SKKN PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số DẠNG TOÁN về hàm ẩn, hàm hợp TRONG kỳ THI THPT QUỐC GIA

MỤC LỤC
1. Lời giới thiệu.......................................................................................................................................1
2. Tên sáng kiến:.....................................................................................................................................1
3. Tác giả sáng kiến:................................................................................................................................1
4. Chủ đầu tư sáng kiến:..........................................................................................................................1
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:...............................................................................................................1
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:...................................................................1
7. Mô tả bản chất của sáng kiến..............................................................................................................1
8. Những thông tin cần được bảo mật:..................................................................................................51
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:..................................................................................51
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác
giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử
nghiệm:..................................................................................................................................................51
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu:.......52
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................................................53


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong các kỳ thi THPT QG những năm gần đây ( từ năm 2017 trở lại đây) thường
xuất hiện một số dạng toán liên qua đến hàm hợp, hàm ẩn. Khi mới xuất hiện, các dạng
toán này thường ở mức độ 3 và mức độ 4, do đó gây sự lúng túng nhất định cho học sinh,
thậm chí cả giáo viên. Các dạng toán toán này thường chia làm các dạng: Xét sự biến
thiên, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, sự tương giao của đồ thị hay số nghiệm
của phương trình, tiệm cận… liên quan đến chương I giải tích lớp 12, hay nguyên hàm,
tích phân hàm ẩn liên quan đến kiến thức chương III của giải tích lớp 12.
Sau một vài năm dạy các khóa học sinh lớp 12 thi THPT QG, tôi nhận thấy cần phải
đúc rút ra một số dạng toán và cách giải quyết nó một cách đơn giản nhất phù hợp với
cách thi trắc nghiệm của kỳ thi. Do đó tôi mạnh dạn viết chuyên đề nhỏ ngày để giúp giải
quyết một số khó khăn mắc phải của học sinh khi gặp dạng toán này.

Các dạng toán về hàm ẩn thì có nhiều dạng như đã nêu ở trên, nhưng trong chuyên
đề nhỏ này, do thời gian có hạn và khối lượng kiến thức hạn chế nên tôi chỉ nêu ba dạng
toán: Xét sự biến thiên, tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn, tìm số nghiệm của phương
trình liên quan đến hàm hợp, hàm ẩn. Theo tôi nghĩ, ba dạng toán này nếu học sinh
nắm được và sử dụng thành thạo các công cụ của nó thì có thể dễ dàng giải quyết các
dạng toán còn lại về hàm hợp, hàm ẩn.
Trong quá trình viết chuyên đề nhỏ này, do thời gian và kiến thức có hạn nên không
tránh khỏi những sai sót nhất định, rất mong sự đóng góp của các Thầy cô giáo và các em
học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và tôi tiếp tục hoàn thành các phần tiếp theo
của dạng toán này.
2. Tên sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN, HÀM
HỢP TRONG KỲ THI THPT QUỐC GIA
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Vũ Doãn Tiến.
- Địa chỉ: Trường THPT Ngô Gia Tự
- Số điện thoại: 0984970114

Email:

4. Chủ đầu tư sáng kiến:
- Là tác giả sáng kiến.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục (dạy học môn Toán THPT phần chương I giải tích
12)
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: tháng 10 năm 2019.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến

1


PHẦN 1. NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN, CỰC TRỊ CỦA
HÀM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
1.1. Các kiến thức về sự đồng biến nghịch biến của hàm số:
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
1.1.1. Định nghĩa:

x x �K , x1   x2  thì f  x1   f  x2  .
Hàm số y  f ( x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ 1,  2 
x x �K , x1   x2  thì f  x1   f  x2  .
Hàm số y  f ( x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ 1,  2 
Hàm số đồng biến ( hay nghịch biến) trên tập K gọi chung là đơn điệu trên tập K.
1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

f '  x   � 0
  K .
- Nếu f đồng biến trên K thì
với mọi x�
f '  x   � 0
  K .
- Nếu f đồng biến trên K thì
với mọi x�
1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: cho hàm số f có đạo hàm trên K.

f '  x   � 0
  K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f
- Nếu
với mọi x�
đồng biến trên K.
f '  x   � 0
  K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f

- Nếu
với mọi x�
nghịch biến trên K.
- Nếu

f '  x    0

  K thì f là hàm hằng trên K.
với mọi x�

1.1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
a) Tìm tập xác định
b) Tính đạo hàm
xác định.

f ' x   
x  i  1 , 2 ,..., n 
Tìm các điểm i  
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

c) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
d) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
1.2. Các kiến thức về cực trị của hàm số:
1.2.1. Định nghĩa
Cho hàm số

y  f  x

liên tục trên khoảng

 a ; b

và điểm

x0  � a ; b 

.

f  x    f  x0  , x�
   x0   h ; x0   h  , x  � x0 
- Nếu tồn tại số h  0 sao cho
thì ta nói hàm số f đạt
cực đại tại x0 .

f  x    f  x0  , x�
   x0   h ; x0   h  , x  � x0 
- Nếu tồn tại số h  0 sao cho
thì ta nói hàm số f đạt
cực tiểu tại x0 .

