SA SB SC a
= = =
nên
( )
SO mp ABCD
⊥
. Mà
AC BD⊥
vì ABCD là hình thoi, nên
O BD
∈
Có:
( ) ( ) ( ) ( )
,SO SBD SO ABCD SBD ABCD
∈ ⊥ ⇒ ⊥
Bài 2: Tứ diện SABC có
( )
.SA mp ABC⊥
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác

ABC và SBC.
3. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
( ) ( )
SAC BHK
⊥
4. Chứng minh
( )
HK SBC⊥
và
( ) ( )
.SBC BHK⊥
HDG:
1. Vì H là trực tâm tam giác
ABC BH AC∆ ⇒ ⊥
, theo giả thiết

( )
SA mp ABC BH SA⊥ ⇒ ⊥
. Nên
( )
BH mp SAC SC BH⊥ ⇒ ⊥
Do K là trực tâm
SBC BK SC∆ ⇒ ⊥
Từ đó suy ra
( ) ( ) ( )
SC mp BHK mp BHK mp SAC⊥ ⇒ ⊥
(đpcm)
2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:
( )
SB mp CHK SB HK⊥ ⇒ ⊥

Mà
( )
SC mp BHK SC HK⊥ ⇒ ⊥
. Do đó:
( ) ( ) ( )
HK mp SBC mp SBC mp BHK⊥ ⇒ ⊥
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc
với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
3. Chứng minh
( ) ( )
.SBD SAC⊥
Page 3 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010
4. Chứng minh
( )
||BD mp P

HDG:
1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD
vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc với (ABCD) nên
( ) ( ) ( )
SA BD BD SAC SBD SAC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
2. Từ giả thiết suy ra:
( ) ( )
P SAC⊥
, mà
( ) ( )
||BD SAC BD P⊥ ⇒

Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông
góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (
S A≠
). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông
góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
Chứng minh:
' , 'AB SB AD SD⊥ ⊥
và
. ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD
= =
HDG: Từ giả thiết suy ra:
( )
, 'SA BC AB BC BC SAB BC AB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Mà
( )
'SC Q SC AB⊥ ⇒ ⊥
. Do đó
( )
' 'AB SBC AB SB⊥ ⇒ ⊥
Ngoài ra ta cũng có
, ' ' ' 'BC SB SC B C SBC SC B⊥ ⊥ ⇒ ∆ ∆:
nên:
. ' . '
' '
SB SC
SB SB SC SC
SC SB
= ⇒ =
Chứng minh tương tự ta được
'AD SD⊥

và
. ' . 'SD SD SC SC=
Vậy ta có đpcm.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=
3a
, mặt bên
(SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD=
5a
.
a. Chứng minh:
( )SA ABCD
⊥
. Tính SA=?
b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của
SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR:
( )AK SBC⊥
;
( )AL SCD⊥
.
c. Tính diện tích tứ giác AKHL=?
Giải:
a) Ta có:
( )
( )
( )
BC BA
BC SAB BC SA
BC BS
SA ABCD

DC DA
DC SAD DC SA
DC DS
⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥
 
⇒ ⊥

⊥


⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥


. Ta có:
2SA a=
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4
Page 4 of 10
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
………… , ngày ….tháng… năm …..
b) Trong (SBC) gọi:
{ } ( )SB HI K K SB HIJ∩ = ⇒ = ∩

Trong (SAD) gọi:
{ } ( )SD HJ L L SD HIJ∩ = ⇒ = ∩
.
Ta có:
(1)BC AK⊥
mà:
IJ
IJ ( ) IJ
SC ( IJ) (2)
AC IJ
SC
SA
SAC SC
H SC AK
AH
⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥
 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥



⊥

Từ (1) và (2) ta có:
( )AK SBC⊥
. Tương tự cho
( )AL SCD⊥

c) Tứ giác AKHL có:
;AL KH AL LH⊥ ⊥
nên:
1
( . . )
2
AKHL AK KH AL LHS = +
.
Vậy :
2
8
15
a
AKHLS =
• BTVN – 06/02/2010:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có
SA h=
và vuông góc
với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
1. SB và CD
2. SC và BD
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên
BC CD⊥
Page 5 of 10