Về bất đẳng thức loại gruss và một số bài toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

PHẠM THÀNH CÔNG

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

PHẠM THÀNH CÔNG

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục
Mở đầu
Chương 1. Về bất đẳng thức Gr¨
uss
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . .
1.1.1 Hàm số, biến phân và biến
1.1.2 Bất đẳng thức H¨older . .
1.2 Về bất đẳng thức Gr¨
uss . . . . .
1.3 Một số bất đẳng thức liên quan .
1.3.1 Bất đẳng thức Karamata .
1.3.2 Bất đẳng thức Steffensen .
1.3.3 Bất đẳng thức Young . . .

1

. . .
phân
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

. . .
toàn
. . .

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

. . . .
phần .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

Chương 2. Về bất đẳng thức loại Gr¨
uss và một số kết quả liên
quan
2.1 Bất đẳng thức Gr¨
uss-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bất đẳng thức loại Gr¨
uss đối với tích phân Stieltjes . . . . . .
2.2.1 Bất đẳng thức loại Gr¨
uss đối với tích phân Stieltjes có
hàm lấy tích phân bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bất đẳng thức loại Gr¨
uss đối với tích phân Stieltjes có
hàm lấy tích phân là hàm Lipschitz . . . . . . . . . . .
2.3 Bất đẳng thức loại Gr¨
uss đối với tích phân Riemann-Stieltjes .

3
3
3
5
6

10
10
13
15

17
17
19
19
27
37

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41


1

Mở đầu
Chủ để “bất đẳng thức” là chủ đề luôn được khai thác trong các kỳ thi
chọn học sinh giỏi, ở các lớp, các cấp phổ thông, không phải chỉ tính trực
quan của bài toán “so sánh” mà vấn đề nay thực sự có nhiều ứng dụng trong
toán học hiện đại. Bài toán bất đẳng thức được nghiên cứu trong nhiều khía
cạnh của toán học, từ toán học lý thuyết thuần túy đến toán học ứng dụng.
Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, thì các bài toán giải gần

đúng đang được sự quan tâm của nhiều nhà toán học ứng dụng, mà bên
cạnh nó không thể thiếu các bài toán “so sánh”.
Cùng với vai trò của các bất đẳng thức như bất đẳng thức AM – GM,
Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz. . . ., năm 1935 nhà toán học người Đức G
Gr¨
uss đã chứng minh một bất đẳng thức tích phân cho sự liên hệ giữa tích
phân của một tích hai hàm số và tích phân của từng hàm số và được mang
tên ông đó là bất đẳng thức Gr¨
uss ứng dụng và áp dụng trong nhiều lĩnh
vực khác nhau của Toán học. Vì lý do đó chúng tôi đã chọn đề tài luận văn
là “Bất đẳng thức loại Gr¨
uss và một số bài toán liên quan” Nội dung luận
văn được chia thành hai chương được tham khảo từ tài liệu chính là [2] các
tài liệu liên quan được trình bày trong danh mục tài liệu tham khảo. Nội
dung luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, được
chia làm hai chương:
Chương 1. Về bất đẳng thức Gr¨
uss. Chương này trình bày lại các kiến
thức cơ bản liên quan đến luận văn như: Trình bày lại một số khái niệm
trong hàm số như biến phân, biến phân toàn phân và tính chất. Bất đẳng
thức H¨older. Bất đẳng thức Gr¨
uss, chỉ ra điều kiện yếu hơn giả thiết Gr¨
uss.
Một số bất đẳng thức liên quan là Karamta, Steffensen, Young.
Chương 2. Về bất đẳng thức loại Gr¨
uss và một số kết quả liên quan.


