Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG
LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 9 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN–NĂM 2020


Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Thái Nguyên.

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Lê Dũng Mưu

Phản biện 1:...................................................................
Phản biện 2: ..................................................................
Phản biện 3:...................................................................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp
tại: Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên.
Vào hồi ... giờ ... ngày ... tháng ... năm 2019

Mở đầu

Bài toán cân bằng, còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan, được nghiên
cứu trong luận án này có thể phát biểu một cách đơn giản như sau:
Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Rn và f : C×C → R
là một song hàm thỏa mãn f (x, x) = 0, với mọi x ∈ C (song hàm có tính
chất này thường được gọi là song hàm cân bằng).
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C.

EP(C, f )

Bất đẳng thức trên được H. Nikaido và K. Isoda sử dụng lần đầu tiên vào
năm 1955 trong khi nghiên cứu trò chơi không hợp tác. Năm 1972, Ky Fan
gọi là bất đẳng thức minimax và ông đã đưa ra các kết quả về sự tồn tại
nghiệm của bài toán này. Thuật ngữ bài toán cân bằng được sử dụng lần
đầu tiên bởi GS. L.D. Muu và W. Oettli năm 1992. Bài toán cân bằng bao
hàm nhiều lớp bài toán quen thuộc như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng
thức biến phân, bài toán điểm bất động Kakutani, bài toán cân bằng Nash
trong lý thuyết trò chơi không hợp tác, bài toán cân bằng véctơ, bài toán
cân bằng tập... Các bài toán này, một số được trình bày bởi GS. L.D. Muu
và W. Oettli, sau đó được E. Blum và W. Oettli giới thiệu thêm trong công
trình của mình vào năm 1994, gần đây được giới thiệu khá đầy đủ trong
cuốn sách chuyên khảo của G. Bigi và các cộng sự. Ngoài ra, bài toán cân
bằng còn được mở rộng sang các bài toán cân bằng véctơ, bài toán cân bằng
tập, chẳng hạn bởi các tác giả P.H. Sach, N.X. Tan, T.X.D. Ha, D.V. Luu,...
và cuốn chuyên khảo của G. Kassay.
Trong vài chục năm trở lại đây, bài toán cân bằng được nghiên cứu cả về
tính chất định tính và các phương pháp giải.
Về tính chất định tính, sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng được
1

khảo sát bởi các tác giả M. Bianchi, R. Pini, G. Bigi, L.D. Muu, A. Iusem,
G. Kassay, W. Sosa... Sự ổn định nghiệm, cấu trúc của tập nghiệm được
nghiên cứu bởi L.Q. Anh, P.Q. Khanh, L.D. Muu và một số tác giả khác.
Hướng nghiên cứu về phương pháp giải có thể nói là được quan tâm nhiều
hơn, chẳng hạn bởi P.K. Anh, L.D. Muu, D. Aussel, J. Contreras, B.V. Dinh,
N.V. Quy, P.N. Anh, A. Iusem, D.V. Hieu, P. Santos, S. Scheimberg, L.Q.
Thuy, T.N. Hai,... Do bài toán cân bằng bao hàm nhiều bài toán quan trọng,
khó giải như là những trường hợp riêng, nên không hy vọng có một thuật
toán hiệu quả để giải bài toán cân bằng tổng quát. Vì thế người ta đã nghiên
cứu các phương pháp giải bài toán cân bằng với những giả thiết nhất định.
Các giả thiết thông thường hay được dùng là một tính chất đơn điệu nào
đó và tính lồi, khả dưới vi phân theo biến thứ hai của song hàm f .
Một số tiếp cận về phương pháp giải bài toán cân bằng có thể được chia
ra như sau:
• Phương pháp điểm bất động cho ánh xạ co, hoặc không giãn, không

giãn suy rộng dựa trên nguyên lý bài toán phụ. Nguyên lý bài toán phụ
cho bài toán cân bằng EP (C, f ) liên quan đến bài toán cân bằng dưới
đây
Tìm x ∈ C : fα (x, y) := f (x, y) + αM (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C EP (C, fα )
trong đó α > 0, và M (được gọi là hàm khoảng cách Bregman) có tính
chất
(M1) Xác định trên toàn không gian, hàm M (x, .) lồi mạnh, khả vi và
∇M (x, x) = 0 với mọi x ∈ C .
Nguyên lý bài toán phụ được G. Cohen đề xuất lần đầu tiên cho bài
toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân lần lượt vào năm 1980
và 1988. Đến năm 2003, nguyên lý này đã được mở rộng cho bài toán
cân bằng bởi G. Mastroeni.

• Phương pháp hàm đánh giá (gap function). Ý tưởng chính của phương

pháp hàm đánh giá là chuyển việc giải bài toán cân bằng về bài toán tối
2


ưu. Hai loại hàm đánh giá cơ bản là hàm đánh giá Auslender và hàm
đánh giá Fukushima được định nghĩa lần lượt như sau
gA (x) = − min{f (x, y) : y ∈ C}
gF (x) = − min{f (x, y) + αM (x, y) : y ∈ C},

trong đó α > 0 và song hàm M có tính chất đã nêu ở trên. Như đã biết,
x ∈ C , gA (x) = 0, hoặc gF (x) = 0 khi và chỉ khi x là nghiệm của bài

toán EP (C, f ). Chú ý rằng bài toán quy hoạch lồi xác định gA (x) có
thể không tồn tại nghiệm, và nếu có nghiệm thì nghiệm có thể không
duy nhất. Tuy nhiên bài toán xác định gF (x), do M (x, .) lồi mạnh, nên
luôn tồn tại duy nhất nghiệm.
• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và điểm gần kề (proximal point).

