SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng máy tính casio giải toán trắc nghiệm chương “phương pháp tọa độ trong không gian

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN
***

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG MÁY TÍNH
CASIO GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG
“PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN”

Tác giả sáng kiến: Lưu Thị Minh Nguyệt
Mã sáng kiến: 31.52.11

Vĩnh Phúc, năm 2019
1


MỤC LỤC
1. Lời giới thiệu............................................................................................................................................3
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT..................................................................................................................5
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN......................................................................................................................5
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG VÀ
MẶT CẦU........................................................................................................................................10
PHẦN 2: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO..........................................................18
I. Bài toán sử dụng tính toán thông thường và chức năng giải hệ..............................................18
II. Bài toán sử dụng chức năng vectơ...........................................................................................25
III. Bài toán sử dụng phím chức năng CALC và dấu hai chấm (“:”)..............................................34
IV. Bài toán hình học không gian sử dụng phương pháp tọa độ hóa..........................................46
PHẦN 3: THỰC NGHIỆM....................................................................................................................54

CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT.......................................................................................................................61

2


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
“Phương pháp tọa độ trong không gian” là một trong những phần kiến
thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Phần kiến thức này xuất
hiện hàng năm trong các cuộc thi Tốt nghiệp THPT và thi Đại học - Cao đẳng
trước kia hoặc thi THPT Quốc gia hiện nay. Trong quy chế mới thi THPT Quốc
gia từ 2017, môn Toán sẽ chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc
nghiệm. Với quy chế thi mới, bên cạnh những thuận lợi và hiệu quả mang lại
cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học cũng như trong các kì thi,
thì giáo viên và học sinh cũng gặp không ít những khó khăn.
Trước đây, giải toán theo phương thức tự luận đòi hỏi rất cao về tư duy
suy luận logic, học sinh cần nắm thật chắc kiến thức và trình bày theo các bước
cho đúng trình tự mới đạt kết quả cao thì bây giờ thi theo hình thức trắc nghiệm,
ngoài những kĩ năng như học và thi tự luận còn yêu cầu thêm nữa đó là phải học
kiến thức trải rộng hơn. Ở bài thi trắc nghiệm thường sẽ là những bài yêu cầu
giải nhanh và không quá rườm rà, phạm vi kiến thức rộng và bao quát hơn. Nếu
như trước kia học sinh giải toán theo phương châm “chậm và chắc” thì với hình
thức thi trắc nghiệm khách quan học sinh phải đổi từ “chậm” thành “nhanh”.
Một số câu kiểm tra về kiến thức lí thuyết yêu cầu học sinh phải ghi nhớ nhiều
hơn.
Trước mọi sự thay đổi, hay nói cách khác là một cách thức thi mới, thì
điều tất yếu là học sinh buộc phải tập làm quen với nó. Trong công việc “Trăm
hay không bằng tay quen”, trong giải toán cũng vậy, khi giải nhiều đề thi trắc
nghiệm học sinh sẽ tìm được những lỗi mà mình thường gặp phải cũng như

nhanh tìm được một phương pháp giải tối ưu cho bài toán.
Một số bài toán khi giải theo phương thức tự luận có thể yêu cầu ở mức
độ vận dụng cao nhưng khi ở dạng bài trắc nghiệm thì chúng ta có thể đưa về
mức độ thông hiểu hoặc vận dụng thấp bằng cách thử đáp án để loại trừ đáp án
không thỏa mãn và chọn đáp án thỏa mãn; hoặc đặc biệt hóa dữ kiện của bài
toán để đơn giản hơn rồi so sánh kết quả với các đáp án mà đề bài đã cho để từ
đó ta chọn đáp án thỏa mãn,… Khi đó, máy tính Casio là một công cụ hỗ trợ
tuyệt vời và hiệu quả cho việc tính toán và thử đáp án.
Giải toán bằng máy tính Casio không có nghĩa là học sinh không phải tư
duy. Phương pháp giải toán bằng máy tính Casio dựa trên hai cơ sở phát triển: tư
duy thuật toán và lý tuyết cơ bản. Đôi khi chúng ta không giải theo phương thức
tự luận truyền thống, nhưng vẫn luôn luôn lấy lý thuyết cơ bản làm nền tảng.
Máy tính không thể thay thế hoàn toàn con người, chúng ta cần thành thạo
cả hai cách giải theo phương thức tự luận và sử dụng máy tính casio để đạt kết
quả tốt và tiết kiệm thời gian tối đa. Nếu như học sinh vẫn còn một số hạn chế
về năng lực trong việc học môn toán có thể bỏ qua cách giải tự luận với một số
dạng bài. Tuy nhiên, học sinh vẫn cần phải rèn luyện kiến thức, kĩ năng, giải
3


thành thạo cả hai phương pháp, không sa đà vào việc nghĩ thuật toán bấm máy
cho một câu không làm được.
Với mục đích góp phần giúp học sinh hứng thú hơn và học có hiệu quả
hơn về chương “Phương pháp tọa độ trong không gian” tôi đã chọn đề tài:
Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng máy tính Casio giải toán trắc nghiệm
chương “Phương pháp tọa độ trong không gian”. Đề tài sẽ giúp học sinh hệ
thống lại một số dạng bài tập cơ bản có thể sử dụng máy tính Casio để giải toán
trắc nghiệm về những kiến thức cơ bản của chương như vectơ, mặt phẳng,
đường thẳng và mặt cầu trong không gian. Từ đó góp phần phát triển năng lực
tính toán, giải quyết vấn đề và sáng tạo, đồng thời hỗ trợ cho học sinh trong việc

