SKKN cách tính tổng một số dãy số, dãy phân số viết theo quy luật

SKKN Cách tính tổng một số dãy số,
dãy phân số viết theo quy luật

I. Lời giới thiệu:
Toán học là một môn khoa học tự nhiên, điều quan trọng nhà tr ường c ần
trang bị cho học sinh tiềm lực kiến thức khoa học, phương pháp tự nghiên
cứu để chiếm lĩnh lấy tri thức.
Mỗi thầy giáo, cô giáo làm cho học sinh có hứng thú trong h ọc t ập b ộ môn
và rèn cho các em có kỹ năng giải bài tập toán thành th ạo, hi ệu quả nh ất.
Để đạt được mục đích trên, mỗi giáo viên ngoài việc đổi mới ph ương pháp
dạy học theo đặc trưng bộ môn, cần tìm hiểu thêm v ề các d ạng bài t ập
toán, cách giải các dạng bài tập này và việc h ướng dẫn cho h ọc sinh n ắm
được cách giải các dạng bài tập.
Ở trường THCS (trung học cơ sở) hiện nay vẫn còn một số học sinh không
có ý thức tự giác học tập, chưa say mê học môn toán. Th ực tế toán h ọc là
một môn học rất khó, lượng kiến thức tương đối nhiều trong m ột gi ờ lên
lớp, mà quá trình giải bài tập ở nhà của học sinh lại càng khó khăn. Chúng
ta còn thấy nhiều kiểu dạng bài tập có những cách giải khác nhau song
vẫn đến một đáp số duy nhất. Mặt khác có nh ững h ọc sinh không ch ịu đào
sâu suy nghĩ còn theo lối học vẹt, học qua lý thuyết b ước vào gi ải bài t ập
ngay nên kết quả đáp số bài toán sai. Vì vậy dẫn đến các em có t ư t ưởng
chán nản, ngại học toán. Hơn nữa một số em lại thiếu sách giáo khoa, nh ất
là sách bài tập và sách tham khảo nên quá trình th ực hành giải bài t ập toán


của các em đạt hiệu quả chưa cao so với yêu cầu bộ môn cũng nh ư yêu
cầu của giáo viên đề ra.
Trong chương trình toán 6 xuất hiện nhiều bài toán có liên quan đ ến tính
tổng một dãy số viết theo quy luật mà đối với học sinh trung bình khó có
thể làm được. Khi gặp những bài toán này học sinh thường lúng túng
không biết cách giải nên ngại học, lười suy nghĩ vì các em ch ưa có ph ương

pháp giải thích hợp. Chính vì vậy giáo viên cần đưa ra nh ững d ạng toán t ừ
đơn giản đến phức tạp và một phương pháp giải phù h ợp v ới t ừng dạng
toán.
Trong chương trình giảng dạy tôi đã tìm ra cách giải các bài toán tính tổng
dãy số viết theo qui luật giúp học sinh có ph ương pháp gi ải m ột cách
nhanh chóng, thích hợp.Từ đó giúp học sinh có hứng thú h ọc toán. Chính vì
thế tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “ Cách tính tổng một số dãy số, dãy phân
số viết theo quy luật” rất mong được các đồng nghiệp tham khảo góp ý.
II.Nội dung
Đa số học sinh nhận thức được tầm quan trọng của môn Toán nên r ất say
sưa hứng thú khi học dạng toán tính tổng một dãy s ố viết theo quy lu ật.
Một vài học sinh còn tự nghiên cứa tìm ra cách giải những bài toán đ ơn
giản của dạng toán này.
Bên cạnh đó một số học sinh lười học, nhận thức chậm ch ưa bi ết cách
làm nên rất dễ mắc nhưng sai lầm cơ bản như:
- Không tìm ra được quy luật của dãy số, dãy phân số.
- Tìm sai quy luật đối với những dãy số, dãy phân số có ch ứa luỹ th ừa v ới
số mũ tự nhiên.
- Thực hiện tính tổng dãy số theo thứ tự thực hiện phép tính.