2

Chương này trình bày các biến thể của bất đẳng thức Gr¨
uss, chẳng hạn như:
Bất đẳng thức Gr¨
uss-Chebyshev. Bất đẳng thức kiểu Gr¨
uss đối với tích phân
Stieltjes có hàm lấy tích phân bị chặn. Bất đẳng thức kiểu Gr¨
uss đối với tích
phân Stieltjes có hàm lấy tích phân là hàm Lipschitz. Bất đẳng thức kiểu
Gr¨
uss đối với tích phân Riemann-Stieltjes.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học khoa học Thái
Nguyên, em luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy
cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán – Tin.
Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường THCS Tân Liên,
Vĩnh Bảo, Hải Phòng cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo nhiều
điều kiện tốt cho tác giả trong thời gian đi học cao học; cám ơn các anh chị
em học viên lớp cao học Toán K11 và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động
viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường
Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên.
Đặc biệt em xin được lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, TS.
Trần Xuân Quý đã luôn quan tâm ân cần chỉ bảo, động viên khích lệ, giúp
đỡ tận tình và góp ý sâu sắc cho em trong suốt quá trình học tập cũng như
thực hiện đề tài. Chặng đường vừa qua sẽ là những kỉ niệm đáng nhớ và đầy
ý nghĩa đối với các anh chị em học viên lớp cao học Toán K11 nói chung và
với bản thân em nói riêng. Dấu ấn ấy hiển nhiên không thể thiếu sự hỗ trợ,
sẻ chia đầy yêu thương của cha mẹ, và các anh chị em trong gia đình. Xin
chân thành cám ơn tất cả những người thân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng
em trên chặng đường vừa qua.
Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 25 tháng 12 năm 2019

Học viên

Phạm Thành Công


3

Chương 1

Về bất đẳng thức Gr¨
uss
Trong chương này, chúng tôi, trình bày một số kiến thức khái niệm và
tính chất về hàm số liên tục tuyệt đối, biến phân và biến phân toàn phần
của hàm số. Bất đẳng thức H¨older dạng đại số và dạng giải tích, Bất đẳng
thức Gr¨
uss. Các kết quả này được sử dụng cho các chứng minh ở Chương 2.

1.1
1.1.1

Một số kiến thức chuẩn bị
Hàm số, biến phân và biến phân toàn phần

Định nghĩa 1.1.1. (a) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là liên tục tuyệt đối
trên [a, b] nếu với mọi ε > 0 tồn tại số dương δ thỏa mãn
n

|f (xi ) − f (yi )| < ε,
i=1

với mọi họ hữu hạn các khoảng rời nhau {[xi , yi ] : i = 1, 2, . . . , n} của
[a, b] với ni=1 |xi − yi | < δ.
(b) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là có biến phân bị chặn trên [a, b] khi và
chỉ khi tồn tại hằng số M > 0 thỏa mãn
n

|f (xi ) − f (xi−1 )|

M,

i=1

với mọi phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } của [a, b].


4

(c) Nếu hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b], thì biến phân
toàn phần của f trên [a, b] được xác định như sau

 n

b

(f ) =
a

sup
P={x0 ,x1 ,··· ,xn }

phân hoạch của[a,b]



i=1




|f (xi ) − f (xi−1 ) |.

Nhận xét 1.1.2. Một hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b] thì liên tục đều và
có biến phân bị chặn trên [a, b].
Ví dụ 1.1.3. Nếu f : [a, b] → R là hàm đơn điệu tăng thì với mọi phân
hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } của [a, b] ta có
n

n

|f (xi ) − f (xi−1 )| =
i=1

{f (xi ) − f (xi−1 )}
i=1

= f (xn ) − f (x0 ) = f (b) − f (a).
b

(f ) = f (b) − f (a).

Vì vậy, hàm f có biến phân bị chặn và
a

Ví dụ 1.1.4. Nếu hàm f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b)
với sup |f (x)| M , thì với mọi phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } của [a, b]
a
và theo định lý giá trị trung bình ta có
n

n

|f (xi ) − f (xi−1 )| =
i=1

|f (ti )[xi − xi−1 ]|
i=1
n

M [xi − xi−1 ] = M (b − a).
i=1
b

Do đó hàm f có biến phân bị chặn và

(f )

M (b − a).

a

Định lý 1.1.5. (a) Nếu f, g : [a, b] → R là các hàm có biến phân bị chặn
và c, d ∈ R, thì cf + dg có biến phân bị chặn và có bất đẳng thức sau
b

b

(cf + dg)

b

|c| (f ) + |d| (g).

a

a

a

(b) Nếu f : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b] và [c, d] ⊂ [a, b], thì f
có biến phân bị chặn trên [c, d] và
d

b

(f )
c

(f ).
a

5

(c) Nếu f : [a, b] → R có biến phân bị chặn và c ∈ (a, b), thì
b

c

(f ) =
a

b

(f ) + (f ).
a

c
x

(d) Nếu hàm f : [a, b] → R có biến phân bị chặn thì hàm V (x) =

(f ) và
a

V (x) − f (x) đơn điệu tăng trên [a, b].
(e) Hàm f : [a, b] → R có biến phân bị chặn khi và chỉ khi nó là hiệu của
hai hàm tăng.
Định nghĩa 1.1.6. Cho các hàm f : [a, b] → R. Hàm f được gọi là hàm loại
r-H-H¨older trên [a, b] nếu |f (t) − f (s)| H|t − s|r với mọi t, s ∈ [a, b],

1.1.2

Bất đẳng thức H¨
older

Từ bất đẳng thức AM–GM suy rộng ta có
xa y b

b a+b
a a+b
x +
y
a+b
a+b

(1.1)

với mọi x, y
0, a, b > 0. Nếu đặt u = xa , v = y b , p = (a + b)/a và
q = (a + b)/b, rõ ràng p > 1 và ta có bất đẳng thức sau
1 1
+ = 1 =⇒ uv
p q

1 p 1 q
u + v .
p
q

(1.2)

Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Young. Kết quả dưới đây được
gọi là bất đẳng thức H¨older.
Định lý 1.1.7 (Bất đẳng thức H¨older). Cho hai bộ số a1 , a2 , . . . , an và
1
1
b1 , b2 , . . . , bn là hai bộ n số thực dương và p > 1, thỏa mãn +
= 1.
p
q
Khi đó ta có bất đẳng thức sau
n

ai b i
i=1

1  n
p
p 
ai
i=1
i=1

 n


1
q

bqi 

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi api = kbqi với mọi i ∈ {1, 2, , . . . , n}.

(1.3)


6

Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức H¨older ở dạng giải tích, chúng tôi chỉ
trình bày kết quả mà không chứng minh.
Định lý 1.1.8 (Bất đẳng thức H¨older dạng giải tích). Giả sử p, q > 1 thỏa
1 1
mãn + = 1, f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn [a, b], khi đó
p q
b
a

b

|f (x)g(x)| dx

a

p

|f (x)| dx

1
p

b
a

q

|g(x)| dx

1
q

(1.4)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời
bằng không sao cho
A |f (x)|p = B |g(x)|q

1.2

∀x ∈ [a, b].

Về bất đẳng thức Gr¨
uss

Giả sử f, g và p là các hàm khả tích trên [a, b]. Ta có các ký hiệu sau
P (x) =

x

a

b

A(f ; p) =

P (x) = P (b) − P (x),

p(t)dt,
a

p(x)f (x)dx
b
a

A(f ) = A(f ; 1),

,
p(x)dx

T (f, g; p) = A(f g; p) − A(f ; p)A(g; p),
A(f ; p)
R(f, g; p) =
,
A(f ; p)A(g; p)

T (f, g) = T (f, g; 1),
R(f, g) = R(f, g; 1),

Giả sử f và g là hai hàm số xác định và khả tích trên [a, b], thỏa mãn điều

kiện
ϕ

f (x)

φ,

γ

g(x)

Γ

(1.5)

với mỗi x ∈ [a, b], trong đó ϕ, φ, γ, Γ là các số thực cho trước.
Năm 1935 G. Gr¨
uss đã đưa ra khẳng định sau:
|T (f, g)|

1
(φ − ϕ)(Γ − γ),
4

(1.6)

trong bài báo công bố năm 1935 Gr¨
uss đã chứng minh bất đẳng thức này và
ˇ
cũng chỉ ra 1/4 là xấp xỉ tốt nhất. Hàm T (f, g) được gọi là hàm Cebyˇ

sev.


7

Định lý 1.2.1. Chvới hằng số L = 1, g là hàm hàm liên tục, và u
có biến phân bị chặn.
Nếu ta giả sử bất đẳng thức (2.34) thõa mãn với hằng số C > 0, tức là,
|T (f, g; u)|
và vì

CL(b − a) g −
1
u(b) − u(a)

b
a

1
u(b) − u(a)

b
a

b

(u),

g(s)du(s)

(2.36)

∞ a

f (t)g(t)du(t) =

b2 + a2
,
2

b
b
1
1
b+a
f (t)du(t) =
g(t)du(t) =
,
u(b) − u(a) a
u(b) − u(a) a
2
b
1
a+b
b−a
g−
g(s)du(s) = sup t −
=
u(b) − u(a) a
2

2
t∈[a,b]
∞
b

và

(u) = 2, khi đó từ bất đẳng thức (2.36), ta có
a
2

b 2 + a2
a+b
−
2
2
suy ra C

C

(b − a) b − a
· 2,
2
2

1
.
2

Kết quả tiếp theo liên quan tới hàm đơn điệu u : [a, b] → R như sau:

Định lý 2.2.6. Cho các hàm f, g : [a, b] → R với f là hàm loại r-H-H¨older
trên [a, b]. Nếu u : [a, b] → R là hàm đơn điệu không giảm trên [a, b] với
u(b) > u(a), thì ta có các bất đẳng thức sau
|T (f, g; u)|

H
u(b) − u(a)

b
a

a+b
t−
2

r

(2.37)


30

× g(t) −

1
u(b) − u(a)

b
a

g(s)du(s) du(t)

H(b − a)r
2r [u(b) − u(a)]
b

×

a

1
u(b) − u(a)

g(t) −

b
a

g(s)du(s) du(t).

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức
b
a

b

p(t)dv(t)

a

|p(t)|dv(t),

(2.38)

với p ∈ C[a, b] và v là hàm đơn điệu không giảm trên [a, b], và theo đẳng
thức (2.32), ta có ước lượng sau
|T (f, g; u)|

1
u(b) − u(a)

b
a

f (t) − f

a+b
2




b
1
g(s)du(s) du(t)
× g(t) −
u(b) − u(a) a
b
H
a+b r

t−
u(b) − u(a) a
2
b
1
× g(t) −
g(s)du(s) du(t)
u(b) − u(a) a
H
a+b r
sup t −
u(b) − u(a) t∈[a,b]
2
b
b
1
g(t) −
g(s)du(s) du(t)
×
a
u(b) − u(a) a

vậy ta chứng minh được các bất đẳng thức (2.37).
Đối với hàm Lipschitz ta có kết quả sau:
Hệ quả 2.2.7. Giả sử f là hàm L-Lipschitz, g liên tục, và u là hàm đơn
điệu không giảm trên [a, b] với u(b) > u(a). Khi đó ta có các bất đẳng thức
sau:
|T (f, g; u)|

L

u(b) − u(a)
× g(t) −

b
a

t−

a+b
2

1
u(b) − u(a)

b
a

g(s)du(s) du(t)

(2.39)


31

1 L(b − a)
·
2 u(b) − u(a)
b

×

Hằng

a

g(t) −

1
u(b) − u(a)

b
a

g(s)du(s) du(t).

1
là ước lượng tốt nhất trong bất đẳng thức thứ hai.
2

Chứng minh. Bất đẳng thức (2.39) là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức
(2.37) với r = 1 và H ≡ L. Giả sử bất đẳng thức (2.39) đúng với hằng số
dương D, E > 0, vì vậy
|T (f, g; u)|
L·D
u(b) − u(a)

(2.40)
b
a

t−

a+b
2

b
1
g(s)du(s) du(t)
u(b) − u(a) a
b
L · E(b − a) b
1
g(t) −
g(s)du(s) du(t).
u(b) − u(a) a
u(b) − u(a) a

× g(t) −

Xét hàm f = g, trong đó f : [a, b] → R, f (t) = t, và u xác định như trong
(2.35). Khi đó, f là hàm Lipschitz với hằng số L = 1, g là hàm liên tục và u
là hàm đơn điệu không giảm trên [a, b].
(b − a)2
Vì T (f, g; u) =
và
4
b
a

a+b
1

t−
g(t) −
2
u(b) − u(a)
b
a

g(t) −

1
u(b) − u(a)

b
a

b
a

(b − a)2
g(s)du(s) du(t) =
,
2

g(s)du(s) du(t) = b − a,

khi đó theo bất đẳng thức (2.40) ta suy ra
(b − a)2
4
hay D

1 và E

D (b − a)2
·
2
2

E(b − a)2
,
2

1
.
2

Một khẳng định khác về biên của hàm T (f, g; u), với u là hàm Lipschitz
với hằng số K > 0, được trình bày trong định lý đưới đây:


32

Định lý 2.2.8. Giả sử f : [a, b] → R là hàm loại r-H-H¨older trên [a, b]. Nếu
g : [a, b] → R là hàm khả tích Riemann trên [a, b] và u : [a, b] → R là hàm
K-Lipschitz với K > 0 và u(a) = u(b), Khi đó ta có các bất đẳng thức sau:
|T (f, g; u)|

(2.41)

b
b

1
a+b r
HK
g(t) −
t−
g(s)du(s) dt
|u(b) − u(a)| a
2
u(b) − u(a) a

b

HK(b − a)r+1

1


g
−
;


u(b)−u(a) a g(s)du(s)
r (r + 1)|u(b) − u(a)|

2

∞




r+ 1q


b

HK(b
−
a)

1


g − u(b)−u(a)
g(s)du(s)

1
a
r
q
p
2 (qr + 1) |u(b) − u(a)|


1 1



nếu
p

>
1,
+ = 1;




p
q



r

b
HK(b
−
a)


1


g − u(b)−u(a)
g(s)du(s) .
 r
a
2 |u(b) − u(a)|
1

Chứng minh. Áp dụng đẳng thức (2.32), ta có
|T (f, g; u)|

K
|u(b) − u(a)|

b
a

f (t) − f

a+b
2

(2.42)

b
1
g(s)du(s) dt
u(b) − u(a) a
b
a+b r
KH
t−
|u(b) − u(a)| a
2
b
1
× g(t) −
g(s)du(s) dt,

u(b) − u(a) a

× g(t) −

ta chứng minh được bất đẳng thức đầu tiên trong (2.41). Vì
b
a

a+b
t−
2

r

g(t) −

1
u(b) − u(a)

b
a

g(s)du(s) dt

b
b
1
a+b r
g(s)du(s)
dt

≤ g−
t−
a
u(b) − u(a) a
2
∞
b
(b − a)r+1
1
= r
g−
g(s)du(s) ,
2 (r + 1)
u(b) − u(a) a
∞

khi đó theo (2.42) ta suy ra đánh giá đầu trong bất đẳng thức thức hai trong
(2.41).


33

Áp dụng bất đẳng thức H¨older’s dạng giải tích ta có
b
a

r

a+b
t−

2
b

≤

a

g(t) −

a+b
t−
2

1
u(b) − u(a)
1
q

qr

dt




b
a

b

1
g(t) −
u(b) − u(a)

1

1
(b − a)qr+1  q

g−
= qr
2 (qr + 1)
u(b) − u(a)


r+ 1q

=

(b − a)

1

2r (qr + 1) q

g−

g(s)du(s) dt

a

1
u(b) − u(a)

b
a

b
a

b
a

p

g(s)du(s)

1

p

dt

g(s)du(s)
p

g(s)du(s) .
p

Áp dụng (2.42), ta suy ra đánh gái thứ hai trong trong bất đẳng thức hai

trong (2.41). Cuối cùng, vì
a+b r
b−a
t−
≤
2
2

r

,

t ∈ [a, b],

ta suy ra
b
a

t−

b
a+b r
1
|g(t) −
g(s)du(s)|dt
2
u(b) − u(a) a
b
(b − a)r
1

g
−
g(s)du(s) .
2r
u(b) − u(a) a
1

Từ định lý trên, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.9. Cho hàm f là L-Lipschitz. Nếu g : [a, b] → R là hàm khả
tích Riemann trên [a, b] và u : [a, b] → R là hàm K-Lipschitz với K > 0 và
u(a) = u(b), Khi đó ta có các bất đẳng thức sau: Khi đó ta có các bất đẳng
thức sau:
|T (f, g; u)|

a+b
a
2
1
× g(t) −
u(b) − u(a)

LK
|u(b) − u(a)|

b

t−

b
a

g(s)du(s) dt

(2.43)


34



LK(b − a)2



g−




4|u(b) − u(a)|




1+ 1q


LK(b
−
a)





1


1
u(b) − u(a)

2(q + 1) |u(b) − u(a)|

g−

q

a

;

g(s)du(s)
∞

1
u(b) − u(a)

b
a

g(s)du(s)

p

1 1
nếu p > 1, + = 1;
p q















LK(b − a)




 2|u(b) − u(a)|

Các hằng số

b

g−

1
u(b) − u(a)

b
a

g(s)du(s) .
1

1
1
và trong phần đầu tiên của bất đẳng thức hai là ước lượng
4
2

tốt nhất.
Chứng minh. Bất đẳng thức (2.43) suy ra từ bất đẳng thức (2.41) bằng cách
chọn r = 1.
Tiếp theo, ta giả sử có
|T (f, g; u)|
CLK
|u(b) − u(a)|

