Eureka uni toan cao cap KTQD giải bài tập giáo trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.84 MB, 83 trang )
Uni
√Eureka!
Toán cao cấp cho các nhà kinh tế
Eureka! Uni
Kênh học tập trực tuyến
NGƯỜI VIẾT: HOÀNG BÁ MẠNH
GIẢI BÀI TẬP
GIÁO TRÌNH
KINH TẾ
QUỐC DÂN
PHẦN GIẢI
TÍCH
NEU – Spring 2020
GIẢI BÀI TẬP GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN
Tài liệu được viết nhằm giúp đỡ các bạn sinh viên các trường khối Kinh tế nói chung và sinh viên Kinh tế
Quốc dẫn nói riêng, đang học môn Toán cao cấp bằng giáo trình của Đại học Kinh tế Quốc dân.
Đặc biệt: Tài liệu được xem miễn phí 100%, nếu các bạn cảm thấy tài liệu hay và có ích hay chia sẻ
với bạn bè và có thể CHỌN MUA tài liệu để ủng hộ, tạo động lực cho mình nhé. Chân thành cảm ơn các
bạn!
Mọi thắc mắc về lời giải, cũng như cần hỗ trợ về Toán cao cấp, Xác suất thống kê, Kinh tế lượng, Kinh tế
vi mô, vĩ mô,… quý bạn đọc có thể liên hệ về fanpage Eureka Uni để được hỗ trợ giải đáp nhanh và sớm nhất
nhé!
Chúc các bạn học tốt!
Kí tên: Hoàng Bá Mạnh
MỤC LỤC
CHƯƠNG 6: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC ....................................................................................................... 1
CHƯƠNG 7: ĐẠO HÀM – VI PHÂN ....................................................................................................... 12
CHƯƠNG 8: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ ................................................................................................ 27
CHƯƠNG 9: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................................... 38
CHƯƠNG 10: TÍCH PHÂN ....................................................................................................................... 49
CHƯƠNG 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ............................................................................................ 64
1|Page
Trang Eureka Uni
/>
CHƯƠNG 6: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
Bài 2
f ( −4 ) = ( −4 ) + 1 =17 (-4 < 0 nên thay vào phía trên)
2
f ( 4=
) 2=4 16
. f ( 0=
) 2=0 1 .
Bài 3
π
π
π
⇔ arcsin x = − arccos x ⇔ x = sin − arccos x ⇔ x = cos ( arccos x )
2
2
2
π
cos a (ví dụ sin30o = cos60o)
⇔ x=
x (hiển nhiên)
đoạn này dùng sin − a =
2
π
π
π
b) arctan x + arc cot x = ⇔ arctan x = − arc cot x ⇔ x = tan − arc cot x (*)
2
2
2
π
cot x nên=
=
x ) ⇔ x x (hiển nhiên)
Lại có tan − x =
(*) ⇔ x cot ( arc cot
2
a) arcsin x + arccos x =
Bài 4
a) Điều kiện 2x − x 2 ≥ 0 ⇔ x ( 2 − x ) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 => MXĐ: [0;2]
x > 3
b) Điều kiện x 2 − 9 > 0 ⇔ x 2 > 9 ⇔
⇒ MXĐ: ( −∞; −3) ∪ ( 3; +∞ )
x < −3
c) Điều kiện
=> MXĐ (1;2 ]
x > 0
x > 0
x > 1
0
d) Điều kiện log 4 x > 0
⇔ x > 4=
1
⇔
⇔x >4
1
4
x > 4 =
log log x > 0
log x > 20 =
1
2
4
4
=> MXĐ (4;+∞)
sin π x ≠ 0
π x ≠ k π , k ∈
x ≠ k , k ∉
e) Điều kiện:
⇔ x
⇔
⇔ 0 ≥ x ∉
x
x ≤ 0
−1 ≤ 2 ≤ 1 2 ≤ 1
=>MXĐ:
D = − \ −
− = ( −∞;0 ) và − ={−1, −2, −3,...}
x ≥ 0
x ≥ 0
x ≥ 0
f) Điều kiện:
⇔
⇔
⇒ MXĐ: + \ +
sin π x ≠ 0
π x ≠ k π , k ∈
x ∉
Trong đó =
+
[0; +∞ ) và + = {0,1,2,3,...}
Bài 5
2
a) MGT của y là tập hợp tất cả các gia trị y 0 sao cho 0 ≤ y 0 =
2+x −x2 =
9
1
3
−x − ≤ ;
4
2
2
∀x ∈ [ −1;2 ]
Vậy, MGT: 0; 3
2
x
x > 0
10 > 0
b) Điều kiện:
⇔1 x
⇔ 1 ≤ x ≤ 100 => MXĐ: [1;100]
x
10
≤
≤
−1 ≤ lg ≤ 1 10 10
10
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
2|Page
Trang Eureka Uni
/>
x
MGT của y là tập hợp các giá trị y0 thỏa mãn y 0 = arcsin lg ∀ x ∈ [1;100]
10
=
⇔ y 0 arcsin u , ∀u ∈ [ −1;1] =>MGT: y 0 ∈ [0;π ] (MGT của arcsinx)
Bài 9
1, nÕu x +T lµ sè h÷u tû 1, nÕu x lµ sè h÷u tû
= = f (x )
0, nÕu x +T lµ sè v« tû
0, nÕu x lµ sè v« tû
f ( x +T )
⇒ f ( x ) tuần hoàn với chu kì T là một số hữu tỷ bất kì
Bài 10
∀ x 1 , x 2 ∈ X , x 1 < x 2 , do f ( x ) đơn điệu tăng nên f ( x 2 ) > f ( x 1 ) ⇔ −f ( x 2 ) < −f ( x 1 )
⇒ hàm số −f ( x ) đơn điệu giảm trong khoảng X
Hoàn toàn tương tự cho trường hợp f ( x ) đơn điệu giảm trên X
Bài 11
a) Giả sử f ( x ) , g ( x ) đơn điệu tăng trên khoảng X. Xét ∀ x 1 , x 2 ∈ X , x 1 < x 2 , ta có:
f ( x 2 ) > f ( x 1 ) và f ( x 2 ) > f ( x 1 )
⇒ f ( x 2 ) + g ( x 2 ) − f ( x 1 ) + g ( x 1 ) = f ( x 2 ) − f ( x 1 ) + g ( x 2 ) − g ( x 1 ) > 0
Tức là f ( x ) + g ( x ) cũng là hàm số đơn điệu tăng trên khoảng X
Hoàn toàn tương tự cho trường hợp f ( x ) , g ( x ) đơn điệu giảm
b) Giả sử f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 ∀ x ∈ X đơn điệu tăng trên khoảng X. Xét ∀ x 1 , x 2 ∈ X , x 1 < x 2 , ta có:
f ( x 2 ) > f ( x 1 ) và f ( x 2 ) > f ( x 1 )
⇒ f ( x 2 ) g ( x 2 ) > f ( x1 ) g ( x 2 ) > f ( x1 ) g ( x1 )
Tức là f ( x ) g ( x ) đơn điệu tăng trên X
c) Tương tự
Bài 12
a) f ( x ) , g ( x ) là hai hàm chẵn, khi đó:
b) f ( −x=
) f ( x ) , g ( −x=) g ( x ) ⇒ f ( −x ) + g ( −x=) f ( x ) + g ( x )
⇒ f ( x ) + g ( x ) cũng là hàm chẵn
c) f ( x ) , g ( x ) là hai hàm lẻ, khi đó:
f ( −x ) =
−f ( x ) , g ( −x ) =
− g ( x ) ⇒ f ( −x ) + g ( −x ) =
− f ( x ) + g ( x )
⇒ f ( x ) + g ( x ) cũng là hàm lẻ
d) f ( x ) , g ( x ) là hai hàm chẵn, khi đó: f ( −x=
) f ( x ) , g ( −x=) g ( x ) ⇒ f ( −x ) .g ( −x=) f ( x ) .g ( x )
⇒ f ( x ) .g ( x ) cũng là hàm chẵn
−f ( x ) , g ( −x ) =
− g ( x ) ⇒ f ( −x ) .g ( −x ) =
f (x ) g (x )
e) f ( x ) , g ( x ) là hai hàm lẻ, khi đó: f ( −x ) =
⇒ f ( x ) + g ( x ) cũng là hàm chẵn
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
3|Page
Trang Eureka Uni
f) f ( x )
là
hàm
/>
g (x )
chẵn,
lẻ,
khi
đó:
f ( −x ) =
f ( x ) , g ( −x ) =
− g ( x ) ⇒ f ( −x ) .g ( −x ) =
−f ( x ) g ( x )
⇒ f ( x ) .g ( x ) cũng là hàm chẵn
Bài 15
a) f ( x + 1) = x 2 + 2x + 1 − 5x − 5 + 6 = ( x + 1) − 5 ( x + 1) + 6 ⇒ f ( x ) = x 2 − 5x + 6
2
2
1
1 1
1
b) f x + = x 2 + 2.x . + 2 − 2 = x + − 2 ⇒ f ( x ) = x 2 − 2
x
x x
x
1
1
1
1
1
+ 1+
⇒ f (x ) = + 1 + 2
c) f =x + 1 + x 2 =
2
x
x
1
x
1
x
x
Bài 20
a) TC (Q = 1) = 13 − 5.12 + 20.1 + 9 = 25
b) FC = 9
TC ( 2 ) = 37 ...
