SKKN một số bài toán về tích của vectơ với một số

MỤC LỤC
I. Lời giới thiệu ………………………………………………………… 2
II. Tên sáng kiến………………………………………………………
III. Tác giả sáng kiến…………………………………………………

2
2

IV. Chủ đầu tƣ tạo ra sáng kiến………………………………………

2

V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến………………………………………

2

VI. Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu…………………………… 2
VII. Mô tả bản chất của sáng kiến……………………………………

2

A. Nội dung……………………………………………………………

3

1. Cơ sở lý luận……………………………………….………………… 3
2. Các bài toán cơ bản…………………………….…………………… 3
Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức vectơ……………………….......... 3
Bài toán 2. Các bài toán về trọng tâm tam giác, tứ giác……………
15
Bài toán 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hai đƣờng thẳng song

song……………………………………………………………………

31

Bài toán 4. Các bài toán tìm điểm, tìm tập hợp điểm………………

44

B. Về khả năng áp dụng của sáng kiến………………………………

52

VIII. Những thông tin cần đƣợc bảo mật (nếu có)……………………….52
IX. Đánh giá lợi ích thu đƣợc và kết quả kiểm nghiệm……………
X. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc

52

áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): …………………………………

53

TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………

55

1


BÁO CÁO KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. Lời giới thiệu
Hình học vectơ là kiến thức hết sức mới lạ đối với các em học sinh lớp 10
mới được làm quen. Các em thường thấy khó khăn trong việc giải bài tập hình
10. Sáng kiến kinh nghiệm “Một số bài toán về tích của vectơ với một số” là đề
tài cung cấp cho các em đa dạng các dạng bài tập, phương pháp giải các bài hình
vec tơ, đặc biệt chỉ xoay quanh bài tích của vectơ với một số cũng cho chúng ta
rất nhiều các bài toán hay. Đề tài được viết dưới dạng phân dạng các dạng bài
tập, có phương pháp, bài tập minh họa, bài tập trắc nghiệm. Qua đó sẽ bổ xung
cho các em lượng kiến thức rất phong phú về các bài tập hình vectơ. Các em
thấy được một số bài tập hình phẳng giải bằng phương pháp vectơ trở lên đơn
giản, gọn nhẹ và hay hơn rất nhiều. Đề tài có sử dụng tham khảo của nhiều tài
liệu nâng cao và bồi dưỡng học sinh giỏi.
II. Tên sáng kiến: Một số bài toán về tích của vectơ với một số
III. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THẢO
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà – TT Gia Khánh –
huyện Bình Xuyên – tỉnh Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 03355001986
E_mail:
IV. Chủ đầu tƣ tạo ra sáng kiến
- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THẢO
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà – TT Gia Khánh –
huyện Bình Xuyên – tỉnh Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 03355001986
E_mail:
V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Đề tài “Một số bài toán về tích của vectơ với một số ” đề cập đến các bài
toán liên quan đến tích của vectơ với một số để từ đó các em có cách nhìn và
hướng giải các bài toán hình học vectơ đơn giản hơn. Đề tài được áp dụng cho

các em học sinh lớp 10. Đề tài được viết nhằm mục đích bổ xung và nâng cao
kiến thức hình học vectơ cho học sinh đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi.
VI. Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu: Tháng 9 năm 2015.
VII. Mô tả bản chất của sáng kiến

2


A. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
a, Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k ≠ 0 là một vectơ, kí hiệu là ka ,
cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với vectơ a nếu k < 0 và có độ dài
bằng k . a
Qui ước: 0.a = 0

v¯

k0 = 0

b, Tính chất:
i)

(k+

ii)

k a ± b

iii)

(
) = ka +
k ( m a ) = ( km) a

iv) ka =

v)

m) a = ka + ma

0

1a = a


k= 0

⇔

kb



a = 0

,

( −1) a

=

− a

c, Tính chất trung điểm:
M là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = 0
M là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ OA + OB = 2OM (Với O là điểm tuỳ ý)
d, Tính chất trọng tâm:
G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ GA+ GB + GC = O

G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ OA+ OB + OC = OG (Với O là điểm tuỳ
ý) e, Điều kiện để hai véc tơ cùng phƣơng:
b cùng phương với vectơ a ≠ 0 khi và chỉ khi có số k thỏa mãn b = ka .
Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho
AB = kBC
f, Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phƣơng:
Cho a không cùng phương với vectơ b . Khi đó với mọi vectơ x luôn biểu diễn
được x = ma + nb và m, n là các số thực duy nhất.
2. Các bài toán cơ bản

3


Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức vectơ
1. Phƣơng pháp giải.
Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu
thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về
đẳng thức đúng:


Các tính chất phép toán vectơ



Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ



Tính chất trung điểm:
M là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = 0
M là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ OA + OB = 2OM (Với O là điểm tuỳ ý)



Tính chất trọng tâm:
G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ GA+ GB + GC = O
G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ OA+ OB + OC = OG (Với O là điểm tuỳ ý)

2. Các bài tập minh họa:
Bài 1.
Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là
trung điểm của IJ. Chứng minh rằng
a, AB + DC = AC +
BD = 2 IJ
OD = 0

b, OA + OB + OC +
c, MA + MB + MC + MD = 4 MO , víi M l¯

®iÓm bÊt kú.