(2.44)
b
a

t−

a+b
2

b
1
g(s)du(s) dt
u(b) − u(a) a


b
DLK(b − a)2
1




g(s)du(s) ∞ ;
||g
−


a

|u(b)
−
u(a)|
u(b)
−

u(a)



1


b
ELK(b − a)1+ q
1
≤
g
−
g(s)du(s)
1

a

q |u(b) − u(a)|
u(b)
−
u(a)

(q
+
1)
p





1
1



nếu p > 1, + = 1;


p q

× g(t) −

với C, D, E > 0.
Xét f, g, u : [a, b] → R, xác định như sau f (t) = t −





−1

g(t) = 




1

a+b

, u(t) = t và
2

a+b
nếu t ∈ a,
,
2
a+b
,b .
nếu t ∈
2

Khi đó cả hàm f và hàm u là Lipschitz với L = K = 1 và hàm g khả tích
Riemann trên [a, b].


35

Ta hiển nhiên có
b
1
1
f (t)g(t)dt −
b−a a
b−a
b−a
,
=
4

|T (f, g; u)| =

b
a

1
a+b
g(t) −
t−
2
u(b) − u(a)
g−

1
u(b) − u(a)

b

b
a

b
a

1
b−a

b
a

g(t)dt

(b − a)2
g(s)du(s) dt =
4
= g

g(s)du(s)

a

f (t)dt ·

∞

=1

∞

và
g−

1
u(b) − u(a)

b
a

= g

g(s)du(s)

1

p

= (b − a) p .

p

Do đó, theo (2.44), ta có








C (b − a)2
b−a
4

b−a
4









D(b − a)2
·1
b−a
E(b − a)2
4
(q + 1) 4 (b − a)

suy ra
1
4

từ đây suy ra C
1
E
.
2






D

C
4

1, D







E

(q + 1)

1
và E
4

1
q

, q > 1,
1

(q + 1) q
. Cho q → 1+, ta suy ra
4

Nhận xét 7. (1) Nếu các hàm f, g, w : [a, b] → R liên tục và f là hàm loại
r-H-H¨older, khi đó ta có bất đẳng thức
|Tw (f, g)|

H|b − a|r
2r

1
b
a

× g−

w(s)ds
1

b
a

w(s)ds

b
a

b

g(s)w(s)ds

a

|w(s)|ds.

[a,b],∞

Chứng minh tương tự (2.31) bằng cách chọn u(t) =

t
a

w(s)ds.


36

(2) Nếu các hàm f, g, w liên tục và f là hàm loại r-H-H¨oldervà w(s)
s ∈ [a, b], khi đó ta có bất đẳng thức
|Tw (f, g)|
H
b

(2.45)
b

w(s)ds

a

t−

a

b
a

H(b − a)r
b
a

a+b
2

1

× g(t) −

2r

0 với

w(s)ds

b

w(s)ds
b

a

r

g(t) −

a

g(s)w(s)ds w(s)ds
1
b

a

b

w(s)ds

a

g(s)w(s)ds w(s)ds.

Chứng minh suy ra từ (2.37) bằng cách chọn u(t) =

t
a

w(s)ds.

(3) Nếu hàm f loại r-H-H¨older và hàm g khả tích Riemann trên [a, b] và w
liên tục trên [a, b], khi đó ta có bất đẳng thức
|Tw (f, g)|
H w
b

[a,b],∞

w(s)ds

(2.46)
b
a

a+b
t−
2

r

g(t) −

1
b

w(s)ds

b
a

g(s)w(s)ds dt

a
a




r+1



1
 H w [a,b],∞ (b − a)
b


g
−

a g(s)w(s)ds
b

b


r

w(s)ds
w(s)ds
 2 (r + 1)


a
[a,b],∞
a



1



r+ q
 H w


[a,b],∞ (b − a)
b


g− b 1
,

a g(s)w(s)ds

b
1

r
w(s)ds
2 (qr + 1) q
w(s)ds
a
[a,b],p
a






1
1



p > 1, + = 1;



p q








b
H w [a,b],∞ (b − a)r
1



g(s)w(s)ds
g
−


b

b

a

r

w(s)ds

2
w(s)ds

a
[a,b],1
a

Chứng minh suy ra từ (2.41) bằng cách chọn u(t) =

t
a

w(s)ds.