VC =TC − FC =Q 3 − 5Q 2 + 20Q + 9
Bài 21
TR −TC =
28Q − (Q 3 − 5Q 2 + 20Q + 9 ) =
π=
−Q 3 + 5Q 2 + 8Q + 9
a) TR
= pQ
= 28Q
⇒ TR = pQ = ( 380 − 2Q )Q = 380Q − 2Q 2
b) Q = 190 − 0,5 p ⇔ p = 380 − 2Q
−Q 3 =
π=
TR −TC =
380Q − 2Q 2 − (Q 3 − 5Q 2 + 20Q + 9 ) =
3Q 2 + 360Q + 9
Bài 22
∀ε > 0 ta có: x n − 2 < ε ⇔
2n
4
4
4
4
−2 <ε ⇔
< ε ⇔ n + 2 > ⇔ n > − 2 ⇒ n > − 2
ε
ε
n +2
n +2
ε
2n
4
Chọn n=
0
ε − 2 thì với mỗi ε > 0 bé tùy ý ta luôn có x n − 2 < ε , n > n0 => n + 2 hội tụ đến 2
Bài 23
a) ∀ε > 0 ta có
n
1
2/3
2
2 2
2 2
n0 −
−=
< ε ⇔ 3n + 2 >
⇔n>
− . Chọn =
3n + 2 3 3n + 2
3ε
9ε 3
9ε 3
=>Với mọi ε > 0 bé tùy ý và n > n0 ta luôn có
b) ∀ε > 0 ta có
n
5n + 1
2
−0 =
n
1
n
1
− < ε ⇒ lim
=
x
→+∞
3n + 2 3
3n + 2 3
n
1
1
1
=
< ε ⇔ n > . Chọn n0 =
2
5n + 1 5n
5n
5ε
5ε
n
2
<
=>Với mọi ε > 0 bé tùy ý và n > n0 ta luôn có
n
5n + 1
2
− 0 < ε ⇒ lim
x →+∞
n
5n 2 + 1
=
0
Bài 24
a) Xét x n +32 − x n= sin
( n + 32 ) π − sin nπ=
32
32
π nπ π
nπ
2 cos +
sin = 2 sin −
2
2 32
32
nπ
= 2 sin 32 =
2x n
Như vậy, với mọi n và mọi số ε < x n < 1 thì khoảng cách giữa 2 số hạng x n +32 và x n luôn > ε => tiêu
chuẩn Cauchy không được thỏa mãn => x n phân kỳ
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
4|Page
Trang Eureka Uni
cos ( n + 1) !
b) Xét =
x n +m − x n
( n + 1)( n + 2 )
+ ... +
/>
cos ( n + m ) !
1
≤
( n + m )( n + m + 1) ( n + 1)( n + 2 )
+ ... +
1
( n + m )( n + m + 1)
<
m
m
m
< ε ⇔ n > . Chọn n0 =
n
ε
ε
Với mọi ε > 0 và m ∈ , kể từ n > n0 ta luôn có x n + m − x n < ε => x n hội tụ
<
sin ( n + 1)
c) Xét x n +=
m − xn
2
n +1
+ ...
sin ( n + m )
2
n +m
≤
1
2
n +1
+ ... +
1
2
n +m
<
1
1 m
+ ... n < n < ε
n
2
2
2
m
m
m
⇔ n > log 2 . Chọn n0 = log 2
ε
ε
ε
Với mọi ε > 0 và m ∈ , kể từ n > n0 ta luôn có x n + m − x n < ε => x n hội tụ
⇔ 2n >
Bài 25
a) FV =+
... (triệu đồng)
3 (1 0,9% ) =
3
b) PV
=
5
... (triệu đồng)
=
4
(1 + 0,9%)
Bài 26
Lưu ý rằng ở bài này, khoản tiền 10 nghìn $ chỉ nhận 1 lần duy nhất sau 5 năm, chứ không phải nhận hàng năm.
=
NPV
10
=
− 6 .... (ngìn $) Nếu NPV > 0 thì nên đầu tư
5
(1 + 9%)
Bài 27
Dùng hằng đẳng thức (an-bn)
1
1
+
2
1 + 9% (1 + 9% )
NPV =750 ×
1
1−
8
1 + 9% )
(
1
+ ... +
− 3500 =750 ×
− 1 − 3500 =...
7
1
(1 + 9%)
1 − 1 + 9%
Tất nhiên NPV > 0 thì nên góp vốn
Bài 28
NPV
=
10
20
30
40
+
+
−=
2
1 + 10% (1 + 10% ) (1 + 10% )3
... (triệu đồng)
NPV > 0 thì là có lợi
Bài 29
Lưu ý, 1 năm đầu chưa có tiền, dòng tiết xuất hiện từ cuối năm thứ 2, kéo dài trong 5 năm => hết ở năm thứ 6
(Tương tự như phải mất 1 năm xây nhà, 1 năm tìm người cho thuê và nhận tiền hàng năm)
= 2000
NPV
1
(1 + 12% )
2
+
1
(1 + 12%)
3
+ ...
− 7500
= ...($) , NPV > 0 thì nên thực hiện dự án
6
(1 + 12%)
1
Bài 31
Với hàm cos x :
Chọn 2 dãy điểm x 1k = k 2π và x 2 k=
π
2
+ k 2π cùng tiến ra ∞ khi k → ∞ , ta thấy:
π
lim cos ( x=
lim cos ( k =
2π ) lim
=
1 1 ≠ lim cos ( x 2 k ) =lim cos + k 2π =lim 0 =0
1k )
x 2 k →∞
k →∞
k →∞
k →∞
2
k →∞
x1 k →∞
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
5|Page
Trang Eureka Uni
/>
Vậy, không tồn tại lim cos x
x →∞
Tương tự với các hàm số còn lại. Như tan x và cot x có thể chọn 2 dãy x 1k=
π
4
+ k π và x 2 k=
π
6
+ kπ
Bài 32
x 2 + 3x + 1 − 5x
=
2x + 1
9 − 9 + 1 + 15
= −4
−5 + 1
3x 3 + 5x + 1
5
1
3+ 2 + 3
3
3
3x + 5x + 1
3+0+0 3
x= lim
x=
x
b) lim 3 =
lim
=
x →∞ 2x + x 2 − 9
x →∞ 2x 3 + x 2 − 9
x →∞
1 9
2+0−0 2
2
+
−
x x3
x3
a) lim
x →−3
1
1 1 x
0
5
+
+
2
5x + x + 1 x
5+0+0
x x 2 =
c) lim =
lim
=
4−0+0 1
x →∞ 4x 2 − x + 1
x →∞
1
1
4− + 2
x x
1
d) lim ( x − 2 ) =
0 và cos
x →2
x
x − 5x + 6
2
≤ 1 ⇒ lim ( x − 2 ) cos
x →2
x
x − 5x + 6
2
=
0 (quy tắc kẹp)
Bài 33
( x + 2 ) ( x 2 + 2x + 4 )
x3 +8
x 2 + 2x + 4
4
a) lim 2
= lim
= lim
= −
x →−2 x − 3x − 10
x →−2
x
→−
2
x −5
7
( x + 2 )( x − 5)
b) lim
3
2x − 1 − 1 nh©n liªn hîp
x +1 −1
x →0
(
=
bËc 2 vµ 3
(
)
x + 4x − 1 − x + x − 5
c) lim =
x →∞
2
= lim
x →∞
)
(
)
2 x +1 +1
4
( 2x + 1) − 1 x + 1 + 1
= lim
=
2
x →0
x →0 3
2
( x + 1) − 1 3 ( 2x + 1) + 2x + 1 + 1
( 2x + 1) + 2x + 1 + 1 3
lim
2
( x + 4x − 1) − ( x + x − 5)
lim=
2
x →∞
2
x + 4x − 1 + x + x − 5
3x + 4
4 1
1 5
x 1 + − 2 + 1 + − 2
x x
x x
2
2
= lim
x →±∞
3x + 4
lim
x + 4x − 1 + x 2 + x − 5
x →∞
2
4
±3+
3
x
= ±
2
4 1
1 5
1+ − 2 + 1+ − 2
x
x
x
x
m sè h¹ng
x + x + ... + x − 1 + 1 + ... + 1
( x − 1) + x 2 − 1 + ... + x m − 1
x + x 2 + ... + x m − m
d) lim
lim
lim
=
=
n sè h¹ng
x →1 x + x 2 + ... + x n − n
x →1
x →1 ( x − 1) + x 2 − 1 + ... + x n − 1
x + x 2 + ... + x n − 1 + 1 + ... + 1
m
2
(
(
)
)
(
(
1 + ( x + 1) + ... + x m −1 + ... + 1 1 + 2 + ... + ( m − 1)
= lim
=
=
x →1 1 + x + 1 + ... + x n −1 + ... + 1
1 + 2 + ... + ( n − 1)
( )
)
)
(
(
m ( m − 1)
m ( m − 1)
2
=
n ( n − 1)
n ( n − 1)
2
Bài 34
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
)
)
6|Page
Trang Eureka Uni
/>
sin 3x
tan 3x
sin 3x cos 2x
3x . 3cos 2x 3
lim
.
lim=
=
=
a) lim
x →0 tan 2x
x →0 sin 2x cos3x
x →0 sin 2x 2 cos3x
2
2x
sin π ( x − 1)
− sin (π x − π )
sin π x
π
−π
b) lim 3
lim
. 2
= lim
=
= −
x →1 x − 1
x →1 x − 1 x 2 + x + 1
x →1
π ( x − 1)
( )(
)
( x + x + 1) 3
−2 sin 2x .sin ( −x )
cos x − cos3x
sin 2x sin x
=
lim =
4=
lim
.