Nhiều giáo viên rất yêu nghề, nhiệt tình, có tinh thần trách nghiệm cao
trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Trong quá trình giảng dạy giáo viên đã hệ thống được m ột số d ạng toán
cơ bản trong cách tính tổng một dãy số viết theo quy luật.
Giáo viên đã truyền đạt được cách làm các dạng toán đó t ới các h ọc sinh.
Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy có thể giáo viên còn ch ưa quan tâm
được hết tới các đối tượng học sinh nhất là đối với học sinh trung bình.
Giáo viên chưa dạy kĩ cách làm các dạng toán cơ bản mà l ại cho h ọc sinh
làm bài tập áp dụng ngay nên có thể nhiều học sinh khi ki ểm tra đánh giá

không đạt yêu cầu đề ra.
1. Cách tính tổng các dãy số viết theo quy luật:
Như ta đã biết có rất nhiều dạng dãy số viết theo quy lu ật, đ ể tính t ổng
một dãy số viết theo quy luật có thể có nhiều cách giải. Dưới đây là m ột s ố
bài toán tínhtổng dãy số viết theo quy luật.
1.1.Dạng 1:
Bài

1:

Tính

các

tổng

sau
1. A = 1 + 2

+ 22 + 23 + … + 210
2. B = 1 + 3 + 32 + … + 3100
Giải
1. Nhân cả 2 vế của A với 2 ta được:
2A = 2 + 22 + … + 211.
Khi đó: 2A - A = A = 211 - 1
2. Nhân 2 vế của B với 3 ta được:


3B = 3 + 32 + … + 3101.
Khi đó: 3B - B = 2B = 3101 - 1

Vậy B = (3101 - 1) : 2
Tổng quát: Tính tổng S = 1 + a + a 2 + … + an, với a > 1 và a, n thuộc Z +( tập
hợp số nguyên dương)
Nhân hai vế của S với a ta có a S = a + a2 + … + an+1. rồi trừ cho S ta được:
a.S - S = ( a - 1 )S = an+1 - 1. Vậy: 1 + a + a2 + … + an = (an+1 - 1) : 2
Từ đó ta có công thức: an+1 - 1 = ( a - 1 )( 1 + a + a2 + … + an )
Bài tập áp dụng:
1. Tính các tổng sau:
1. A = 1 + 7 + … + 72013
2. B = 1 + 4 + … + 4100
2. Chứng minh rằng:
a. 1414 - 1 chia hết cho 13
b. 20122013 - 1 chia hết cho 2012
Bài 2: Tính các tổng sau:
1. A= 1 + 32 + 34 + … + 3100
2. B = 7 + 73 + ... + 799
Giải
1. A= 1 + 32 + … + 3100. Vấn đề đăt ra là nhân hai vế của A với số nào để khi
trừ cho A thì một loạt các luỹ thừa bị triệt tiêu? Ta thấy các số mũ liền
nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân 2 vế với 3 2 rồi trừ cho A ta được:


32.A – A= 3102 - 1 hay A. ( 32 - 1) = 3102 - 1.
Vậy A =( 3102 - 1) : 8
Từ kết quả này ta có thể suy ra: 3102 - 1 chia hết cho 8
2. Tương tự như trên ta nhân hai vế của B với 72 rồi trừ cho B ta được:
B = ( 7101 - 7 ) : 48
Tương tự như trên ta suy ra: 7101 – 7 chia hết cho 48
Tổng quát: Tính S1 = 1 + a2 + a4 + … + a2n = (a2n + 2 - 1) : (a2 - 1)
S2 = a + a3 + a5 + … + a2n+1 = (a2n + 3 - a) : (a2 - 1)

Bài tập áp dụng: Tính các tổng sau:
A = 2 + 23 + 25 + … + 22010
B = 1 + 22 + 24 + … + 22010
C = 13 + 133 + … + 1399
Bài tập khác: Chứng minh rằng:
1. A = 2 + 22 + … + 260 chia hết cho 31 và 15
2. B = 5 + 52 + … + 512 chia hết cho 30 và 31
1.2.Dạng 2:
Bài 1. Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + … + 9.10
Lời giải 1
Nhận xét: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân hai
vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được:
3A

