Mạng vận tải

Chu
.
o
.
ng 7
Ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i
7.1 Mo
.
˙’
d¯ˆa
`
u
Mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng b`ai to´an l´y th´u v`a quan tro
.
ng cu
˙’
a l´y thuyˆe
´
t d¯ˆo
`

thi
.
l`a x´ac d¯i
.
nh gi´a tri
.
l´o
.
n
nhˆa
´
t cu
˙’
a luˆo
`
ng d¯u
.
o
.
.
c truyˆe
`
n t`u
.
mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh nguˆo
`

n s cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆe
´
n mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh d¯´ıch t. Trong
khung ca
˙’
nh d¯´o, mˆo
˜
i cung (v
i
, v
j
) cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G d¯u
.
o

.
.
c gˇa
´
n v´o
.
i mˆo
.
t kha
˙’
nˇang thˆong qua q
ij
l`a
sˆo
´
lu
.
o
.
.
ng luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t c´o thˆe
˙’
ta
˙’

i qua cung n`ay. B`ai to´an n`ay v`a nh˜u
.
ng ca
˙’
i biˆen cu
˙’
a n´o
c´o rˆa
´
t nhiˆe
`
u ´u
.
ng du
.
ng trong thu
.
.
c tˆe
´
, chˇa
˙’
ng ha
.
n, x´ac d¯i
.
nh mˆa
.
t d¯ˆo
.

giao thˆong l´o
.
n nhˆa
´
t gi˜u
.
a
hai v`ung trong ba
˙’
n d¯ˆo
`
giao thˆong d¯u
.
o
.
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n bo
.
˙’
i mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
. Trong v´ı du

.
n`ay, l`o
.
i gia
˙’
i
cu
˙’
a b`ai to´an luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t c˜ung chı
˙’
ra nh˜u
.
ng no
.
i “ba
˙’
o ho`a” trˆen ma
.
ng giao thˆong v`a ta
.
o
mˆo
.
t “tˇa

´
c ngh˜en” khi luˆo
`
ng tˆa
.
p trung v`ao gi˜u
.
a hai vi
.
tr´ı n`ao d¯´o.
Phu
.
o
.
ng ph´ap gia
˙’
i b`ai to´an luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t t`u
.
s d¯ˆe
´
n t d¯u
.
a ra lˆa
`

n d¯ˆa
`
u tiˆen bo
.
˙’
i Ford
v`a Fulkerson [27] v`a k˜y thuˆa
.
t “g´an nh˜an” cu
˙’
a ho
.
l`a co
.
so
.
˙’
cho nh˜u
.
ng thuˆa
.
t to´an kh´ac gia
˙’
i
quyˆe
´
t nh˜u
.
ng vˆa
´

n d¯ˆe
`
liˆen quan. C´o mˆo
.
t sˆo
´
ca
˙’
i biˆen cu
˙’
a b`ai to´an luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t:
1. Gia
˙’
su
.
˙’
rˇa
`
ng mˆo
˜
i cung cu
˙’
a d¯ˆo
`

thi
.
khˆong chı
˙’
d¯u
.
o
.
.
c gˇa
´
n v´o
.
i kha
˙’
nˇang q
ij
cho biˆe
´
t cˆa
.
n trˆen
cu
˙’
a luˆo
`
ng trˆen cung (v
i
, v
j

) m`a c`on “kha
˙’
nˇang” r
ij
cho cˆa
.
n du
.
´o
.
i cu
˙’
a luˆo
`
ng trˆen cung
n`ay. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p nhu
.
vˆa
.
y, khˆong pha
˙’
i l´uc n`ao mˆo
.

t tˆa
.
p chˆa
´
p nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c c´ac gi´a
tri
.
cu
˙’
a luˆo
`
ng c˜ung thoa
˙’
m˜an c`ung l´uc hai r`ang buˆo
.
c n`ay. Tuy nhiˆen-n´oi chung-nhiˆe
`
u
luˆo
`
ng thoa
˙’
d¯iˆe

`
u kiˆe
.
n n`ay, v`a nˆe
´
u ngo`ai c´ac kha
˙’
nˇang c`on c´o c´ac chi ph´ı c
ij
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng
mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
luˆo
`
ng do
.
c theo c´ac cung, th`ı b`ai to´an tro
.
˙’
th`anh t`ım luˆo

`
ng chˆa
´
p nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c
v´o
.
i chi ph´ı nho
˙’
nhˆa
´
t t`u
.
s d¯ˆe
´
n t.
2. X´et tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯`oi ho

˙’
i luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t gi˜u
.
a mo
.
i cˇa
.
p d¯ı
˙’
nh. Mˇa
.
c d`u b`ai to´an n`ay c´o
thˆe
˙’
gia
˙’
i bˇa
`
ng n(n − 1)/2 lˆa
`
n lˇa
.
p c´ac b`ai to´an luˆo
`

ng l´o
.
n nhˆa
´
t t`u
.
s d¯ˆe
´
n t nhu
.
ng c´ach
l`am n`ay qu´a thˆo! Tu
.
o
.
ng tu
.
.
v´o
.
i t`ım tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯u
.
`o
.
ng d¯i ngˇa
´

n nhˆa
´
t, o
.
˙’
d¯ˆay c˜ung cˆa
`
n
173

mˆo
.
t thuˆa
.
t to´an chuyˆen du
.
ng d¯ˆe
˙’
gia
˙’
i n´o-v`a trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ˆo
`
thi

