SKKN phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn

SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải

MỤC LỤC

Trang

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

2

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

4

1.1. Bảng công thức tính nguyên hàm cơ bản

4

1.2. Định nghĩa

4

1.3. Tính chất của tích phân

4

1.4. Một số phương pháp tính tích phân

5

1.4.1. Phương pháp đổi biến số

5

1.4.2. Phương pháp tích phân từng phần

5

1.5. Ứng dụng của tích phân

5

1.5.1. Tính diện tích hình phẳng

5

1.5.2. Thể tích vật thể

6

PHẦN 2: NỘI DUNG

7

2.1. Tính tích phân hàm ẩn dựa vào các tính chất cơ bản

7

2.1.1. Phương pháp giải

7

2.1.2 Bài tập áp dụng

7

2.1.3. Bài tập tự luyện

10

2.2. Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến

11

2.2.1. Phương pháp giải

11

2.2.2. Bài tập áp dụng

12

2.2.3. Bài tập tự luyện

15

2.3. Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp tích phân từng phần

16

2.3.1. Phương pháp giải

16

2.3.2. Bài tập áp dụng

16

2.3.3. Bài tập tự luyện

20

2.4. Sử dụng một số tính chất đặc biệt để tính tích phân hàm ẩn

21

2.4.1. Tính chất 2.4.1

21

2.4.2. Tính chất 2.4.2

22

2.4.3. Tính chất 2.4.3

23

2.4.4. Tính chất 2.4.4

24

1


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
2.5. Sử dụng các giả thiết có sẵn để xác định hàm ẩn

24

2.6. Bài tập tự luyện tổng hợp đánh giá kết quả học sinh

26

2


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải

1. Lý do chọn đề tài
Nguyên hàm, tích phân là hai khái niệm cơ bản, rất quan trọng của giải tích, có
liên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm. Phép tính tích phân cho chúng ta một phương
pháp tổng quát để tính diện tích của những hình phẳng và thể tích của những vật thể có
hình dạng phức tạp. Những năm gần đây Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đổi mới hình thức
thi tự luận sang trắc nghiệm, nên hầu hết các bài toán tích phân có thể làm được nhờ máy
tính bỏ túi. Xuất phát từ những lý do trên thôi thúc tôi tìm hiểu những dạng toán tích
phân sao cho khi giải không dùng được ngay máy tính bỏ túi mà phải nắm được phương
pháp giải các dạng toán tích phân thì mới giải quyết được bài toán.
Thống kê thi THPT Quốc gia các năm gần đây. Số Bài hỏi có nội dung liên quan tới tích
phân
Năm

2017

2018

2019

Mã đề

101

102

103

101

102

103

101

102

103

Số Bài hỏi

3

3

3

5

5

5

5

5

5

Hệ thống câu hỏi trong đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần. Các câu liên quan tới tích
phân trong đề thường hỏi dạng hàm số dưới dấu tích phân là hàm số ẩn và ứng dụng của
tích phân. Với tất cả lý do trên tôi mạnh dạn viết sáng kiến với tiêu đề: Phương pháp giải
một số bài toán tích phân hàm ẩn.
2. Tên sáng kiến:
Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Trần Đức Hải
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2 – Tam Đảo – Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0982 358 268; E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Là bản thân tác giả

3

SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán về hàm ẩn
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Ngày 10 tháng 2 năm 2020
7. Mô tả bản chất của sáng kiến: Sáng kiến gồm 2 phần:
Phần 1: Kiến thức cơ sở; Phần 2: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn.