= 3.(1.2+2.3+…+9.10)

= 1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+…+9.10.(11-8)


= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + … + 9.10.11
= 9.10.11
= 990
A = 990: 3 =330.
Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11 trong đó 9.10 là số h ạng cu ối cùng c ủa
A và 11 là số tự nhiên liền sau của 10, tạo thành tích 3 số tự nhiên liên
tiếp. Ta có kết quả tổng quát sau:
A = 1.2 + 2.3 + … + ( n - 1).n = ( n - 1).n.(n + 1): 3
Lời giải 2
3A = 3.(1.2 + 2.3 + … + 9.10)
= 3.(0.1 + 1.2 + … + 9.10

= [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3
= 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 + 9.9.2)
= (12 + 32 + 52 + … + 92).2.3
= (12 + 32 + … + 92).6
= 990
= 9.10.11
Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đ ầu t ừ
1,nhưng liên hệ với lời giải 1,ta có:
(12 + 32 + … + 92).6 = 9.10.11
hay (12 + 32 + … + 92) = 9.10.11 : 6
Ta có kết quả tổng quát:
P = 12 + 32 + … + (2n+1)2 = (2n+1)(2n+2)(2n+3) : 6


Bài tập áp dụng: Tính các tổng sau:
1. P = 12 + 32 + … + 992
2. Q = 112 + 132 + … + 20112
3. M = 1.2 + 2.3 + … + 99.100
Bài 2: Cho A = 1.2 + 2.3 + … + 9.10
C = A + 10.11.Tính giá trị của C
Giải
Theo cách tính A của bài toán 1 ta được kết quả là: C = 10.11.12: 3
Theo cách giải 2 của bài toán 1 ta lại có :
C = ( 1.2 + 2.3) + … + ( 9.10+10.11)
= 2.(1 + 3) + 4.(3 + 5) + … + 10(9 + 11)
= 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20
= 2.2 + 2.4.4 + … + 2.10.10
= 2.( 22 + 42 + … + 102)
Vậy C = 10.11.12: 3.
Từ đó ta có: 22 + 42 + … + 102 = 10.11.12: 6

Ta có kết quả tổng quát là: 22 + 42 + … + ( 2n )2 = 2n.( 2n+1 ).(2n+2): 6
Bài tập áp dụng:
1. Tính tổng: 202 + 222 + … + 502
2. Cho n là số tự nhiên.Tính tổng: n2 + ( n+2 )2 + ( n+4)2 + … + (n+100)2
3. Tính tổng: 1.2 + 2.3 + ... +999.1000


Bài 3. Tính: A = 1.3 + 3.5 + … + 97.99
Giải
Nhận xét: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2, ta nhân 2
vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được:
6A

= 1.3.6 + 3.5.6 + … + 97.99.6

= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7.(9 - 3) + … + 97.99.(101 - 95)
= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + … + 97.99.101 - 95.97.99
= 3 + 97.99.101
A = (1 + 97.33.101): 2
= 161651
1.3.Dạng 3:
Bài 1:Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 8.9.10
Giải
Ta nhân hai vế của A với số 4 lần khoảng cách.
4A

= 1.2.3.4 + 2.3.4 + … + 8.9.10.4

= 1.2.3.(4 - 0) + 2.3.4.(5 - 1) + … + 8.9.10.(11 - 7)
= 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + … + 8.9.10.11

A = 8.9.10.11:4 = 1980
Từ đó ta có kết quả tổng quát:
A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n-1).n.(n+1) = (n-1).n.(n+1).(n+2): 4
Bài 2: Tính: A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 95.97.99
Giải


