ôn thi tích phân

**********************************************************************************************************************************
Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học
**********************************************************************************************************************************
Tuần 4 -Tiết 13
Chủ đề 7 : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
MỤC TIÊU :
- Tìm được nguyên hàm của hàm số cho trước
- Tính tích phân và các phương pháp tích phân
- Tính diện tích hình phẳng và thể tích tròn xoay
■ Kỹ năng :
- Nắm được các thuật toán để giải được các bài tập cơ bản
- Từ các bài toán cơ bản phát huy tính sáng tạo để làm những bài toán nâng cao
CHUẨN BỊ :
- Giáo viên củng cố lại các kiến thức đã học
- Học sinh xem trước các kiến thức về nguyên hàm và tích phân
NỘI DUNG ÔN TẬP :
PHẦN I : NGUYÊN HÀM VÀ HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ
Nội dung Hoạt động thầy và trò
Bài 1 : Tính đạo hàm của F(x)=xlnx– x Hãy tìm
nguyên hàm của lnx .
Giải
Với
∀
x > 0, F’(x) = lnx + 1 – 1 = ln x
Vậy nguyên hàm của f(x) = lnx là F(x) + C
= xlnx – x + C (C : hằng số )
Bài 2 :Tính đạo hàm của G(x)=(x – 2) e
x
Suy ra nguyên hàm f(x) = (x – 1) e
x
Giải

Rx
∈∀
: G’(x) = e
x
(x – 1) = f(x)
Vậy nguyên hàm của f(x) = (x – 1) e
x
là G(x) +
C = (x – 2) e
x
+ C (C : hằng số)
Bài 3 : Cho y = e
x
(2x
2
– 3x)
Chứng tỏ rằng : y’’ – 2y’ + y = 4e
x
Suy ra rằng 4e
x
+ 2y – y’ là một nguyên hàm
của y.
Giải
Rx
∈∀
, y’ = e
x
(2x
2
– 3x) + e

x
(4x – 3)
= e
x
(2x
2
+ x – 3)
y’’ = e
x
(2x
2
+ 5x – 2)
Vậy : y’’– 2y’+y = e
x
(2x
2
+ 5x – 2) - 2 e
x
(2x
2
+ x
– 3) + e
x
(2x
2
– 3x) = 4e
x
(đpcm)
Đặt F(x) = 4e
x

+ 2y – y’
- GV gọi HS viết các công thức nguyên
hàm của hàm số :
●
∫
+=
Cxdx
●
C
x
dxx
+
+
=
∫
+
1
1
α
α
α

( )
1
−≠
α
●
Cx
x
dx

+=
∫
ln

( )
0
≠
x
●
Cedxe
xx
+=
∫
●
C
a
a
dxa
x
x
+=
∫
ln

( )
10
≠<
a
●
∫

+=
Cxxdx sincos
●
∫
+−=
Cxxdx cossin
●
∫
+=
Ctgx
x
dx
2
cos
●
Cgx
x
dx
+−=
∫
cot
sin
2
●
Cbax
abax
dx
++=
+
∫

ln
1
●
Ce
a
dxe
axax
+=
∫
1
●
Cax
a
axdx
+−=
∫
cos
1
sin
●
∫
+=
Cax
a
axdx sin
1
cos
●
Ctgax
a

ax
dx
+=
∫
1
cos
2

**********************************************************************************************************************************
Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 26
**********************************************************************************************************************************
**********************************************************************************************************************************
Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học
**********************************************************************************************************************************
Ta cần chứng minh : F’(x) = y
Thật vậy : F’(x) = 4e
x
+ 2y’ – y’’

⇔
y = 4e
x
+ 2y’ – y’’
Vậy 4e
x
+ 2y – y’= F(x) là một nguyên hàm của
y .
Bài 4 : Cho 2 số : F(x)= (ax
2
+ bx + c)e

-2x
và f(x)
= - (2x
2
– 8x + 7)e
x
. Tìm a, b, c để F(x) là
nguyên hàm của f(x).
Giải
F’(x) = (2ax + b)e
x
+ e
x
(ax
2
+ bx + c)
= [ax
2
+ (2a + b)x + b + c]e
x
Để F(x) là nguyên hàm của f(x)
⇔
F’(x) = f(x)





=+
=+

−=
⇔
7
82
2
cb
ba
a






−=
=
−=
⇔
5
12
2
c
b
a
Bài 5 : Cho 2 hàm số F(x) =
xx 2sin
4
1
2
1

+
và f(x) = cos
2
x
a. CMR: F(x) là nguyên hàm của f(x)
b. Tìm nguyên hàm f(x) biết rằng : F






4
π
=
0
Vậy : F(x) =
4
1
8
2sin
4
1
2
1
−−+
π
xx







∈+≠
Zkkx ;
2
π
π
●
Cgax
a
ax
dx
+−=
∫
cot
1
sin
2

( )
Zkkx
∈≠
;
π
- GV hướng dẫn HS làm các bài tập
nguyên hàm và họ nguyên hàm.
- GV gọi HS lên bảng áp dụng làm.
- GV hướng dẫn HS tính F’(x)

- GV gọi HS nhắc lại đònh nghóa
nguyên hàm.
HS:F(x)là nguyên hàm của f(x)
⇔
f(x) = F’(x)
(Tương tự)
Ta có nguyên hàm của f(x) là F(x) + C
=
xx 2sin
4
1
2
1
+
+ C
F






4
π
= 0
02/sin
4
1
4/
2

1
=++⇔
C
ππ

0
8
2
8
=++⇔ C
π

0
8
2
=+
+
⇔
C
π

4
1
8
−−=⇔
π
C
Tuần 4 Tiết 14-15-16 PHẦN II : TÍCH PHÂN
Nội dung Hoạt động thầy và trò
Dạng 1 :

- GV đặt vấn đề : Nếu ta tính tích
**********************************************************************************************************************************
Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 27
**********************************************************************************************************************************
**********************************************************************************************************************************
Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học
**********************************************************************************************************************************
Tính
∫
=
b
a
dxxfI )(
bằng đònh nghóa
Phương pháp :
- Biến đổi f(x) thành một tổng hoặc hiệu của
những hàm số đơn giản đã biết nguyên
hàm.
- Tìm nguyên hàm của f(x) và áp dụng đònh
nghóa
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==
∫
VD
1
: Tính tích phân

( )
( )
dxxxxI 143
1
0
2
−+−=
∫
Giải
( )
dxxxxI
∫
−+−=
1
0
23
41354

1
0
2
34
4
2
13
3
5
x
x
xx

−+−=

6
11
4
2
13
3
5
1
=−+−=
VD
2
: Tính tích phân

dx
x
xx
I
∫
+
=
2
1
3
2
4
Giải
Ta có :
2

1
2
1
2
4
ln
41






−=






+=
∫
x
xdx
x
x
I

22ln422ln
+=+−=

VD
3
: Tính tích phân

∫
=
4
0
5cos3cos
π
xdxxI
Giải
phân được thì biểu thức dưới dấu tích
phân như thế nào ?
 HS : Phải là một tổng hoặc hiệu
của những hàm số đơn giản.
- GV gọi HS đọc đề và nêu các hàm
 HS : (x
2
– x + 3)(4x – 1)
= 4x
3
– 5x
2
+ 13x – 4
( )
dxxxxI
∫
−+−=
1

0
23
41354

1
0
2
34
4
2
13
3
5
x
x
xx
−+−=

6
11
4
2
13
3
5
1
=−+−=
- GV gọi HS lên bảng làm
 HS :
3

2
4
x
xx
+
=






+
2
41
xx
2
1
2
1
2
1
2
2
1
4
ln
41
x
xdx

x
dx
x
I
−=+=
∫∫
22ln422ln
+=+−=
- GV gọi HS lên bảng làm
- HS :
xx 5cos3cos
=
2
1
( )
xx 8cos2cos
+
( )
dxxxI
∫
+=
4
0
8cos2cos
2
1
π

4/
0

4/
0
2sin
4
1
8sin
8
1
.
2
1
ππ
xx
+=
**********************************************************************************************************************************
Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 28
**********************************************************************************************************************************
**********************************************************************************************************************************
Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học
**********************************************************************************************************************************
( )
dxxxI
∫
+=
4
0
8cos2cos
2
1
π

4
1
8sin
16
1
2sin
4
1
4/
0
4/
0
=+=
ππ
xx
Dạng 2 :
Tính
∫
=
b
a
dxxfI )(
bằng phương pháp đổi
biến số kiểu 1
Phương pháp :
- Đặt x = u(t)
⇒
dx = u’(t)dt
- Đổi cận :

. x = a
⇒
u(t) = a
⇒
t =
α
. x = b
⇒
u(t) = b
⇒
t =
β
( )
[ ]
∫
=⇒
β
α
tufI
dt u’(t)
VD
1
: Tính tích phân

∫
−
=
1
0
2

4 x
dx
I
Giải
Đặt : x = 2sint
⇒
dx = 2costdt
. x = 0
⇒
t = 0
. x = 1
⇒
t =
6
π







∈⇒
6
;0
π
t
∫∫
=
−

=
6
0
2
6
0
2
cos2
cos2
sin44
cos2
ππ
t
tdt
t
tdt
I

6
6/
0
6
0
π
π
π
===
∫
tdt
 Chú ý :

♦ Nếu
( )
dxBAxaI
n
m
∫
+−=
2
2
Đặt Ax + B = asint
⇒







−∈
2
;
2
ππ
t

♦ Nếu
( )
∫
+−
=

n
m
BAxa
dx
I
2
2
Đặt Ax + B = asint
⇒







−∈
2
;
2
ππ
t

4
1
1.
4
1
0.
16

1
=+=
- GV gọi HS nhắc lại các phương
pháp tính tích phân.
- GV gọi HS áp dụng làm VD
1
- HS :
Đặt :x=2sint
⇒
dx = 2costdt
. x = 0
⇒
t = 0
. x = 1
⇒
t =
6
π







∈⇒
6
;0
π
t

∫
−
=
6
0
2
sin44
cos2
π
t
tdt
I
6
6
0
π
π
==
∫
dt
**********************************************************************************************************************************
Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 29
**********************************************************************************************************************************
**********************************************************************************************************************************
Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học
**********************************************************************************************************************************
♦ Nếu
( )
∫
++

=
n
m
BAxa
dx
I
2
2
Đặt Ax + B = atgt
⇒







−∈
2
;
2
ππ
t
(a > 0 ; A; B : hằng số)
Dạng 3 :
Tính tích phân
( )
[ ]
( )
dxxuxufI '.

∫
=
β
α
bằng
phương pháp đổi biến kiểu 2.
Phương pháp :
- Đặt t = u(x)
⇒
dt = u’(x)dx
- Đổi cận :

( )
( )



==⇒=
==⇒=
butx
autx
ββ
αα

∫
=
b
a
dttfI )(
VD

1
: Tính tích phân

∫
=
2
0
cos
sin
π
xdxeI
x
Giải
Đặt t = cosx
⇒
dt = -sintdt
Đổi cận :
x = 0
⇒
t = 1

0
2
=⇒=
tx
π

[ ]
1;0
∈⇒

t
1
1
0
0
1
1
0
−===−=
∫ ∫
eedtedteI
ttt
- GV : Chúng ta có bao nhiêu dạng
đổi biến ?
 HS : Có 2 dạng
-GV : Dạng 2 là như thế nào ?
- GV gọi HS lên bảng áp dụng giải
 HS :
Đặt t = cosx
⇒
dt = sintdt

[ ]
1;0
∈⇒
t
1
1
0
0

1
1
0
−===−=
∫ ∫
eedtedteI
ttt
-GV gọi HS lên bảng sửa
 HS :
Đặt t =
2
2
+
x

⇒
t
2
= x
2
+ 2

⇒
x
2
= t
2
– 2

⇒

2tdt = 2xdx
**********************************************************************************************************************************
Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 30
**********************************************************************************************************************************