Các phương pháp này nhằm mục đích chuyển việc giải bài toán đặt
không chỉnh, ví dụ các bài toán không duy nhất nghiệm, và/hoặc nghiệm
không phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện ban đầu về việc giải các bài
toán đặt chỉnh. Để đảm bảo tính duy nhất nghiệm, người ta thường
dùng một song hàm hiệu chỉnh và một tham số hiêụ chỉnh để xây dựng
bài toán phụ có duy nhất nghiệm phụ thuộc tham số hiệu chỉnh, và
nghiệm duy nhất này sẽ hội tụ đến một nghiệm của bài toán ban đầu,
khi tham số hiệu chỉnh tiến tới giá trị nhất định. Các phương pháp hiệu
chỉnh này đã được sử dụng một cách hiệu quả cho bài toán tối ưu, bất
đẳng thức biến phân, phương trình toán tử, bao hàm thức đơn điệu và

gần đây cho bài toán cân bằng đơn điệu, giả đơn điệu.
Trong phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov bài toán hiệu chỉnh, với hàm
hiệu chỉnh khoảng cách, được cho như sau:
fT (x, y) := f (x, y) +

x − xg , y − x ,

trong đó > 0 là tham số hiệu chỉnh, còn xg đóng vai trò như lời giải
dự đoán. Trong phương pháp điểm gần kề, điểm dự đoán xg thay đổi ở
3


mỗi bước lặp k và hàm hiệu chỉnh có dạng
fP (x, y) := f (x, y) + c x − xk , y − x ,

với c > 0. Với giả thiết f đơn điệu trên C , thì fT và fP đơn điệu mạnh
trên C . Do đó, với các giả thiết thông thường về tính liên tục của song
hàm, bài toán cân bằng hiệu chỉnh EP (C, fT ) và EP (C, fP ) có duy
nhất nghiệm phụ thuộc vào các tham số hiệu chỉnh và hội tụ đến một
nghiệm của bài toán ban đầu khi

tiến dần đến 0, đối với hiệu chỉnh

Tikhonov, còn đối với hiệu chỉnh điểm gần kề thì c tiến về một số hữu
hạn.
• Phương pháp chiếu và chiếu tăng cường (extragradient method).

Phương pháp chiếu cơ bản (tức là chiếu một lần) cho bài toán cân
bằng có thể không hội tụ, ngay cả khi song hàm f là đơn điệu. Do
đó, năm 1997, S. Flam và A. Antipin đã dùng phương pháp chiếu tăng

cường (chiếu hai lần) với hàm khoảng cách Bregman cho bài toán cân
bằng. Năm 2011, N. Langenberg mở rộng kết quả của Flam và Antipin.
Sau đó, nhiều tác giả đã dùng phương pháp chiếu tăng cường giải bài
toán cân bằng với các giả thiết khác nhau đặt lên song hàm f . Trong
phương pháp chiếu tăng cường, ở mỗi bước lặp k , phải giải hai bài toán
tối ưu
α
xk = argmin{f (xk , y) +
y − xk 2 : y ∈ C};
2
α
xk+1 = argmin{f (xk , y) +
y − xk 2 : y ∈ C}.
2
Với các giả thiết thông thường, dãy điểm lặp xác định như trên sẽ hội
tụ về một nghiệm của bài toán EP (C, f ). Đối với bài toán cân bằng có
tính chất đơn điệu mạnh hơn, như đơn điệu mạnh, giả đơn điệu mạnh,
đơn điệu mạnh ngược, para-đơn điệu (paramonotone), thì chỉ cần dùng
phương pháp chiếu cơ bản (một lần chiếu), chẳng hạn xem P. Santos và
S. Scheimberg.
Một bài toán khác liên quan nhiều đến luận án này là bài toán chấp nhận
4


tách (Split feasibility problem). Bài toán chấp nhận tách được Y. Censor
và T. Elfving giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1994 cho mô hình bài toán
ngược. Sau đó được C. Byrne ứng dụng vào năm 2002 cho bài toán phục
hồi và tái tạo hình ảnh y tế. Gần đây, bài toán này còn được Y. Censor
ứng dụng trong mô hình điều khiển cường độ xạ trị trong điều trị ung thư.
Trong không gian hữu hạn chiều, bài toán chấp nhận tách có thể mô tả như

sau:
Cho C và Q là các tập lồi khác rỗng trong không gian Rn và Rm tương
ứng, và A : Rn → Rm là toán tử tuyến tính bị chặn (được gọi là toán tử
chuyển). Bài toán chấp nhận tách được phát biểu:
Tìm x ∈ C sao cho Ax ∈ Q.

(SFP).

Trong trường hợp hai không gian là trùng nhau và A là toán tử đồng nhất,
thì bài toán chấp nhận tách trở về bài toán chấp nhận lồi (convex feasibility
problem) là tìm x ∈ C ∩ Q. Kí hiệu Γ là tập nghiệm của bài toán chấp nhận
tách (SFP),
Γ = {x ∈ C : Ax ∈ Q} = C ∩ A−1 Q,
thì do C, Q là các tập lồi đóng, nên Γ là tập lồi, đóng và là giao của hai tập
lồi đóng C và A−1 Q. Như vậy bài toán chấp nhận tách có thể xem như một
trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận lồi.
Trong những năm gần đây, việc giải bài toán chấp nhận tách được nhiều
người quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là trong trường hợp C và/hoặc Q được
cho như là tập nghiệm của các bài toán nào đó, ví dụ tập điểm bất động,
tập nghiệm của bài toán tối ưu lồi, bất đẳng thức biến phân, và tổng quát
hơn là của bài toán cân bằng. Có hai phương pháp cơ bản để giải bài toán
chấp nhận tách là phương pháp chiếu (lần lượt hoặc song song). Các thuật
toán chiếu này lấy ý tường từ các phương pháp chiếu của C.J. Karzmark
và của V. Neumann. Phương pháp thứ hai giải bài toán chấp nhận tách là
chuyển bài toán chấp nhận tách về bài toán tối ưu lồi. Do đó các phương
pháp của quy hoạch toán học có thể áp dụng để giải bài toán chấp nhận
5