8A

= 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + … + 95.97.99.8

= 1.3.5.(7 + 1) + 3.5.7.(9 - 1) + … + 95.97.99.(101 - 93)
= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99
= 15 + 95.97.99.101
A = 11517600
1.4. Dạng 4:
Tính tổng S = 13 + 23 + 33 + … + n3
Giải
Trước hết ta chứng minh 1 kết quả sau đây: Với n là số t ự nhiên thì ta có:
n3 - n = (n - 1)n(n + 1). Thật vậy: n3 - n = n(n2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)
Áp dụng kết quả trên để tính S:
S = 13 - 1 + 23 - 2 + … + n3 - n + (1 + 2 + 3 + … + n)
= 0 + 2.(22 - 1) + 3(32 - 1) + … + n.(n2 - 1) + (1 + 2 + 3 + … + n)
= 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) + (1 + 2 + 3 + … + n)
S = (n - 1)n(n + 1)(n + 2): 4 + n(n + 1) : 2
= [n(n + 1) : 2]2
Nhận xét:Vì n(n + 1) : 2 = 1 + 2 + 3 + … + n nên ta có k ết qu ả r ất quan
trọng sau đây:
13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2
1.5.Dạng 5:

Trong dạng bài toán này ta không nhân A với một số mà tách ngay một
thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các dãy số mà ta bi ết cách tính
hoặc dễ dàng tính được.


Bài 1: Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 +…+ 99.100.101
Giải
A = 1.3. (5 - 3) + 3.5. (7 - 3) + … + 99.101, (103 - 3)
= (1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 +…+ 99.101.3 )
= ( 15 + 99.101.103.105 ) : 8 - 3.(1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101)
= 13517400 – 3.171650
= 13002450
Bài 2 : Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 +…+ 99.1002
Giải
A = 1.2.(3 - 1) + 2.3. (4 - 1) + … + 99.100 . (101 - 1)
= 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + … + 99.100.101 - 99.100
= ( 1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100 .101) – ( 1.2 + 2.3 + … + 99.100)
= 25497450- 333300
= 25164150
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tính A = 1.32 + 3.52 + 5.72 + …. + 97.992
Bài 2: Tính B = 1.3.5 - 3.5.7 + 5.7.9 - 7.9.11 + … - 97.99.101
2. Cách tính tổng các dãy phân số viết theo quy luật.
2.1.Dạng 1:
Bài 1: Tính nhanh:
A=


Giải:
Nhân cả hai vế với 2

Ta có: 2A = 1+

(1)

A=

(2)

Lấy (1) trừ (2) ta được A = 1-

=

Bài 2: Tính nhanh:
B=

Giải :
Nhân cả hai vế với 3. Ta có:
3B = 1+

(1)

B=

(2)

Lấy (1) trừ (2) ta được B = (1-

:2=

Tổng quát : Tính nhanh:

A=

(n

,a

)


Nhân cả hai vế với a ta được
a.A = 1+

(1)

A=

(2)

Lấy (1) trừ (2) ta được
A = (1-

Bài tập áp dụng :
Bài 1:Tính nhanh:
a) A =

b) B =

Bài 2: Bài tập mở rộng
Chứng minh rằng:
a) A =

<1

b) B =

<

c) C =

<


2.2.Dạng 2:
Bài 1: Tính nhanh :
A=

Giải
Nhận xét :

…………

Do đó : A =

=

=

=

Tổng quát : Tính nhanh

A=

(

A=

A=

A=

Bài 2: Tính nhanh:
B=

Giải:
Nhận xét :

…………..

Do đó
B=


=

)

=

=

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tính nhanh:
a)

b)

Bài 2: Tìm x biết :
a)

b)

=

2.5.Dạng 5:
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức có sử dụng cách tính t ổng các
phân số viết theo quy luật.
Bài 1:
Cho A =


Chứng minh rằng:
a) A >

b) A >

Giải:
a) Tách A thành 2 nhóm, mỗi nhóm có 50 phân số, r ồi thay m ỗi phân s ố
trong từng nhóm bằng phân số nhỏ nhất trong nhóm ấy, ta được:

A=

>

b) Tách A thành 4 nhóm rồi cũng làm như trên, ta được:
A>

>

Bài 2:
Cho A =

.

Chứng minh rằng: A <

Giải:
Giữ nguyên phân số

hơn, ta có:

, còn các phân số sau thay bằng các phân số lớn


A<

Dễ dàng tính được:
B=

Do đó: A <

<

Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Chứng minh rằng:
<

Bài 2:
Chứng minh rằng: