chuyên đề một số bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong đại số 7

Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Phần I: mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:

- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến
thức về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong
chơng trình Đại số lớp 7. Từ một tỷ lệ thức ta có thể chuyển thành
một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết đợc 3 số
hạng ta có thể tính đợc số hạng thứ t. Trong chơng II, khi học về
đại lợng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng
tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn Hình học, để
học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể
thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính
chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp
các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đa ra một số
dạng bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7.
II. Phạm vi nghiên cứu:

1. Phạm vi của đề tài:
Chơng I, môn đại số lớp 7
2. Đối tợng:
Học sinh lớp 7 THCS.
3. Mục đích:
a) Kiến thức.
- Học sinh hiểu và làm đợc một số dạng toán về tỷ lệ thức và
dãy tỷ số bằng nhau nh: Tìm số hạng cha biết, chứng minh liên
quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia tỷ lệ, tránh những sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng nhau.
b) Kỹ năng:
HS có kỹ năng tìm số hạng cha biết, chứng minh tỷ lệ thức,

giải toán chia tỷ lệ.
c) Thái độ:
HS có khả năng t duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận
trong tính toán.

1


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Phần II: Nội dung của đề tài

A.Nội dung

I.Cơ sở lý luận khoa học của đề tài
1. Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức
a) Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

a c

b d

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ.
b) Tính chất
Tính chất 1( tính chất cơ bản)
Nếu

a c

thì ad = bc
b d

tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a c a b d c d b
; ; ;
b d c d b a c a

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a c
a c ac a c
b d
ta suy ra

b d
b d bd b d
a c e
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau
b d
f
a c e
a c e
a c e

....
ta suy ra
b d
f bd f b d f

+ từ tỉ lệ thức

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số

a b c
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3;
2 3 5

5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của
a c
suy ra
b d
a c
a
c
ka k c
. ; k . k . k 0 ; 1 2 ( k1 , k2 0)
b d
b
d
k1b k2 d

đẳng thức, từ tỉ lệ thức
2

2

a c

b d

3

3
3
2
a c e
a c e a c e a c e


từ
suy ra ;
b d
f
b d f b d f b d f

II.Đối tợng phục vụ của đề tài
Học sinh lớp 7 trờng THCS Lý Tự Trọng
III.Nội dung và phơng pháp nghiên cứu
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đa ra một số dạng bài
tập sau:
Dạng 1. Tìm số hạng cha biết
2


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

1.Tìm một số hạng cha biết
a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
a c
b.c
a.d
a.d
a.d b.c a
;b
;c
b d
d
c
b

Nếu

Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia
cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích
của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 SGK 26 b)
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38

x. 9,36 0.52.16,38
0,52.16,38
x
0,91
9,36

Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể

nâng mức độ khó hơn nh sau :
1
2
3 3
1
b) 0, 2 :1
5

3 2
4 5


a) x : 1 :

2
: 6x 7
3

có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm
x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 a)
x
60

15
x

x
60

15
x
Giải : từ x.x 15 . 60
x 2 900
x 2 302

Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng cha biết nhng 2 số hạng đó
giống nhau nên ta đa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ
lệ thức
x 1 60 x 1
9


;
15 x 1 7
x 1

Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
x3 5

5 x 7

Giải:
Cách 1: từ

3


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

x 3 5
x 3 .7 5 x .5
5 x 7
7 x 21 25 5 x
12 x 46
5
x3
6
x3 5
x 3 5 x


Cách 2: từ
5 x 7
5
7

áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x 3 5 x x 3 5 x 2 1



5
7
57
12 6
x 3 1

6 x 3 5
5

6
5
5
x3 x 3
6
6

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
x2 x4

x 1 x 7

x 2 x 7 x 4 x 1
x 2 7 x 2 x 14 x 2 x 4 x 4
5 x 14 3 x 4
5 x 3 x 4 14 2 x 10 x 5

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số
đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x 2 bị triệt tiêu, có thể
làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau
2.Tìm nhiều số hạng cha biết
a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
(1) và x +y + z =d (2)
a b c
( trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trớc)