tách. Điều khó khăn ở đây chính là việc tính giá trị cũng như đạo hàm của

hàm mục tiêu.
Cần phải nói thêm rằng các thuật toán đã có chỉ áp dụng cho trường hợp
A là toán tử tuyến tính, lý do chính là các thuật toán dựa trên phương pháp

chiếu đòi hỏi phải tính được hoặc toán tử chuyển vị A∗ hoặc toán tử nghịch
đảo A−1 , trong khi đó với phương pháp dựa trên bài toán tối ưu, thì hàm
1
(I − PQ )(Ax) 2 chỉ lồi và khả vi khi A là tuyến tính. Do tính
mục tiêu 2λ
khả vi của hàm mục tiêu nên bài toán cực tiểu hàm này tương đương với
bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu.
Một vấn đề được đặt ra là nghiên cứu thuật toán giải bài toán chấp nhận
tách với toán tử chuyển không phải là tuyến tính với C và/hoặc Q không
được cho tường minh, ví dụ như là tập nghiệm của bài toán cân bằng, hoặc
các trường hợp riêng của nó.
Trong luận án, chúng tôi xét bài toán chấp nhận tách cho hai trường hợp:
Trường hợp đầu là bài toán chấp nhận tách với C là tập nghiệm của bài
toán cân bằng và Q là tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi. Đối với bài
toán này chúng tôi đề xuất một thuật toán chiếu một lần giải bài toán cân
bằng kết hợp với phương pháp chiếu giải bài toán quy hoạch lồi bằng cách
sử dụng ánh xạ gần kề của hàm mục tiêu.
Bài toán chấp nhận tách thứ hai được xét trong luận án là bài toán trong
đó toán tử chuyển không nhất thiết là tuyến tính mà là một phép biến đổi
được cho bởi các hàm số tựa tuyến tính. Một thuật toán dựa trên phương
pháp tối ưu cho bài toán tựa lồi, sử dụng dưới đạo hàm Clarke đã được đề
xuất. Sự hội tụ của thuật toán đã được chứng minh.
Bản luận án, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình đã
công bố của tác giả có liên quan đến luận án và danh mục tài liệu tham
khảo, luận án gồm 3 chương. Các kết quả chính được trình bày trong các
Chương 2 và Chương 3.

Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ, nhắc lại các kết quả về phép
chiếu mêtric, tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi, song hàm đơn điệu, bài toán cân
6


bằng và một số bài toán liên quan, bài toán chấp nhận tách và một số bổ
đề dùng để chứng minh cho các kết quả chính ở các chương sau.
Trong Chương 2 chúng tôi trình bày thuật toán chiếu kết hợp phép lặp
Mann-Krasnoselskii giải bài toán chấp nhận tách liên quan đến bài toán cân
bằng và bài toán tối ưu lồi. Một mô hình cân bằng sản xuất điện với chi
phí môi trường thấp nhất đã được trình bày ở chương này cùng với các tính
toán thử nghiệm khi giải mô hình theo thuật toán đã đề xuất.
Chương 3 trình bày thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán chấp nhận
tách với toán tử chuyển là tựa tuyến tính và chứng minh sự hội tụ. Cuối
chương giới thiệu một mô hình cân bằng Nash có ràng buộc chung và hai ví
dụ khác và được so sánh với một kết quả đã có của Santos và Scheimberg
đề xuất vào năm 2017.
Các kết quả chính của luận án được công bố trong 2 bài báo đăng trên
các tạp chí thuộc danh mục ISI là: Mathematical Methods of Operations
Research và Journal of Global Optimization.

7


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bài một số khái niệm cơ bản cần thiết
và một số bổ đề bổ trợ sẽ được dùng ở các chương tiếp theo. Nội dung của
chương được chia thành năm phần. Phần đầu trình bày một số khái niệm

và kết quả cơ bản của giải tích lồi, hai phần tiếp theo trình bày bài toán cân
bằng và một số bài toán liên quan và bài toán chấp nhận tách, phần thứ tư
nhắc lại một số phương pháp lặp cơ bản. Phần cuối của chương trình bày
một số kết quả bổ trợ để chứng minh sự hội tụ của các thuật toán ở các
chương sau.

1.1.

Các khái niệm và kết quả cơ bản

1.2.

Bài toán cân bằng và một số bài toán liên quan

1.3.

Bài toán chấp nhận tách

1.4.

Một số phương pháp lặp cơ bản

1.5.

Các bổ đề bổ trợ

8


Chương 2

Thuật toán chiếu kết hợp phép lặp
Mann-Krasnoselskii giải bài toán chấp
nhận tách
Trong chương này, chúng tôi trình bày thuật toán chiếu kết hợp phép lặp
Mann-Krasnoselskii giải bài toán chấp nhận tách liên quan đến bài toán cân
bằng và bài toán tối ưu lồi.
Kết quả của chương này được viết dựa trên nội dung bài báo (1) đăng
trên tạp chí Mathematical Methods of Operations Research nằm trong Danh
sách các công trình của tác giả liên quan đến luận án.