học toán nói riêng cũng như các môn khoa học tự nhiên nói chung và trong kì thi
THPT Quốc gia.
2. Tên sáng kiến:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO
GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Lưu Thị Minh Nguyệt
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên
- Số điện thoại: 0979293373.
- E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lưu Thị Minh Nguyệt
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Hình học lớp 12
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 20/01/2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung của sáng kiến: Một số dạng toán về tọa độ trong không gian
có thể sử dụng máy tính Casio:
- Bài toán sử dụng tính toán thông thường và chức năng giải hệ (cộng, trừ,
nhân, chia, lấy căn, lũy thừa, giá trị tuyệt đối, giải hệ 3 phương trình bậc nhất 3
ẩn,…): tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; tính độ dài vectơ, tích vô
hướng của hai vectơ; tìm bán kính, diện tích, thể tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện.
- Bài toán sử dụng chức năng vectơ: tính độ dài vectơ; tính tích vô hướng,
tích có hướng của hai vectơ; tính diện tích tam giác, diện tích hình bình hành,
thể tích của khối hộp, thể tích tứ diện; tính khoảng cách từ điểm đến đường
thẳng, khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau.
- Bài toán sử dụng phím chức năng CALC và dấu hai chấm (“:”): kiểm tra
điểm thuộc đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu; điểm là giao của đường thẳng với
đường thẳng, mặt phẳng hoặc mặt cầu; điểm thuộc giao tuyến của hai mặt
4

phẳng; tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng, tọa độ hình chiếu của điểm
trên đường thẳng; tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng hoặc qua
đường thẳng; điểm thỏa mãn điều kiện cho trước; phương trình đường thẳng,
mặt phẳng, mặt cầu đi qua một số điểm.
- Bài toán hình học không gian sử dụng phương pháp tọa độ hóa: việc áp
dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian giúp cho học sinh giải
một số bài toán về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau; góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng; tính thể tích khối đa diện đơn giản
hơn rất nhiều so với phương pháp giải thông thường. Tuy nhiên, việc vận dụng
phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian thường áp dụng để giải
một số bài toán có mối liên hệ vuông góc và khi việc dựng khoảng cách hoặc
góc gặp khó khăn.
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Cho ba trục rOx,
r rOy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm
gốc O. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ
ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc hệ tọa độ Oxyz.
rr rr r r
r2 r 2 r 2
Chú ý
và
i. j = i.k = k. j = 0 .
i = j = k =1
2. Tọa độ của vectơ
r

r
r r r
a) Định nghĩa: u = ( x; y;z ) ⇔ u = xi + y j + zk
r
r
b) Tính chất Cho a = ( x1; y1;z1 ) , b = ( x 2 ; y 2 ;z 2 ) , k ∈ R
r r
• a ± b = ( x1 ± x 2 ; y1 ± y 2 ;z1 ± z 2 )
r
• ka = k ( x1; y1;z1 ) = ( kx1;k y1;k z1 )
 x1 = x 2
r r

• a = b ⇔  y1 = y 2
z = z
 1 2
r
r
r
r
• 0 = (0;0;0), i = (1; 0; 0), j = (0;1;0), k = (0;0;1)
r r r
r
r
r
• a cùng phương b(b ≠ 0) ⇔ a = kb (k ∈ R)
 x1 = kx 2
x
y
z


⇔  y1 = ky 2 ⇔ 1 = 1 = 1 , ( x 2 .y 2 .z 2 ≠ 0 )
x 2 y2 z2
z = kz
 1
2
rr
• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: a.b = x1.x 2 + y1 .y 2 + z1 .z 2
5


r r
• a ⊥ b ⇔ x1.x 2 + y1 .y 2 + z1 .z 2 = 0
r2
r
• a = x12 + y12 + z12 ; a = x12 + y12 + z12
rr
r r
a.b
x1.x 2 + y1 .y 2 + z1 .z 2 r r r
cos
a,b
=
=
, a,b ≠ 0
r
r
•
2
2

2
a.b
x1 + y1 + z1

( )

(

)

3. Tọa độ của điểm

uuuu
r
a) Định nghĩa: M = ( x; y;z ) ⇔ OM = ( x; y;z )
Chú ý

(x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ)
• M ∈ (Oxy) ⇒ M(x; y; 0);
M ∈ (Oyz) ⇒ M(0; y; z);
M ∈ (Oxz) ⇒ M(x; 0; z)
• M ∈ Ox ⇒ M(x; 0; 0) ;
M ∈ Oy ⇒ M(0; y; 0);
M ∈ Oz ⇒ M(0; 0; z)

b) Tính chất: Cho A ( x A ; y A ;z A ) , B ( x B ; y B ;z B )
uuur
• AB = ( x B − x A ; y B − y A ;z B − z A )
• AB = (x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

 x + x B yA + yB z A + z B 
M= A
;
;
÷
2
2
2 

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
 x + x B + x C y A + yB + yC z A + z B + z C 
G = A
;
;
÷
3
3
3


4. Tích có hướng của hai vectơ
r
r
a) Định nghĩa:Cho a = ( x1; y1;z1 ) , b = ( x 2 ; y 2 ;z 2 )
r r
r r  y z z x1 x1 y1 
a,b  = a ∧ b =  1 1 ; 1
;
÷
 

 y2 z2 z 2 x 2 x 2 y2 
= ( y1z 2 − y 2z1;z1 x 2 − z 2 x1; x1 y 2 − x 2 y1 )
r r
r
r r
r
Chú ý: [a, b] ⊥ a;
[a, b] ⊥ b

b) Ứng dụng của tích có hướng
r r
r
r r
• a,b cùng phương ⇔ a,b  = 0
6


uuur uuur
r
• A, B, C thẳng hàng ⇔  AB,AC  = 0
r r r
r r r


⇔
a,b
• Ba vectơ a, b,c đồng phẳng
  .c = 0
uuur uuur uuur
• A, B, C, D đồng phẳng ⇔  AB,AC  .AD = 0

uuur uuur
SY ABCD =  AB,AD 
1 uuur uuur
• Diện tích tam giác ABC :
S∆ABC =  AB,AC 
2
uuur uuur uuuu
r