Cách giải:

x

y z
k
thay vào (2)
b c
x k .a; y k .b; z k .c

- Cách 1: đặt a



Ta có k.a + k.b + k.c = d
d
abc
a.d
bd
cd
;y
;z
Từ đó tìm đợc x
a bc
abc
a bc
k a b c d k

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x y z x yz
d

a b c abc abc
a.d
b.d
c.d
x
;y
;z
abc
abc
abc

4


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

b).Hớng khai thác từ bài trên nh sau.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:
* k1 x k2 y k3 z e

* k1 x 2 k2 y 2 k3 z 2 f
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:
x

- a1

y y
z
;
a 2 a3 a 4

- a2 x a1 y; a4 y a3 z
- b1 x b2 y b3 z

b1 x b3 z b2 y b1 x b3 z b2 y


a
b
c
x b1 y2 b2 z3 b3
- a a a
1
2
3

-

+Thay đổi cả hai điều kiện
c).Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết

x y z
và x +y + z = 27
2 3 4

Giải: Cách 1.
x y z
k x 2k , y 3k , z 4k
2 3 4
Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k 3k 4k 27 9k 27 k 3

Đặt

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.
x y z x y z 27


3
2 3 4 23 4 9
x 2.3 6; y 3.3 9; z 4.3 12

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết

x y z
và 2x + 3y 5z = -21
2 3 4

Giải:
x y z
=k
2 3 4
x y z

2 x 3 y 5z
suy ra


Cách 2: Từ
2 3 4
4
9 20

- Cách 1: Đặt
-

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x 3 y 5 z 2 x 3 y 5 z 21




3
4
9 20
4 9 20
7
x 6; y 9; z 12

Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết

x y z
và 2 x 2 3 y 2 5 z 2 405
2 3 4

Giải:
- Cách 1: Đặt

x y z
=k
2 3 4

5


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
x y z
- Cách 2: từ
2 3 4

suy ra
x2 y 2 z 2


4
9
16
2x2 3 y 2 5z 2



8
27
90

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x 2 3 y 2 5z 2 2 x 2 3 y 2 5 z 2 405




9
8
27
90
8 27 90
45

Suy ra

x2
9 x 2 36 x 6
4
y2
9 y 2 81 y 9
9
z2
9 z 2 144 z 12
16

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.
Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết

x y z

và x.y.z = 648
2 3 4

Giải:
x y z
=k
2 3 4
x y z
- Cách 2: Từ
2 3 4
3
x x y z xyz 648


27
24
2 2 3 4 24
x3
27 x 3 216 x 6
8

- Cách 1: Đặt

Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12.
Bài tập 5. Tìm x,y, z biết

x y
z
; x và x +y +z = 27
6 9

2

x y
x y


Giải: từ 6 9 2 3
z
x
2
2
x y z

2 3 4

Từ x
Suy ra

z
4

Sau đó ta giải tiếp nh bài tập 1.
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
x
2

Giải: Từ 3x 2 y
x
2

y
3

Từ 4 x 2 z

z
4

6


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
x y z
sau đó giải nh bài tập 1
Suy ra
2 3 4

Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z

6 x 4 y 3z
x y z



12 12 12
2 3 4

Sau đó giải tiếp nh bài tập 2

6 x 3z 4 y 6 x 3z 4 y


và 2x +3y -5z =
5
7
9

Bài tập 8: Tìm x, y, z biết

-21
Giải:áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
6 x 3z 4 y 3 z 3 z 6 x 6 x 3 z 4 y 3 z 3 z 6 x