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Bảng công thức nguyên hàm thường gặp
1)

∫ dx = x + C

2)

xα + 1
∫ x dx = α + 1 + C , ( α ≠ −1)

3)

∫ x dx = ln x + C

4)

6) ∫ cos x.dx = sin x + C

α

7) ∫ sin x.dx = − cos x + C

1

∫ e dx = e
x

x

8)

+C

9)

x

a
+ C , ( a > 0, a ≠ 1)
5) ∫ a dx =
ln a
x

1

∫ cos
1

∫ sin

2

x

2

x

.dx = tan x + C

.dx = − cot x + C

1.2. Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F ( x ) là một nguyên
hàm của f ( x ) trên [a; b]. Hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích
b

phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), kí hiệu là

∫ f ( x)dx.
a

1.3. Tính chất của tích phân
a

1.

∫ f ( x)dx = 0

2.

a

3.

b

c

c

a

b

a

∫ f ( x)dx +∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c

b

a

a

b

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b

b

a

a

4. ∫ k . f ( x)dx = k .∫ f ( x )dx (k ∈ ¡ )

)

b

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a

5. ∫ [ f ( x ) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . 6. ∫ [ f ( x ) − g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx −∫ g ( x)dx .

4


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
1.4. Một số phương pháp tính tích phân
1.4.1. Phương pháp đổi biến số
Định lý 1.1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo
hàm và liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọi
t ∈ [α ; β ].

b

Khi đó:

∫
a

β

f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt.
α

Định lý 1.2: Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f ( u ) liên tục
sao cho hàm hợp f u ( x )  xác định trên K; a, b là 2 số thuộc K. Khi đó

b

∫
a

f u ( x )  u ′ ( x ) dx =

u( b)

∫ f ( u ) du

u( a)

1.4.2. Phương pháp tích phân từng phần
Định lí 1.3 : Nếu u = u ( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[a; b] thì
b

b

∫ u( x)v '( x)dx = ( u( x)v( x) ) a − ∫ u '( x)v( x)dx ,
b

a

b

b

a

a

hay viết

gọn là

a

b
∫ udv = uv |a −∫ vdu

1.5. Ứng dụng của tích phân
1.5.1. Tính diện tích hình phẳng
Bài toán 1.1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Gọi H là miền phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b thì diện tích
b

miền phẳng H được tính theo công thức S = ∫ f ( x) dx
a

y
y = f (x)

O a c1

c2

c3 b x

 y = f (x)

y = 0
(H ) 
x = a

x = b

5

b

S = ∫ f ( x ) dx
a


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
Bài toán 1.2: Cho hàm số y = f1 ( x) và y = f 2 ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Gọi H là miền
phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó hai đường thẳng x = a , x = b thì diện tích miền
b

phẳng H được tính theo công thức S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x) dx
a

y

(C1): y = f1(x)

(C ): y = f2 (x)
(H )  2

x = a
x = b


(C1)
(C2 )

b

O

c2 b

a c1

S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx

x

a

1.5.2. Thể tích vật thể
1.5.2.1. Thể tích của vật thể
Bài toán 1.3: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
các điểm a và b; S ( x ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc
với trục Ox tại điểm x ( a ≤ x ≤ b ) . Giả sử S ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . Khi
b

đó, thể tích của vật thể B được tính theo công thức V = ∫ S ( x)dx
a

(V )
O

x

a

b

b

x

V = ∫ S ( x )dx
a

S(x)

1.5.2.2. Thể tích khối tròn xoay
Bài toán 1.4: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox và
hai đường thẳng x = a , x = b

( a < b ) quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn
b

xoay. Khi đó thể tích của nó được tính theo công thức V = π ∫  f ( x )  dx
a

6

2


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
y
y = f (x)

O

a

b

(C ): y = f (x)

b
2
(Ox): y = 0
Vx = π ∫ [ f ( x )] dx

x x = a
a
 x = b

PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN
2.1. Tính tích phân hàm ẩn dựa vào các tính chất cơ bản
2.1.1. Phương pháp giải
Sử dụng tính chất và công thức nguyên hàm cơ bản trong phần 1.3
2.1.2. Bài tập áp dụng

3

Bài 2.1. Cho

∫
1

3

f ( x)dx = −2, ∫ f ( x)dx = −3. Tích phân
5

A. 1

B. 5

5

∫ f ( x)dx

bằng

1

C. -1

Lời giải . Theo giả thiết ta có:
5

3

5

1

1

3

5

3

3

5

D. -5

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx = − ( −3) = 3.