4
c) lim
2
2
x →0
x →0
x →0 2 x
x
x
x
−2 sin.sin
{ chó ý: cos− cos =
vµ sin ( −x ) =
− sin x }
sin 5x − sin 3x
2 sin 4x cos x
sin 4x
d) lim
= lim
= lim=
. ( 8cos x ) 8
→
→
x →0
x
0
x
0
sin x
sin x
4x
Bài 35
v (x )
lim u ( x )
x →a
v (x )
= lim 1 + (u ( x ) − 1)
x →a
v ( x ) u ( x ) −1
1
= lim 1 + (u ( x ) − 1) u ( x )−1
x →a
lim v ( x ) u ( x ) −1
1
x →a
= lim 1 + (u ( x ) − 1) u ( x )−1
x →a
= ek
Câu 36
a) lim
x →0
1
x
cos x − 1) =
lim
2 (
x →0
cos x − 1
x2
=
lim
x →0
−
x2
1
2 =
−
2
2
x
1
−
1
⇒ lim ( cos x ) x 2 =
e 2
x →0
2
x 2 3x 2 − x + 1
x2
−2x
−2
1
lim
. 2
lim
=
−
=
=
x →∞
x →∞ 1 − x 3x 2 + x + 1
x
→∞
1 1 3
1 − x 3x + x + 1
1
x − 1 3 + x + x 2
b) lim
3x − x + 1
⇒ lim 2
x →∞ 3x + x + 1
2
x2
1− x
2
=
e3
x2
c) lim ( cot x=
⇒ lim (1 + x 2 )
=
e
cos2 x 1
=
)(1 + x − 1) xlim
x →0
x →0
→∞ sin 2 x
cos π x
cot π x
=
e −1
d) lim ( cot π x ) . (1 + sin π x − 1) =
lim
sin π x =
lim cos π x =
−1 ⇒ lim (1 + sin π x )
x →1
x →1
x →1 sin π x
x →1
2
2
cot 2 x
Câu 37
loga (1 + x )
ln (1 + x )
1
=
lim
a) lim=
x →0
x
→
0
ln a
x
x ln a
x
x
x −a
ln
ln 1 + − 1
ln 1 +
ln x − ln a
a
a 1
a lim =
b) lim = lim
=
lim =
x →a
x →a x − a
x →a
x →a
x −a
x −a
x −a
a
a
a
a −1
e
−1
e
−1
c) =
lim
lim
. ln a ln a
= lim =
x →0
x
0
x
0
→
→
x
x
x ln a
x
x ln a
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
x ln a
/>
/>
7|Page
Trang Eureka Uni
(1 + x ) − 1 =
−1
e
e
= lim
lim
d) lim
α
α ln (1+ x )
x
x →0
x
x →0
x →0
/>
α ln (1+ x )
− 1 α ln (1 + x )
=
.
α
α ln (1 + x )
x
Bài 38
cos x − 1 3 cos x − 1
cos x − 3 cos x
lim
=
−
2
x →0
sin 2 x
sin 2 x
sin x
a) lim
x →0
cos x − 1
cos x − 1
lim
−
2
x →0
3
2
2
3
sin x . cos x + 1 sin x . cos x + cos x + 1
(
)
−2 sin 2
x
sin 2
x
cos x − 1 1 1
1
1
x 2 −2
2
2
lim
lim
. =
lim
. 2 .
=
− =
=
−
2
2
x →0 sin 2 x 2
x
→
x
→
0
0
3
sin x 6
12
x sin x 4.6
2
x +9
b) lim
x →1 2x + 3
tan3( x −1)
x −1
x +9
= lim
x →1 2x + 3
sin3( x −1)
3( x −1)
.
3
cos3( x −1)
3
= 2=
8
x
c)
1
1
lim x ln ( x + 1) − ln x = lim x ln 1 + = lim ln 1 + = ln e = 1
x →+∞
x →+∞
x
→+∞
x
x
ln 1 + ( x − 1)
log 2 x
ln x
1
=
= lim =
lim
lim
d)
x →1 x − 1
x →1 ( x − 1) ln 2
x →1
( x − 1) ln 2 ln 2
e)
(
)
lim sin x + 1 − sin x =lim 2 cos
x →+∞
cos
x +1 + x
2
2
x →+∞
≤ 1 và lim sin
x →+∞
(
x +1 + x
sin
x +1 − x
2
x +1 − x
2
= lim sin
x →+∞
)
2
(
1
0 0
= sin
=
x +1 + x
)
⇒ lim sin x + 1 − sin x =
0 (quy tắc kẹp)
x →+∞
f)
lim
x →1/2
arcsin (1 − 2x )
4x − 1
2
= lim
x →1/2
arcsin (1 − 2x )
(1 − 2x )( −1 − 2x )
= −
1
2
Chú ý: lim
x →0
sin x
x
arcsin x
1 ⇒ lim
1
=
=
x →0
x
sin x cos x − 1
cos x
+
cos x ( sin x + cos x − 1)
x
x
g) lim =
cot x . ( sin x + cos x − 1) lim = lim
x →0
x →0
x
→
0
sin
x
sin x
x
x
2 x
−
2
sin
sin 2
cos x − 1
2 =
2
1 − x .
=
=
lim 1 +
lim 1 +
lim
→
→
x →0
x
x
0
0
x
x
2 x 2
2
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
=
1
/>
/>
8|Page
Trang Eureka Uni
/>
3x
3x
sin 2
ln 1 − 2 sin 2
2
2
2
3x
2 3x
x
x
x
3
3
3
2
2
2
ln 1 − 2 sin
−2 sin
sin
sin
ln ( cos3x )
2
2 =
2 lim
2 lim 2 . 9 = 9
=
lim
.
h) lim = lim =
x →0 ln ( cos 5x )
x →0
5x x →0 2 5x x →0
5x 25 25
5x x →0
5x
sin 2
sin
sin 2
ln 1 − 2 sin 2
ln 1 − 2 sin 2
2
2
2
2
2
2
5x
2 5x
−2 sin
2
2
Bài 39
lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) . lim g ( x ) = k lim f ( x ) = ∞
x →a
x →a
x →a
x →a
Bài 40
ax
a)
2 sin 2
sin 2
1 − cos ax
2 lim
lim
= lim
=
0
x →0
x
x →0
→
sin x
sin x
ax
2
ax
2
x ax
2=
o ( sin x )
.
.
0 ⇒ (1 − cos ax ) =
2
sin x 2
2
ax
2 sin
sin
1 − cos ax
2 lim
2 1
b) lim
lim
=
=
=
2
2
2
2
x →0
x →0
x →0
a x
a x
ax
2
2
2
2
c) lim
x →0
sin ax + sin 2 bx
ax
(
ax
sin ax sin 2 bx
= lim
+
x →0
ax
ax
)
⇒ (1 − cos ax ) ~
a 2x 2
2
sin ax sin bx 2 x
lim
=
+
. =1 + 0 =1
bx a
x →0 ax
⇒ sin ax + sin 2 bx ~ ax
ax −1
e x ln a − 1
d) =
lim
lim
= 1 ⇒ (a x − 1) ~ x ln a
x →0 x ln a
x →0 x ln a
1
ln (1 + ax )
1
= lim ln (1 + ax ) = lim ln (1 + ax ) ax = ln e = 1 ⇒ ln (1 + ax ) ~ ax
e) lim
x →0
x →0 ax
x →0
ax
(1 + kx ) − 1
=
f) lim
α
x →0
kαx
e α ln(1+ kx ) − 1 ln (1 + kx )
lim
.
1
=
x →0 α ln (1 + kx )
kx
⇒ (1 + kx ) ~ k α x
α
ax α + a1x α +1 + ... + an x α + n
a
a
α
α +1
α +n
α
= lim 1 + 1 x + ... + n x n=
1 ⇒ (ax + a1x + ... + an x ) ~ ax
α
x →0
x →0
ax
a
a
g) lim
Bài 41
α (x )
β (x )
= 1 và lim
=1
x →a β ( x )
x →a γ ( x )
⇒ lim
α (x )
β (x )
= 1 và lim
=0
x →a γ ( x )
x →a β ( x )
⇒ lim
a) lim
b) lim
α (x )
α (x ) β (x )
lim
.
1 ⇒ α (x ) ~ γ (x )
=
=
x →a γ ( x )
x →a β ( x ) γ ( x )
α (x )
α (x ) β (x )
=
=
lim
.