0
5
7
9
5 7 9

6 x 3z; 4 y 3 z;3 z 6 x

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp nh bài tập 6
Bài tập 9: Tìm x,y,z biết
x 4 y 6 z 8


và x +y +z =27

2
3
4

Giải:
- Cách 1: Đặt

x 4 y 6 z 8


=k
2
3
4

- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x 4 y 6 z 8


2
3
4
x 4 y 6 z 8 x y z 18 27 18



1
23 4
9
9

x4
1 x 6
2
y 6
1 y 9
3
z 8
1 z 12
4



Vậy x = 6; y= 9; z = 12

Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau

1)Các phơng pháp :
a
b

Để Chứng minh tỷ lệ thức :

c
Ta có các phơng pháp sau :
d

Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

a c

; có cùng một giá trị nếu trong
b d

đề bài đã cho trớc một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ
số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ
thức phải chứng minh theo k.
Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c
của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần
chứng minh ) thành vế phải.
7


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c
của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ
thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
a
b

( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
tỷ lệ thức:

a b cd

.
a
c

Giải:

a b c ac bc(1)

Cách 1: Xét tích a c d ac ad (2)
Từ

a c
ad bc(3)
b d

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
- Cách 2: Đặt

a c
k a bk , c dk
b d

Ta có:

a b bk b b k 1 k 1



(1), (b 0)
a
bk
bk
k

c d dk d d k 1 k 1



(2), ( d 0)
c
dk
dk
k

a b c d

a
c
a c
b d
- Cách 3: từ
b d
a c
a b a b
b
d cd
Ta có: a a a 1 a 1 c c

Từ (1) và (2) suy ra:

Do đó:

a b c d

a
c

- Cách 4:
Từ

a c
a b a b

b d
c d cd



a a b
ab cd



c cd
a
c

- Cách 5: từ

a c
b d
b
d
1 1

b d
a c
a
c
a b c d


a
c

8

a b c d

a
c

c
hãy suy ra
d


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
a c

Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức
ta có thể suy ra
b d

các tỉ lệ thức sau:

a b c d a b c d

;

b
d
a
c (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu a 2 bc thì
a b c a
a2 c2 c

; b) 2
, (b 0)
a b c a
b a2 b
(với a b, a c)

a)

Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
a
b

- Cách 2: từ a 2 bc
Đặt

c
a

a c
k a bk , c ak
b a

Ta có:

a b bk b b k 1 k 1



, b 0 (1)
a b bk b b k 1 k 1

c a ak a a k 1 k 1



a 0 , (2)
c a ak a a k 1 k 1

Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 3: Ta có

ab ca

a b c a

a b a a b a 2 ab bc ab

2

do, a 2 bc

a b a a b a ab bc ab
b c a c a


a, b 0
b c a c a

ab ca

a b c b
ab ca

Ngợc lại từ
ta cũng suy ra đợc a2 = bc
a b c b
ab ca

Từ đó ta có bài toán cho
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c
a b c b

Do đó:

đều khác 0 thì từ 3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập

thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc


a c
a b a b a b


b a
c a ca ca



b)

ab ca

ab ca

9


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b
+c)
= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc
( b+c)
a2 c2 c

Do đó (a + c )b = ( b + a )c
b2 a2 b
2

2

2

a
b

- Cách 2: Từ a2 = bc
Đặt

2

c
a

a c
k suy ra a = bk, c = ak = bk2
b a

Ta có

2 2
2
a 2 c 2 b2 k 2 b2 k 4 b k 1 k
2

2
k 2 , b 0
2
b2 a2
b b2 k 2
b 1 k

c k 2b

k2
b
b
a2 c2 c
Do đó: b2 a 2 b
2
2
2
2
a c a c a c (1)
- Cách 3: từ a = bc
b2 a 2 b2 a 2
b a

2

a c
a2 a c c
2 (2), (a 0)
b a
b

b a b
a2 c2 c
Từ (1) và (2) suy ra: b2 a 2 b

Từ

a 2 c 2 bc c 2 c b c c
- Cách 4: Ta có b2 a 2 b 2 bc b b c b , b c 0
a2 c2 c
Do đó: b2 a 2 b

Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn a2 2 a1a3 ; a33 a2 a4
chứng tỏ
a13 a23 a33 a1

a23 a33 a43 a4

Giải: Từ
a1 a2
(1)
a2 a3
a
a
a33 a2 a4 2 3 (2)
a3 a4
a2 2 a1a3

a1 a2 a3
a3 a 3 a 3 a a a
a

13 23 33 1 2 3 1 (3)
Từ (1) và (2) suy ra a2 a3 a4 a2 a3 a 4 a2 a3 a4 a4

10


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33



(4)
a 3 2 a 33 a 3 4 a 3 2 a 3 3 a 3 4
a 31 a 32 a 33 a1
Từ (3) và (4) suy ra: a 32 a 33 a3 4 a4

Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
3

a1 a2 a4
a a a a
Cho a a a chứng minh rằng 1 2 3 1
2
3
4
a2 a3 a4 a4
bz cy cx az ay bx

Bài tập 4: Biết
a
b
c
x y z
Chứng minh rằng
a b c
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx





Giải: Ta có
a
b
c
a2
b2
c2
abz acy bcx bay cay cbx

0
a2 b2 c2
abz acy
y z

0 abz acy bz cy (1)
2

a
b c
bcx baz
z x
0 bcx baz cx az (2)
2
b
c a
x y z
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c
x
y
z


Bài tập 5:Cho
.Chứng minh rằng
a 2b c 2a b c 4a 4b c
a
b
c


(với abc 0 và các mẫu đều khác 0)
x 2 y z 2x y z 4x 4 y z

Lời giải:
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x

y
z
2y
x 2y z
x 2y z





(1)
a 2b c 2a b c 4a 4b c 4a 2b 2c a 2b c 4a 4b c 4a 2b 2c
9a
x
y
z
2x
2x y b
2x y z





(2)
a 2b c 2a b c 4a 4b c 2a 4b c 2a 4b c 2a b c (4a 4b c)
9b
x
y
z

4x
4y




a 2b c 2a b c 4a 4b c 4a 8b 4c 8a 4b 4c
4x 4 y z
4x 4 y z


(3)
4a 8b 4c (8a 4b 4c ) 4a 4b c
9c
x 2 y z 2x y z 4x 4 y b


Từ (1),(2),(3) suy ra
suy ra
9a
9b
9c
a
b
c


x 2 y z 2x y z 4x 4 y z

Dạng 3: Toán chia tỉ lệ

1.Phơng pháp giải
Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết
Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
11


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết
Bớc 4:Kết luận.
2.Bài tập
Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác
biết chu vi là 22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c 0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có

a b c

2 4 5

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
a b c a b c 22

2
2 4 5 2 4 5 11

Suy ra

a
2 a 4
2
b
2 b 4
4
c
2 c 10
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) nh sau : biết hiệu giữa cạnh lớn
nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có đợc
c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi
lớp trồng đợc tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng
với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119
cây.Tính số cây mỗi lớp trồng đợc .
Lời giải:
Gọi số cây trồng đợc của lớp 7A,7B,7C lần lợt là a,b,c (cây, a,b,c
nguyên dơng)
Theo bài ra ta có

a b c 2a 4b c 2a 4b c 119


7
2 4 5 6 16 5

6 16 5
17

Suy ra
a
7 a 21
3
b
7 b 28
4
c
7 c 35
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
12


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Vậy số cây trồng đợc của 3 lớp 7A,7B,7C lần lợt là
21cây,28cây,35cây
Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số
giữa số thứ nhất và số thứ hai là

2
4
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là
3
9

.Tìm ba số đó.
Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có

a 2 a 4
; và a 3 b3 c3 1009
b 3 c 9

Giải tiếp ta đợc a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1

5
1
1
số thóc ở kho I,
số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc
6
11

còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn
thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lợt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)
1
4
5
5
1
5