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x) dx = −2 + 3 = 1.

Suy ra

Vậy đáp án là A.
Nhận xét: Như vậy đối với các bài toán cơ bản như này học sinh chỉ cần nắm chắc kiến
thức lý thuyết cơ bản là có thể giải quyết được.
3

Bài 2.2: Cho

∫

f ( x ) dx = −5,

1

A. I = 14.

3

3

1

1

∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = 9. Tính I = ∫ g ( x ) dx.

B. I = −14.

C. I = 7.

D. I = −7.

Ta có ∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − 2.∫ g ( x ) dx = 9 ⇒ ∫ g ( x ) dx =

−5 − 9
= −7. Chọn D.

2

Lời giải
3

3

3

3

1

1

1

1

7


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
5

Bài 2.3: Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên ¡ có

∫ 2 f ( x ) + 3g ( x )  dx = −5 ;

−1

5

∫ 3 f ( x ) − 5g ( x )  dx = 21 . Tính

−1

A. −5

5

∫  f ( x ) + g ( x )  dx

−1

B. 1

D. −1

C. 5

Lời giải
Ta có:
5
5
 5
5

2
f
x

+
3
g
x

dx
=
−
5
2
f
x
dx
+
3
g
x
dx
=
−
5
( )
∫  ( )
 ∫ ( )
 ∫ f ( x ) dx = 2
∫−1 ( )
 −1
 −1

⇔ 5

⇔  −51
5
5
 3 f x − 5 g x  dx = 21
3 f x dx − 5 g x dx = 21
 g x dx = −3
( )
( )
∫
∫  ( )
 ∫ ( )
∫ ( )
 −1
 −1
−1
 −1
5

⇒

∫

−1

5

5

−1

−1

f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = −1 ⇒ ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = −1 . Chọn D.

Bài 2.4. Tính tích phân I =

2019π

∫

1 − cos 2 x dx.

0

A. I = 0.

B. I = 2 2.

C. I = 2019 2.

D. I = 4038 2.

Lời giải
π

2π

2019π

0

π

2018π

I = 2 ∫ sin x dx + 2 ∫ sin x dx + ... + 2

∫

sin x dx

π

= 2019 2 ∫ sin xdx = 4038 2. Chọn D.
0

Bài 2.5: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ −6;5] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa
5

đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị I =

∫  f ( x ) + 2 dx

−6

8


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải

A. 3π − 12

B. 2π + 32

D. 3π + 12

C. 2π + 8

Lời giải
Nhận xét: Ở bài toán này có thể dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết quả nhanh
gọn. Tuy nhiên để rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp tôi hướng dẫn học sinh
giải bài toán theo hướng dài hơn là dùng định nghĩa và tính chất của tích phân để giải
quyết bài toán.
x+4
khi − 6 ≤ x ≤ −2
 2

2
Ta có: f ( x ) = 1+ 4 − x khi − 2 ≤ x ≤ 2
 2x −1

khi 2 ≤ x ≤ 5
 3
I=

5

−2

−6

−6

∫  f ( x ) + 2 dx =

∫

2

5

5

−2

2

−6

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ 2dx . Chọn B.

Bài 2.6: Cho các hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;2] và thỏa
mãn

2

2

0

0

∫ f ' ( x ) g ( x ) dx = −1, ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = 2020. Tính tích phân
A. I = −1.

B. I = 2020.

2

I = ∫  f ( x ) g ( x )  dx.