1.0 =
0 ⇒ α (x ) =
o γ ( x )
x →a γ ( x )
x →a β ( x ) γ ( x )
Bài 42
( 3x )
2
2
9x
và ( 2x 2 + 3x 3 − x 4 ) ~ 2x 2
=
2
2
x
x ln 5
1 e
− 1 ~ ( x ln 5)
b) 5 −=
a) 1 − cos3x ~
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
9x 2
1 − cos3x
9
⇒ lim 2
=
lim 2 2 =
x →0 2x + 3x 3 − x 4
x →0 2 x
4
/>
/>
9|Page
Trang Eureka Uni
/>
x
và cos x − 1 ~ − = o ( x ) ; 3sin 2 x ~ 3x 2 = o ( x ) ⇒ ( 4x + 3sin 2 x + cos x − 1) ~ 4x
2
2
5x − 1
x ln 5 ln 5
lim
=
=
2
x →0 4x + 3sin x + cos x − 1
x →0 4 x
4
⇒ lim
(
(
)
)
ln 1 + 4x 2 − 5x 3 ln(1+u )~u
4x 2 − 5x 3
4 − 5x
lim
lim
=
=
= 2
c) lim
2
3
2
3
x →0 ln 1 + 2 x + 3x
x →0 2x + 3x
x →0 2 + 3x
25 ln(1+3x ) 2
2
6x
− 1 ~ ln (1 + 3x ) ~ ( 3x ) =
e
5
5
5
2
2
d) 5 (1 + 3x ) − 1 = (1 + 3x ) 5 − 1 =
( sin x + 2 sin x ) ~ sin x ~ x
2
6x
6 6
lim 5 =
lim =
⇒ lim
=
x →0 sin x + sin 2 x
x →0 x
x →0 5
5
5
(1 + 3x )
2
−1
Bài 43
9x 2
1 − cos3x
9
9
lim
= lim 22 = = f ( 0 ) ⇒ f ( x ) liên tục tại x = 0
f ( 0 ) = và lim f ( x =
)
x →0
x →0 x sin x
x →0 x
2
2
Bài 44
a) f (1) = 1
( )
lim
=
f ( x ) lim
=
x2 1
−
−
x →1
x →1
lim f ( x ) =lim+ (ax + 2 ) =a + 2
x →1+
x →1
f ( x ) liên tục tại x = 1 ⇔ lim f ( x ) =lim f ( x ) =f (1) ⇔ a + 2 =1 ⇔ a =−1
x →1−
x →1+
=>Nếu a ≠ −1 thì f ( x ) gián đoạn tại x = 1
( x − 1)( x − 3=) lim 3 − x= 2
x 2 − 4x + 3
= lim
(
)
x →1
x →1
x →1
x →1
1− x
1− x
x 2 − 4x + 3
lim f ( x ) =
lim
lim ( x − 3) =
=
−2
x →1
x →1
x →1
x −1
Nếu lim f ( x ) =f (1) ⇔ a =−2 ⇒ f ( x ) liên tục phải tại 1
b) f (1) = a
lim− f ( x=
) lim−
+
−
+
−
+
x →1+
Nếu lim− f ( x ) = f (1) ⇔ a = 2 ⇒ f ( x ) liên tục trái tại 1
x →1
Không tồn tại a để lim− f ( x ) =2 ≠ lim+ f ( x ) =−2 ∀a ⇒ f ( x ) gián đoạn tại 1 với mọi a ∈
x →1
x →1
Bài 45
a) Với mọi x ≠ 3 , do f ( x ) là hàm sơ cấp nên nó liên tục
( x − 3)( x − 2 ) =lim x − 2 =1 =f 3 ⇒ f x liên tục tại 3
x 2 − 5x + 6
f ( 3) = 1 và lim f ( x ) =lim
=lim
( )
(
)
( )
x →3
x →3
x →3
x →3
x −3
( x − 3)
Vậy, f ( x ) liên tục với mọi x ∈
b) Với mọi x ≠ 2 , do f ( x ) là hàm sơ cấp nên nó liên tục
2x − 4
(
)
4 2x −2 − 1
f ( 2 ) = m và =
lim f ( x ) lim
= lim = lim
x →2
x →2 x − 2
x →2
( x − 2 ) x →2
2 ( x − 2 ) ln 2
= 2 ln 2
(x − 2)
Nếu m = 2 ln 2 thì f ( x ) liên tục tại 2 và do đó nó liên tục trên
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
10 | P a g e
Trang Eureka Uni
Nếu m ≠ 2 ln 2 thì f ( x ) gián đoạn tại 2, liên tục tại mọi x ≠ 2
/>
x − 1; x > 1
πx
f ( x ) cos
; −1 ≤ x ≤ 1
c) =
2
1 − x ; x < −1
Dễ thấy f ( x ) liên tục trên các khoảng (1;+∞ ) , ( −1;1) và ( −∞; −1) do là hàm sơ cấp
Tại x = 1 : f (1) = 0
lim f (=
1) 0
x ) lim+ ( x −=
x →1+
lim f ( x )= lim− cos
x →1−
x →1
πx
π
= cos = 0= lim+ f ( x )= f (1) ⇒ f ( x ) liên tục tại 1
x →1
2
2
π
Tại x = −1 : f ( −1=
) cos − = 0
2
lim− f ( x ) = lim− cos
x →−1
x →−1
x →1
lim f ( x=
)
x →−1+
πx
2
lim (1 − x=
) 2
x →−1+
= 0 = f ( −1) ≠ lim+ f ( x ) => f ( x ) gián đoạn tại -1, liên tục trái tại
x →−1
đây
Bài 46
f (x )
ln (1 + x ) − ln (1 − x )
; −1 < x < 0
x
.
k
; x 0
=
ln 1 + x − ln 1 − x
) ( ) ; 0 < x <1
(
x
Dễ thấy f ( x ) liên tục trên các khoảng ( −1;0 ) và ( 0;1) do là các hàm sơ cấp
Tại x = 0 ta có f ( 0 ) = k
và
2x
1+ x
ln
ln 1 +
ln (1 + x ) − ln (1 − x )
1 − x 2
1 − x lim =
lim f ( x ) lim
.
2
=
= lim
=
x →0
x →0
x →0
x →0
2x
1− x
x
x
1− x
Từ trên, f ( x ) liên tục trên (-1;1) ⇔ f ( x ) liên tục tại 0 ⇔ lim f ( x=
) f ( 0 ) ⇔ k= 2
x →0
Bài 47
a) Theo bài có lim f ( x ) = f ( x 0 ) và lim g ( x ) ≠ g ( x 0 ) hoặc lim g ( x ) không tồn tại
x →x 0
x →x 0
x →x 0
⇒ lim f ( x ) + g ( x ) ≠ f ( x 0 ) + g ( x 0 ) ⇒ f ( x ) + g ( x ) gián đoạn tại x 0
x →x 0
b) Trường hợp này không thể kết luận được vì:
Nếu lim f ( x ) ≠ f ( x 0 ) và lim g ( x ) ≠ g ( x 0 ) thì lim f ( x ) + g ( x ) = f ( x 0 ) + g ( x 0 ) vẫn có thể xảy ra
x →x 0
x →x 0
x →x 0
Hoặc kể cả trường hợp có ít nhất 1 trong hai hàm số không có giới hạn x → x 0
Thì giới hạn lim f ( x ) + g ( x ) vẫn có thể tồn tại và do đó lim f ( x ) + g ( x ) = f ( x 0 ) + g ( x 0 ) vẫn hoàn
x →x 0
x →x 0
toàn có thể xảy ra
Bài 48
a) Đặt f ( x=
) 3x − sin x ta thấy f ( x ) liên tục trên do là hàm sơ cấp. Mặt khác lại có
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
11 | P a g e
Trang Eureka Uni
π
f ( 0 )= 1 > 0 và f − = 3
4
−
π
4
/>
−
1
2
< 0 ⇒ tồn tại x ∈ để f ( x ) =0 ⇔ 3x =sin x
b) Đặt f ( x ) = 2 − x − x − 3 dễ thấy f ( x ) liên tục trên do là hàm sơ cấp. Mặt khác lại có
x
f (1) =−3 < 0
2
)
(
lim f ( x ) = lim 2 x − x 2 − x − 3 = +∞
x →−∞
x →−∞
⇒ tồn tại x ∈ để f ( x ) = 0 ⇔ 2 x = x 2 + x + 3
Bài 49
Đặt f ( x ) = x 6 − 9x − 8 . Dễ thấy f ( x ) liên tục trên và:
f (1) =
−16 < 0
f ( 2=
) 38 > 0
⇒ f ( x ) có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1;2)
f ( −2 ) = 74 > 0
⇒ f ( x ) có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (-2;1)
Bài 50 (Tương tự bài 49).