Số thóc của kho II sau khi chuyển là b b b
6
6
1
10
Số thóc của kho III sau khi chuyển là c c c
11
11
4
5
10
theo bài ra ta có a b c và a+b+c=710
5
6
11
4
5
10
4
5
10
a
b
từ a b c
5
6
11
5.20
6.20
11.20c

a
b
c
a b c
710





10
25 24 22 25 24 22 71

Số thóc của kho I sau khi chuyển là a a a

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lợt là 250tấn , 240 tấn,
220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển đợc 912
m3

đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm đợc
1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3

Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và
khố 9 tỉ lệ với 4 và 5 . Tính số học sinh của mỗi khối .
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số
nguyên dơng)

Số đất khối 7 chuyển đợc là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển đợc là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c
13


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
a b b c
Theo bài rat a có ;
1 3 4 5

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta đợc a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là 80 h/s,240h/s,300h/s
Dạng 4:Một số sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan
đến tỷ số bằng nhau
1)
Sai lầm khi áp dụng tơng tự
H/s áp dụng

x y x. y
x y z x. y.z

hay
a b a.b
a b c a.b.c

Bài tập 1: (Bài 62 SGKT31) tìm 2 số x,y biết rằng

x y

và
2 5

x.y=10
H/s sai lầm nh sau :

x y x. y 10

1 suy ra x=2,y=5
2 5 2.5 10

Bài làm đúng nh sau:
Từ

x y
x.x x. y
x 2 10



x 2 4 x 2 từ đó suy ra y 5
2 5
2
5
2
5

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
x y
x2 x y

x 2 10
hoặc từ . 1 x 2 4 x 2 2
2 5
4 2 5
4 10
x y
x x 2 x, y 5 x vì xy=10 nên
hoặc đặt
2 5

2x.5x=10

x 2 1 x 1

Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng
x y z
và x.y.z= 648
2 3 4

H/s sai lầm nh sau
x y z x. y.z 648


27
2 3 4 2.3.4 24

Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng nh bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn h/s thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn
đến thiếu giá trị cần tìm

Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có

a
b
c


.
bc ca a b

a
b
c


bc ca ab

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
a
b
c
a b c
a b c




b c c a a b b c c a a b 2 a b c

14


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
1
h/s thờng bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng
ta phải
2

làm nh sau
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
a
b
c
;
;
đều bằng -1
bc ca ab
a
b
c
a bc
1
+ Nếu a+b+c 0 khi đó b c c a a b 2 a b c 2

nên mỗi tỉ số

Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
x y

yz

z t

tx

Bài tập 4: Cho biểu thức P z t t x x y z y
x

y

z

t

Tính giá trị của P biết rằng y z t z t x t x y x y z (1)
Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
x
y
z
t
x y z t




y z t z t x t x y x y z 3( x y z t )
x

y
z
t
Cách 2:Từ (1) suy ra x z t 1 z t x 1 t x y 1 x y z 1


x y z t x y z t x y z t x y z t



y z t
z t x
x y t
xyz

ở cách 1 học sinh mắc sai lầm nh bài tập 3
ở
cách
2
học
sinh
mắc
sai
lầm
suy
ra
luôn
y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng nh sau :
Nếu x+y+z+t 0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra

x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách nh nhau .Nhng ở bài tập 3 nên dùng
cách 1,bài tập 4 nên dùng cách 2
Bài tập tơng tự :
1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện
abc bca cab


c
a
b

b

a

c




1
1
1
.Hãy tính giá trị của biểu thức B


a
c

b
2)Cho
dãy
tỉ
số
bằng

nhau

2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d



a
b
c
d
a b bc cd d a



Tìm giá trị của biểu thức M biết : M
cd d a ab bc

15

:


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Cần lu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên
bằng nhau (nhng khác 0) thì các số hạng dới bằng nhau và ngợc lại ,
nếu các số hạng dới bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau.
Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7
trình bày lờ giải bài toán Tìm x.ybiết:
2x 1 3y 2 2x 3y 1