2


1.2.2. Định lí 1. Cho hàm số
hàm trên K hoặc trên
Nếu

y  f  x

K  �  x0 

f�
 x   0, x � x0  h; x0 

liên tục trên khoảng

K    x0   h ; x0   h 

h

 0

và có đạo

.
và

f�
 x   0,   x0 ; x0  h 

thì x0   là điểm cực tiểu của hàm số.

1.2.3. Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 - h ; x0 + h) (h > 0).
- Nếu

f '  x0   0, f ''  x0   0

thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f .

- Nếu

f '  x0   0,  f ''  x0   0

thì x0 là điểm cực đại của hàm số f .

1.2.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1
- Tìm tập xác định.
- Tính

f ' x  .

Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định.

- Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2
- Tìm tập xác định.
- Tính

f ' x  .

- Tính

f ''  xi 

(Chú ý: nếu

f ' x  0
Tìm các nghiệm xi của phương trình

.
suy ra tính chất cực trị của các điểm xi .

f ''  xi   0

thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại xi ).

1.3. Các kiến thức biện luận số nghiệm của phương trình:
Tính chất 1: Nếu hàm số f (x) liên tục [a;b]và đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình
f (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn [a;b].
Mở rộng: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm đổi dấu n lần trên khoảng (a;b)
thì phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất n + 1 một nghiệm trong đoạn [a;b].
Tính chất 2: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b]và đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương
trình f (u) = f (v) � u = v với " u, v �[a;b].
Tính chất 3: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và đơn điệu tăng trên (a;b) thì
f (x) > f (y) � x > y (Nếu f đơn điệu giảm thì f (x) > f (y) � x < y ) với " x, y �(a;b) .
Tính chất 4:
+ Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Bất phương trình f (x) �m nghiệm đúng với mọi

f (x) �m
x �[a;b] khi và chỉ khi max
[a;b]
.
+ Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Bất phương trình f (x) �m có nghiệm x �[a;b]
khi và chỉ khi

min f (x) �m
[a;b]

.

3


4


CHƯƠNG II: VẬN DỤNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT
ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TẬP

I. XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN
1. Dạng 1.
Cho hàm y  f ( x) hoặc hàm y  f '( x) xét sự biến thiên của hàm g ( x)  f (u ( x)) .
Phương pháp:
- Tính đạo hàm g '( x)  f '(u ( x)).u '( x)
- Xét dấu g '( x) dựa vào dấu của f '(u ( x)) và u '( x) theo quy tắc nhân dấu. Lưu ý khi xét
dấu f '(u ( x)) dựa vào dấu của f '( x) như sau: Nếu f '( x) không đổi dấu trên D thì
f '(u ( x)) không đổi dấu khi u ( x) �D .
Ví dụ 1. ( Câu 35 Mã đề 102- THPTQG năm 2019). Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của
f '( x ) như sau:

Hàm số f (5  2 x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

 2;3 .

B.

 0; 2  .

C.

 3;5 .

D.

 5; � .

Lời giải
Ta có y  f (5  2 x) � y '  2 f '(5  2 x)
Hàm số nghịch biến khi y '  2 f '(5  2 x) �0 � f '(5  2 x) �0 .
x �1
�
f '( x ) �0 � �
3 �x �1
�
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy khi
5  2 x �1
3 �x �4
�
�
f '(5  2 x) �0 � �
��
3 �5  2 x �1 �
x �2
�
Nên
Vậy hàm số

y  f  5  2x

nghịch biến trên các khoảng

 3; 4 

và

Ví dụ 2. ( Câu 33 Mã đề 103- THPTQG năm 2019). Cho hàm số

f�
 x

f  x

Chọn B

, bảng xét dấu của

như sau:

Hàm số
A.

 �; 2  .

y  f  3  2x

 3; 4  .

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

 2;3 .

C.

 �;  3 .

D.