V
=
AB,AD
.AA
'
• Thể tích khối hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ : ABCD 

1 uuur uuur uuur
VABCD = .  AB,AC  .AD
• Thể tích tứ diệnABCD:
6
uuur uuu
r


BA,
BC
2S
r 

• Đường cao của AH tam giác ABC: AH = ∆ABC =  uuu
BC
BC
• Diện tích hình bình hành ABCD:

• Đường cao của AH tứ diện ABCD:
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
1 uuu
3.  BC,BD  .BA  BC, BD  .BA
3V


AH = ABCD = 6 uuu
=
uuu
r uuur
r
u
u
u
r
1
S∆BCD
 BC,BD 
BC,BD 




2
5. Phương trình mặt cầu
• Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2
• Phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với
A 2 + B2 + C2 − D > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(– A; – B; – C) và bán
kính R = A 2 + B2 + C 2 − D .
6. Phương trình mặt phẳng
a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
• mp ( α ) có phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0thì ( α ) có một
r
vectơ pháp tuyến là n = ( A;B;C )
r
• Mặt phẳng (P) qua điểm M(xo; yo; zo) nhận vectơ n = ( A;B;C ) làm
VTPT có phương trình dạng A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Mặt phẳng qua ba điểm (a, 0, 0), (0, b, 0) và (0, 0, c) với abc ≠ 0 có
x y z
phương trình + + = 1
a b c
7


b) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0; (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
• (P) cắt Q ⇔ A : B : C ≠ A’ : B’: C’
A
B
C

D
=
=
≠
• ( P) / / ( Q) ⇔
A ' B' C' D'
• ( P) ≡ ( Q) ⇔

A
B
C
D
=
=
=
A ' B' C' D '

c) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M(xo; yo; zo) đến mặt phẳng (α):Ax + By + Cz + D = 0
xác định bởi công thức:
Ax o + Byo + Cz o + D
d(M;(α)) =
A 2 + B2 + C 2
d) Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P): Ax + Byr +urCz + D = 0; (Q):A’x + B’y + C’z + D’ =
0 có vectơ pháp tuyến tương ứng là n, n ' . Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và
(Q) thì ta có:

r ur
cos ϕ = cos n,n ' =

(

)

| AA '+ BB'+ CC' |
A 2 + B2 + C2 . A '2 + B'2 + C'2

7. Phương trình đường thẳng
a) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
r
Đường thẳng (d) qua M(xo; yo; zo) nhận a = ( a;b;c ) là một vectơ chỉ phương

 x = x o + at

có phương trình tham số là:  y = yo + bt
z = z + ct
o

Nếu abc ≠ 0 thì (d) có phương trình chính tắc là:

x − x o y − yo z − zo
=
=
a
b
c

b) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

uu
r
Cho hai đường thẳng: d1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương là u1 , d2 đi qua
uu
r
M2 và có vectơ chỉ phương là u 2
uu
r uu
r uuuuuur
  u1 , u 2  .M1 M 2 = 0


+ (d1) cắt (d2) ⇔  uu
r uu
r
r
  u1 , u 2  ≠ 0
uu
r uu
r uuuuuur
+ (d1) chéo (d2) ⇔  u1 ,u 2  .M1 M 2 ≠ 0
8


uu
r uu
r r
  u1 ,u 2  = 0



+ (d1) // (d2) ⇔  uu
r uuuuuur
r
  u1 ,M1M 2  ≠ 0
uu
r uu
r
uu
r uuuuuur r




⇔
u
,u
=
u
+ (d1) trùng (d2)
 1 2   1 , M1M 2  = 0
c) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
 x = x o + at

Cho (P):Ax +By +Cz +D =0 vaø(d) :  y = y o + bt (*)
z = z + ct
o

Thay (*) vào (P) ta có phương trình ẩn t.
A(xo + at) + B(yo + bt) + C(zo + ct) + D = 0 (1)
+ Nếu phương trình (1) có duy nhất nghiệm thì (d) cắt (P) tại một điểm.

+ Nếu (1) vô nghiệm thì (d) // mp(P).
+ Nếu (1) có vô số nghiệm thì (d) nằm trong mp(P).
Chú ý: Nếu to là nghiệm của phương trình (1) thì tọa độ giao điểm của (d) và
(P) là M ( x o + at o ; y o + bt o ;z o + ct o )
r
d) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đi qua Mo có VTCP u :
r uuuuur
 u, MM o 


d ( M,d ) =
r
u
e) Khoảng
uu
rcách giữa hai đường thẳng chéo
uu
r nhau d1 và d2 (d1 đi qua M1 và có
VTCP là u1 , d2 đi qua M2 và có VTCP là u 2 ):
uu
r uu
r uuuuuur
 u1 ,u 2  .M1M 2


d ( d1 ,d 2 ) =
uu
r uu
r
 u1 ,u 2 



uu
r
f) Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 (d1 đi qua M1 và có VTCP là u1 , d2 đi
uu
r
qua M2 và có VTCP là u 2 ):
uu
r uu
r
u1.u 2
uu
r uu
r
cos ( d1 ,d 2 ) = cos u1 ,u 2 = uu
r uu
r
u1 . u 2
r
r
g) Góc ϕ giữa đường thẳng d có VTCP u và mặt phẳng (P) có VTPT n :
rr
u.n
r r
sin ϕ = cos u,n = r r
u.n

(

)

( )

9


II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG, MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
A. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
uur uur
Kí hiệu: vectơ pháp tuyến của mp(P), mp(α),... tương ứng là n P , n α ,...
uur uur
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d, ∆ ,... tương ứng là u d , u ∆ ,...
r
Dạng 1: Phương trình mặt phẳng đi qua M(x o; yo ;zo) và có 1VTPT n
=(A;B;C) là:
A ( x − x o ) +B ( y − y o ) +C ( z − z o ) =0
v
v
1.1: (P) // (Q) : Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ VTPT n P = n Q = (A;B;C)
⇒ (Q) : A ( x − x o ) +B ( y − y o ) +C ( z − z o ) =0
1.2:

(P)

⊥ (d):

 x = x1 + at


 y = y1 + bt ⇒
z = z + ct
1


VTPT

uur uur
nP = ud

=(a;

b;

c)

⇒ (P) : a ( x − x o ) +b ( y − y o ) +c ( z − z o ) =0

⇒ (P) đi qua M là trung điểm của AB
1.3: (P) là
uuurmặt phẳng trung trực của AB
và nhận AB làm VTPT
Dạng 2: Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua A và có 2 vectơ không
uu
r uur
cùng phương u1, u 2 có giá song song hoặc nằm trên (P) (tức là có cặp vectơ
uu
r uur
chỉ phương u1, u 2 )

uur uu
r uur

n
=
u
- (P) đi qua A và có 1VTPT là P  1,u 2 

uur uur
uur
⇒
n
2.1: (P) vuông góc với 2 mặt phẳng(Q) , (R) n P = [ Q , n R ]
uur uuu
r uuur


n
=
u
⇒
2.2 : (P) song song với 2 đường thẳng d1, d2
P  d1 ,u d 2 
uur uur uur
2.3 : (P) ⊥ (Q),(P) / /d ⇒ n P =  n Q ,u d 
uur uuu
r uuur
2.4 : (P) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng ⇒ n P = [ AB , AC ]
uur uuur uur
2.5 : (P) đi qua A, B và ⊥ (Q) ⇒ n P =[ AB , n Q ]

uur uuur uur


⇒
n
2.6 : (P) chứa (d) và đi qua A
P =  AB,u d  với B là 1 điểm bất kì thuộc d
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và ( ∆ )( hoặc // ( ∆ )hoặc
⊥ (Q) )
uur
- Từ (d) ⇒ VTCP u d và điểm M ∈ (d)
10


uur
uur
r uur uur
- Từ ( ∆ ) (hoặc mp(Q)) ⇒ VTCP u ∆ (VTPT n Q ) và tính n = [ u d , u ∆ ]
r
uur uur
(hoặc n = u d ,n Q 
r
- mp (P) đi qua M và có VTPT n
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) //(Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q): Ax + By +Cz + D = 0 nên phương trình mp(P) có dạng Ax +
By +Cz + D’=0 (trong đó D’ ≠ D)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D’suy ra phương trình mp(P)
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và d(A,(P))=h
r
- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2>0

uur
⇒
- Từ (d)
VTCP u d và điểm M ∈ (d)
uur uur
- Vì (d) nằm trong (P) ⇒ u d . n P =0 (1)
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết
được phương trình mp(P).
B. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
r
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M(xo; yo ;zo) và có VTCP u
=(a; b; c)
+ Phương trình tham số của đường thẳng d là:
 x = x o + at

d:  y = yo + bt với t ∈ R
z = z + ct
o


x − x o y − yo z − zo
=
=
+ Nếu a.b.c ≠ 0 thì d có phương trình chính tắc :
a
b
c
uur uuur

1.1: (d) đi qua 2 điểm A, B ⇒ u d = AB
uur uur
1.2: d đi qua M(xo; yo; zo) và (d) // ( ∆ ) ⇒ u d = u ∆
x − x o y − yo z − z o
⇒ d:
=
=
a
b
c
1.3 : d đi qua M(xo; yo ;zo) và
uur uur
d ⊥ ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ u d = n P = ( A;B;C )
x − x o y − yo z − z o
⇒ d:
=
=
A
B
C
11


Dạng 2: Viết phương trình đường thẳngud
u
r đi
uurqua M(x o; yo; zo) và vuông góc
với giá của 2 vectơ không cùng phương u1 ,u 2
r
uu

r uur


u
=
u
- d có 1VTCP là
 1,u 2 
uur uuur uuur
2.1. d ⊥ d1, d ⊥ d 2 d1 / / d 2 ⇒ u d =  u d1 ,u d 2 
uur uur uur


d
/
/(P)
d
⊂
(P)
d
/
/(Q)
d
⊂
(Q)
(P)
/
/
(Q)
⇒

u
2.2.
hoặc
,
hoặc
d =  n P ,n Q 
2.3. d = ( P ) ∩ ( Q ) ,(P):Ax + By + Cz + D = 0 và (Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0
uur uur uur uur
- Từ (P) và (Q) ⇒ n P ,n Q , n P ,n Q 
Ax + By + Cz +D =0
- Xét hệ 
.
A'x + B' y + C'z + D' = 0

(

)

(

)

Chọn một nghiệm (xo; yo ;zo) từ đó ⇒ M(xo; yo ;zo) ∈ d
r
r r
- (d) đi qua M và có VTCP u d =[ n P , n Q].

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng hình chiếu của d lên mp(P)
Cách 1:
- Viết phương trình mp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)

- Hình chiếu cần tìm d' = (P) I (Q)
Cách 2:
- Tìm A = d I ( P) ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )
- Lấy M∈ d và xác định hình chiếu H của M lên (P)
- Viết phương trình d' đi qua M, H
Dạng 4: Tọa độ hình chiếu
4.1. Xác định tọa độ H là hình chiếu của của M trên mp(P):
- Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với (P)
- H = ∆ I ( P)
4.2. Xác định tọa độ H là hình chiếu của của M trên ∆ :
- Viết phương trình mp(Q) đi qua M và vuông góc với ∆
- H= ∆ I (Q)
Chú ý: nếu M’ đối xứng với M qua (P)(hoặc qua ∆ ) thì H là trung điểm MM’
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường
thẳng d1, d2:
Cách 1 :
- Viết pt mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
12


- Tìm B = (α ) I d 2
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2:
- Gọi M, N là giao diểm của d và d1, d2 ta có
M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) ∈ d1 , N ( x0' + a ' t ', y0' + b ' t ', z0' + c ' t ') ∈ d 2
uuur uuur
- AM, AN cùng phương suy ra t và t’. Từ đó tìm được tọa độ M, N
- d đi qua M, N
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3
- Gọi M, N là giao điểm của d và d2, d3 ta có

M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) ∈ d 2 , và N ( x0' + a ' t ', y0' + b ' t ', z0' + c ' t ') ∈ d 3
uuuu
r uur
MN,u
- Cho
d1 cùng phương suy ra t và t’. Từ đó tìm được tọa độ M, N
- d đi qua M, N
Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc đường
thẳng d1 và cắt d2
Cách 1:
- Viết phương trình mp (α ) qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B = (α ) I d 2
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2:
- Gọi M là giao của d và d2 ta có M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) ∈ d 2
uuuu
r uur uuuu
r uur
- d ⊥ d1 ⇒ AM ⊥ u d1 ⇒ AM.u d1 = 0 ⇒ t . Từ đó tìm được tọa độ M
- d đi qua M, A
Dạng 8 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song mp (α ) , cắt
đường thẳng d'
Cách 1:
- Viết phương trình mp(P) đi qua A và song song với (α )
- Tìm B = ( P) I d '
- Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Cách 2:
- Gọi M là giao của d và d’ ta có M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) ∈ d '
uuur uuur uuur uuur
d

/
/(
α
)
⇒
AM ⊥ n( α ) ⇒ AM.n( α ) = 0 ⇒ t . Từ đó tìm được tọa độ M
- d đi qua M, A
13


Dạng 9 : Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường
thẳng d1, d2 cho trước.
- Tìm giao điểm A=d1 I ( P) và B=d2 I ( P )
- Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 10: Viết phương trình đường vuông góc chung d của 2 dường thẳng
chéo nhau d1, d2 :
- Gọi M(x o + at, y o + bt, z o + ct) ∈ d1 , N(x 'o + a 't ', y'o + b't ',z 'o + c't ') ∈ d 2 là
các chân đường vuông góc chung của d1, d2
uuuu
rr
MN.u1 = 0
MN ⊥ d1
⇒  uuuu
⇒ t, t ' .
rr
- Ta có hệ 
MN
⊥
d


2
MN.u 2 = 0
- Thay t, t' tìm M, N =>Viết phương trình d đi qua M,N.
Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2
đường thẳng d1, d2 .
r
- (P) có 1VTPT n
A(x o + at, yo + bt,z o + ct) = d ∩ d1 ,
Gọi
uuur
B ( xo' + a ' t ', yo' + b ' t ', zo' + c 't ') = d ∩ d 2 . Tìm tọa độ AB
r

uuur

- Vì d vuông góc với mp(P) nên n và AB cùng phương. Từ đó tìm được t,
t’=>A, B
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, B
Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc
với đường thẳng d1 .
Cách 1:
- Viết phương trình mp (α ) qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B = (α ) I d1
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2:
- Gọi B ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) = d ∩ d1
uuur uu
r
- Tìm tọa độ AB, u1 : vtcp của d1
uuur uu

r
uuur
- Vì d ⊥ d1 nên AB.u1 = 0 ⇒ t ⇒ AB
uuur

- d đi qua A và có vtcp AB
C. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
14


Dạng 1 : Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính
1.1. (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R

( S ) :( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2
1.2. (S) có tâm A và đi qua B => (S) có bán kính R=AB
1.3. (S) có đường kính AB
=> (S) có tâm I là trung điểm AB, bán kính R= IA=AB/2
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm :
- Viết phương trình của (S) dạng x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (*)
- Cho (S) đi qua lần lượt bốn điểm ta được bốn phương trình .
- Giải hệ bốn phương trình tìm được , suy ra bốn ẩn là : a,b,c và d
- Thay bốn ẩn tìm được vào (*) ta suy ra phương trình của (S).
Chú ý: Khi viết được phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C,
D ta cũng xác định được tâm I(a; b; c), bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d , diện
4 3
tích S = 4π R 2 , thể tích V = π R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
3
Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm nằm
trên mp(P).

2
2
2
- Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát x +y +z -2ax-2by2cz+d=0 (*) , sau đó cho (S) đi qua ba điểm A,B,C ta được ba phương
trình
- Thay tọa độ tâm I (a; b; c) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được
phương trình thứ tư .Vậy ta có hệ bốn phương trình bậc nhất bốn ẩn a, b,
c, d .
- Giải hệ , ta suy ra a,b,c và d . Thay vào phương trình tổng quát ta có
phương trình của (S) .
Dạng 4 : Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là I(a, b, c) và tiếp xúc với
một mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng d cho trước .
- Tính bán kính của (S): R=d(I ;(P)) ( hoặc R=d(I,d) )
2
2
2
- ( S ) :( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2
Dạng 5: Mặt phẳng(P) cắt mặt cầu (S). Tìm tọa độ tâm và bán kính của
đường tròn giao tuyến.
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Tính d=d(I; (P)).
d <R=> (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)
15


- Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của I trên (P). Ta có H là tâm của đường
tròn ( C)
- bán kính của đường tròn ( C) : r = R 2 − d 2
Dạng 6: Viết phương trình mp(P) vuông góc với đường thẳng d cho trước (
hoặc song song với một mp(Q) cho trước ) và tiếp xúc với cầu (S).

- Xác định tâm I(a; b; c), bán kính R của mặt cầu (S)
- (P)
góc
với
d
(hoặc
//(Q))
thì
uur uu
r vuông
uur
n P = u d (= n Q ) = ( A;B;C ) ⇒ ( P ) : Ax + By + Cz + m = 0 ( *)
-

(P) tiếp xúc với cầu (S) ⇔ d ( I,(P) ) = R ⇔

aA + bB + cC + m

A 2 + B2 + C 2
- Giải (1) ta tìm được ẩn m thay vào (*) ta có mặt phẳng (P)

=R

( 1)

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P)//(Q): Ax + By + Cz + D=0
và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D’=0 (trong đó D’ ≠ D).
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R ⇒ tìm được D’

- Từ đó ta có phương trình mp(P) cần tìm
Dạng 8: Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt
cầu (S)
Cách 1:
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
uur
- Gọi VTPT của mp(P) là n P = (A;B;C) với điều kiện là A2 + B2 + C2>0
uur
- Từ (d) ⇒ VTCP u d và điểm M ∈ (d)
uur uur
- d ⊂ (P) ⇒ u d . n P =0 (1)
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C ⇒ phương trình mp(P).
Cách 2:
- Chuyển đường thẳng d sang dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng .
- Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm mặt phẳng . Viết phương trình chùm
mặt phẳng sau đó chuyển về dạng Ax+By+Cz+D=0
- Sử dụng điều kiện : (P) tiếp xúc với (S) thì d(I,(P)) = R , ta sẽ thu được
phương trình của mặt phẳng (P)

16


Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I(a; b; c) đồng thời cắt (P)
theo một đường tròn xác định( Biết bán kính r, hoặc chu vi, hoặc diện tích)
- Tính d=d(I; (P))
- Dựa vào giả thiết cho biết đường tròn (C ) ta tính được r.Bán kính của (S) là

R = d2 + r2
- ( S ) :( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2

2

2

2

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo
giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r (hoặc diện tích, chu vi cho
trước).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Chu vi đường tròn C = 2π r và diện tích S = π r 2 tính r.
d ( I ,( P ) ) = R 2 − r 2 (1)
- Vì (P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(trong đó D' ≠ D)
- Suy ra d (I,(P)) (2) ⇒ Giải hệ (1), (2) tìm được D' ⇒ (P).
Dạng 11: Viết phương trình mp(P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao
tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Áp dụng công thức, chu vi đường tròn: C = 2π r và diện tích: S = π r 2
tính r.
uur uur
- Vì d ⊂ (P) ⇒ u d . n P =0 (1)
r
- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2>0, chọn
M ( x o ; yo ;z o ) trên đường thẳng d
=> phương trình mp(P): A ( x − x o ) + B ( y − yo ) + C ( z − z o ) = 0
- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A, B theo C ⇒ Phương trình mp(P).
Dạng 12: Viết phương trình mp(P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao
tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất (áp dụng trường hợp d cắt

(S) tại 2 điểm).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Bán kính r =

R 2 − d 2 ( I ,( p)) để r min ⇒ d(I,(P)) max

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (d) ; K là hình chiếu vuông góc
của I lên (P)
- Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H
uuu
r
- (P) đi qua H và nhận IH làm VTPT
17


PHẦN 2: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO
(CASIO fx-570ES, CASIO fx-570ESPLUS, CASIO fx-570VN PLUS,
VINACAL 570ES PLUS II)
I. Bài toán sử dụng tính toán thông thường và chức năng giải hệ
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng ( P ) : 2x + 3y + z − 4 = 0 . Tính khoảng cách từ điểm
A ( 2;3; −1) đến mặt phẳng (P).
12
.
14
1
.
C. d ( A, ( P ) ) =
14

8
.
14
8
.
D. d ( A, ( P ) ) =
6

A. d ( A, ( P ) ) =

B. d ( A, ( P ) ) =

Hướng dẫn:
2.2 + 3.3 − 1 − 4
d ( A, ( P ) ) =
22 + 32 + 12
Ấn máy tính:
SHIFT

Kết quả:

hyp

2

×

2

X2

2

+

3

+

3

×

3

-

+

1

=

X2

1

-

4

4 14
8
=
7
14

Vậy chọn đáp án B
r
r
Ví dụ 2: Cho a(1;2;3) . Tính độ dài a .

A. 11 .
Hướng dẫn:

B. 12 .

C. 13 .

D. 14 .

r
a = x 2 + y 2 + z 2 = 12 + 22 + 32

Ấn máy tính:
1

X2

+

2

X2

+

3 X2

=
18


Kết quả: 14
Vậy chọn đáp án D
r
r
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho u(1;0;11), v(10;15; −2). Tích
r
r
vô hướng của u và v là
rr
rr
rr
rr
A. u.v = 0
B. u.v = 3
C. u.v = −12
D. u.v = (−165;112;15)

Hướng dẫn:

rr
u.v = x1.x 2 + y1.y 2 + z1.z 2

Ấn máy tính:
1

×

+

10

0

×

15

+

11

×

(

(-)

2

)

=

Kết quả: -12
Vậy chọn đáp án C
Ví dụ 4. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;1) và tiếp xúc với mặt
phẳng (P): x - 2y - 2z - 2 = 0
2

2

2

2

2

2

A. ( S) : ( x +1) +( y - 2) +( z - 1) = 3
B. ( S) : ( x +1) +( y - 2) + ( z - 1) = 9
2

2

2

2

2

2

C. ( S) : ( x +1) +( y - 2) + ( z +1) = 3
D. ( S) : ( x +1) +( y - 2) + ( z +1) = 9 .
Hướng dẫn:

Casio : R = d(I,(P)) =

- 1 - 2.2 - 2.1 - 2
12 + (- 2) 2 + (- 2) 2

=3

Phương trình mặt cầu : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9
2

2

2

Vậy chọn đáp án B
Ví dụ 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z+2=0 cắt mặt
cầu (S): (x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z − 3) 2 = 100 theo giao tuyến là một đường tròn (C).
Tìm diện tích hình tròn (C)?
A. 64π.
B. 16π.