.
vˆo hu
.
´o
.
ng, phu
.
o
.
ng
ph´ap gia
˙’
i quyˆe
´
t n´o khˆong liˆen quan d¯ˆe
´
n l`o
.
i gia
˙’
i cu
˙’
a b`ai to´an luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t gi˜u
.

a hai
d¯ı
˙’
nh s v`a t.
3. Nˆe
´
u thay cho mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh nguˆo
`
n v`a mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh d¯´ıch, ta kha
˙’
o s´at mˆo
.
t sˆo
´
nguˆo
`
n v`a mˆo
.
t sˆo
´
d¯´ıch, v´o
.

i c´ac h`ang ho´a kh´ac nhau gi˜u
.
a hai tˆo
˙’
ho
.
.
p nguˆo
`
n-d¯´ıch kh´ac nhau, th`ı b`ai to´an
cu
.
.
c d¯a
.
i tˆo
˙’
ng sˆo
´
tˆa
´
t ca
˙’
c´ac luˆo
`
ng t`u
.
c´ac nguˆo
`
n d¯ˆe

´
n c´ac d¯´ıch l`a b`ai to´an luˆo
`
ng d¯a-h`ang
ho´a. Trong b`ai to´an n`ay, kha
˙’
nˇang q
ij
cu
˙’
a cung (v
i
, v
j
) l`a cˆa
.
n trˆen cu
˙’
a tˆo
˙’
ng c´ac luˆo
`
ng
v´o
.
i c´ac loa
.
i h`ang ho´a trˆen cung d¯´o.
4. Gia
˙’

thiˆe
´
t (ˆa
˙’
n) trong tˆa
´
t ca
˙’
c´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p trˆen l`a sˆo
´
lu
.
o
.
.
ng luˆo
`
ng d¯ˆe
´
n bˇa
`
ng sˆo
´

lu
.
o
.
.
ng
luˆo
`
ng ra. Nˆe
´
u ta bo
˙’
gia
˙’
thiˆe
´
t n`ay v`a x´et tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p luˆo
`
ng ra kho
˙’
i mˆo
.
t cung bˇa

`
ng
luˆo
`
ng d¯ˆe
´
n nhˆan v´o
.
i mˆo
.
t sˆo
´
nguyˆen khˆong ˆam n`ao d¯´o, th`ı b`ai to´an luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t (t`u
.
s d¯ˆe
´
n t) d¯u
.
o
.
.
c xem nhu
.
b`ai to´an trong c´ac d¯ˆo

`
thi
.
v´o
.
i c´ac lo
.
.
i nhuˆa
.
n. Trong da
.
ng n`ay,
c´ac luˆo
`
ng c´o thˆe
˙’
“d¯u
.
o
.
.
c sinh ra” hoˇa
.
c “bi
.
hˆa
´
p thu
.

” bo
.
˙’
i d¯ˆo
`
thi
.
, v`a do vˆa
.
y luˆo
`
ng v`ao s
v`a luˆo
`
ng ra kho
˙’
i t c´o thˆe
˙’
thay d¯ˆo
˙’
i ho`an to`an d¯ˆo
.
c lˆa
.
p.
C´ac b`ai to´an vˆe
`
luˆo
`
ng d¯u

.
o
.
.
c nghiˆen c´u
.
u nhiˆe
`
u v`a c´o nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng thu
.
.
c tiˆe
˜
n. Mu
.
c
d¯´ıch cu
˙’
a chu
.
o
.
ng n`ay tr`ınh b`ay ngˇa
´

n go
.
n c´ac b`ai to´an thu
.
`o
.
ng gˇa
.
p, chı
˙’
ra mˆo
´
i liˆen hˆe
.
gi˜u
.
a
ch´ung v`a xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t sˆo
´
thuˆa
.
t to´an gia
˙’
i quyˆe
´

t.
Chu
.
o
.
ng n`ay s˜e tha
˙’
o luˆa
.
n b`ai to´an luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t t`u
.
s d¯ˆe
´
n t v`a c´ac tˆo
˙’
ng qu´at ho´a cu
˙’
a
n´o (1), (2), (3) v`a (4) trˆen. Do c´ac thuˆa
.
t to´an gia
˙’
i b`ai to´an luˆo
`

ng d¯a-h`ang ho´a rˆa
´
t kh´ac biˆe
.
t
vˆe
`
ba
˙’
n chˆa
´
t, v`a khˆong pha
˙’
i d¯ˆe
`
u hiˆe
.
u qua
˙’
nhu
.
phu
.
o
.
ng ph´ap g´an nh˜an, nˆen s˜e khˆong d¯u
.
o
.
.

c
d¯ˆe
`
cˆa
.
p o
.
˙’
d¯ˆay. Ba
.
n d¯o
.
c quan tˆam c´o thˆe
˙’
xem [30] v`a c´ac t`ai liˆe
.
u dˆa
˜
n k`em theo.
7.2 B`ai to´an luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t
Luˆo
`
ng l´o
.

n nhˆa
´
t trˆen ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i G l`a mˆo
.
t luˆo
`
ng v´o
.
i gi´a tri
.
l´o
.
n nhˆa
´
t. N´oi chung c´o mˆo
.
t
v`ai luˆo
`
ng v´o
.
i c`ung gi´a tri
.
l´o

.
n nhˆa
´
t. Phˆa
`
n n`ay tr`ınh b`ay thuˆa
.
t to´an t`ım luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t.
´
Y
tu
.
o
.
˙’
ng cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an l`a: kho
.
˙’
i d¯ˆa
`

u v´o
.
i luˆo
`
ng n`ao d¯´o v`a tˇang gi´a tri
.
cu
˙’
a luˆo
`
ng cho d¯ˆe
´
n khi
khˆong thˆe
˙’
tˇang d¯u
.
o
.
.
c n˜u
.
a. Kˆe
´
t qua
˙’
ta c´o luˆo
`
ng l´o
.

n nhˆa
´
t.
V´ı du
.
7.2.1 D
-
ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng trong H`ınh 7.1 biˆe
˙’
u diˆe
˜
n so
.
d¯ˆo
`
ma
.
ng dˆa
˜
n dˆa
`
u. Dˆa

`
u d¯u
.
o
.
.
c
dˆa
˜
n t`u
.
t`au s v`a d¯u
.
o
.
.
c bo
.
m thˆong qua ma
.
ng d¯ˆe
´
n nh`a m´ay lo
.
c dˆa
`
u t. C´ac d¯ı
˙’
nh b, c, d v`a e l`a
c´ac tra

.
m bo
.
m trung gian. C´ac cung biˆe
˙’
u thi
.
c´ac ˆo
´
ng dˆa
˜
n dˆa
`
u v`a hu
.
´o
.
ng di chuyˆe
˙’
n cu
˙’
a hˆe
.
thˆo
´
ng. C´ac nh˜an trˆen c´ac cung l`a kha
˙’
nˇang thˆong qua tˆo
´
i d¯a cu

˙’
a ˆo
´
ng dˆa
˜
n. B`ai to´an d¯ˇa
.
t ra
l`a t`ım c´ach chuyˆe
˙’
n nhiˆe
`
u nhˆa
´
t lu
.
o
.
.
ng dˆa
`
u t`u
.
t`au d¯ˆe
´
n nh`a m´ay v`a t´ınh gi´a tri
.
n`ay. H`ınh 7.1
l`a mˆo
.

t v´ı du
.
cu
˙’
a mˆo
.
t “ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i”. Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ta c´o:
174

s
t
b
c
d
e
• •
• •
• •

3
5
2
2
2
4
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
H`ınh 7.1: V´ı du
.
vˆe
`
ma
.
ng vˆa
.

n ta
˙’
i.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 7.2.2 Ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i l`a mˆo
.
t d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng, c´o tro
.
ng sˆo
´
G sao cho

(a) c´o mˆo
.
t v`a chı
˙’
mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh s, go
.
i l`a d¯ı
˙’
nh v`ao (hoˇa
.
c d¯ı
˙’
nh nguˆo
`
n) cu
˙’
a ma
.
ng, khˆong c´o cung
d¯ˆe
´
n n´o.
(b) c´o mˆo
.
t v`a chı
˙’

mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh t, go
.
i l`a d¯ı
˙’
nh ra (hoˇa
.
c d¯ı
˙’
nh d¯´ıch) cu
˙’
a ma
.
ng, khˆong c´o cung d¯i
ra kho
˙’
i n´o.
(c) mˆo
˜
i cung u := (v
i
, v
j
) ∈ E d¯u
.
o
.

.
c g´an mˆo
.
t sˆo
´
nguyˆen khˆong ˆam q
ij
, go
.
i l`a kha
˙’
nˇang cu
˙’
a
cung u.
(d) d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.

c t`u
.
G bˇa
`
ng c´ach bo
˙’
d¯i c´ac hu
.
´o
.
ng l`a liˆen thˆong.
V´ı du
.
7.2.3 D
-
ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng trong H`ınh 7.1 l`a ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i. Lˆo

´
i v`ao l`a d¯ı
˙’
nh s v`a lˆo
´
i ra
l`a d¯ı
˙’
nh t. Kha
˙’
nˇang cung (s, b) l`a q
sb
= 3 v`a cu
˙’
a cung (b, c) l`a q
bc
= 2.
Trong chu
.
o
.
ng n`ay, nˆe
´
u G l`a ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i ch´ung ta s˜e k´y hiˆe

.
u d¯ı
˙’
nh v`ao l`a s v`a d¯ı
˙’
nh
ra l`a t.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 7.2.4 Gia
˙’
su
.
˙’
G l`a ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i v´o
.
i kha
˙’
nˇang cung (v
i
, v
j