37

2.3

Bất đẳng thức loại Gr¨
uss đối với tích
phân Riemann-Stieltjes

Dragomir2 và Fedotov (1998) đã xét hàm sau,
D(f ; u) :=

b
a

f (x)du(x) − [u(b) − u(a)] ·

1
b−a

b
a

f (t)dt,

(2.47)

giả sử các tích phân trên là tồn tại.
Ta có kết quả về ước lượng D(f ; u) như sau:
Định lý 2.3.1. Cho các hàm f, u : [a, b] → R thỏa mãn u là hàm L-Lipschitz
trên [a, b] tức là
|u(x) − u(y)|

L|x − y|

với mọi x, y ∈ [a, b]

(L > 0)

(2.48)

và hàm f khả tích Riemann trên [a, b]. Nếu m, M ∈ R thỏa mãn
m

f (x)

M

với mọi x, y ∈ [a, b],

(2.49)

thì ta có bất đẳng thức sau
|D(f ; u)|
Hằng số

1
L(M − m)(b − a).
2

(2.50)

1
là ước lượng tốt nhất.
2

Năm 2001, Dragomir và Fedotov (xem [8]) đã đưa ra kết quả sau:
Định lý 2.3.2. Cho các hàm f, u : [a, b] → R sao cho u : [a, b] → R có biến

phân bị chặn trên [a, b] và f : [a, b] → R là K-Lipschitz với (K > 0). Khi đó
ta có bất đẳng thức
|D(f ; u)|
Hằng số
2

b
1
K(b − a) (u).
2
a

(2.51)

1
là ước lượng tốt nhất.
2

S.S. Dragomir and I. Fedotov, An inequality of Gr¨
uss type for RiemannStieltjes integral and applications

for special means, Tamkang J. Math.,29(4) (1998), 287-292.


38

Tiếp theo, ta trình bày một số bất đẳng thức loại Gr¨
uss đối với tích phân
Riemann-Stieltjes.
Định lý 2.3.3. Cho f, u : [a, b] → R là các hàm số, sao cho tồn tại các tích

phân Stieltjes
đẳng thức sau

b

a

b

f (t)du(t) và tích phân Riemann

D(f ; u) =
=

b
a

Φ(t)df (t) =

1
b−a

b
a

1
b−a

a

b
a

f (t)dt. Khi đó ta có các

Γ(t)df (t)

(2.52)

(t − a)(b − t)∆(t)df (t),

trong đó
(t − a)u(b) + (b − t)u(a)
− u(t), t ∈ [a, b],
b−a
Γ(t) := (t − a)[u(b) − u(t)] − (b − t)[u(t) − u(a)], t ∈ [a, b],
Φ(t) :=

và
∆(t) := [u; b, t] − [u; t, a], t ∈ (a, b),
với [u; α, β] là ký hiệu của sai phân hàm u tại 2 nút α và β, tức là
[u; α, β] :=

u(α) − u(β)
.
α−β

Chứng minh. Ta thấy rằng
b
a

Φ(t)df (t) =

b
a






(t − a)u(b) + (b − t)u(a)

− u(t) df (t)
b−a


b

(t − a)u(b) + (b − t)u(a)
=
− u(t) f (t)
b−a
a


b
(t
−
a)u(b)

+
(b
−
t)u(a)
− f (t)d 
− u(t)
a
b−a


b
u(b)
−
u(a)
= − f (t) 
dt − du(t)
a
b−a
b
u(b) − u(a) b
= f (t)du(t) −
f (t)dt
a
a
b−a
như vậy đẳng thức đầu tiên trong (2.52) được chứng minh.


39

t
a g(s)ds,

Nếu u là một tích phân, vì vậy u(t) =
ra kết quả của Cerone(xem [3]):
T (f, g) =

1
(b − a)

b

khi đó từ (2.52) ta suy

Ψ(t)df (t),

a

(2.53)

trong đó
t
t−a b
g(s)ds − g(s)ds (t ∈ [a, b])
a
b−a a
b
t
1
(t − a) g(s)ds − (b − t) g(s)ds

=
(t ∈ [a, b])
t
a
b−a


t
g(s)ds
(t − a)(b − t)  tb g(s)ds

− a
(t ∈ (a, b)).
=
b−a
b−t
t−a

Ψ(t) =

Nếu w : [a, b] → R là hàm khả tích và
u(t) :=

b

w(t)dt = 0, thì chọn

a

t

a w(s)g(s)ds
,
t
a w(s)ds

t ∈ [a, b]