C. 8π.
D.
19


20π.
Hướng dẫn:
(S) có tâm I(2; 3; 3), bán kính R=10
- Casio:

d = d ( I,(P) ) =

2.2 + 3.3 + 3 + 2
22 + 22 + 12

=6

Bán kính của (C): r = R 2 − d 2 = 102 − 62 = 8
Diện tích của (C): S = πr 2 = 64π
Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 6: Cho điểmI(1; 2; -2), mặt phẳng (P) :2x + 2y + z + 5 = 0 . Viết phương
trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho (P) cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có chu
vi bằng 8π
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A. ( S) : ( x - 1) +( y - 2) +( z + 2) = 25
B. ( S) : ( x - 1) + ( y - 2) + ( z + 2) = 9
C. ( S) : ( x - 1) + ( y - 2) + ( z + 2) = 5
D. ( S) : ( x - 1) +( y - 2) + ( z + 2) =16 .
Hướng dẫn:
- Đường tròn giao tuyến có bán kính r, ta có 2pr = 8p Þ r = 4
- Casio:
2 + 2.2 - 2 + 5
d = d ( I,(P)) =
=3
4 + 4 +1
R 2 = r 2 + d 2 = 42 + 32 = 25
2

2

2

Þ ( S) : ( x - 1) +( y - 2) +( z + 2) = 25
Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 7: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(2; -1; 0), B(1; 1; 1), C(0; 0;
1), D(3; 1; 1) có bán kính bằng:
A. 3

B.

7

C. 5

D. 19

Hướng dẫn:
20


- Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình dạng:
x 2 + y2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
- (S) đi qua A, B, C, D nên ta có:
+ d = −5 (1)
4 + 1 + 0 − 4a + 2b − 0 + d = 0
 −4a + 2b
1 + 1 + 1 − 2a − 2b − 2c + d = 0

 −2a − 2b − 2c + d = −3 (2)


⇔
(I)

4
+
4
+
9
−
4a
−
4b
−
6c
+
d
=
0
−
4a
−
4b
−
6c
+
d
=

−
17
(3)


16 + 1 + 4 − 8a − 2b − 4c + d = 0  −8a − 2b − 4c + d = −21 (4)
+ d = −5
−4a + 2b
−4a + 2b + d = −5
d = 5
 2a − 4b − 2c = 2
a = 2
a = 2



⇔
(II) ⇔ 
(III) ⇔ 
− 6b − 6c = −12

b = −1
 b = −1
−4a − 4b − 4c = −16
c = 3
c = 3
- Bán kính: R = a 2 + b 2 + c2 − d = 4 + 1 + 9 − 5 = 3
Vậy chọn đáp án A
Chú ý:
- Với máy tính VINACAL dùng chương trình giải hệ 4 phương trình bậc

nhất 4 ẩn (MODE 5, 3) để giải hệ (I) ta có ngay kết quả
- Với máy tính fx-570 ES, 570 ES PLUS, 570 VN PLUS, chỉ có chương
trình giải hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn (MODE 5, 2), để giải hệ (I) ta giữ
nguyên phương trình (1) rồi lần lượt trừ các phương trình (2), (3), (4) cho (1)
được hệ (II) sau đó giải hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn a, b, c để được hệ (III)
rồi thế vào (1) để tìm d
Ví dụ 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d
x- 1 y z- 3
= =
đi qua A(1; -1; 1) và cắt hai đường thẳng d1 :
và
2
1
- 1
x y +1 z - 2
d2 : =
=
1
- 2
1
ìï x =1 - 6t
ìï x =1 + 6t
ìï x =1 + 6t
ìï x =1 + 6t
ïï
ïï
ïï
ïï
A. í y =- 1 + t
B. í y =- 1 + t

C. í y =- 1 + t D. í y =- 1 - t
ïï
ïï
ïï
ïï
ïïî z =1 - 7t
ïïî z =1 + 7t
ïïî z =1 - 7t
ïïî z =1 - 7t
Hướng dẫn:
- Giả sử d cắt d1 tại B, cắt d2 tại C Þ B( 1 + 2t; t;3 - t ) , C ( t '; - 1 - 2t ';2 + t ')
uuu
r
uuu
r
Þ AB = ( 2t; t +1;2 - t ) , AC = ( t '- 1; - 2t ';1 + t')
uuu
r uuu
r
uuu
r
uuu
r
- A, B, C thẳng hàng nên AB, AC cùng phương Þ $k Î R : AB = kAC
21


ìï
3
ïï t =ïï

2
ïìï 2t = k(t '- 1)
ïìï 2t - kt '+ k = 0
ï
1
ï
ï
ï
Û í t +1 =- 2kt ' Û í t+ 2kt' =- 1 (IV) Û ïí kt ' =
ïï
ï
ïï
4
ïîï 2 - t = k(1 + t ') ïïîï t + kt'+ k = 2
ïï
ïï k = 13
ïïî
4
uuu
r æ
1 7ö
1
AB
=ç
- 3;- ; ÷
=Khi đó d đi qua A và có VTCPlà
÷
ç
÷ 2 ( 6;1;- 7)
ç

è
2 2ø

Þ chọn đáp án C
- Casio: coi hệ (IV) là hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn t, kt’, k và dùng
chương trình giải hệ (MODE 5, 2) để giải

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Câu 1. Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 8 = 0 và điểm M(–2; –4; 5). Tính
khoảng cách từ M đến (P)
A. 18
B. 6
C. 9
D. 3
Câu 2. Cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 2 = 0 và (Q): 2x – 3y + 6z + 9 =
0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
2
7
A.
B.
C. 2
D. 1
7
2
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp ( P) : 3x + y - 3z + 6 = 0
2

2

2

và mặt cầu ( S) : ( x - 4) +( y + 5) + ( z + 2) = 25 . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu
(S) theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến này có bán kính r
bằng:
A. r = 6
B. r = 5
C. r = 6
D. r = 5
Câu 4. Cho (S) là mặt cầu tâm I(2; 1; -1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có
phương trình: 2x – 2y – z + 3 = 0. Khi đó, bán kính của (S) là:
A. 4
B. 2
C. 1
D. 3
3
3
Câu 5. Cho hai điểm A(1; 0; -3) và B(3; 2; 1). Phương trình mặt cầu đường kính
AB là:
A. x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 2y + 2z = 0

B. x 2 + y 2 + z 2 − 2x − y + z − 6 = 0

C. x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 2y + 2z = 0

D. x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 2y + 2z + 6 = 0

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0;
2), D(1; 1; 1). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A. 35π
2

B. 35π

C. 35π 35
6

D. 16π
22


Câu 7. Tính bán kính r của đường tròn giao tuyến khi cắt mặt cầu
2
2
( S) : x 2 +( y - 2) +( z +1) =16 bởi mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 3 = 0
A. r = 7
B. r = 15
C. r = 1
D. r = 3
Câu 8. Cho mặt phẳng (P): 6x + 3y - 2z – 1 = 0 và mặt cầu
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 2 z − 11 = 0 . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao
tuyến là đường tròn (C) có bán kính là r. Tìm r.
A. r = 1
B. r = 5
C. r = 3
D. r = 4
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P) : 3x + y - 3z + 6 = 0 và mặt cầu ( S) : ( x - 4) 2 +( y + 5) 2 +( z + 2) 2 = 25 .
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn
giao tuyến này có chu vi bằng:
A. 12p

B. 10p
C. 2p 6
D. 2p 5
Câu 10. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt
phẳng (P): 2x - y + 2z +1 = 0 .
2

2

2

A. ( S) : ( x - 2) +( y - 1) + ( z - 1) = 4
2

2

2

2

2

2

2

2

2

B. ( S) : ( x - 2) +( y - 1) + ( z - 1) = 9
C. ( S) : ( x - 2) +( y - 1) + ( z - 1) = 3
D. ( S) : ( x - 2) +( y - 1) + ( z - 1) = 5 .
Câu 11. Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và đi qua A(1;0;4) có phương trình
A. (x + 1) 2 + (y+ 2) 2 + (z − 3) 2 = 53

B. (x − 1)2 + (y− 2)2 + (z + 3) 2 = 53

C. (x + 1) 2 + (y + 2) 2 + (z − 3) 2 = 51

D. (x − 1) 2 + (y− 2)2 + (z + 3) 2 = 51

Câu 12. Cho

( P ) : 2x + y + 1 = 0

khoảng cách a giữa (P) và d.

x = 11 + t

và đường thẳng d :  y = 12 − 2t song song. Tìm
z = 10 − t


B. a = 44 5
C. a = 9 5
D. a = 5 3 .
5
3
Câu 13. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng

x + 1 y −1 z −1
x −1 y − 2 z +1
d:
=
=
, ∆:
=
=
2
−1
1
1
1
2
A. a = 7 5

23


7

x
=
−
+ 5t

9

8


A.  y = + 3t
9

 10
z = 9 − 7t

7
7
7



x
=
+
5t
x
=
−
−
5t
x
=
−
+ 5t



9
9

9



8
8
8



B.  y = − + 3t C.  y = − 3t D.  y = + 3t
9
9
9



10
10

 10

z
=
−
−
7t
z
=
−

7t
z
=
−
+ 7t



9
9
9

24


II. Bài toán sử dụng chức năng vectơ
Các lệnh liên quan đến vectơ trong máy tính: để thực hiện được phép toán
vectơ thì việc nhập dữ liệu cho các vectơ đối với các máy Casio fx-570 ES, 570
ES PLUS không hoàn toàn giống các máy Casio fx-570 VN PLUS, VINACAL.
Tuy nhiên, các lệnh thực hiện phép toán vectơ thì vẫn giống nhau. Cụ thể:

STT

Lệnh (đối với các
máy fx-570 ES, 570
ES PLUS, 570 VN
PLUS, VINACAL)

1

MODE 8

MODE 8

Chuyển sang môi trường
vectơ

2

SHIFT 5, 1, 1, 1

MODE 8, 1, 1

Nhập dữ liệu cho vectơ A

3

SHIFT 5, 1, 2, 1

MODE 8, 2, 1

Nhập dữ liệu cho vectơ B

4

SHIFT 5, 1, 3, 1

MODE 8, 3, 1

Nhập dữ liệu cho vectơ C

5

SHIFT 5, 1

Nhập dữ liệu lại cho
vectơ A, B, C

6

SHIFT 5, 2

Truy cập dữ liệu các
vectơ A, B, C

7

SHIFT 5, 3

Trích xuất vectơ A ra
ngoài màn hình → VctA

8

SHIFT 5, 4

Trích xuất vectơ B ra
ngoài màn hình → VctB

9

SHIFT 5, 5

Trích xuất vectơ C ra
ngoài màn hình → VctC

10

SHIFT 5, 6

11

SHIFT 5, 7

Vectơ kết quả phép tính
trước
Tích vô hướng → g

12

SHIFT 5, 3, SHIFT 5, 7, SHIFT 5, 4

Tích vô hướng của vectơ
A và vectơ B
→ VctA gVctB

13

SHIFT 5, 3 × SHIFT 5, 4

Tích có hướng của vectơ
A và vectơ B
→ VctA × VctB

14

SHIFT hyp

Độ dài vectơ, giá trị tuyệt
đối của tích vô hướng
→ Abs

Lệnh (đối với các
máy fx-570 VN
PLUS, VINACAL)

Chức năng

25