) l`a q
ij
. Luˆo
`
ng (chˆa
´
p
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c) F trong G g´an mˆo
˜
i cung (v
i
, v
j
) mˆo
.
t sˆo
´
khˆong ˆam f
ij
sao cho
(a) 0 ≤ f
ij
≤ q

ij
; v`a
(b) v´o
.
i mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh v
j
= s, t, ta c´o

i
f
ij
=

i
f
ji
. (7.1)
175

(Tˆo
˙’
ng trong (7.1) lˆa
´
y trˆen tˆa
´
t ca

˙’
c´ac gi´a tri
.
i; nˆe
´
u khˆong c´o cung (v
i
, v
j
), ta d¯ˇa
.
t f
ij
= 0).
Ta n´oi f
ij
l`a luˆo
`
ng trˆen cung (v
i
, v
j
). V´o
.
i mˆo
˜
i j, ta go
.
i


i
f
ij
l`a luˆo
`
ng d¯ˆe
´
n d¯ı
˙’
nh v
j
v`a

i
f
ij
l`a luˆo
`
ng ra kho
˙’
i d¯ı
˙’
nh v
j
.
D
-
iˆe
`
u kiˆe

.
n (7.1) go
.
i l`a ba
˙’
o to`an luˆo
`
ng. Trong v´ı du
.
dˆa
˜
n dˆa
`
u cu
˙’
a H`ınh 7.1, ba
˙’
o to`an luˆo
`
ng c´o
ngh˜ıa dˆa
`
u khˆong d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’

du
.
ng v`a c˜ung khˆong d¯u
.
o
.
.
c cˆa
´
p thˆem ta
.
i c´ac tra
.
m bo
.
m b, c, d v`a e.
V´ı du
.
7.2.5 C´ac ph´ep g´an
f
sb
= 2, f
bc
= 2, f
cz
= 3, f
sd
= 3,
f
dc

= 1, f
de
= 2, f
ez
= 2,
x´ac d¯i
.
nh luˆo
`
ng trˆen ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i cu
˙’
a H`ınh 7.1. Chˇa
˙’
ng ha
.
n, luˆo
`
ng d¯ˆe
´
n d¯ı
˙’
nh d l`a
f
sd

= 2,
bˇa
`
ng luˆo
`
ng ra kho
˙’
i d¯ı
˙’
nh d :
f
dc
+ f
de
= 1 + 2 = 3.
Luˆo
`
ng F d¯u
.
o
.
.
c v˜e trong H`ınh 7.2, trong d¯´o cung e d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an x, y nˆe
´
u kha

˙’
nˇang cu
˙’
a e
l`a x v`a luˆo
`
ng trˆen e l`a y.
s
t
b
c
d
e
• •
• •
• •
3, 2
5, 3
2, 2
2, 1
2, 2
4, 3
4, 2
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.......................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......................................................................................................................................................................................................................
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
H`ınh 7.2: Luˆo
`
ng trˆen ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i cu
˙’
a H`ınh 7.1.
176

Ch´u ´y rˇa
`
ng trong v´ı du
.
n`ay, luˆo
`
ng ra kho
˙’
i d¯ı

˙’
nh s l`a
f
sb
+ f
sd
bˇa
`
ng luˆo
`
ng d¯ˆe
´
n d¯ı
˙’
nh t :
f
ct
+ f
et
v`a bˇa
`
ng 5. Thˆa
.
t vˆa
.
y, ta c´o
D
-
i
.

nh l´y 7.2.6 Gia
˙’
su
.
˙’
F l`a luˆo
`
ng trˆen ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i G := (V, E). Khi d¯´o luˆo
`
ng ra kho
˙’
i
d¯ı
˙’
nh s bˇa
`
ng luˆo
`
ng d¯ˆe
´
n d¯ı
˙’
nh t; t´u
.

c l`a

i
f
si
=

i
f
it
.
Ch´u
.
ng minh. Ta c´o

j∈V


i∈V
f
ij

=

j∈V


i∈V
f
ji


do mˆo
˜
i vˆe
´
bˇa
`
ng

e∈E
f
e
. V`ı vˆa
.
y
0 =

j∈V
(

i∈V
f
ij
−

i∈V
f
ji
)
= (


i∈V
f
it
−

i∈V
f
ti
) + (

i∈V
f
is
−

i∈V
f
si
) +

j∈V,j=s,t
(

i∈V
f
ij
−

i∈V

f
ji
)
=

i∈V
f
it
−

i∈V
f
si
do f
ti
= 0 = f
is
v´o
.
i mo
.
i v
i
∈ V, v`a (7.1).
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 7.2.7 Gia
˙’

su
.
˙’
F l`a luˆo
`
ng trˆen ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i G. D
-
a
.
i lu
.
o
.
.
ng

i
f
si
=

i
f
it

go
.
i l`a gi´a tri
.
cu
˙’
a luˆo
`
ng F.
B`ai to´an trˆen ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i G c´o thˆe
˙’
ph´at biˆe
˙’
u:
B`ai to´an 7.2.8 T`ım mˆo
.
t luˆo
`
ng chˆa
´
p nhˆa
.
n d¯u
.

o
.
.
c l´o
.
n nhˆa
´
t trˆen d¯ˆo
`
thi
.
G; t´u
.
c l`a trong sˆo
´
tˆa
´
t
ca
˙’
c´ac luˆo
`
ng trˆen G, t`ım luˆo
`
ng F c´o gi´a tri
.
l´o
.
n nhˆa
´

t.
Thuˆa
.
t to´an g´an nh˜an cu
˙’
a Ford v`a Fulkerson [27] gia
˙’
i b`ai to´an n`ay du
.
.
a trˆen D
-
i
.
nh l´y
7.2.10. Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ta c´o mˆo
.
t sˆo
´
kh´ai niˆe
.
m
177