C. I = 2019.

/

0

D. I = 2018.

Lời giải
2

2

Ta có I = ∫  f ( x ) g ( x )  dx = ∫  f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )  dx
/

0

0

2

2

0

0

= ∫ f ' ( x ) g ( x ) dx + ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = 2019. Chọn C.

Bài 2.7: Cho các hàm số y = f ( x ) > 0 xác định và có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa
x

2
mãn g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt , g ( x ) = f ( x ) . Tính
0

9

1

∫ g ( x ) dx
0


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải

A.

1011
2

1009
2

B.

C.

2019
2

D. 505

Lời giải
x

Ta có g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt ⇒ g ' ( x ) = 2018 f ( x ) = 2018. g ( x )
0

⇒

g '( x)

g ( x)

t

= 2018 ⇒ ∫

0

g '( x)

t

g ( x)

dx = 2018∫ dx ⇒ 2
0

(

)

g ( t ) − 1 = 2018t (do g ( 0 ) = 1 )

1

 1009 2  1 1011
⇒ g ( t ) = 1009t + 1 ⇒ ∫ g ( t ) dt = 
t + t ÷|0 =
. Chọn A.
2
 2

0

Bài 2.8: Cho các hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên [ 0;1] đồng thời thỏa mãn
f ' ( 0) = 9

và 9 f '' ( x ) +  f ' ( x ) − x  = 9 . Tính T = f ( 1) − f ( 0 )
2

A. T = 2 + 9 ln 2

1
2

C. T = + 9 ln 2

B. T = 9

D. T = 2 − 9 ln 2

Lời giải
9 f '' ( x ) +  f ' ( x ) − x  = 9 ⇒ −

f '' ( x ) − 1

2

Lấy nguyên hàm hai vế − ∫
'
Do f ( 0 ) = 9 ⇒ C =

 f ' ( x ) − x 

=

2

1
9

f '' ( x ) − 1

1
1
x
dx = ∫ dx ⇒ '
= +C
9
f ( x) − x 9
 f ' ( x ) − x 
2

1

1

1
9
 9

⇒ f ' ( x) =
+ x ⇒ ∫ f ' ( x ) dx = ∫ 
+ x ÷dx
9
x +1

x
+
1

0
0
1
2

Vậy T = f ( 1) − f ( 0 ) = 9 ln 2 + . Chọn C.
2.1.3. Bài tập tự luyện
3

Bài 2.9: Cho

∫
0

A. − a − b

3

f ( x ) dx = a,∫ f ( x ) dx = b . Khi đó
2

B. b − a
5

∫
2

B. I = 34.

∫ f ( x ) dx bằng:
0

C. a + b

Bài 2.10: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
A. I = 32.

2

D. a − b
2

f ( x ) dx = 10. Tính I = ∫  2 − 4 f ( x )  dx.
5

C. I = 36.

10

D. I = 40.


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
2019

Bài 2.11: Cho

∫

f ( x ) dx = 2,

2019

g ( x ) dx = −5 . Tìm J =

∫

1

1

A. J = 1

2019

∫
1

B. J = −1

 2 f ( x ) + g ( x )  dx

C. J = 0

D. J = 2

Bài 2.12: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường
gấp khúc như hình vẽ bên. Tính

9

∫ f ( x ) dx .

A. 18

B. 2

C. 0

D. 16

0

Bài 2.13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn

[ −3;5]

và có đồ thị như hình vẽ (phần cong của đồ thị

là một phần của
3

∫ f ( x ) dx
−2

( P ) : y = ax 2 + bx + c ). Tích phân

bằng

A.

53
.
2

B.

61
.
3

C.

95
.
7

D.

97
.
6

Bài 2.14: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và
A. 27

B. 21

1

∫

2

−5

f ( x ) dx = 9 . Tính ∫  f ( 1 − 3x ) + 9  dx
0

C. 15

D. 75

Bài 2.15: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện
1

3

0

0

∫ f ( x ) dx = 4, ∫ f ( x ) dx = 6 . Tính
A. I = 6

1

I=

∫ f ( 2 x + 1 ) dx

−1

B. I = 3

C. I = 4

D. I = 5

Bài 2.16: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số xác định và có nguyên hàm liên tục trên R,
1

tuần hoàn có chu kì là T = 6. Biết

∫
0

2

2018

−2

0

f ( 2 x ) dx = −1; ∫ f ( x + 4 ) dx = 3. Giá trị I =

bằng
A. 336

B. 334

C. 332

2.2. Tính tích phân hàm ẩn nhờ phương pháp đổi biến số
2.2.1. Phương pháp giải

11

D. 338

∫ f ( x ) dx


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
Từ hai định lý 1 và định lý 2 trong phần 1.4.1 chúng ta có hai phương pháp đổi biến số
Đổi biến số loại 1
+ Đổi biến số đặt u = u ( x ) ⇒ du = u ' ( x ) dx
 x = α ⇒ u = u ( α ) = a
 x = β ⇒ u = u ( β ) = b

+ Đổi cận : 

β

b

α

a

+ Đổi biểu thức dưới dấu tích phân I = ∫ f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) dx = ∫ f ( u ) du
Đổi biến số loại 2
+ Đổi biến số đặt x = ϕ ( t ) ⇒ dx = ϕ ' ( t ) dt
x = a ⇒ t = α
x = b ⇒ t = β

+ Đổi cận 
b

β

a

α

+ I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( ϕ ( t ) ) .ϕ ' ( t ) dt
Một vài tính chất
Tính chất 2.2.1.

b

b

a

a

∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx

Tính chất 2.2.2. Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau
b

b

a

a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx
Tính chất 2.2.3. Nếu f ( x ) là hàm chẵn và liên tục trên [ − a; a ] thì
Tính chất 2.2.4. Nếu f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên [ − a; a ] thì

a

∫

−a

a

f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx
0

a

∫ f ( x ) dx = 0

−a

Ta hoàn toàn có thể chứng minh được hai tính chất 2.2.3 và 2.2.4 trên nhờ phương pháp
đổi biến ( t = − x )
2.2.2. Bài tập áp dụng
1

Bài 2.17. Cho tích phân

∫
0

f ( 2 x ) dx = 8 , tính

2

∫ f ( x ) dx
0

12


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
A. I = 16

C. I = 8

B. I = 4

D. I = 2

Đặt t = 2 x ⇒ dt = 2dx
1

Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 2 . Lúc đó

∫
0

2

2

dt
f ( 2 x ) dx = ∫ f ( t ) = 8 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 16
2
0
0

Vậy đáp án là A.
b

Nhận xét: Nếu trong bài toán tích phân hàm ẩn xuất hiện

∫ f ( u ( x ) ) u′ ( x ) dx

thì ta sẽ nghĩ

a

ngay đến việc đổi biến số bằng cách đặt u = u ( x ) . Lúc đó kết hợp với các giả thiết của bài
toán ta sẽ tìm được kết quả. Tương tự
5

Bài 2.18: Cho

∫

f ( x ) dx = 4 . Tính I =

−1

∫ f ( 2 x + 1) dx

−1

B. I =

A. I = 2

2

5
2

C. I = 4

D.

3
2

Lời giải
5

Đặt u = 2 x + 1 ⇒ du = 2dx ⇒ I =

1
1
f ( u ) du = .4 = 2 . Đáp án A
∫
2 −1
2
2019

Bài 2.19: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡

∫ f ( x ) dx = 2 .

và

Tính tích phân sau

0

I=

e 2019 −1

∫
0

x
. f ln ( x 2 + 1)  dx.
x +1
2

A. I = 1.

B. I = 2.

C. I = 4.

D. I = 5.

Lời giải
2
Đặt t = ln ( x + 1) , suy ra dt =

2 xdx
xdx
dt
⇒ 2
= .
2
x +1
x +1 2


x = 0 ⇒ t = 0

Đổi cận: 