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
Với 3 mốc: f ( 0 )= 1 > 0 và f (1) =−5 < 0 ;
f ( 2=
) 21 > 0
/>
/>
12 | P a g e
Trang Eureka Uni
/>
CHƯƠNG 7: ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Bài 1
f (x ) − f (4)
x + 1) − 9
( 2=
2x + 1 − 3
2
1
=
= lim
=
f ′ ( 4 ) lim= lim
lim
x →4
x →4
x →4
x −4
x −4
( x − 4 ) 2x + 1 + 3 x → 4 2x + 1 + 3 3
(
)
Bài 2
x 2 − 5x + 4
+3
f ( x ) − f (1)
x 2 − 2x + 1
−
x
1
′
=
= lim
= lim
=
=
f (1) lim
lim
(1) 1
2
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
( x − 1)
Bài 3
a) MXĐ: D = , với mọi x 0 ∈ , ta có:
x + x0
x − x0
2
sin
sin
−
f (x ) − f (x0 )
cos x − cos x 0
2
2
lim
=
= lim
=
f ′ ( x 0 ) lim
→
→
x →x
x
x
x
x
x − x0
x − x0
x − x0
x − xo
− sin
2 .sin x + x 0 = − sin x
= lim
0
x →x
x − x0
2
0
0
0
0
⇒ f ′(x ) =
− sin x
2
b) MXĐ: ( 0;+∞ ) . Với mọi x 0 ∈ ( 0; +∞ ) ta có:
x
x − x0
ln
ln 1 +
f (x ) − f (x0 )
x0
x0 1
ln x − ln x 0
=
= lim
=
f ′ ( x 0 ) lim = lim = lim
x →x 0
x →x 0
x →x 0 x − x
x →x 0
x − x0
x − x0
x − xo
x0
0
.x 0
x0
1
⇒ f ′(x ) =
x
Bài 4
f ( x ) . Đạo hàm của f ( x ) tại điểm x 0 là: f ′ ( x 0 ) = lim
a) f ( x ) là hàm chẵn ⇒ f ( −x ) =
x →x 0
Ta có f ′ ( −x 0 )
=
f ( x ) − f ( −x 0 )
lim =
x →− x 0
x − ( −x 0 )
f (x ) − f (x0 )
x − x0
f ( x ) − f ( x 0 ) (t = − x )
f ( −t ) − f ( x 0 )
lim =
lim
x →− x 0
t →x 0
x + x0
−t + x 0
f (t ) − f ( x 0 )
=
− lim
=
−f ′ ( x 0 )
t →x 0
t − x0
−f ′ ( x ) hay f ′ ( x ) là hàm lẻ
Như vậy f ′ ( −x ) =
b) Làm tương tự ý a)
f ( x ) . Với mọi điểm x 0 thuộc MXĐ ta có:
c) f ( x ) tuần hoàn chu kì T thì f ( x +T ) =
f ′ ( x 0 ) = lim
x →x 0
f (x ) − f (x0 )
và f ′ ( x 0 +T )
=
x − x0
f ( x ) − f ( x 0 +T )
lim=
x →x 0 +T
x − ( x 0 +T )
lim
x →x 0 +T
f (x ) − f (x0 )
x −T − x 0
Đặt z= x −T ⇒ x = z +T ; x → x 0 +T ⇒ z → x 0 và ta có:
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
13 | P a g e
Trang Eureka Uni
/>
f ( z +T ) − f ( x 0 )
f (z ) − f (x0 )
=
f ′ ( x 0 +T ) lim
= lim =
f ′(x0 )
z →x
z →x
z − x0
z − x0
0
0
f ′ ( x ) hay f ′ ( x ) là hàm tuần hoàn chu kì T
Vậy, f ′ ( x +T ) =
Bài 5
a) y =
5
9
13
2 27 4 112 2 152
x − x + x ⇒ y ′ = x 2 − 2x 2 + x 2
7
11
15
1
=
⇒ y ′ 3x 2 ( 3ln x − 1) + =
2x 3 .
3x 2 ( 3ln x − 1) + 2x 2
=
b) y x 3 ( 3ln x − 1)
x
c) y ′ 3x 2 arctan x +
=
x
3
1+ x 2
a ( x 2 + 1) − 2x (ax + b )
−ax 2 − 2bx + a
=
x 2 +1
x 2 +1
e) y ′ =
(e x + xe x ) ( sin x + cos x ) + xe x ( cos x − sin x )
( xe x )′ ( sin x + cos x ) + xe x ( cos x − sin x ) =
d) y ′
= e x ( sin x + 2x cos x )
Bài 6
a) y ′ 10
=
( arctan x )′ arctan 9 x
b) y ′ =
=
c) y ′
2x + 1
x + x +1
2
sin x )′ 2sin x ln 2
(=
x + 2x )′
(=
4
=
d) y ′
10
arctan 9 x
2
1+ x
2
2 x 4 + 2x 2
2 x cos x . ln 2
4x 3 + 4x
=
2 x 4 + 2x 2
2x 3 + 2x
x 4 + 2x 2
x ′
x ′
x
x
5
e) y ′ 2 =
arcsin
arcsin
2
=
arcsin
2
5
5
5
x
1−
5
f)
2
y = ( 3x + 1) 3 ⇒ y ′ =
1
2
−
.3 ( 3x + 1) 3 =
3
2
25 − x
2
arcsin
x
5
2
3
3x + 1
Bài 7
1
1
1 + sin x 2 1 1 + sin x 1
a) y = ln
= ln
= ln (1 + sin x ) − ln (1 − sin x )
2 1 − sin x 2
2
1 − sin x
1 cos x
1 − cos x
cos x
1
⇒
=
y′
.
− . =
=
2
2 1 + sin x 2 1 − sin x 1 − sin x cos x
=
b) y ′
2x 3 ′
6
1+ x
=
2
2x 3
1−
6
1+ x
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
(
)
6x 2 1 + x 6 − 6x 5 .2x 3
+x )
(1=
6
2
2x 3
1−
6
1+ x
2
6x 2 − 6x 8
=
2
6
1+ x
1 + x 6 − 4x 6
(
) (
)
(
6x 2 1 − x 2
)
(1 + x ) 1 − x
6
6
/>
/>
14 | P a g e
Trang Eureka Uni
/>
−2
1 − x ′
2
1+ x
(1 + x )
′
1− x
1− x
1− x
2
2
1
x
+
−1
−1
1+ x
1+ x
c) y ′ =
=
=
=
=
1− x
2
2
1− x 2 1− x 2
1+
2 (1 + x )
1+ x
1+ x
1+ x
1+ x
(MXĐ của y: −1 < x ≤ 1 )
3 ( 2x − 1) + 4x
10x − 3
=
3 3 2x − 1
3 3 2x − 1
1
2
1 2
1 2
x
−2x
a
x
a2
2
2
a
′
a −x + .
+ .
=
a −x −
+
=
e) y=
2
2 2 a2 − x 2 2
x2 2
2 a2 − x 2 2 a2 − x 2
1− 2
d) y =′
3
( 2x − 1)
2
+ x.
4
=
3 3 2x − 1
a2 − x 2
a
Bài 8
2
y 3sin 3 x + 3x .3cos x .sin 2 x − 3sin x − 3 ( − sin x ) cos=
x 9x cos x sin 2 x
a) =
1
3
3
1
2
2
2
2
ln ( x − 1) + ln ( x − 3) − ln ( x − 2 ) − ln ( x − 4 )
2
2
2
2
1
3
3
1
y′ =
+
−
−
x −1 x − 3 x − 2 x − 4
1
1
1 2
x ⇒ y′
c) y sin ( ln x ) .cos ( ln x ) + ln=
cos2 ( ln x ) − sin 2 ( ln
=
x)+
cos2 ( ln x )
b) y =
x
(
)
′
2x e
(
)
x
(
)
1
(
)
′
2x − 1 + e 2 x=
. 2x − 1
x
(
x
)
1
2x − 1 =
+
e 2x e
2x
2x
x
−1
−2x
x
x
x
x
e) y ′ = arccos + x .