2.1.

Mô tả bài toán và sự hội tụ

Cho C, Q là các tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Rn , Rm tương
ứng; A : Rn → Rm là toán tử tuyến tính. Xét bài toán chấp nhận tách:
Tìm x∗ ∈ C sao cho Ax∗ ∈ Q.
Khi C và/hoặc Q là các tập nghiệm của các bài toán bất đẳng thức biến
phân hoặc tập nghiệm của bài toán điểm bất động, bài toán này đã được
xét bởi một số tác giả, chẳng hạn T.V. Anh, Y. Shehu, J. Tang.
Chúng tôi xét bài toán chấp nhận tách trong trường hợp C là tập nghiệm
của bài toán cân bằng para-đơn điệu trong không gian Rn và Q là tập
nghiệm của bài toán tối ưu lồi trong không gian Rm .
Xét bài toán (SEO) sau đây:
Tìm x∗ ∈ K : f (x∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ K và g(Ax∗ ) ≤ g(u) ∀u ∈ Rm ,
9


trong đó K là tập con lồi đóng trong không gian Rn , A : Rn → Rm là toán

tử tuyến tính và g là hàm lồi nửa liên tục dưới, chính thường trên không
gian Rm .
Các giả thiết sau cần thiết cho sự hội tụ của thuật toán.
(A1) Với mỗi x ∈ K , f (x, x) = 0 và f (x, .) là lồi, nửa liên tục dưới trên K .
(A2) ∂2 f (x, x) bị chặn trên mỗi tập con bị chặn bất kì của K , trong đó
∂2 f (x, x) kí hiệu -dưới vi phân của hàm lồi f (x, .) tại x, tức là
∂2 f (x, x) := {p ∈ Rn | p, y − x + f (x, x) ≤ f (x, y) + , ∀y ∈ Rn }.

(A3) f là giả đơn điệu trên K đối với mỗi nghiệm của (EP ), tức là f (x, x∗ ) ≤
0 với mỗi x ∈ K , x∗ ∈ Sol(EP ), và thỏa mãn điều kiện para-đơn điệu
x∗ ∈ Sol(EP ), y ∈ K,

f (x∗ , y) = f (y, x∗ ) = 0 ⇒ y ∈ Sol(EP ).

(A4) Với mỗi x ∈ K , f (., x) là nửa liên tục trên trên K .
Nhận xét 2.1 Khi = 0 thì ∂2 f (x, x) chính là dưới vi phân của song hàm
f (x, .) theo biến thứ hai tại x hay ∂2 f (x, x).
Thuật toán chiếu kết hợp phép lặp Mann-Krasnoselskii được mô tả như sau.
Thuật toán 2.1
Lấy các tham số dương δ , ξ và các dãy số thực {ak }, {δk }, {βk }, { k }, {ρk }
thỏa mãn các điều kiện:
0 < a < ak < b < 1; 0 < ξ ≤ ρk ≤ 4 − ξ,
δk > δ > 0, βk > 0,
1
lim ak = ;
2
k→+∞
∞

k=1

∞

k=1

βk
= +∞,
δk

k

≥ 0,

∀k ∈ N;

∀k ∈ N;

(2.1)
(2.2)
(2.3)

∞

βk2 < +∞;

(2.4)

k=1

βk k
< +∞.

δk

(2.5)
10


Bước 0: Chọn x1 ∈ K và cho k := 1.
Bước k: Có xk ∈ K ,
lấy gk ∈ ∂2k f (xk , xk ) và xác định
αk =

βk
trong đó γk = max{δk , gk }.
γk

Tính yk = PK (xk − αk gk ), tức là
yk − xk + αk gk , x − yk ≥ 0 ∀x ∈ K.

Lấy

 0 nếu ∇h(y ) = 0,
k
µk :=
 ρ h(yk ) nếu ∇h(y ) = 0
k ∇h(yk ) 2
k

(2.6)

và tính

zk = PK (yk − µk AT (I − proxλg )(Ayk )).

Tính
xk+1 = ak xk + (1 − ak )zk .

Nhận xét 2.2 Nếu chọn k = 0, thì xk = yk và h(xk ) = 0, suy ra xk là
một nghiệm. Dựa theo cách này, ta sẽ gọi xk là -nghiệm nếu k ≤ và
xk − yk ≤ , |h(xk )| ≤ .
Các bổ đề sau cần thiết để chứng minh sự hội tụ của thuật toán.
Gọi S là tập nghiệm của bài toán (SEO) và z ∈ S .
Bổ đề 2.1 Nếu ∇h(yk ) = 0 thì bất đẳng thức sau đúng
zk − z

2

h2 (yk )
≤ yk − z|| − ρk (4 − ρk )
.
∇h(yk ) 2
2

(2.7)

Bổ đề 2.2 Cho z ∈ S . Khi đó, với mỗi k sao cho ∇h(yk ) = 0, ta có
xk+1 − z

2

h2 (yk )
≤ xk − z|| − (1 − ak )ρk (4 − ρk )

∇h(yk ) 2
+2(1 − ak )αk f (xk , z) + Ak ,
2

11

(2.8)


và với mỗi k sao cho ∇h(yk ) = 0,
xk+1 − z

2

≤ xk − z||2 + 2(1 − ak )αk f (xk , z) + Ak ,

trong đó Ak = 2(1 − ak )(αk

k

(2.9)

+ βk2 ).

Tiếp theo là định lý hội tụ cho Thuật toán 2.1.
Định lí 2.1 Giả sử bài toán (SEO) có nghiệm và các giả thiết (A1)(A4) được thỏa mãn. Khi đó, dãy {xk } sinh bởi Thuật toán 2.1 hội tụ
tới nghiệm của bài toán (SEO).

2.2.

Ví dụ minh họa

Trong mục này, chúng tôi xét bài toán chấp nhận tách với C là tập nghiệm
của bài toán cân bằng và Q là tập nghiệm của bài toán tối ưu lồi. Bây giờ
chúng tôi xét một ứng dụng của bài toán này cho mô hình cân bằng bán
độc quyền Nash–Cournot trong bài toán sản xuất điện. Mô hình bài toán
cân bằng trong sản xuất điện đã được nghiên cứu bởi một số tác giả. Trong
mô hình này, ta giả sử có n nhà máy, mỗi nhà máy thứ i có Ii máy phát
điện. Đặt x là véctơ trong đó tọa độ xj là lượng điện sinh bởi máy phát j .
Giả sử giá pi (s) là hàm affin, giảm theo s với s = N
j=1 xj trong đó N là số
tất cả các máy phát điện, tức là pi (s) = α − βi s. Khi đó lợi nhuận thu được
bởi nhà máy thứ i được cho bởi fi (x) = pi (s)( j∈Ii xj ) − j∈Ii cj (xj ),
trong đó cj (xj ) là hàm chi phí để sản xuất lượng điện xj bởi máy phát thứ
i. Giả sử Ki ⊆ R là tập chiến lược của nhà máy thứ i, tức là điều kiện
j∈Ii

xj ∈ Ki phải được thỏa mãn với mọi i. Khi đó tập chiến lược của mô

hình là K := K1 × K2 ... × Kn .
Mỗi nhà máy tìm kiếm lợi nhuận cực đại bằng cách chọn mức sản xuất
tương thích dưới căn cứ sản lượng của các nhà máy khác là tham số đầu
vào. Một cách tiếp cận chung cho mô hình này là dựa trên khái niệm cân
bằng Nash.
12


Chúng tôi nhắc lại rằng x∗ ∈ K = K1 × K2 × · · · × Kn là một điểm cân
bằng Nash của mô hình nếu
fi (x∗ ) ≥ fi (x∗ [xi ]) ∀xi ∈ Ki , ∀i = 1, 2, . . . , n,

trong đó x∗ [xi ] là véctơ thu được từ x∗ bằng cách thay x∗i bởi xi .
Đặt
f (x, y) := ψ(x, y) − ψ(x, x)

với

n

ψ(x, y) := −

fi (x[yi ]),

(2.10)

i=1

thì bài toán tìm điểm cân bằng Nash của mô hình có thể đưa về bài toán
x∗ ∈ K : f (x∗ , x) ≥ 0 ∀x ∈ K.

(EP )

Chúng tôi mở rộng mô hình cân bằng này bằng cách thêm một giả thiết
rằng để sản xuất điện thì các nhà máy phải sử dụng nguyên vật liệu. Kí hiệu
al,j là số lượng vật liệu l (l = 1, ..., m) cho việc sản xuất một đơn vị điện bởi
máy phát j (j = 1, ..., N ). Đặt A là ma trận với các phần tử là al,j . Khi đó
hàng l của véctơ Ax là số lượng vật liệu l cho việc sản xuất x. Sử dụng vật
liệu cho sản xuất có thể làm ô nhiễm môi trường và mỗi nhà máy phải trả
phí môi trường. Giả sử g(Ax) là toàn bộ phí môi trường cho việc sản xuất
x. Nhiệm vụ đặt ra bây giờ là tìm một sản lượng x∗ sao cho nó là điểm cân

bằng Nash với phí môi trường thấp nhất. Bài toán này có thể đưa về dạng
Tìm x∗ ∈ K : f (x∗ , x) ≥ 0 ∀x ∈ K, g(Ax∗ ) ≤ g(Ax) ∀x ∈ K.

(SEP )

Giả sử với mỗi j , hàm chi phí cj và phí môi trường g là các hàm lồi tăng.
Các giả thiết lồi ở đây có nghĩa là hàm chi phí sản xuất và phí môi trường
cho việc sản xuất một đơn vị điện tăng khi số lượng điện tăng.
Dưới giả thiết lồi, ta thấy bài toán (EP) với hàm f cho bởi (2.10) có thể
đưa về dạng
Tìm x∗ ∈ K : B˜1 x∗ − a¯, x − x∗ + ϕ(x) − ϕ(x∗ ) ≥ 0 ∀x ∈ K,
13

(2.11)


trong đó
a
¯ := (α, α, ..., α)T



β1

0
B1 := 
 ...

0

0

0 ... 0





0 β1



β2 0 ... 0 
 , B˜1 :=  β2 0
 ... ...
... ... ... ... 


0 0 0 βn
βn βn

β1 ... β1




β2 ... β2 
,
... ... ... 


βn ... 0

N
T

ϕ(x) := x B1 x +

cj (xj ).
j=1

Chú ý rằng khi cj là các hàm lồi khả vi với mỗi j , thì bài toán (2.11) có
thể quy về bài toán bất đẳng thức biến phân sau
Tìm x∗ ∈ K : B˜1 x∗ − a¯ + ∇ϕ(x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K.

(2.12)

Chúng tôi thử nghiệm Thuật toán 2.1 với hàm chi phí cho bởi
1
cj (xj ) = pj x2j + qj xj , pj > 0.
2
Với hàm chi phí này, thì toán tử trong bài toán (2.12) là toán tử para-đơn
điệu.
Lấy các dãy tham số là
7
βk =
, k = 0, δk = 3, γk = max{3, ||gk ||} ∀k
2(k + 1)
và giải mô hình với các cỡ khác nhau, 10 bài toán mỗi cỡ.
Thuật toán được chạy thực hiện bằng Matlab 7.8 trên máy tính Ram
8GB core i7.

Các bài toán con được giải bằng MATLAB Optimization Toolbox bằng
công cụ QUADPROG cho các hàm bậc hai nửa xác định dương g(u) :=
1/2uT Du + dT u. Các kết quả tính toán được trình bày trong Bảng 2.1. Các
trục ngang và trục dọc biểu thị số bước lặp trung bình k , thời gian CPU
(giây) trung bình và error1 := ||x − y||, error2 := h(x), tương ứng. Các
14


tham số βj , pj , qj , với mọi j = 1, . . . , n, được sinh ngẫu nhiên trong khoảng
(0,1], [1,3], [1,3] tương ứng, các ma trận A, D và véctơ d được sinh ngẫu
nhiên trong khoảng [-2,30].
Bảng 2.1. Thuật toán 2.1
size N

Prob.

Iter

CPU-times(s)

Error 1

Error 2

6

10

1654

51.13

9.9996.10−5

1.1.10−6

10

10

19793

622.09

9.7011.10−5

7.8.10−4

20

10

25690

1282.10

9.9801.10−5

0.0565

30

10

32001

1059.12

9.9504.10−5

0.3283

3213.47

−5

2.9610

50

10

67344

15

9.8034.10


Chương 3

Thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán
chấp nhận tách phi tuyến và ứng dụng
cho mô hình cân bằng Nash có ràng
buộc
Trong chương này, chúng tôi trình bày một thuật toán mới giải bài toán
chấp nhận tách (NSEP) và xét một ứng dụng của bài toán này cho mô hình
cân bằng Nash có ràng buộc. Cụ thể, bài toán xét ở đây có dạng
Tìm x ∈ K sao cho f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ K thỏa mãn F (x) ∈ Q,
trong đó F là toán tử tựa tuyến tính.
Kết quả của chương này được viết dựa trên nội dung bài báo (2) đăng
trên tạp chí Journal of Global Optimization nằm trong Danh mục công trình
của tác giả liên quan đến luận án.

3.1.

Mô tả bài toán

Xét bài toán chấp nhận tách như sau:
Tìm z ∈ K sao cho f (z, u) ≥ 0, ∀u ∈ K và F (z) ∈ Q,

(N SEP )

trong đó ∅ = K ⊆ Rn là tập lồi, f : K × K → R, ∅ = Q ⊆ Rm và
F : Rn → Rm là toán tử tựa tuyến tính được xác định bởi các hàm tựa

tuyến tính.

16

3.2.

Thuật toán và sự hội tụ

Giả sử bài toán (N SEP ) có nghiệm và thỏa mãn các giả thiết sau.
Giả thiết
(B1) Q = Q1 × Q2 × · · · × Qm trong đó Qi là một tập con lồi của R với mỗi
i = 1, 2, . . . , m;

(B2) F = (F1 , F2 , . . . , Fm ) trong đó Fi : Rn → R là tựa tuyến tính, tức là,
F vừa tựa lồi vừa tựa lõm và khả vi trên một tập mở chứa K .

(B3) Với mỗi x ∈ K , song hàm f (x, .) là hàm lồi, khả dưới vi phân, f (., x)
nửa liên tục trên trên một tập lồi mở chứa K và f (x, x) = 0 với mỗi
x ∈ K.
(B4) Song hàm f giả đơn điệu trên K đối với tập nghiệm Sol(EP ) của bài
toán (EP ), tức là
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0 ∀x ∈ Sol(EP ), y ∈ K.

Kí hiệu Sol(EP ) là tập nghiệm của bài toán cân bằng:
Tìm z ∈ K sao cho f (z, u) ≥ 0 ∀u ∈ K.

(EP )

Khi đó, dưới giả thiết (B1), (B2), bài toán (N SEP ) có thể đưa về dạng
min

max

x∈C i=1,2,...,m

|(I − PQi )(Fi (x))|2 ,

với C là tập nghiệm của (EP).
Với mỗi x ∈ K , đặt
pi (x) = |(I − PQi )(Fi (x))|2 ,
p(x) =

max pi (x),

i=1,...,m

I(x) : = {i : pi (x) = p(x)}.

Bổ đề sau chỉ ra hàm pi (x) và p(x) là các hàm tựa lồi.
17

(OP )


Bổ đề 3.1 Giả sử các giả thiết (B1) và (B2) thỏa mãn. Khi đó, các
mệnh đề sau đúng
i) Hàm pi tựa lồi và khả vi trên K ;
ii) Hàm p tựa lồi trên K .
Thuật toán cho bài toán (NSEP) được mô tả như sau:
Thuật toán 3.1
Lấy số dương δ và các dãy số thực {δk }, {βk }, { k } thỏa mãn các điều kiện
δk > δ > 0, βk > 0,
∞

k

k
∞

≥ 0, ∀k ∈ N;

(3.1)

βk k
< +∞;
δk

(3.2)

< +∞,

k=1

k=1
∞

k=1

βk
= +∞,
δk

∞

βk2 < +∞;

(3.3)

k=1

Bước 0: Lấy x1 ∈ K và đặt k := 1.
Bước k: Có xk ∈ K . Lấy gk ∈ ∂2k f (xk , xk ) và xác định
αk =

βk
trong đó γk = max{δk , gk }.
γk

Tính yk = PK (xk − αk gk ).
Nếu ∇pi (yk ) = 0 ∀i ∈ I(yk ) thì lấy hk = 0;
Ngược lại, lấy 0 = hk ∈ co {∇pi (yk ), i ∈ I(yk )} và đặt
h
hk = k .
hk
Tính
xk+1 = PK (yk − αk hk ),

tăng k bởi 1 và quay lại bước k .

Nhận xét 3.1 (i) Nếu k = 0, xk = yk và p(xk ) = 0, thì xk là một nghiệm
chính xác. Vì vậy, xk được gọi là một − nghiệm nếu k ≤ , ||xk − yk || ≤
và p(xk ) ≤ .
18

(ii) Nếu Qi ≡ R với mỗi i, thì pi (x) = |(I − PQi )Fi (x)|2 = 0 với mỗi i.
Khi đó bài toán (N SEP ) trở thành bài toán cân bằng (EP ).
Các bổ đề tiếp theo được sử dụng trong chứng minh sự hội tụ của Thuật
toán 3.1.
Bổ đề 3.2 Với mỗi z ∈ K , ta có
xk+1 − z

2

≤ yk − z

2

− 2αk hk , yk − z + αk2 ,

∀z ∈ K.

Dựa vào Bổ đề 3.2, chúng tôi đánh giá được bất đẳng thức sau.
Bổ đề 3.3 (i) Giả sử có các giả thiết (B1), (B2), (B3). Khi đó
xk+1 − z

2

≤ xk − z||2 + 2αk f (xk , z) − 2αk hk , yk − z + Ak , (3.4)

trong đó Ak = 2(αk

k

+ βk2 ) + αk2 .

(ii) Nếu tồn tại z ∈ K , > 0 và δ > 0 sao cho
p(y) < p(yk ) − δ

∀y ∈ B(z, ),

thì
hk , yk − z ≥

∀k

trong đó hk = 0.
Kí hiệu W là tập nghiệm của bài toán (N SEP ), khi đó ta có định lý hội
tụ sau đây.
Định lí 3.1 Giả sử các giả thiết (B1) - (B4) thỏa mãn và f là song
hàm para-đơn điệu đối với tập nghiệm của bài toán (EP ), dãy {gk } bị
chặn trên mọi tập bị chặn. Khi đó, dãy {xk } hoặc hội tụ tới một nghiệm
của bài toán (NSEP) hoặc tới một nghiệm của bài toán cân bằng (EP )
đồng thời cũng là điểm dừng của bài toán min{p(x) : x ∈ K}. Cụ thể,
đặt
J = k| hk = 0 ,
(3.5)
thì ta có:
19


(i) nếu

k∈J

αk = +∞ thì dãy {xk } hội tụ tới một nghiệm của bài toán

(NSEP),
(ii) nếu

k∈J

αk < +∞ thì dãy {xk } hội tụ tới một nghiệm x∗ của

bài toán cân bằng (EP), đồng thời cũng là điểm dừng của bài toán
min{p(x) : x ∈ K}.

3.3.

Ví dụ minh họa

Trong phần này, chúng tôi thử nghiệm Thuật toán 3.1, kí hiệu là NSEP
và so sánh nó với thuật toán MACEP được đề xuất bởi P. Santos và S.
Scheimberg năm 2017 trên tạp chí Optimization giải bài toán cân bằng có
ràng buộc chung. Các thuật toán được lập trình bằng Matlab 7.8 trên máy
tính 8Gb RAM core i7.
Ví dụ 3.1 (Ứng dụng cho mô hình cân bằng Nash có ràng buộc
chung)
Giả sử có i = 1, ..., n người tham gia một trò chơi. Mỗi người chơi có một
hoạt động riêng, kí hiệu là xi ∈ R. Tất cả người chơi có một tập hoạt động
chung x ∈ Rn . Mỗi người chơi thứ i sử dụng một hàm chi phí fi phụ thuộc
vào các hoạt động của những người chơi khác. Khi đó hàm Nikaido-Isoda
của trò chơi được định nghĩa là
n

fi (x) − fi (x[yi ]) ,

f (x, y) :=

(3.6)

i=1

trong đó x[yi ] là véctơ nhận được bằng cách từ véctơ x thay thành phần xi
bởi yi . Kí hiệu Ki ⊂ R là tập chiến lược của người chơi thứ i. Khi đó tập
chiến lược của trò chơi là K := K1 × ... × Kn . Trong một vài mô hình thực
tế, một điểm cân bằng có thể phải thỏa mãn thêm ràng buộc F (x) ∈ Q,
trong đó F : Rn → Q với Q là một tập lồi trong không gian Rm . Khi đó
bài toán này có dạng của bài toán (NSEP).

20


Chúng tôi xét một mô hình sản xuất điện, trong đó giả sử một công ty
có n chi nhánh, mỗi chi nhánh sản xuất một loại điện, chẳng hạn, điện hạt
nhân, điện mặt trời, điện gió, thủy điện và nhiệt điện.
Giả sử giá sản xuất tại mỗi chi nhánh i là một hàm affin được cho bởi
pi (x1 , ..., xn ) := α −

n
k=1 τik xk

với mỗi i, trong đó α > 0, τik > 0. Hàm

giá này xuất phát từ mô hình hàng hóa khác nhau, trong đó người dùng
có thể thích dùng điện của chi nhánh này hơn chi nhánh khác, chẳng hạn,
nhiều người thích dùng điện mặt trời và điện gió hơn nhiệt điện hoặc điện
hạt nhân. Khi tik = τ với mỗi i và k thì hàm giá trở thành một hàm thông
dụng. Lợi nhuận của chi nhánh thứ i được cho bởi
fi (x) := pi (x1 , ..., xn )xi − ci (xi ),