D
-
i
.
nh ngh˜ıa 7.2.9 Nˆe
´
u c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, E) d¯u
.
o
.
.
c phˆan hoa
.
ch th`anh hai tˆa
.
p con
V
0
v`a
˜
V
0

(trong d¯´o V
0
⊂ V v`a
˜
V
0
l`a phˆa
`
n b`u cu
˙’
a V
0
trong V ), th`ı tˆa
.
p c´ac cung cu
˙’
a G v´o
.
i
d¯ı
˙’
nh xuˆa
´
t ph´at thuˆo
.
c V
0
v`a d¯ı
˙’
nh kˆe

´
t th´uc thuˆo
.
c
˜
V
0
go
.
i l`a thiˆe
´
t diˆe
.
n cu
˙’
a G. Tˆa
.
p c´ac cung
cu
˙’
a thiˆe
´
t diˆe
.
n thu
.
`o
.
ng d¯u
.

o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.
˙’
i (V
0
→
˜
V
0
).
Gia
˙’
su
.
˙’
G l`a ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i. Thiˆe
´
t diˆe
.

n (V
0
→
˜
V
0
) t´ach s kho
˙’
i t nˆe
´
u s ∈ V
0
v`a t ∈
˜
V
0
.
Kha
˙’
nˇang thˆong qua hay gi´a tri
.
cu
˙’
a thiˆe
´
t diˆe
.
n l`a tˆo
˙’
ng cu

˙’
a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac kha
˙’
nˇang cu
˙’
a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac cung cu
˙’
a G v´o
.
i d¯ı
˙’
nh xuˆa
´
t ph´at thuˆo
.
c V
0
v`a d¯ı
˙’
nh kˆe
´
t th´uc thuˆo

.
c
˜
V
0
; t´u
.
c l`a
v(V
0
→
˜
V
0
) :=

(v
i
,v
j
)∈(V
0
→
˜
V
0
)
q
ij
.

Thiˆe
´
t diˆe
.
n nho
˙’
nhˆa
´
t l`a thiˆe
´
t diˆe
.
n c´o kha
˙’
nˇang thˆong qua nho
˙’
nhˆa
´
t.
D
-
i
.
nh l´y 7.2.10 (D
-
i
.
nh l´y thiˆe
´
t diˆe

.
n nho
˙’
nhˆa
´
t-luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t) Gi´a tri
.
cu
˙’
a luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t
t`u
.
s d¯ˆe
´
n t bˇa
`
ng kha
˙’

nˇang thˆong qua cu
˙’
a thiˆe
´
t diˆe
.
n nho
˙’
nhˆa
´
t (V
m
→
˜
V
m
) t´ach s kho
˙’
i t.
Ch´u
.
ng minh. Hiˆe
˙’
n nhiˆen rˇa
`
ng, luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa

´
t t`u
.
s d¯ˆe
´
n t khˆong thˆe
˙’
l´o
.
n ho
.
n v(V
m
→
˜
V
m
)
do tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯u
.
`o
.
ng d¯i t`u
.
s d¯ˆe
´

n t d¯ˆe
`
u su
.
˙’
du
.
ng ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t cung cu
˙’
a thiˆe
´
t diˆe
.
n n`ay. Do d¯´o
chı
˙’
cˆa
`
n ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng tˆo
`
n ta
.

i mˆo
.
t luˆo
`
ng d¯a
.
t gi´a tri
.
n`ay. Ta xem luˆo
`
ng d¯˜a cho F tu
.
o
.
ng
´u
.
ng v´o
.
i mˆo
.
t vector m chiˆe
`
u v`a d¯i
.
nh ngh˜ıa thiˆe
´
t diˆe
.
n (V

0
→
˜
V
0
) bˇa
`
ng d¯ˆe
.
quy theo thu
˙’
tu
.
c
sau:
1. Kho
.
˙’
i ta
.
o, d¯ˇa
.
t V
0
= {s}.
2. Nˆe
´
u v
i
∈ V

0
, v`a hoˇa
.
c f
ij
< q
ij
hoˇa
.
c f
ij
> 0 th`ı d¯ˇa
.
t v
j
v`ao trong tˆa
.
p V
0
.
3. Lˇa
.
p la
.
i Bu
.
´o
.
c 2 cho d¯ˆe
´

n khi khˆong thˆe
˙’
thˆem d¯ı
˙’
nh n`ao v`ao V
0
.
C´o hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p xa
˙’
y ra: hoˇa
.
c t ∈ V
0
hoˇa
.
c t /∈ V
0
.
Tru
.
`o
.
ng ho

.
.
p 1. t ∈ V
0
.
Theo Bu
.
´o
.
c 2 trˆen, tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n t`u
.
s d¯ˆe
´
n t sao cho mo
.
i cung (v
i
, v
j
) d¯u
.
o

.
.
c su
.
˙’
du
.
ng
bo
.
˙’
i dˆay chuyˆe
`
n theo hu
.
´o
.
ng thuˆa
.
n (c´ac cung d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng thuˆa
.
n) thoa
˙’
f

ij
< q
ij
v`a c´ac cung
(v
k
, v
l
) d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.
c, t´u
.
c l`a hu
.
´o
.

ng t`u
.
v
l
d¯ˆe
´
n v
k
thoa
˙’
f
lk
> 0. Dˆay chuyˆe
`
n n`ay
go
.
i l`a dˆay chuyˆe
`
n d¯iˆe
`
u chı
˙’
nh.
D
-
ˇa
.
t
δ

f
= min
(v
i
,v
j
)
[q
ij
− f
ij
]; (v
i
, v
j
) thuˆa
.
n hu
.
´o
.
ng,
δ
b
= min
(v
k
,v
i
)

[f
kl
]; (v
k
, v
l
) ngu
.
o
.
.
c hu
.
´o
.
ng
178

v`a
δ = min[δ
f
, δ
b
].
Nˆe
´
u ta cˆo
.
ng thˆem δ v`ao luˆo
`

ng trˆen tˆa
´
t ca
˙’
c´ac cung d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng thuˆa
.
n v`a tr`u
.
d¯i δ trˆen
tˆa
´
t ca
˙’
c´ac cung d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.

c trong dˆay chuyˆe
`
n d¯iˆe
`
u chı
˙’
nh th`ı luˆo
`
ng thu d¯u
.
o
.
.
c vˆa
`
n l`a
luˆo
`
ng chˆa
´
p nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c c´o gi´a tri
.
nho

˙’
ho
.
n luˆo
`
ng ban d¯ˆa
`
u mˆo
.
t lu
.
o
.
.
ng δ. D
-
iˆe
`
u n`ay l`a hiˆe
˙’
n nhiˆen
v`ı thˆem mˆo
.
t lu
.
o
.
.
ng δ v`ao c´ac cung theo chiˆe
`

u thuˆa
.
n khˆong vu
.
o
.
.
t qu´a kha
˙’
nˇang cu
˙’
a c´ac cung
n`ay (do δ < δ
f
) v`a tr`u
.
d¯i mˆo
.
t lu
.
o
.
.
ng δ v`ao c´ac cung theo chiˆe
`
u ngu
.
o
.
.

c th`ı luˆo
`
ng vˆa
˜
n khˆong
ˆam (do δ < δ
b
).
´
Ap du
.
ng la
.
i v´o
.
i luˆo
`
ng m´o
.
i theo c´ac Bu
.
´o
.
c 1-3 trˆen ta la
.
i thu d¯u
.
o
.
.

c mˆo
.
t thiˆe
´
t diˆe
.
n m´o
.
i
(V
0
→
˜
V
0
).
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p 2. t /∈ V
0
.
Theo Bu
.
´o
.

c 2, f
ij
= q
ij
v´o
.
i mo
.
i cung (v
i
, v
j
) ∈ (V
0
→
˜
V
0
) v`a f
kl
= 0 v´o
.
i mo
.
i cung (v
k
, v
l
) ∈
(

˜
V
0
→ V
0
).
Do d¯´o

(v
i
,v
j
)∈(V
0
→
˜
V
0
)
f
ij
=

(v
i
,v
j
)∈(V
0
→

˜
V
0
)
q
ij
v`a

(v
k
,v
l
)∈(
˜
V
0
→V
0
)
f
kl
= 0;
t´u
.
c l`a gi´a tri
.
cu
˙’
a luˆo
`

ng bˇa
`
ng

(v
i
,v
j
)∈(V
0
→
˜
V
0
)
f
ij
−

(v
k
,v
l
)∈(
˜
V
0
→V
0
)

f
kl
v`a bˇa
`
ng kha
˙’
nˇang thˆong qua cu
˙’
a thiˆe
´
t diˆe
.
n (V
0
→
˜
V
0
).
Do Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p 1, luˆo
`
ng tˇang ´ıt nhˆa
´

t mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
, nˆen nˆe
´
u gia
˙’
thiˆe
´
t tˆa
´
t ca
˙’
c´ac kha
˙’
nˇang q
ij
l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
nguyˆen th`ı luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´

t c´o thˆe
˙’
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c sau mˆo
.
t sˆo
´
h˜u
.
u ha
.
n bu
.
´o
.
c
khi Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p 2 xa

˙’
y ra. Luˆo
`
ng n`ay c´o gi´a tri
.
bˇa
`
ng kha
˙’
nˇang thˆong qua cu
˙’
a thiˆe
´
t diˆe
.
n hiˆe
.
n
h`anh (V
0
→
˜
V
0
) nˆen l`a luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´

t v`a thiˆe
´
t diˆe
.
n tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´o kha
˙’
nˇang thˆong qua nho
˙’
nhˆa
´
t. 
Phu
.
o
.
ng ph´ap xˆay du
.
.
ng d¯u
.
o
.
.
c su

.
˙’
du
.
ng d¯ˆe
˙’
ch´u
.
ng minh d¯i
.
nh l´y trˆen cho ch´ung ta thuˆa
.
t
to´an d¯ˆe
˙’
t`ım luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t t`u
.
s d¯ˆe
´
n t. Thuˆa
.
t to´an n`ay s˜e d¯u
.
o