 0; 2  .
5


Lời giải

y  f  3  2 x  � y '   3  2 x  �f �
 3  2x
 3  2 x   2 f �

Ta có:

Hàm số

y  f  3  2x

đồng biến khi

.

y�

 2 f �
 3  2 x  �0
 3  2 x  �0 � f �

3  2 x �3
x �3
�
�
��
��
1 �3  2 x �1
1 �x �2 .
�
�
Hàm số

y  f  3  2x

đồng biến trên khoảng

 3; �

nên đồng biến trên khoảng

 3; 4  .

Đáp án A
Ví dụ 3. ( KSCL lần 1 năm 2019-2020 THPT Trần Phú). Cho hàm số
biến thiên như sau. Các khoảng đồng biến của hàm số

có bảng

?

 2; �
B. (�; 0) và

A. (�; 2)
D. (0; 2)

(0; �)

y  f  2 x  1

y  f  x

C. (�; 1) và

Lời giải.
Ta có

y  f  2 x  1 � y '  2 f '  2 x  1

Khi đó

.

y '  2 f '  2 x  1  0 � 1  2 x  1  3 � 0  x  2

Ví dụ 3. Cho hàm số

dưới đây. Hàm số

�1 �
� ;1�
A. �2 �.

y  f  x

f�
 x  như hình vẽ
có đạo hàm trên � và có đồ thị hàm

g  x   f  x2  x 

B.

. Đáp án D.

đồng biến trên khoảng nào?

 1; 2  .

� 1�
1; �
�
C. � 2 �
.

D.

 �; 1 .
6


Lời giải
Ta có:

g  x   f  x2  x  � g�
 x    2 x  1 f �
 x2  x 

.

� 1
x
�
2
� 1
�
x
�
x0
2
�
2x 1  0
�
�2
g�
��
x x0� �

x 1
 x  0 � �� 2
�
f
x

x

0


�2
�
x  1
x x2
�
�
�
�
x2
�
�
( Ta tìm các điểm tới hạn)
Từ đồ thị

f�
 x

ta suy ra

f�
 x  0 � x  2

x2
f�
 x2  x   0 � x2  x  2 � �
�
x  1 ( Ta cần xác định một loại dấu của
�
Do đó :
f ' x2  x 

)

Bảng xét dấu

g�
 x

:

� 1�
1; �
�
g  x
Từ bảng xét dấu ta có hàm số
đồng biến trên khoảng � 2 �
. Chọn đáp án C.

Lưu ý: Dấu của

f�
 x2  x 

g�
 x

ở bảng trên có được nhờ nhân dấu của hai biểu thức

 2 x  1

và

.

Ví dụ 4. (KSCL lần 1 năm 2019-2020 THPT Đồng Đậu, THPT Yên Lạc) Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

y = f ( x 2 + 4 x + m)
( - 1; 1)
m
Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
là

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Lời giải
7


Ta có:

y  f  x 2  4 x  m  � y '  2( x  2) f '  x 2  4 x  m  �0, x � 1;1

� f '( x 2  4 x  m) �0, x � 1;1

(vì

2( x  2)  0, x � 1;1

)

� 2 �h( x)  x 2  4 x  m �8, x � 1;1 (*)
Trong khoảng

( - 1; 1) hàm số h( x) đồng biến nên m  3  h(1)  h( x)  h(1)  m  5

2 �m  3 �
m �1
�

(*) � �
��
m  5 �8
�
�m �3 suy ra có 3 giá trị nguyên của m . Đáp án B
Vậy
Ví dụ 5. Cho hàm số

y  f  x

như hình bên. Hỏi hàm số
khoảng sau?

A.

 0; 2 

B.

y f�
 x
liên tục trên � và bảng xét dấu của hàm số

g  x   f  x  1

 3;0 

C.

nghịch biến trên khoảng nào trong các

 1; 4 

D.

 1;1

Lời giải

Ta có:

�
�f  x  1 , x �0
g  x   f  x  1  �
�f   x  1 , x  0

Nhận xét: Hàm

g  x   f  x  1

là hàm chẵn, có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung.