2019

 x = e − 1 ⇒ t = 2019

Khi đó I =

1
2

2019

∫

f ( t ) dt =

0

1
2

2019

1
∫ f ( x ) dx = 2 .2 = 1. Chọn A.
0

Bài 2.20: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và

9

∫
1

f

( x ) dx = 4,
x

π
2

∫ f ( sin x ) cos xdx = 2. Tính
0

3

tích phân I = ∫ f ( x ) dx.
0

A. I = 2.

B. I = 6.

C. I = 4.

13

D. I = 10.


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
Lời giải
Xét

9

∫

f

( x ) dx = 4. Đặt t =

x ⇒ t 2 = x, suy ra 2tdt = dx.

x

1

x = 1 ⇒ t = 1
. Suy ra
x = 9 ⇒ t = 3

Đổi cận 

Xét

9

∫

f

( x ) dx = 2
x

1

π
2

∫ f ( sin x ) cos xdx = 2. Đặt u = sin x,

3

3

1

1

∫ f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( t ) dt = 2.

suy ra du = cos xdx.

0

π
x = 0 ⇒ u = 0
1
2

. Suy ra 2 = f ( sin x ) cos xdx = f ( t ) dt.
Đổi cận  π
∫0
∫0
 x = 2 ⇒ u = 1
3

1

3

0

0

1

Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 4. Chọn C.
Bài
0

∫

−2

2.21.

Cho

f ( x ) là

hàm

lẻ

và

liên

tục

trên

[ −4; 4] .

Biết

4

2

∫ f ( x ) dx .

f ( − x ) dx = 2; ∫ f ( −2 x ) dx = 4 . Tính

0

1

Lời giải : Theo giả thiết ta có : 0 =

số

2

0

2

2

−2

−2

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2

Mặt khác do f ( x ) là hàm lẻ nên
2

2

2

1

1

1

f ( −2 x ) = − f ( 2 x ) ⇒ 4 = ∫ f ( −2 x ) dx = − ∫ f ( 2 x ) dx ⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = −4

Đặt t = 2 x ⇒ dt = 2dx ⇒ dx =
2

4

1

2

−4 = ∫ f ( 2 x )dx = ∫

dt
. Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2; x = 2 ⇒ t = 4 . Lúc đó
2
4

4

Bài 2.22: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡
e

2

∫
e

f ( ln x )
2

x ln x

A. I = 1.

2

4

dt
f ( t ) ⇒ ∫ f ( x ) dx = −8 . Suy ra I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −6
2
0
0
2
2

2

dx = 1. Tính tích phân I = ∫

1

và thỏa mãn

π
4

∫ tan x. f ( cos x ) dx = 1,
2

0

f ( 2x)
dx.
x

4

B. I = 2.

C. I = 3.

Lời giải

14

D. I = 4.


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải

π
4

Xét A = tan x. f ( cos 2 x ) dx = 1 . Đặt t = cos 2 x.
∫
0

2
Suy ra dt = −2 sin x cos xdx = −2 cos x tan xdx = −2t. tan xdx ⇒ tan xdx = −

dt
.
2t

x = 0 ⇒ t = 1

Đổi cận:  π
1.
 x = 4 ⇒ t = 2
1
2

1
1
1
f ( x)
1 f ( t)
1 f ( t)
1 f ( x)
dt = ∫

dt = ∫
dx ⇒ ∫
dx = 2.
Khi đó A = − ∫
21 t
21 t
21 x
x
1
2
e2

Xét B = ∫
e

f ( ln 2 x )
x ln x

2

2

dx = 1. Đặt u = ln 2 x.

2 ln x
2 ln 2 x
2u
dx
du
dx =

dx =
dx ⇒
= .
Suy ra du =
x
x ln x
x ln x
x ln x 2u

x = e ⇒ u = 1

Đổi cận: 

2
x = e ⇒ u = 4

.