−
= arccos −
+
= arccos
2
2
2
x2 2 4−x2
4−x2
4+x2
2 1−
4
d) y ′
=
2x
(
=
f) y ′
=
)
−2x 9 + x 2 − 2x 9 − x 2
9 − x 2 ′
−
2
−
2
9+x2
9
x
+
=
=
2
2 2
9−x
9−x2
1−
1−
2
2
9+x
9+x
(
)
e
2x
2x
36x
(9 + x ) (9 + x ) − (9 − x )
2
2
2
2
2
6
9 + x 2 ; x > 0
36x
=
9 + x 2 36x 2 −6 ; x < 0
9 + x 2
(
)
Bài 9
(
)
ln 1 + x 2
2
x
ln
x
−
ln 1 + x 2
2x 2 ln x − 1 + x 2 ln 1 + x 2
2
1
+
x
x
a) y
=
=
⇒ y′
=
ln x
ln 2 x
x 1 + x 2 ln 2 x
(
y e
b) =
x ln ( tan x )
)
(
(
)
) (
)
1
x
x)
y ′ x ln ( tan x ) ′ e x ln( tan
⇒=
=
ln ( tan x ) + x tan x .cos2 x ( tan x )
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
15 | P a g e
Trang Eureka Uni
/>
x
x
= ln ( tan x ) +
( tan x )
sin x cos x
x
x
x)
c)=
y e x ln(arcsin x ) ⇒
y ′ x ln ( arcsin x ) ′ e x ln(arcsin
=
=
ln ( arcsin x ) +
( arcsin x )
2
1 − x arcsin x
d)=
y e
x ln ( arctan x )
x
x
x)
ln ( arctan x ) +
( arctan x )
⇒
=
y ′ x ln ( arctan x ) ′ e x ln(arctan
=
2
1 + x arctan x
(
)
Bài 10
2x − 2; x > 2
=
; 0≤x ≤2
y 2
2 − 2 x ; x < 0
Tại x = 0 :
lim−
y − y (0)
2 − 2x − 2
lim
lim ( −2 ) =
=
=
−2 ⇒ y −′ ( 0 ) =
2
x →0
x →0
x −0
x
lim+
y − y (0)
2−2
=lim
=0 ⇒ y +′ ( 0 ) =0 ≠ y −′ ( 0 ) =−2 ⇒ y không có đạo hàm tại 0
x →0
x −0
x
lim+
y − y (2)
2x − 2 − 2
lim
lim 2 =
2 ⇒ f +′ ( 2 ) =
2
=
=
x →2
x →2
x −2
x −2
lim−
y − y (2)
2−2
=
=
lim
lim 0 =
0 ⇒ y −′ ( 2 ) =
0 ≠ y −′ ( 2 ) ⇒ y không có đạo hàm tại
→
x
2
x −2
x − 2 x →2
x →0
x →0
Tại x = 2 :
x < 0 ⇒ y ′ =−2
0< x < 2 ⇒ y′ =
0
2
x > 2 ⇒ y′ =
x →2
x →2
−
−
+
+
+
−
−
2
2; x > 2
=
; 0
−2; x < 0
Bài 11
x ≠ 0 ⇒ f ( x ) là hàm sơ cấp nên f ( x ) liên tục và có đạo hàm tại mọi x ≠ 0
=
f ′ ( x ) 2x sin
1
x
− cos
1
x
1
1
x=
= 0 : f ( 0 ) 0;lim
f ( x ) lim
x 2 sin
0 vì lim x 2 = 0 và sin ≤ 1
=
=
x →0
x →0
x →0
x
x
1
x sin − 0
f (x ) − f (0)
1
1
x
=
lim = lim =
lim
x sin
0 vì lim x = 0 và sin ≤ 1
x →0
x →0
x →0
x →0
x −0
x
x
x
2
0
⇒ f ′ (0) =
1
1
2x sin − cos ; x ≠ 0
Vậy f ′ ( x ) =
x
x
0
; x =0
Bài 12
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
16 | P a g e
Trang Eureka Uni
/>
+
+
x →1
( )
lim
=
f ( x ) lim
=
x2 1
−
−
f (1=
) 1= 1 ; lim f ( x ) = lim ( 2ax + b ) = 2a + b ;
2
x →1
x →1
x →1
f ( x ) liên tục tại x =1 ⇔ lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1) ⇔ 2a + b =1
x →1−
Xét lim−
x →1
x →1+
f ( x ) − f (1)
x 2 −1
= lim
= lim ( x + 1) =2 ⇒ f −′ (1) =2
x →1 x − 1
x →1
x −1
−
−
f ( x ) − f (1)
2a ( x − 1)
2ax + b − 1
2ax + 1 − 2a − 1
lim+ = lim
lim+ = lim
2a ⇒ f +′ (1) =
=
=
2a
+
+
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1
x −1
1 f −′ (1) =f +′ (1) ⇔ 2 =2a ⇔ a =⇒
1 b =−1
f ( x ) có đạo hàm x =⇔
Vậy, a = 1;b = −1 thì f ( x ) liên tục và có đạo hàm tại x = 1
Bài 13
df ( x ) = f ′ ( x ) dx = (12x 3 + 12x 2 ) dx ⇒ df (1) = 24dx
∆f (=
1) f (1 + ∆x ) − f (=
1) f (1 + ∆x ) − 7
df(1)
dx =∆x =1
dx =∆x =0,2
Δf(1)
=7
= f(2) – f(1) = 16 – 7 = 73
= 7.0,2 = 1,4
= f(1,2) – f(1) = 6,1328
dx =∆x =0,05 = 7.0,05 = 0,35
= f(1,05) – f(1) = 1,277
Nhận xét: ∆x càng nhỏ thì ∆f ( x ) càng gần với df ( x )
Bài 14
′dx
a) =
dy y=
6x 2 + 6x
dx
2x 3 + 3x 2
2x + 1 ′
tan
1
1
4 1
b) y ′ =
=
=
2x + 1
2 sin 2x + 1 .cos 2x + 1 sin ( x + 0,5)
tan
4
4
4
c) y=′
( ln
3
dx
⇒ dy =
x + 0,5
x − 3ln 2 x + 6 ln x − 6 ) + ( 3ln 2 x − 6 ln x + 6=
) ln3 x
(
)
⇒ dy =
ln 3 x dx
Bài 23
1
1
1
1
2
1
1
a) y ′ =
− sin 3x − x cos3x + sin 3x =
sin 3x − x cos3x ; y ′′ = cos3x − cos3x + x sin 3x = x sin 3x
9
3
9
9
3
3
3
b) y ′ =
2x
x3
2x
x
−
+ arcsin x +
= x 1 − x 2 + arcsin x
1− x 2 −
2
2
2
3
3 1− x
3 1− x
1− x
x2
⇒ y ′′ = 1 − x 2 −
1− x
)
(
c) y ′ = ln x + x 2 + a 2 +
2
1
+
1− x
x
x +a
2
2
2
=
−
1− x 2 − x 2 +1
1− x
x
x +a
2
2
2
= 2 1− x 2
)
(
= ln x + x 2 + a 2 ⇒ y ′′ =
1
x + a2
2
Bài 24
a) y ′ =
1
x
ln x
6
1
1
y′ =
− 2 ln x + 2
x
x
2
9
11
′′
y=
2
x
3
ln x −
1
x
3
2
−=
3
x
2
x
3
ln x −
3
x3
6 ln x
y ′′′ =
− 4 ln x + 4 + 4 =4 − 4
x
x
x
x
x
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
17 | P a g e
Trang Eureka Uni
b) =
y
( 2x + 3 )
/>7
2
5
2
⇒ y=′ 7 ( 2x + 3) =
y ′′ 35 ( 2x + 3)
3
2
1
y ′′′ 105 ( 2x + 3) 2
=
Bài 25
1
1/ 4 1/ 4
=
−
( x − 2 )( x + 2 ) x − 2 x + 2
y
a)=
1/ 2
y ′′
=
b)=
y′
(x − 2)
3
−
1/ 2
(x + 2)
1/ 4
1/ 4
−
+
y′ =
2
2
(x − 2) (x + 2)
3/ 2
6
3/ 2
=
y (4)
y ′′′ =
−
+
4
4
(x − 2) (x + 2)
3
2
1
=
2x − 1 x − 0,5
y ′′ = −
1
( x − 0,5)
y ′′′ =
2
(x − 2)
2
( x − 0,5)
5
y (4) =
3
−
6
(x + 2)
5
−6
( x − 0,5)
4
Bài 26
a) y ′ = ke kx
y ′′′ = k 3e kx
y ′′ = k 2e kx
1
b) y ′ = −
( x + 1)
y ′′ =
1
( x + 1)
y ′′′ = −
2
y ( n ) = k ne kx
...
2
( x + 1)
y
3
(n )
( −1) . ( n − 1)!
=
n
( x + 1)
n
Bài 27
=
y′
1
x
cos ( ln x ) −
1
x
sin ( ln x )
1
1
1
1
2
− 2 cos ( ln x ) − 2 sin ( ln x ) + 2 sin ( ln x ) − 2 cos ( ln x ) =
− 2 cos ( ln x )
y ′′ =
x
x
x
x
x
x 2 y ′′ + xy ′ + y = −2 cos ( ln x ) + cos ( ln x ) − sin ( ln x ) + sin ( ln x ) + cos ( ln x ) =0 (dpcm)
Bài 28
y′
n
n arcsin x )′ .cos ( n arcsin x )
(=
nx
y ′′
(1 − x )
2
3
cos ( n arcsin x ) −
(1 − x ) y ′′ − xy ′ + n
2
2
1− x 2
cos ( n arcsin x )
n2
.sin ( n arcsin x )
1− x 2
y=
nx
nx
cos ( n arcsin x ) − n 2 sin ( n arcsin x ) −
cos ( n arcsin x ) + n 2 sin ( n arcsin
x) 0
=
=
2
2
1
x
1
x
−
−
Bài 29
′′ e x + 8e 2 x
y=
y=′ e x + 4e 2 x
′′′ e x + 16e 2 x
y=
(tự thay nốt)
Bài 30
y′ =
1
−x
y ′′ =
x2 +4
(x
2
+4
)
⇒ d 2y =
−
(x
3
x
2
+4
)
3
dx 2
Bài 31
2x
1
; y ′′ = −
y′ =
2
1+ x
1+ x 2
(
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
)
(
2
)
2
(
)
2 1 + x 2 − 2x .2.2x 1 + x 2
2 − 6x 2
2 − 6x 2
3
; y ′′′ =
⇒
d
y
=
dx 3
−
=
3
4
3
1+ x 2
1+ x 2
1+ x 2
(
)
(
)
(
/>
/>
)
18 | P a g e
Trang Eureka Uni
/>
Bài 32
f (1) = 0
f ′ ( x ) = 5x 4 + 3x 2 − 6x ⇒ f ′ (1) = 2
f ′′′ ( x=
) 60x 2 + 6 ⇒ f ′′′ (1=) 66
f
(4)
f ′′ ( x=
) 20x 3 + 6x − 6 ⇒ f ′′ (1=) 20
( x ) =120x ⇒ f ( 4) (1) =120
f ( x )= 2 ( x − 1) + 10 ( x − 1) + 11( x − 1) + 5 ( x − 1) + ( x − 1)
2
3
4
5
5
120 ⇒ f ( ) (1) =
120
f ( 5) ( x ) =
(không dư vì f(x) là đa thức)
Bài 33
f (0) = 1
f ′(x ) =
−
1
2 (1 + x )
1
2
3
3
8
1 − x + x 2 + o (x 2 )
f (x ) =
1
⇒ f ′ (0) =
−
2
f ′′ (=
x)
3
4 (1 + x )
5
⇒ f ′′=
(0)
3
4
Phần dư Lagrange bị giảm tải nên mình dùng Peano thay
Bài 34
f ′(x ) =
f (1) = 1
f ′′′ ( x ) =
f ( 5) ( x )=
10
27 3 x 8
3 x
⇒ f ′′′ (1) =
880
243 3 x 14
⇒ f ( x ) =1 +
1
3
⇒f
( 5)
2
⇒ f ′ (1) =
2
2
−
⇒ f ′′ (1) =
−
f ′′ ( x ) =
3
5
9
9 x
−80
10
27
(1)=
1
3
80
−
f ( 4 ) ( x ) = ⇒ f ( 4 ) (1) =
81
81 3 x 11
880
243
1
1
5
10
22
2
3
4
5
5
( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) + o ( x − 1)
3
9
81
243
729
Bài 35
f (0) = 1
x
f ′ ( x=
cos x .f ( x ) ⇒ f ′ (=
0) 1
) cos x .e sin=
f ′′ ( x ) =
− sin x .f ( x ) + cos x .f ′ ( x ) ⇒ f ′′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) =1
f ′′′ ( x ) =− cos x .f ( x ) − sin x .f ′ ( x ) − sin x .f ′ ( x ) + cos x .f ′′ ( x ) ⇒ f ′′′ ( 0 ) =−1 + 0 + 0 + 1 =0
1
⇒ f ( x ) =1 + x + x 2 + o x 3
2
( )
Bài 36
e ax − e −ax ( L )
ae ax + ae −ax
a) =
= 2
lim
lim
x →0 ln (1 + x )
x →0
1
1+ x
1 − cos ax
1 − cos ax ( L )
a sin ax ( L )
a 2 cos ax a 2
b) sin x ~ x ⇒ lim
=lim
=
lim
=
lim
=
x →0 x sin x
x →0
x →0
x →0
x2
2x
2
2
−2
π − 2 arctan x
π − 2 arctan x ( L )
2
1 1
1 + x 2 lim
c) x → +∞ thì ln 1 + ~ nên lim
= lim
= lim
=
= 2
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
1
1
1
1
x x
− 2
1+ 2
ln 1 +
x
x
x
x
1
L)
(
ln x
sin x 1
x
=
lim =
.
1
d) lim+ = lim
x →0 ln ( sin x )
x →0+ cos x
x →0 +
x cos x
sin x
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
19 | P a g e
Trang Eureka Uni
/>
1
−
ln (1 − x ) ( L )
sin π (1 − x )
sin 2 π x
1
x
−
lim
lim
lim
lim
.sin π x = −1
=
=
=
e)
x →1− cot π x
x →1−
x →1− π (1 − x )
x →1− π (1 − x )
π
− 2
sin π x
m (L )
m −1 ( L )
m ( m − 1) x m −2
x
mx
m!
lim
lim
lÇn ) lim x =
0
=
= ( Lopitan thªm m − 2 =
f) lim =
2
x
x
x
x →+∞ a
x →+∞ a ln a
x →+∞
x →+∞ a ln m a
a ln a
Bài 37
(
1 − 1 + tan 2 x
1
1
x − tan x tan x ~x
x − tan x ( L )
1
lim
− lim
=
−
= lim
= lim
a) lim cot x =
x →0
x →0
x →0
2x
x x →0 tan x x x →0 x tan x
x2
− tan 2 x
tan x ~ x
)
−x 2
= lim ( −x )= 0
x →0
x
π
π
2x sin x − π ( L )
2 sin x + 2x cos x
x sin x
b) lim x tan x −
lim
lim
lim
=
−
=
=
=
−1
x →π /2
x →π /2
2 cos x x →π /2 cos x 2 cos x x →π /2 2 cos x
−2 sin x
π
− x (L )
1
−1
π
tanu ~u
π
4
c) lim tan 2x . tan =
lim tan 2x . =
lim
−x
− x lim =
=
2
x →π / 4
x →π / 4
4
4
x →π / 4 cot 2x x →π / 4 −2 (1 + cot 2x ) 2
= lim
=
x
x →0
lim
x →0
ln (1+u ) ~u
x ) lim− ln 1 + ( x − 1) ln (1 − x=
d) lim− ln x . ln (1 −=
)
x →1
x →1
−
(L )
= lim−
x →1
−
lim− ( x − 1) ln (1 −=
x ) lim−
x →1
x →1
ln (1 − x )
1
1− x
1
1 − x = lim (1 − x=
) 0
x →1−
1
(1 − x )
2
Bài 38
1
ln (e + x ) − 1 ( L )
e +x 1
a) lim ln (e + x=
− 1 lim
= lim =
)
x →0 x
x →0
x →0
1
x
e
πx
πx
cos
b) y =−
cos
ln (1 − x )
(1 x ) 2 ⇔ ln y =
2
1
ln (1 − x ) ( L )
=
=
lim− ln y lim− cos
ln (1 − x ) lim− = lim−
x →1
x →1
x →1
x →1
1
2
πx
cos
πx
πx
2
1
1
⇒ lim ln (e + x ) x =
ee
x →0
−1
πx
πx
cos
2 cot
1− x
2 .
2
=
lim
x →1− 1 − x
πx
π
π sin 2
.
2 cos2 π x
2
πx
cos
2 cot
(L )
π
πx π
2 = 0 nên lim ln y = 0
2
=
lim
lim
sin
Ta có =
và lim−
x →1
x →1− 1 − x
x →1− 2
x →1−
π
2
2
Vậy, lim− (1 − x )
x →1
tan x
c) =
y
x
1
x2
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
cos
πx
2
=
e0 =
1
tan x
ln
x
y
⇔ ln
=
2
x
/>
/>
20 | P a g e
Trang Eureka Uni
/>
tan x
tan x − x
tan x − x
ln
ln 1 +
ln(1+u )~u
tan x − x
x
x
lim =
x
lim ln y lim
lim
lim
=
=
=
2
2
2
3
x →0
x
x →0
(L )
x
x →0
x →0
x
x
x →0
2
1 + tan 2 x − 1
tan 2 x
1 tan x 1
lim
lim =
=
=
2
2
0
0
→
→
x →0
x
x
3x
3x
3 x 3
= lim
1
1
tan x x 2
Vậy, lim
=e3
x →0
x
d) lim
x →0
1
x
e x + x − 1 (L )
= lim (e x =
+ 1) 2
x →0
x →0
x
− 1) lim
(e x + x =
1
e) y =( 2 + x ) ⇔ ln y =
x
x
(
(
ln 2 x + x
(
⇒ lim e x + x
x →0
)
1
x
=
e2
)
x
)
ln 2 + x ( L )
2 x ln 2 + 1 ( L )
2 x ln 2 2 ( L )
2 x ln 3 2
=
= lim
=
=
=
=
lim ln y lim
lim
lim
lim ln 2 ln 2
x →+∞
x →+∞
x →+∞ 2 x + x
x →+∞ 2 x ln 2 + 1
x →+∞ 2 x ln 2 2
x →+∞
x
x
1
Vậy, lim ( 2 + x ) = e ln 2 = 2
x
x
x →+∞
x
2
2
f) y arctan x =
=
⇔ ln y x ln arctan x
π
π
1
2
ln + ln ( arctan x ) ( L )
2
1 + x arctan x
2
π
=
=
x ln arctan x lim =
lim ln y lim
lim
x →+∞
x →+∞
x →+∞
1
1
π
x →+∞
−
(
x2
x
= lim
x →+∞
)
−1
2
= −
π
1
x 2 + 1 arctan x
x
2
2
Vậy, lim arctan x = e π
x →+∞ π
Bài 39
a) MXĐ: ( 0;+∞ )
y ′ = 4x −
x
1
x
=0 ⇔ x =
bảng dấu của y ′
1/2
0
y′
1
2
−
−∞
0
+
Từ bảng => y tăng trên khoảng (1/2; +∞) giảm trên (0;1/2)
b) MXĐ: ; y ′ = 1 + cos x ≥ 0 ∀x ∈ ; y ′ =0 ⇔ cos x =−1 ⇔ x =π + k 2π => chỉ bằng 0 trên tập rời
rạc
Do vậy y tăng trên
c) MXĐ:
2
3
3
2
2
y ′ =( x − 1) ( x − 2 ) + x 2 ( x − 1)( x − 2 ) + 3 ( x − 1) ( x − 2 ) =
(
)
= ( x − 1)( x − 2 ) ( x − 1)( x − 2 ) + 2x ( x − 2 ) + 3x ( x − 1) = 2 ( x − 1)( x − 2 ) 3x 2 − 5x + 1
2
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
2
/>
/>
21 | P a g e
Trang Eureka Uni
/>
x 1
=
x − 1 0 =
⇔ x = 2
y ′ = 0 ⇔ x − 2 = 0
3x 2 − 5x + 1 =
0
x = 5 ± 13
6
Dấu của y ′ theo dấu của ( x − 1) ( 3x 2 − 5x + 1)
x
5 − 13
6
0
−∞
y′
−
5 + 13
6
0
1
0
+
−
5 − 13
5 + 13
Từ bảng => y tăng trên
;1 và
; +∞ ; giảm trên
6
6
2
0
+
+∞
+
5 + 13
5 − 13
−∞;
và 1;
6
6
x
e x x − e x ( x − 1) e
y′ =
=
= 0 ⇔ x −1 = 0 ⇔ x = 1
d) MXĐ: \ {0}
x2
x2
Dấu của y ′ theo dấu của ( x − 1)
x
y′
−
y′
=
0
−
Từ bảng => y tăng trên (1;+∞ ) ;
e) MXĐ:
4 3
4
x 6x − 7 + x 2
3
3
1
=
2
3
( 6x − 7 )
1
7/6
0
0
−
Từ bảng => y tăng trên ( −∞;0 ) và (1;+∞ )
+
4 x ( 6x − 7 ) + x 2 28x ( x − 1)
=
2
2
3
3 ( 6x − 7 )
3 3 ( 6x − 7 )
Dấu của y ′ theo dấu của x ( x − 1)
0
−∞
+
giảm trên ( −∞;0 ) và ( 0;1)
=
x 0=
x 0
0⇔
y′ =
⇔
x −1 0 =
=
x 1
x
y′
+∞
1
0
||
−∞
+
+∞
||
+
(7/6 vẫn nằm trong MXĐ)
giảm trên (0;1)
f) MXĐ: ( −1; +∞ )
y ′ =1 −
x
y′
1
x
=
=0 ⇔ x =0
1+ x 1+ x
Dấu của y ′ theo dấu của x (1 + x )
0
-1
+∞
0
−
+
Từ bảng => y tăng trên (0; +∞), giảm trên (-1; 0)
x = 1
ln x = 0
⇔
−2
0
ln x + 2 =
x = e
y ′ =ln 2 x + 2 ln x =ln x ( ln x + 2 ) =0 ⇔
g) MXĐ: (0; +∞)
x
y′
0
e-2
+
0
Từ bảng => y tăng trên (0; e-2) và (1; +∞);
h) MXĐ:
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
1
−
0
+∞
+
giảm trên (e-2; 1)
x = 0
y′ =
2xe − x − x 2e − x =
x ( 2 − x )e −x =
0⇔
x = 2
/>
/>
22 | P a g e
Trang Eureka Uni
/>
Dấu y′ theo dấu của x(2 – x)
x
-∞
0
y′
0
−
Từ bảng => y tăng trên (0; 2);
2
+
+∞
0
−
giảm trên (-∞; 0) và (2; +∞)
Bài 40
1 − 2x 2
1
a) MXĐ: [-1;1]
=
=0 ⇒ 1 − 2x =0 ⇔ x =±
2
2
2
1− x
1− x
Dấu của y′ theo dấu của (1 – 2x2)
x
−1 / 2
1/ 2
-1
1
y′
0
+
0
-
x2
y ′ = 1− x 2 −
Từ bảng => y có 1 điểm cực tiểu xCT = −1 / 2 , 1 điểm cực đại xCD = 1 / 2
b) MXĐ:
(Kết luận theo Định lý về điều kiện đủ bậc 1, Giáo trình trọng điểm trang 357.
Ngoài ra các bạn có thể vẽ bảng biến thiên cho rõ)
2x
1
1
y ′′ =
y′ =−
0
x 2 =⇔
1 x=
=⇔
±1
2
2
2 1+ x
1+ x 2
(
−1
2
1
> 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của y
2
=0 ⇔ x =1 / 3
y ′′ =
−3 ( 2 − 3x ) e −3x
y ′′ (1) =
y ′′ ( −1) = < 0 ⇒ x =−1 là điểm cực đại của y
y ′ =e −3x − 3xe −3x =(1 − 3x ) e −3x
c) MXĐ:
)
y ′′ (1 / 3) =−3.e −1 < 0 ⇒ x =1 / 3 là điểm cực đại của y
5x − 2
=
=0 ⇒ x = 2 / 5
3
3x − 2 3 3x − 2
Dấu y′ theo dấu của (5x – 2)(3x – 2)
x
2x
y ′ = 3 ( 3x − 2 ) +
2
d) MXĐ:
-∞
2/5
2/3
0
||
−
Từ bảng => hàm số có 1 điểm cực đại xcđ = 2/5
y′
+
(
+
1 điểm cực tiểu xct = 2/3
)
2 x 2 + x + 1 − 2x ( 2x + 1)
2x
2x 2 − 2
′
⇒y =
−
=
y=
1− 2
2
x + x +1
x 2 + x +1
x 2 + x +1
e) MXĐ:
y ′ = 0 ⇔ 2x 2 − 2 = 0 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1
x
+∞
-∞
y′
)
(
+∞
1
0
)
2
Dấu y′ theo dấu của (2x2 – 2)
-1
+
(
−
0
Tự kết luận nốt :v
+
5x
3 4 + 5x 2 − (1 + 3x )
2
3 4 + 5x 2 − 5x + 15x 2
4
5
x
+
y′
=
=
=
f) MXĐ:
4 + 5x 2
4 + 5x 2 4 + 5x 2
(
) (
)
(
)
12 − 5x
( 4 + 5x )
2
y ′ =0 ⇔ 12 − 5x =0 ⇔ x =12 / 5 . Dấu của y′ theo dấu của (12 – 5x)
x
-∞
12/5
+∞
y′
0
−
+
Từ bảng => hàm số có 1 điểm cực đại xcđ = 12/5
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
3
23 | P a g e
Trang Eureka Uni
/>
=
x 0=
x 0
π
1 π
1
⇔
x − = x arctan x − = 0 ⇔
π
π
arctan
x tan
2 4
2
4
=
=
= 1
x
4
4
y ′ = x arctan x + −
g) MXĐ:
π
x
4 1+ x 2
=
y ′′ arctan x −
+
⇒
y ′′ ( 0 ) =−
< 0 ⇒ x =0 là điểm cực đại của hàm số
4
1
> 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số
2
y ′′ (1) =
h) MXĐ:
π
π
1 2 1 1
1
1 x2
2
′
=
+
− x
y x arcsin x + x −
1− x −
2
2
2
2 1− x
4
4 1− x
6
(
) (
)
2
2
2
π 2x − 1 + 1 − x − x
π
= x arcsin x − +
= x arcsin x −
6
6
4 1− x 2
=
x 0=
x 0
y′ =
0⇔
π ⇔
π 1
arcsin
x
x sin
=
=
=
6
6 2
y ′′ arcsin x −
=
π
6
+
x
1− x 2
⇒
y ′′ ( 0 ) =−
π
1
1
< 0 ⇒ x =0 là cực đại của hàm số
6
y ′′ =
2
3
> 0 ⇒ x=
1
là cực tiểu của hàm số
2
Bài 41
±1
3 3x 2 =⇔
0 x 2 =⇔
1 x=
a) f ′ ( x ) =−
f(-1) = -2
f(1) = 2
Vậy, Max f ( x ) = f (1) = f ( −2 ) = 2
f(-2) = 2
f(3) = 0
−2
Min f ( x ) =
f ( −1) =
x ∈[ −2;3]
x ∈[ −2;3]
x −1
=0 ⇔ x 2 =0 ⇔ x =1
2
x
x
Vậy, Max =
f ( x ) f=
(100 ) f =
( 0,01) 100,01
b) f ′ ( x ) =1 −
1
2
=
2
f ′ (1) = 2
f=
( 0,01) f=
(100 ) 100,01
Min f =
( x ) f=
(1) 2
x ∈[0,01;100]
x ∈[0,01;100]
y ′ = 2x ln x + 2x = 2x ( ln x + 1) = 0 ⇔ ln x + 1 = 0 ⇔ x = e −1
=
y y=
f (e −1 ) = −e −2 ; f (1) = 0 ; f (e ) = e 2 . Vậy, Max
(e ) e 2 và Min y ( x ) = y (e −1 ) = −e −2
x ∈[1; e ]
c) Bài 40-a đã tính được 2 điểm tới hạn là x = ±
1 1
=> f
=
2 2
f −
1 1
Vậy, Max
y y=
=
x ∈[ −1; 1]
2 2
1
1
−
=
2
2
x ∈[1;e ]
1
2
f ( −1=
) f (1=) 0
Min y =
y −
x ∈[ −1;1]
1
1
−
=
2
2
2
1 − x ′
−
2
1+ x
1+ x )
(
2
1
=
=−
=−
< 0∀x
d) y ′ =
2
2
2
2
1+ x 2
1 + x ) + (1 − x )
1− x
1− x
(
1+
1+ 1+ x
1+ x
Groups Toán Cao Cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni
/>
/>