+) Ta có BBT của hàm số y  f ( x)

+) B1: Chuyển từ hàm số
trái 1 đv)

y  f  x

sang hàm số

y  f  x  1

( tịnh tiến đồ thị sang

8


y  f  x  1

sang hàm số

y  f  x  1

bằng cách giữ nguyên
+) B2: Chuyển từ hàm số
phần x �0 , phần x  0 được lấy đối xứng với phần x �0 qua Oy . ( lấy đối xứng qua
Oy)

Đáp án B

f ( x  1)
Nhận xét: Dạng chuyển từ hàm f ( x ) sang hàm
rất dễ mắc sai lầm đó là:
f (x)
Chuyển từ f ( x ) sang
( lấy đối xứng trước), rồi tịnh tiến sang trái 1 đơn vị ( tịnh
tiến sau).
Ví dụ 5. (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Cho hai hàm số
số

y f�
 x

và

đồ thị của hàm số

y  g�
 x

y  g�
 x

y  f  x

,

y  g  x

. Hai hàm

có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là
.

� 3�
h  x   f  x  4  g �
2x  �
2 �đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
�

Hàm số
� 31 �
5; �
�
A. � 5 �.

�9 �
� ;3 �
B. �4 �.

�31
�
� ; ��
�.
C. �5

� 25 �
6; �
�
D. � 4 �.

Lời giải
� 3�
� 3�
h�
2 x  ��0
f�
2x  �
 x  f �
 x  4  2g�

 x  4  �2 g �
�
�
2
2 �.
�
�
�
Ta có:
khi

9


Từ đồ thị ta thấy

g�
" 5,x
 x  �"

2 g�
 x

� 3�
f�
x  4  �2 g �
2x  �

�
10, x

2 �ta
�
. Do đó để

�f �
 x  4  �10
�
� � 3�
2 x  ��5
�
�g �
2�
�
�
x
cần tìm sao cho:

y f�
 x  tại A  a;10  , a � 8;10  . Khi
Nên ta kẻ đường thẳng y  10 cắt đồ thị hàm số
đó
ta
có
�f  x  4  �10, khi3 �x  4 �a
�f  x  4  �10, khi  1 �x  4
�
�
 �� 3�
�


�� 3�
3
3
25
2 x  ��5, khi 0 �2 x   11 �g �
2 x  ��5, khi �x �
�g �
2
4
4
�� 2�
�� 2�

3
4

x

4
.

Đáp án B.
Nhận xét: Bài này có thể dùng phương pháp loại trừ để tìm đáp án như sau

 f�
 2 g �dẫn đến so sánh f ' với 2 lần giá trị g ' . Lại thấy các số trên đồ thị
- Ta có: h�
có các giá trị 10  5.2, 8  4.2 , như vậy để h nghịch biến thì miền giá trị của f ' nhỏ hơn
8, miền giá trị của g ' lớn hơn 4. Từ suy luận đó, dựa vào các điểm trên trục hoành ta thấy
h '(6)  f '(10)  2 g '(10,5)  8  2.4  0

Do đó h sẽ nghịch biến trong những khoảng xung quanh giá trị 6, đó là các phương án
A,C, D. Lại thấy đáp án B cho ta f '  10, g '  5 . Do đó phương án B được chọn.
2. Dạng 2.
Cho hàm y  f ( x) hoặc y  f '( x) xét sự biến thiên của hàm g ( x)  f (u ( x))  h( x) .
Phương pháp:
- Tính g '( x)  u '( x). f '(u ( x))  h '( x)
- Lập bảng xét dấu g '( x) bằng cách cộng dấu của hai biểu thức u '( x). f '(u ( x)) và h '( x) .
Ví dụ 1. (Đề tham khảo THPTQG 2019) Cho hàm số
như sau:

Hàm số
A.

y  3 f  x  2   x3  3x

 1; � .

B.

f  x

có bảng xét dấu của đạo hàm

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

 �; 1 .

C.

 1;0  .

D.

 0; 2  .

Lời giải
Ta có

2
y�
3f�
 x  2   3x 2  3  3 �
�f '( x  2)  (1  x ) �
�

10


Xét f '( x  2)  0 � x  2 �{1, 2,3, 4} � x �{1, 0,1, 2}
2
Xét 1  x  0 � x  1, x  1

1 x  2  3 �
1  x  1
�
f '( x  2)  0 � �
��
2
x24
x2

�
�
Lại có:
và 1  x  0 � 1  x  1
Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu suy ra trên khoảng

 1; 0 

hàm số đồng biến. Chọn đáp án C.

Lưu ý:

 1  x 2  với
- Để xác định dấu của y ' trong bảng trên ta phải cộng dấu của f '( x  2) và
nguyên tắc cùng dấu thì cộng được. Nếu khác dấu nhau thì không xác định được dấu của
y'.
2
- Dó đó ta có thể giải f '( x  2)  0 và 1  x  0 rồi lấy giao hai tập nghiệm ta được kết

 1;0  �(1;1) .
quả hàm số chắc chắn đồng biến trên (1;1) . Nên chọn đáp án là tập
y f�
 x  , xét sự biến thiên của hàm g ( x)  f ( x)  h( x) dẫn
- Nếu đề bài cho đồ thị hàm
đến xét dấu của g '( x)  f '( x)  h '( x) dựa vào sự tương giao đồ thị.
Ví dụ 2. Cho hàm số
như hình bên dưới.

Hàm số
A.

y  f  x

g  x   2 f  x   x2

 �; 2  .

y f�
 x
có đạo hàm liên tục trên �. Đồ thị hàm số

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
B.

 2; 2  .

C.

 2; 4  .

D.

 2; � .

Lời giải
11

Ta có

g�
 x  2 f �
 x  2x � g�
 x  0 � f �
 x   x.

Số nghiệm của phương trình

y f�
 x

g�
 x  0

chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

và đường thẳng d : y  x (như hình vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị, suy ra
Lập bảng biến thiên

x  2
�
�
g�
 x   0 � �x  2 .
�
x4

�

� hàm số g  x  đồng biến trên  2; 2  và  4; � . So sánh 4 đáp án Chọn B
g�
 x  2 f �
 x   x  theo nguyên tắc: trong khoảng
Lưu ý: Ta xác định được dấu của

 x  0 .
(a; b) đồ thị hàm số f '( x) nằm phía trên đường thẳng y  x thì g �
Ví dụ 3. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An năm 2018-2019) Cho hàm số
xét dấu của đạo hàm như sau :

Hàm số
A.

y  2 f  1  x   x2  1  x

 �;1 .

B.

f  x

có bảng

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

 �; 2  .

C.

 2;0  .

D.

 3; 2  .

Lời giải

Ta có :

y '  2 f '  1  x  

x
x2  1

 1  2 f '  1  x  

x  x2 1
x2 1
12


x  x2  1
x2  1

Vì

 0, x �R.

1 �1  x �3 �
2 �x �0
�
2 f '  1  x  �0 � f '  1  x  �0 � �
��
1  x �4
x �3
�
�
Nên ta tìm khoảng để :
.
So sánh các đáp án, chọn C.
3. Dạng 3.
Cho hàm y  f (u ( x)) hoặc hàm y  f '(u ( x)) xét sự biến thiên của hàm y  f ( x ) .
Phương pháp: Giả sử ta có: f '(u ( x))  0 � x �D . Ta cần giải BPT f '( x)  0 .
- Đặt t  u ( x) � x  v(t )
- Giải BPT: f '(t )  0 � f '(u ( x))  0 � x �D � x  v(t ) �D � t �D ' .
- Vậy f '( x)  0 � x �D '
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên �. Hàm số y  f '(3 x  1) có đồ thị như
hình vẽ:

Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

 2;6  .

B.

 �; 7  .

C.

 �; 6  .

D.

1�
�
��;  �
3 �.
�
Lời giải
Ta cần giải BPT dạng f '( x)  0 .
x  2
�
f '(3 x  1)  0 � �
1 x  2
�
Ta có
Đặt

t  3x 1 � x 

t 1
3

t 1
�
 2

�
x  2
t  7
�
�
3
f '(t )  0 � f '(3 x  1)  0 � �
��
��
1 x  2
t 1
2t 5
�
�
�
1
2
�
� 3
Do đó:
13


x  7
�
f '( x)  0 � �
2  x  5 . Chọn đáp án B.
�
Vậy
Nhận xét: Dạng 1 cho hàm y  f ( x) tìm sự đơn điệu của hàm y  f (u ( x)) có bước tính

đạo hàm của hàm y  f (u ( x)) nhưng Dạng 3 cho hàm y  f (u ( x)) không có bước tính
đạo hàm của hàm y  f ( x) .
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên �. Hàm số y  f '(2  x) bảng xét dấu
như sau:

Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (�;0) .

B. (�;1) .

C. (2; �) .

D. (0;2) .

Lời giải
x  1
�
f '(2  x)  0 � �
x  2 . Đặt t  2  x � x  2  t
�
Ta có

Khi đó

x  1 �
2  t  1 �
t3
�
f '(t )  0 � f '(2  x )  0 � �
��

��
x2
2t  2
t0
�
�
�

x3
�
f '( x )  0 � �
x  0 . Chọn đáp án A
�
Vậy
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f ( x) có liên tục trên �. Hàm số y  f (3  4 x ) đồ thị như
sau :

Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (7;1) .

B. (�; 1) .

C. (7; �) .

D. (1;6) .

Lời giải
Từ đồ thị ta suy ra f '(3  4 x)  0 � 1  x  1 .

14

Đặt

t  3  4x � x 

3t
4 .

Khi đó f '(t )  0 � f '(3  4 x)  0 � 1  x  1 � 1  3  4t  1 � 1  t  7
Vậy f '(t )  0 � 1  t  7 hay : f '( x )  0 � 1  x  7 . Chọn đáp án D.
7�
�
f�
2 x  � 3 x 2  12 x  9
�
y  f ( x) có
2�
�
. Hàm số y  f ( x)
Ví dụ 4. Cho hàm số

nghịch biến trên khoảng nào sau đây.

�1 9 �
�; �
A. �4 4 �.

� 5 3�
 ; �

�
2 2 �.
�
C.

�9
�
� ; ��
�
B. �4
.

D.

5�
�
�;  �
�
2 �.
�
Lời giải
( x)  0 .
Ta cần giải bất phương trình f �

7�
7�
�
�
f�
2 x  � 3 x 2  12 x  9 � f �

2 x  � 0 � 3 x 2  12 x  9 � 1  x  3
�
�
2�
2�
�
Từ �
.
Đặt

t  2 x 

7
7  2t
7  2t
5
3
�x
f�
3�  t 
 t  0 � 1
2
4 . Khi đó ta có
4
2
2.

Vậy hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng

� 5 3�

 ; �
�
� 2 2 �. Chọn C.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Cho hàm số

y  f  x

như hình vẽ. Hàm số

A.

y  f  x

 �;8 .
y  f  x

nghịch trên khoảng nào?

�7
�
 ; ��
�
�.
B. � 3

Bài 2. Cho hàm số
số

y f�
 3x  5 
có đạo hàm liên tục trên �. Đồ thị hàm số

y  f  x

có đồ thị hàm số

�4
�
� ; ��
�.
C. �3
y f�
 2  x

D.

 �;10  .

như hình vẽ bên. Hỏi hàm

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

15


A.

 2; 4  .

B.

Bài 3. Cho hàm số
bên dưới.

Hàm số
A.

y  f  x

g  x  f  x 

 1;3 .

C.

 2;0  .

D.

 0;1 .

y f�
 x  như hình vẽ
có đạo hàm trên �. Đồ thị hàm số

x3
 x2  x  2
3

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

 1;0  .

B.

 0; 2  .

C.

 1; 2  .

Bài 4. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số
đồ thị như hình bên. Hàm số

y  f  2  x
y

y  f  x

D.
. Hàm số

 0;1 .

y f�
 x

có

đồng biến trên khoảng:
y f�
 x

1
O

A.

 1;3 .

B.

 2; � .

1

4 x

C.

 2;1 .

Bài 5. (Sở GD&ĐT Nam Định năm 2018-2019) Cho hàm số
đạo hàm

f�
 x

thỏa mãn

f�
 x    1  x   x  2  g  x   2018

số

y  f  1  x   2018 x  2019

A.

 1; � .

f  x
với

D.

 �; 2  .

liên tục trên � và có

g  x   0, x ��
. Hàm

nghịch biến trên khoảng nào?

B.

 0;3 .

C.

 �;3 .

Bài 6. (Chuyên Lê Quý Đôn- Điện Biên năm 2018-2019) Cho hàm số
xét dấu đạo hàm như sau:

D.

 4; � .

y  f  x

có bảng

16


Hàm số
A.

y  f  x2  2

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

 2; 1 .

B.

 2; � .

C.

 0;2  .

D.

 1;0 .

D.

 2; 1 .

( x ) có bảng xét dấu như sau:
Bài 7. Cho hàm số f �

Hàm số
A.

y  f  x2  2 x 

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

 2;1 .

B.

 4; 3 .

C.

Bài 8. ( Sở Hà Nội năm 2018-2019) Cho hàm số bậc ba
đồ thị như hình vẽ.

Hàm số
A.



g x  f  x  x2

 2; 1 .



 0;1 .
y  f  x

, hàm số

y  f�
 x

có

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

 1;2 .

C.

 1;0 .

�1 �
 ;0�
�
2 �
�
D.

Bài 9. Cho hàm số f ( x) . Biết hàm số f '( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số

y  f (3  x 2 )  2018 đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A. 

1; 0 

.

B.

 2;3

C.

 2; 1 .

D.

 0;1 .
17


Bài 10. Cho hàm số
hàm số

f  x

y f�
 x  có đồ thị như hình vẽ. Xét
liên tục trên �, hàm số

h  x   2 f  3x  1  9 x 2  6 x  4

. Hãy chọn khẳng định đúng:

� 1�
1; �
�
h  x
3 �.
�
B. Hàm số
nghịch biến trên

A. Hàm số

h  x

nghịch biến trên �.

C. Hàm số

h  x

� 1�
1; �
�
h  x
đồng biến trên � 3 �. D. Hàm số
đồng biến trên �.

Bài 11. (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Cho hai hàm số
hàm số

y  f ' x

và

y  g ' x

y  f  x

và

y  g  x

. Hai

có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm

� 9�
h  x  f  x  7  g �
2x  �
y  g ' x
2 �đồng biến trên
�
hơn là đồ thị hàm số
. Hàm số
khoảng nào dưới đây?

� 16 �
2; �
�
5�
�
A.
.

�3 �
 ;0�
�
4 �.
�
B.

16
�

�
� ; ��
�.
C. �5

� 13 �
3; �
�
4 �.
�
D.

Bài 12. ( Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2018-2019) Cho hàm số f (x) có bảng xét
dấu đạo hàm như sau:

18


3
Hàm số y  f (3x  1)  x  3x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

�3 �
� ;1�
A. �4 �
.

�2 �
� ;1�
B. �3 �.

�1 1�
�; �
C. �4 3�.

1�
�
1;  �
�
3�
D. �
.

2
y  f  2 x  1  x3  8 x  2019
3
Bài 13. Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 1; �

B.

� 1�
1; �
�
2�
�
C.

 �; 2 

Bài 14. (Chuyên VP lần 02 năm 2018-2019) Cho hàm số
hình vẽ

D.

y  f  x

có đồ thị

 1;7 
f�
 x

như

x2
y  f  1 x   x
2
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.

 2; 0  .

B.

 3; 1 .

C.

 3;� .

Bài 15. (Chuyên Quốc Học Huế năm 2018-2019) Cho hàm số
là

f�
 x    x  1  x  3

 10; 20

để hàm số

f  x

 1; 3 .

có đạo hàm trên R

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

y  f  x 2  3x  m 

A. 18
Bài 16. Cho hàm số

D.

đồng biến trên khoảng

B. 17

f  x

có đồ thị của hàm số

 0; 2  ?

C. 16

y  f�
 x  2  2

D. 20
như hình vẽ.

19


Hỏi hàm số
A.

y  f  x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

 1;1 .

B.

�3 5 �
�2 ; 2 �
C. � �.

 �;2 .

D.

 2; � .

Đáp án
1
A
9
A

2C

3D

4C

5
D

6C

7D

8

10
C

11
B

12
C

13

14
A

15
A

16
A

20


II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Dạng 1.
Cho hàm y  f ( x) hoặc hàm y  f '( x) tìm cực trị của hàm g ( x)  f (u ( x)) .
Phương pháp:

-

Tính đạo hàm g '( x)  f '(u ( x)).u '( x)

-

Tìm số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình g '( x)  0 � f '(u ( x)).u '( x)  0 .

-

Nếu cần có thể xét dấu g '( x) .
Ví dụ 1. Cho hàm số
y  f  x 2  8x 

y  f  x

có đạo hàm

f�
 x   x2  2x

, x ��. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 2 .

Lời giải
Ta có:

f�
 x   x2  2x  x  x  2

và

y�
  2 x  8 . f �
 x  8x   2  x  4   x 2  8x   x 2  8x  2 
2

�
x4
�
x0
�
�
� x 8
x40
�
�
�2
�
x  43 2
��

x  8x  0
�
2
�
x  8x  2  0
�
x  43 2 .
� y�
0
�
�
Bảng xét dấu y�như sau:

y  f  x2  8x 
Vậy hàm số
có 5 điểm cực trị. Chọn C.
Lưu ý: Ví dụ trên đề bài yêu cầu tìm số điểm cực trị nên ta có thể không cần lập bảng xét
dấu y ' . Nhưng nếu yêu cầu tìm số cực đại hay cực tiểu thì ta phải lập bảng xét dấu ( hay

BBT).
Ví dụ 2. Cho hàm số

Hỏi hàm số
A. 4 .

y  f  x

y  f  x2  2 x 

f �x

có đạo hàm trên � và có bảng xét dấu   như sau

có bao nhiêu điểm cực tiểu?
C. 3 .

B. 2 .

D. 1 .

Lời giải
21


Đặt

g  x   f  x2  2x 

. Ta có

g�
 x    2 x  2 f �
 x2  2x 

.

2
2
Ta có: f '( x  2 x) �0 � 2 �x  2 x �3 � 1 �x �3

Bảng xét dấu g '( x)

Vậy hàm số có đúng điểm cực tiểu là x  1 . Chọn D.
Ví dụ 3. ( Đề THPTQG năm 2019- mã 120). Cho hàm số f ( x) , bảng biến thiên của
hàm f '( x) như sau:

2
Số điểm cực trị của hàm số f (4 x  4 x) là

A. 7 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 9 .

Lời giải

8x  4  0
�
y  f (4 x 2  4 x) � y '  (8 x  4). f '(4 x 2  4 x) � y '  0 � �
2
�f '(4 x  4 x)  0
Ta có
1
�
x
�
2
� 2

4 x  4 x  a1 � �; 1 (1)
�
� 2
��
4 x  4 x  a2 � 1;0  (2)
�
4 x 2  4 x  a3 � 0;1
(3)
�
�
4 x 2  4 x  a4 � 1; � (4)
�
�
2
2
Ta có: 4 x  4 x  (2 x  1)  1 �1

Do đó (1) vô nghiệm, các phương trình (2), (3), (4) mỗi phương trình cho hai nghiệm .
Các nghiệm này khác nhau và khác
số có 7 cực trị. Đáp án A.



1
2 . Tóm lại y '  0 có 7 nghiệm phân biệt. Nên hàm

22


y = f ( x)

Ví dụ 4. Cho hàm số

có đạo hàm

f '( x) = ( x 2 - x) ( x 2 - 4 x + 3) , " x ��.
g ( x ) = f ( x + m)

Tính

2

tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
trị.
A. 0 .

B. 6 .

có 3 điểm cực

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải
�
x =0
�
f '( x) = x ( x - 1) ( x - 3) ; f ' ( x) = 0 � �
x =1

�
�
x = 3 x = 0, x = 3
�
Ta có
(
là nghiệm đơn; x = 1 là
nghiệm bội chẵn).
2

Lại có
�
x =0
�
x =0
�
�
�
�
x 2 =- m
x =0
x2 + m = 0 �
�
2
�
�
g '( x ) = 2 x. f '( x + m) � g '( x ) = 0 � � 2
� 2
� �2
f '( x + m) = 0 �

x = 1- m
x
+
m
=
1
�
�
�
�
�2
�2
�
x +m = 3 �
x = 3- m
�
�
Do

( 1)
( 2)
( 3)

( 2) có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình ( 1) , ( 3) không có nghiệm

chung và - m < 3 - m.
Hàm số

g ( x)

có 3 điểm cực trị

�
- m �0
�
��<
�
�
3- m > 0
�
Vì

0

m

Ví dụ 4. Cho hàm số
y  f  x

có ba nghiệm bội lẻ

3
.

m ��� m �{ 0;1; 2}

hàm số

� g '( x) = 0

.Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m bằng 3. Chọn C.

y  f  x

có đạo hàm

f�
 x

trên khoảng

 �; � . Đồ thị của

như hình vẽ

y   f  x 

Đồ thị của hàm số
nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

2

có bao

A. 2 cực đại, 3 cực tiểu.
B. 3 cực

đại,

2 cực tiểu.

C. 1 cực đại, 2 cực tiểu.

D. 1 cực đại, 1 cực tiểu.
Lời giải

x ;x
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đạt tại x  1 , đạt cực tiểu tại 1 2 từ đó có BBT

23


Ta có:

y   f  x 

2

�f  x   0
��
 x  0 .
� y�
 2 f  x . f �
 x   0 �f �

Quan sát đồ thị và BBT ta có
và

x2 � 1;3

Ta có:

x0
�
f  x  0 � �
x 1
�
�
x3
�

và

x  x1
�
�
f�
 x   0 � �x  1
�
x  x2
�

với

x1 � 0;1

.

f  x   0 � x � �;0  � 3; �

và

f�
 x   0 � x � x1;1 � x2 ; �

Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số

y   f  x 

2

:

Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Chọn đáp án A.
Ví dụ 5. (Ngô Sỹ Liên- Bắc Giang năm 2018-2019) Cho hàm số
( x) như hình vẽ
có đồ thị hàm f �

f  x

liên tục trên � và

-1

Hàm số
A. 5

y  f  x  2   2019

có bao nhiêu điểm cực trị.
B. 6

C. 7

D. 9

Lời giải

24