(3.7)

trong đó ci (xi ) là chi phí (bao gồm phí ô nhiễm môi trường) cho việc sản
xuất xi bởi chi nhánh thứ i. Nói chung ci là một hàm lồi tăng. Tính lồi này
có nghĩa là chi phí sản xuất cho việc sản xuất một đơn vị điện tăng khi số
lượng sản xuất tăng lên.
Công ty tìm kiến lợi nhuận bằng cách chọn một mức sản xuất tương ứng
tại mỗi chi nhánh dưới giả thiết mức sản xuất của các chi nhánh một tham
số đầu vào. Đặt Ki ⊆ R là tập chiến lược của chi nhánh thứ i, tức là mức
sản xuất xi phải được chọn trong Ki . Một cách tiếp cận chung cho mô hình
này là dựa trên khái niệm cân bằng Nash bằng cách sử dụng hàm NikaidoIsoda. Hàm này đã được sử dụng trong mô hình sản xuất điện và một số
mô hình khác.
Trong thực tế, mức sản xuất tại mỗi chi nhánh phải thỏa mãn một tỷ lệ,
chẳng hạn, tỷ lệ của thủy điện x1 và tổng sản lượng điện j=1 xj của tất cả
các chi nhánh khác bị hạn chế bởi một số phần trăm cho trước, có thể biểu
diễn chẳng hạn là l1 ≤ x1 xj ≤ u1 , trong đó l1 và u1 là các hằng số cho
j=1

trước. Trong trường hợp này, bài toán tìm điểm cân bằng thỏa mãn thêm
điều kiện ràng buộc dẫn đến bài toán chấp nhận tách phi tuyến (NSEP).

21

Chúng tôi thử nghiệm Thuật toán 3.1 với hàm chi phí cho bởi
1
cj (xj ) := rj x2j + qj xj , rj > 0
2
và các hàm giá là
n

n

xj ) := 30 −

pi (
j=1

τij xj ,
j=1

trong đó rj , qj và mỗi τij được lấy ngẫu nhiên trong khoảng [0, 20], [0, 3]
và trong khoảng [0, 1/n] tương ứng. Với các hàm chi phí và hàm giá này, sử
dụng Mệnh đề 3.2 trong bài báo của A. N. Iusem năm 1998, song hàm hàm
f xác định bởi (3.6) với hàm f cho bởi (3.7) là para-đơn điệu. Hơn nữa,

song hàm f thỏa mãn các giả thiết (B1)-(B4).
Chúng tôi lấy tập chiến lược Ki := [0, 6] với mỗi i và yêu cầu tỷ số mỗi
loại điện với tổng tất cả lượng điện nhỏ hơn bằng năm mươi phần trăm, tức
là biểu diễn bởi ràng buộc 0 ≤ Fi (x) ≤ 0.5 với mỗi i = 1, ..., m.
Chọn dãy các tham số là
k

= 0, δk = 3, ∀k.

và chúng tôi tính mô hình với m = 5 và các giá trị khác nhau của n từ 10
đến 50 và
k∈I xk
Fi (x) = n i , i = 1, . . . , m,
xj
j=1

trong đó Ii là tập các chi nhánh mà sản xuất loại điện i.
Kết quả tính toán được chỉ ra trong Bảng 3.1 với các cỡ khác nhau,
một trăm bài toán được tính ở mỗi cỡ. Thuật toán dừng ở bước lặp k nếu
xk − yk ≤ 10−4 và p(xk ) ≤ 10−4 hoặc số bước lặp không vượt quá 20000.

Gần đây, trong một công bố của các tác giả P. Santos và S. Scheimberg
năm 2017 trên tạp chí Optimization, họ xét bài toán cân bằng
Tìm x ∈ C ∩ D : f (x, y) ≥ 0 ∀y ∈ C,

EP (f, C, D)

trong đó C, D là các tập con lồi trong Rn và f là một song hàm hữu hạn
xác định trên một tập mở chứa C và D.
22


Bảng 3.1. Thuật toán 3.1 với βk =

7
2(k + 1)

n

m

Iter

CPU-times(s)

10

5

248.11

7.2859

20

5

674.82

24.9143

30

5

1224.2

40.4671

40

5

1670

58.5344

50

5

2259.7

84.3867

Để so sánh với thuật toán của chúng tôi, kí hiệu là NSEP, với thuật
toán của P. Santos và S. Scheimberg, kí hiệu là MACEP ở ví dụ trên,
chúng tôi viết bài toán (NSEP) về dạng bài toán cân bằng EP(C, D, f )
bằng cách lấy C :≡ K , D := {x : F (x) ∈ Q} và áp dụng thuật toán
MACEP để giải mô hình này. Chúng tôi thử với tiêu chuẩn dừng giống
nhau max{ xk − yk , p(xk )} ≤ 10−4 , và thấy rằng thuật toán MACEP mất
nhiều thời gian hơn, thậm chí với số chiều nhỏ n = 10, k = 5.
Bảng 3.2 bên dưới là kết quả tính toán trung bình 150 bước lặp đầu tiên
cho cả hai thuật toán.
Bảng 3.2. MACEP vs NSEP (n=10,k=5)
Iter.

Cpu(s)

Err.

MACEP

150

2.3349

0.0116

NSEP

150

4.2481

0.0012

Từ bảng tính toán, ta thấy, đối với ví dụ này, thời gian tính toán thuật
toán MACEP ít hơn thời gian của thuật toán NSEP trong 150 bước lặp
đầu tiên, nhưng sai số thu được bởi thuật toán NSEP tiến đến 0 nhanh hơn
thuật toán MACEP.

23