Nh sau:
5
7
6x
2x 1 3 y 2 2x 3 y 1


Ta có:
(1)
5
7
6x
2x 1 3y 2 2x 3y 1


Từ hai tỷ số đầu ta có:
(2)
5
7
12
2x 3 y 1 2x 3 y 1

Từ (1) và (2) ta suy ra
(3)
6x
12
6x = 12 x = 2

Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta đợc y = 3
Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần
tìm
Đồng chí hãy nhận xét lời giải của học sinh trên
Lời giải :Học sinh trên sai nh sau
Từ (3) phải xét hai trờng hợp
TH 1 : 2x+3y-1 0 .Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp nh
trên
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có
1 3y 1 1 3 y 1 3y 2

0
5
57

2
3

Suy ra 2-3y =3y-2 =0 y .Từ đó tìm tiếp x
Bài tập 6: Tìm x,y biết :

1
2

1 2 y 1 4 y 1 6 y


(1)
18
24
6x

Giải tơng tự nh bài tập 5 nhng bài này chỉ có một trờng hợp
3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thờng sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B
Bài tập 7:Tìm x biết
Giải:

x 1 60

15 x 1

x 1 60
2
2

x 1 15 . 60 x 1 900
15 x 1

h/s thờng sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31
phải suy ra 2 trờng hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31
hoặc -29
Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng

x y z
biết rằng 2 x 2 3 y 2 5 z 2 405
2 3 4

Lời giải:
16


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
x y z
Đặt =k suy ra x=2k, y=3k, z=4k
2 3 4
2
2
2
Từ 2 x 2 3 y 2 5 z 2 405 suy ra 2. 2k 3 3k 5 4k 405
8k 2 27 k 2 80k 2 405
45k 2 405
k2 9

Học sinh thờng mắc sai lầm suy ra k=3,mà phải suy ra k 3

B. ứng dụng vào công tác giảng dạy:
I. Quá trình áp dụng của bản thân
Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấp mình
hiểu sâu sắc hơn về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau. Tôi giảng
dạy chuyên đề này cho 3 đối tợng học sinh TB, Khá, Giỏi, tuỳ từng
đối tợng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp
thu nội dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các em rất hứng
thu khi tự mình có thể lập ra các bài toán.

II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài:
17


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các
em làm bài kiểm tra và kết quả thu đợc nh sau
Lớp

sĩ số

7B
7D

43
44

Giỏi

SL
28
15

Khá

%
65,1
34,0

SL
12
19

TB

%
27,9
43,2

SL
3
10

%
7,0
22,8

III. Những bài học kinh nghiệm rút ra, hớng nghiên cứu

tiếp theo.
1. Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh
hiểu và vận dụng một vấn đề nào đó trớc hết ngời thầy phải hiểu
vấn đề một cách sâu sắc vì vậy ngời thầy phải luôn học hỏi, tìm
tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao trình
độ cho bản thân.
2. Sáng kiến tiếp theo mà tôi dự kiến nghiên cứu là điều kiện
để phơng trình và hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
IV. Những kiến nghị, đề xuất
Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu

kỹ để vận dụng phù hợp với đối tợng học sinh của mình, có thể chia
nhỏ bài tập để gợi ý cho học sinh.

Phần III. Kết luận
Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy
các tỷ số bằng nhau trong môn Đại số lớp 7 tôi thấy việc áp dụng vào
giảng dạy rất có hiệu quả, học sinh dễ hiểu và hứng thú trong quá
18


Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác sâu bài toán,
biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh đợc những sai lầm mà mình
hay mắc phải.
Mặc dù đã rất cố gắng nhng với kiến thức còn hạn chế chắc
chắn tôi cha thể đa ra vấn đề một cách trọn vẹn đợc, mong các
thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng để đề tài này đợc hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 10 năm
2008
Ngời thực hiện

Phạm
Đan Tâm

19