Lời giải.
B

C
I

a,

J
O
D

A

+) AB + DC = AD DB + DA + AC
+
=

AC + DB +( AD +DA) = AC + DB (1)

+) Theo quy tắc ba điểm ta có
AC = AI + IJ = AI + IJ + JC ;

BD = BD + IJ + JD


4


M¯ I , J lÇn lît l¯ trung ®iÓm cða AB v¯ CD nªn AI +

BI = 0 ; JC + JD = 0 VËy AC +
JD ) + 2

Tõ

IJ = 2 IJ

(2)

BD = ( AI + BI ) + ( JC +

.

AB + DC =

(1) v¯ (2) ta cã:

AC + BD = 2

IJ (®pcm).

b,
Theo hÖ thøc trung ®iÓm
ta cã

OA + OB = 2 OI ; OC + OD = 2 OJ MÆt kh²c

O l¯ trung ®iÓm IJ nªn ta cã OI + OJ = 0 . Suy ra
OA + OB + OC + OD =

c,
Theo c©u 2 ta cã :

OA + OB + OC + OD =

⇔

) + ( OM +
MD

=

)=

OD

0 .

( OM +

) ( OM +

0

) ( OM +

MA +

OB +

OC

0

⇔
MA + MB + MC +
(®fcm) .

4 OM

Bài 2.
Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng
minh rằng AB + CD = 2IJ
Lời giải.
Ta cã : 2 IJ = IB ID
+

B
C

 IA+AB+IC+CD

(

= AB+CD+ IA+

IC

= AB + CD

)

I

J
D

A

VËy AB + CD = 2IJ (®pcm).

Bài 3.
Cho ngũ giác ABCDE. Các điểm M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung
điểm của các đoạn EA, AB, BC, CD, MP, NQ. Chứng minh rằng:
1
RS = 2 MN + PQ

α)
β)

RS =
4
Lời giải.

(

1

)

AN

B

M

ED.

P
R

E

S
C


Q
D


5


( MN

a) Ta cã

+ PQ

)

= MR+ RS + SN + PR+RS + SQ

( MR+ PR) + ( SN + SQ)

= 2RS +

 2RS
b) Theo c©u a) ta cã

1
1 1
1
MN
+
RS =
 EB +
BD =

(

2

)

PQ =

Vậy RS =

1
ED.



1

2 2

ED

2



4

( ®pcm) .

4

Bài 4.

Cho ba trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh rằng AM+BN+CP= 0.

Lời giải.

A

P

N

B

C

M

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB nên ta có
AM + BN + CP =

( CA +

CB

1

)

2 ( AB + AC) +

=

( AC +

)

CA +

1

1
2 ( AB + BA

1

2 ( BA + BC) +

)+

1

1

2

2

2 ( BC + CB) = 0

Bài 5.
Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Chứng minh
rằng
AM =

MC
BC

AB +

BC

MB

AC
Lời giải.


6


MB

Τa cã:

MB = −
MC
MC
Μ C . MB = − MB .MC

⇔

(

)

⇔ Μ C . AB − AM

)

A

(

= − MB .

AC −

AM

)

⇔

( MB + MC

AM = Μ C . AB +

MB .AC

MC

⇔

AM =
AB +
AC
(®fcm).

B

MB

C

M

BC
BC
Bài 6.
Cho tam giác ABC. Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng
tâm tam giác. Chứng minh rằng

−1
2
1
1
3 AC − 3 AB ; CH = 3 AB − 3 AC .
1
5
b, MH = 6 AC − 6 AB , víi M l¯ trung ®iÓm cða BC.
a, AH =

Lời giải.

( AC +
3

2

)

2
1
AB − AB AC − A
3
3B

a, Ta cã AH = 2 AG −
=
AB =
CH = AH − A 1 AB −1 AC
C= −
3
3
1
1
5
AH
−
AB
+
CH
AB
b,
6 AC − 6
2
=
MH =
Bài 7.

Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh
AC, sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN.
a, Chứng minh rằng AK = 1 AB + 1 AC .
4
6
b, Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng KD = 1 AB + 1 AC .

(

)

4
Lời giải.

3


7


A
M

N
K

B

C

a, Vì K là trung điểm MN nên:
AK = 1 (AM + AN)= 1 (1 AB + 1 AC)= 1 AB + 1 AC , đpcm.
2
22
3
4
b, Vì D là trung điểm BC nên: AD = 1 (AB+AC)

6

2
từ đó, suy ra:
KD =AD-AK =

1 (AB+AC)-( 1 AB + 1 AC)= 1 AB + 1 AC ,
2

4

6

4

3

(đpcm).
Bài 8.
Cho hai hình bình hành ABCD và AB ' C ' D' có chung đỉnh A . Chứng
minh rằng B ' B + CC ' + D ' D = 0
Lời giải.

B

C
B'

A
D

C'
D'

Ta có:

(

) ( AC' −AC) + ( AD −AD')
( AB+ AD) −AC −( AB'+ AD') + AC = 0

B'B + CC' + D'D = AB −AB' +


Bài 9.
Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
DC , AB ; P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của CN , DB .
Chứng minh rằng DM = NB và DP = PQ = QB .
Lời giải.
8


A

N

B

Q
P

D

M

C

Ta có tứ giác DMBN là hình bình hành vì
DM= NB=

1

AB, DM/ /NB.
2
Suy ra DM = NB .
Xét tam giác CDQ có M là trung điểm của DC và MP / /QC do đó
P là trung điểm của DQ .
Tương tự xét tam giác ABP suy ra được Q là trung điểm của P B
Vì vậy DP = PQ = QB từ đó suy ra DP = PQ = QB
Bài 10.
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. ạ MD,
ME, MF, lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh rằng: MD + ME + MF =

3

2
Lời giải.

MO

A

B

A'

O M
D

C

Gọi AA’, BB’, CC’, là đường cao của tam giác ABC.
Theo b¯i 9 ta cã:
Sa .MA + Sb .MB + SC .MC = 0 (1)
MÆt kh²c MD M .AA' 3 . Sa .AO (víi S = S
)
=
D =
ABC
AA'
2 S
T¬ng tù nhvËy ta cã

ME 3 . Sb .BO ; MF 3 . Sc .CO.
=
=
2 S
2
S


9


Từ đó suy ra:
MD + ME + MF = 3
Sa .AO + Sb .BO + Sc .CO
2
S
= 3 
Sa MO - MA + Sb MO - MB + Sc MO - MC
2S 

(

) 

 3 (S

a

(

)

)

(

+ Sb + Sc ) MO +

)

3

(S

a

(

.MA+ Sb .MB + Sc .MC

)

2S2S
=
=

3

.S.MO
2S

3

2

MO

( theo (1))
(dfcm).

3. Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1:Cho tam
giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho
MB = 4MC . Khi đó
A. AM= 4 AB + 1 AC .
B. AM= 4 AB−AC.
5
5
C. AM= 4 AB −1 AC .
5

5
D. AM= 1 AB + 4 AC .

5

5

Lời giải
Chọn D

A

B

C

M

4

AM= AB+BM= AB+ BC
5
4
BA+ 1
=

(

AB +

5

)

AC =

5

.
4

AB + AC
5

5


10


Câu 2: Gọi AN, CM là các trung tuyến của tam giác ABC . Đẳng thức nào sau
đây đúng?
A. AB= 2 AN + 2 CM .
B. AB= 4 AN −2 CM .
3
3
C. AB= 4 AN + 4 CM .
3

3

3
3
D. AB= 4 AN + 2 CM .
3

Lời giải

3

A

Chọn D
M
B

C
N

Ta có
AN = 1
2
Suy ra

( AB +AC
)=

AN + 1CM
=
2

1AB + 1 AC CM = CA + AM ⇒1 CM = 1CA + 1 AM
2

2

2

2

1 AB + 1 AC + 1 CA + 1 AM

2
2
2
2
1 AB + 1 AC −1 AC + 1 ⋅ 1 AB 3 AB
=
=
2
2
2
2 2
4
Do đó AB 4 AN + 2 CM .
=
3
3
Câu 3: Cho tam giác ABC . Gọi I , J là hai điểm xác định bởi
3 JA + 2 JC = 0 . Hệ thức nào
đúng?
A.IJ= 5 AC − 2AB.
B.IJ= 5 AB−2AC.
C.IJ=

2

2
2 AB−2AC.

IA= 2IB ,

2
D.IJ= 2 AC − 2AB.

5

5

Lời giải
J
A

Chọn D

C

Ta có: IJ = IA + AJ

2

−2AB+ AC =
55

2

AC−2AB.

B

I

11


AB = 8, AC = 9, BC = 11. M là trung điểm
Gọi
BC và N là điểm trên đoạn AC sao cho AN = x (0 < x < 9) . ệ thức
nào sau đây đúng?
1 x
1
x 1
1

Câu 4: Cho tam giác ABC biết

A.

MN =



−

C.

MN =



+

2
x
9

AC +

9
1

AC

2

−

2
1
2

AB

B. MN = 

AB

D. MN = 

9

x
9

−

−

CA+

2
1

AC

2

2
1

−

2

BA

AB

Lời giải
Chọn D

Ta có: MN = AN −AM =

x
9

AC −

x

1
2

(AB+ AC)= 

9

−

1
AC

2

1
−

2

AB .

Câu 5: Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M, N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC , CD, DE . Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và
NQ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.IJ= 1 AE .
B.IJ= 1 AE . C.IJ= 1 AE .
D.IJ= 1 AE .
2

3

4

5

Lời giải
Chọn C

Ta có: 2IJ = IQ + IN = IM + MQ + IP + PN = MQ + PN

1
MQ = MA+ AE + EQ



MQ= MB+BD+DQ


⇒2MQ= AE+BD⇔MQ=

(

)

2

( AE + BD) ,

PN =− 1 BD . Suy ra: 2IJ 1 AE + BD −1 BD 1 AE⇒IJ = 1 AE .
=
=
2
2
2
2
4


12


Câu 6: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác
ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AC+BD+BC+ AD= 4MN.
B. 4MN = BC + AD.
C. 4MN = AC + BD.
D. MN= AC+BD+BC+AD.
Lời giải
Chọn A
B
C

M
N
A

D

Ta có: AC + BD + BC + AD

( AM+MN +NC) +( BM+MN +ND) +( BM+MN +NC) +( AM+MN +ND)
 2( AM + BM) + 2( NC + ND) + 4MN = 4MN .
0

0

Câu 7: Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD .
Đẳng thức nào sau đây sai?
A. AC + DB= 2MN.

B. AC+ BD= 2MN.

C. AB+ DC = 2MN

D. MB+ MC = 2MN.

.
Lời giải

Chọn C
B
A

N
M
D

C

Do M là trung điểm các cạnh AD nên MD + MA= 0
Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên 2MN = MC + MB. Nên
D đúng.
13


Ta có

(

)

2MN= MC+MB= MD+DC+MA+AB= AB+DC+ MD+MA = AB+DC
Vậy AB + DC = 2MN . Nên C đúng
Mà AB + DC = AC +

( CB + DC ) = AC + DB = 2MN . Nên A đúng.

Vậy B sai.
Câu 8: Cho tứ giác ABCD , trên cạnh AB , CD lấy lần lượt các điểm M , N
sao cho 3 AM = 2 AB và 3 DN = 2 DC . Tính vectơ MN theo hai vectơ
AD, BC.
A. MN= 1 AD + 1 BC .

B. MN= 1 AD − 2 BC .

3
3
C. MN= 1 AD + 2 BC .

3
3
D. MN= 2 AD + 1 BC .

3

3

3

Lời giải

3

Chọn C
Ta có MN = MA + AD + DN = 2 BA+ AD + 2 DC
3


3

2

( BC+CA) + AD+ 2( DA+ AC) = 2BC+ AD− 2AD

3333

1

2

 AD+ BC.
33
Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của OA và CD . Biết MN = a . AB + b. AD. Tính a + b .

B. a + b = 1 .

A. a + b
= 1.
C. a + b
=

2

D. a + b = 1 .

3 .
4

4
Lời giải

Chọn A

A

B
M

D

O
N

C


14


MN = MO+ON = 1 AC + 1 AD
4
2
1 AB +
1 AD
=
BC +
4
2
1 AB +
1 AD
=
=
AD +

4
2

(

(

 a=

1
44

;b=

3

.

)

)

1 AB + 3 AD
4
4

. Vậy a + b = 1.

Câu 10: Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong
tam giác ABC . ạ ID, IE , IF tương ứng vuông góc với BC , CA, AB .

Giả sử ID+IE+IF= a IO (với a là phân số tối giản). Khi đó a + b
b
b
bằng:
A. 5
B. 4
C. 6
D. 7
Lời giải
Chọn A

Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC, NR / /CA. Vì ABC
là tam giác đều nên các tam giác IMN , IPQ, IRS cũng là tam giác
đều. Suy ra D, E , F lần lượt là trung điểm của MN , PQ, RS . Khi
đó:
1 (IM + IN) + 1 (IP + IQ) + 1 (IR+ IS)
ID+IE+IF=
2
2
2


1

(IQ + IR) + (IM + IS) + (IN + IP) =

22

1

 .3 IO =
22

3

1

(IA+ IB + IC)

IO ⇒ a = 3, b = 2 . Do đó: a + b = 5.