(2.54)

xác định được
b

Dw (f ; u) =

a

w(s)f (s)g(s)ds
b
a

w(s)ds

=: E(f, g; w).

b

−

a

w(s)g(s)ds
b
a

w(s)ds

·

1
b−a

b
a

f (t)dt


40

Kết luận
Mục tiêu của luận văn là trình bày lại một số kết quả đã có về bất đẳng
thức Gr¨
uss và các biến thể của nó. Cụ thể luận văn đã trình bày những vấn
đề sau:
(a) Bất đẳng thức Gr¨
uss. Chương này trình bày lại các kiến thức cơ bản liên
quan đến luận văn như: Trình bày lại một số khái niệm trong hàm số
như biến phân, biến phân toàn phân và tính chất. Bất đẳng thức H¨older.
Bất đẳng thức Gr¨
uss, chỉ ra điều kiện yếu hơn giả thiết Gr¨

uss. Một số
bất đẳng thức liên quan là Karamta, Steffensen, Young.
(b) Trình bày các biến thể của bất đẳng thức Gr¨
uss, chẳng hạn như: Bất
đẳng thức Gr¨
uss-Chebyshev. Bất đẳng thức kiểu Gr¨
uss đối với tích phân
Stieltjes có hàm lấy tích phân bị chặn. Bất đẳng thức kiểu Gr¨
uss đối với
tích phân Stieltjes có hàm lấy tích phân là hàm Lipschitz. Bất đẳng thức
kiểu Gr¨
uss đối với tích phân Riemann-Stieltjes.


41

Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức – Định lý và áp dụng, NXB
Giáo dục.

Tiếng Anh
[2] P. Cerone, S. S. Dragomir (2011), Mathematical Inequalities: A perspective, CRS Press, Taylor and Francis Group.
[3] P. Cerone (2002), “On an identity for the Chebyshev functional and
some ramifications”, J. Inequal. Pure Appl. Math., 3(1), Art. 4.
[4] P. Cerone, S.S. Dragomir (2007), “A refinement of the Gruss inequality
and applications”, Tamkang J. Math., 38(1), pp.37–49.
[5] S. S. Dragomir, I. Fedotov (1998), “An inequality of Gr¨
uss type for
Riemann–Stieljes integral and applications for special means", Tamkang

J. Math., 29, pp.287–292.
[6] S. S. Dragomir (1999), “A generalization of Gr¨
uss inequality in inner
product spaces and applications”, J. Math. Anal. Appl., 237, pp.74–82.
[7] S. S. Dragomir, S. Wang (1997), “An inequality of Ostrowski–Gr¨
uss type
and its applications to the estimation of error bounds for some means
and for some numerical quadrature rules”, Comput. Math. Appl., 33,
pp.15–20.


42

[8] S.S. Dragomir, I. Fedotov, A Gr¨
uss type inequality for mappings of
bounded variation and applications to numerical analysis, Non. Funct.
Anal. Appl., 6(3) (2001), 425-437.
[9] S.S. Dragomir (2003), “Sharp bounds of Chebyshev functional for Stieltjes integrals and applications”, Bull. Austral. Math. Soc., 67(2), pp.257–
266.
[10] I. Fedotov, S. S. Dragomir (1999), “An inequality of Ostrowski type and
its applications for Simpson’s rule and special means”, Math. Inequal.
Appl., 2, pp.491–499.
[11] A. M. Fink (1999), “A treatise on Gr¨
uss inequality in Analytic and
Geomatric Inequalities and Applications” (T. M. Rassias and H. M.
Srivatava, eds.), pp. 93–113, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
[12] R. Jones, X. Li, R. N. Mohapatra, R. S. Rodriguez (2000), “An elementary proof of Gr¨
uss inequality”, IAMG Report 1.
[13] D. S. Mitrinovi´c, J.E. Peˇcari´c and A.M. Fink (1993), Classical and New
Inequalities in Analysis, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.

[14] P.M. Vasic, J.E. Pecaric, “Note on the Steffensen inequality”,
Univ.Beograd. Publ. Elektrotechn. Fak. Ser. Mat. Fiz., No. 716-734, 8082.
[15] A. Witkowski (2006), “On Young’s inequality”, J. Inequal. Pure Appl.
Math., 7(5) (2006), Art. 164.