.
.
c tr`ınh b`ay du
.
´o
.
i d¯ˆay.
Xuˆa
´
t ph´at t`u
.
luˆo
`
ng chˆa
´
p nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c tu`y ´y (c´o thˆe
˙’
su
.
˙’
du
.
ng luˆo

`
ng c´o gi´a tri
.
bˇa
`
ng khˆong)
v`a sau d¯´o tˇang luˆo
`
ng bˇa
`
ng c´ach t`ım c´ac dˆay chuyˆe
`
n d¯iˆe
`
u chı
˙’
nh luˆo
`
ng t`u
.
s d¯ˆe
´
n t. Viˆe
.
c t`ım
179

mˆo
.
t dˆay chuyˆe

`
n d¯iˆe
`
u chı
˙’
nh luˆo
`
ng d¯u
.
o
.
.
c thu
.
.
c hiˆe
.
n bˇa
`
ng c´ach g´an nh˜an. Khi t`ım d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t
dˆay chuyˆe
`
n d¯iˆe

`
u chı
˙’
nh luˆo
`
ng, ta s˜e tˇang gi´a tri
.
cu
˙’
a luˆo
`
ng. Sau d¯´o xo´a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac nh˜an v`a
luˆo
`
ng m´o
.
i d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.

ng d¯ˆe
˙’
g´an nh˜an la
.
i. Nˆe
´
u khˆong tˆo
`
n ta
.
i dˆay chuyˆe
`
n d¯iˆe
`
u chı
˙’
nh luˆo
`
ng
th`ı thuˆa
.
t to´an kˆe
´
t th´uc, luˆo
`
ng chˆa
´
p nhˆa
.
n d¯u

.
o
.
.
c l`a l´o
.
n nhˆa
´
t. Thuˆa
.
t to´an cu
.
thˆe
˙’
nhu
.
sau:
7.2.1 Thuˆa
.
t to´an g´an nh˜an d¯ˆe
˙’
t`ım luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t
A. Qu´a tr`ınh g´an nh˜an
Mˆo

˜
i d¯ı
˙’
nh chı
˙’
c´o thˆe
˙’
c´o mˆo
.
t trong ba kha
˙’
nˇang:
1. d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an v`a d¯u
.
o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra (t´u
.
c l`a n´o d¯u
.
o
.

.
c g´an nh˜an v`a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh liˆen
thuˆo
.
c v´o
.
i n´o d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c xu
.
˙’
l´y); hoˇa
.
c
2. d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an v`a chu
.

a d¯u
.
o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra (t´u
.
c l`a n´o d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an v`a tˆo
`
n ta
.
i d¯ı
˙’
nh liˆen
thuˆo
.
c v´o
.
i n´o chu
.
a d¯u
.
o

.
.
c xu
.
˙’
l´y); hoˇa
.
c
3. chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an.
Nh˜an cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh v
i
gˆo
`
m hai th`anh phˆa
`
n v`a c´o mˆo
.
t trong hai da
.

ng hoˇa
.
c (+v
j
, δ) hoˇa
.
c (−v
j
, δ).
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ˆa
`
u, c´o thˆe
˙’
tˇang luˆo
`
ng do
.
c theo cung (v
i
, v
j
); trong tru
.

`o
.
ng ho
.
.
p th´u
.
hai,
c´o thˆe
˙’
gia
˙’
m luˆo
`
ng do
.
c theo cung (v
i
, v
j
). D
-
a
.
i lu
.
o
.
.
ng δ trong ca

˙’
hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p l`a lu
.
o
.
.
ng h`ang
nhiˆe
`
u nhˆa
´
t c´o thˆe
˙’
thˆem hoˇa
.
c b´o
.
t gi´a tri
.
cu
˙’
a luˆo
`

ng trˆen c´ac cung thuˆo
.
c dˆay chuyˆe
`
n d¯iˆe
`
u
chı
˙’
nh (trong qu´a tr`ınh xˆay du
.
.
ng) t`u
.
s d¯ˆe
´
n v
i
. Nh˜an cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh v
i
cho ph´ep x´ac d¯i
.
nh dˆay
chuyˆe
`
n d¯iˆe

`
u chı
˙’
nh luˆo
`
ng t`u
.
s d¯ˆe
´
n v
i
.
Kho
.
˙’
i ta
.
o tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh chu
.
a d¯u
.
o
.
.

c g´an nh˜an v`a f
ij
= 0 v´o
.
i mo
.
i cung (v
i
, v
j
) ∈ E.
1. G´an nh˜an cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh s l`a (+s, δ(s) = ∞). D
-
ı
˙’
nh s d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an v`a chu
.
a d¯u
.
o
.

.
c kiˆe
˙’
m
tra; tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh kh´ac chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an.
2. Cho
.
n d¯ı
˙’
nh v
i
∈ V d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an v`a chu

.
a d¯u
.
o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra. Nˆe
´
u khˆong tˆo
`
n ta
.
i, thuˆa
.
t
to´an d`u
.
ng, luˆo
`
ng F = (f
ij
) l`a l´o
.
n nhˆa
´
t. Ngu
.
o

.
.
c la
.
i, gia
˙’
su
.
˙’
(±v
k
, δ(v
i
)) l`a nh˜an cu
˙’
a
d¯ı
˙’
nh v
i
.
• G´an nh˜an (+v
i
, δ(v
j
)) cho tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı

˙’
nh v
j
∈ Γ(v
i
) chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an sao cho
f
ij
< q
ij
, trong d¯´o
δ(v
j
) := min{δ(v
i
), q
ij
− f
ij
}.
180

• G´an nh˜an (−v

i
, δ(v
j
)) cho tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh v
j
∈ Γ
−1
(v
i
) chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an sao
cho f
ji
> 0, trong d¯´o
δ(v
j
) := min{δ(v
i

), f
ji
}.
(D
-
ı
˙’
nh v
i
d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an v`a d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra; c´ac d¯ı
˙’
nh v
j
x´ac d¯i
.
nh trˆen d¯˜a d¯u
.
o

.
.
c
g´an nh˜an v`a chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra).
3. Nˆe
´
u d¯ı
˙’
nh t d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an, chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 4; ngu
.

o
.
.
c la
.
i chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 2. Cˆa
`
n
ch´u ´y rˇa
`
ng, nˆe
´
u V
0
l`a tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an v`a

˜
V
0
l`a tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c
g´an nh˜an th`ı (V
0
→
˜
V
0
) l`a thiˆe
´
t diˆe
.
n nho
˙’
nhˆa
´
t.

B. Qu´a tr`ınh tˇang luˆo
`
ng
4. D
-
ˇa
.
t c = t v`a chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 5.
• Nˆe
´
u nh˜an cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh c c´o da
.
ng (+z, δ(c)) th`ı thay luˆo
`
ng trˆen cung (z, c) l`a f
zc
bo
.
˙’
i

f
zc
+ δ(t);
• Nˆe
´
u nh˜an cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh c c´o da
.
ng (−z, δ(c)) th`ı thay luˆo
`
ng trˆen cung (x, z) l`a f
cz
bo
.
˙’
i
f
cz
− δ(t);
5. Nˆe
´
u z = s th`ı xo´a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac nh˜an t`u
.

c´ac d¯ı
˙’
nh v`a chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 1; ngu
.
o
.
.
c la
.
i (t´u
.
c
l`a z = c) d¯ˇa
.
t c = z v`a tro
.
˙’
la
.
i Bu
.
´o
.
c 5.

7.2.2 D
-
ˆo
`
thi
.
d¯iˆe
`
u chı
˙’
nh luˆo
`
ng
Qu´a tr`ınh t`ım mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n d¯ˆe
˙’
tˇang gi´a tri
.
cu
˙’
a luˆo
`
ng F trong d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, E) c´o

thˆe
˙’
d¯u
.
a vˆe
`
t`ım mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng d¯i t`u
.
s d¯ˆe
´
n t trˆen d¯ˆo
`
thi
.
d¯iˆe
`
u chı
˙’
nh luˆo
`
ng G
µ
(F ) = (V
µ

, E
µ
),
V
µ
= V, E
µ
= E
µ
1
∪ E
µ
2
, trong d¯´o
E
µ
1
:= {(v
µ
i
, v
µ
j
) | f
ij
< q
ij
, (v
i
, v

j
) ∈ E},
v´o
.
i kha
˙’
nˇang cu
˙’
a mˆo
˜
i cung (v
µ
i
, v
µ
j
) ∈ E
µ
1
l`a q
µ
ij
= q
ij
− f
ij
, v`a
E
µ
2

:= {(v
µ
j
, v
µ
i
) | f
ij
> 0, (v
i
, v
j
) ∈ E}
v´o
.
i kha
˙’
nˇang cu
˙’
a mˆo
˜
i cung (v
µ
j
, v
µ
i
) ∈ E
µ
2

l`a q
µ
ji
= f
ij
.
Khi d¯´o thu
˙’
tu
.
c g´an nh˜an cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an t`ım luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t trong Phˆa
`
n 7.2.1 ch´ınh l`a
thuˆa
.
t to´an x´ac d¯i
.
nh tˆa
.
p pha

.
m vi R(s) trong d¯ˆo
`
thi
.
d¯iˆe
`
u chı
˙’
nh luˆo
`
ng G
µ
(F ). Nˆe
´
u t ∈ R(s),
t´u
.
c l`a nˆe
´
u d¯ı
˙’
nh t d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an, th`ı c´o thˆe
˙’
x´ac d¯i

.
nh mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng d¯i t`u
.
s d¯ˆe
´
n t trong d¯ˆo
`
thi
.
G
µ
(F ). Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay, dˆay chuyˆe
`
n d¯iˆe
`
u chı
˙’

nh luˆo
`
ng cu
˙’
a G l`a d¯u
.
`o
.
ng d¯i P m`a c´ac
cung cu
˙’
a P thuˆo
.
c E
µ
1
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cung d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng thuˆa
.

n v`a c´ac cung cu
˙’
a P thuˆo
.
c E
µ
2
d¯u
.
o
.
.
c
d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.
c.
181