4
4
4
f ( x)
1 f ( u)
1 f ( x)
du = ∫
dx ⇒ ∫
dx = 2.
Khi đó B = ∫
21 u
21 x

x
1
2

I =∫

Xét tích phân cần tính

1
2

f ( 2x)
dx.
x

1

dx = 2 dv
. Đổi cận:
Đặt v = 2 x, suy ra 
x = v

2
4

Khi đó I = ∫1

1
1


x = ⇒ v =
4
2.

 x = 2 ⇒ v = 4

4
1
4
f ( v)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
dv = ∫
dx = ∫
dx + ∫
dx = 2 + 2 = 4.
Chọn D.
v
x
x
x
1
1
1

2

2

2

2.2.3. Bài tập tự luyện
2

Bài 2.23: Cho

∫ f(x
1

A. 2.

5

2

+ 1) dx = 2 . Khi đó I = ∫ f ( x ) dx bằng
2

B. 1.

C. -1.

15

D. 4.


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
4

Bài 2.24 : Biết

5

f ( x ) dx = 6 và

∫

∫

1

f ( x ) dx = 10 , khi đó

2

f ( 4 x − 3) dx −

∫
1

4

ln 2

∫ f (e )e
2x

2x

dx

0

bằng
3
.
2

A.

B.

13
.
2

C. 4 .

D. 1.

5
Bài 2.25: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ¡ , thỏa f ( x + 4 x + 3) = 2 x + 1

8

với mọi x ∈ ¡ . Tích phân

∫ f ( x ) dx

bằng

−2

A. 2.

B. 10.
f ( x)

Bài 2.26: Biết

C.

32
.
3

là hàm số liên tục trên ¡

D. 72.
và

π
2

∫ f ( x ) dx = 4 .

Khi đó

0

π
4

∫  f ( 2 x ) − sin x dx

bằng

0

2
.
2

A. 2 +
Bài

2.27:

π
2

B. 3 −
Cho

hàm
16

∫ cot x. f ( sin x ) dx = ∫

2

π
4

f

x

1

C. 1 +

f ( x)

số

( x ) dx = 1

2
.
2

liên

tục
1

. Tính tích phân

I =∫

3
2

B. I = .

A. I = 3.
Bài 2.28: Cho hàm số

f ( x)

2
.
2

1
8

D. 2 −

trên

và

¡

∫

( 2 x − 3) f ( x ) dx = 3

x −1

2

5
2

ln 2

¡ .

Biết

∫ f (e

x

+ 1) dx = 5

và

3

. Tính I = ∫ f ( x ) dx
2

A. 3

B. 4

Bài 2.29 : Cho hàm số
f ( x) =

mãn

D. I = .

0

3

thỏa

f ( 4x)
dx.
x

C. I = 2.

liên tục trên

2
.
2

(

C. 5
y = f ( x)

liên tục trên đoạn [1; 4]

) + ln x . Tính tích phân của I = ∫ f ( x ) dx .

A. I = 2 ln 2 2.

và thỏa mãn

4

f 2 x −1
x

D. 6

x

3

B. I = 2 ln 2.

C. I = 3 + 2 ln 2 2.

16

D. I = ln 2 2.


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
2.3. Tính tích phân hàm ẩn nhờ phương pháp tích phân từng phần

2.3.1. Phương pháp giải
Định lí : Nếu u ( x ) và v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên K; a,b là 2 số thực
thuộc K thì
b

b

a

a

b
∫ u ( x ) .v ' ( x ) dx = u ( x ) .v ( x ) |a −∫ u ' ( x ) .v ( x ) dx

b

b b
Hay ta thường sử dụng định lý dưới dạng viết gọn sau ∫ udv = uv − ∫ vdu
a a
a

2.3.2. Bài tập áp dụng
2

Bài 2.30. Cho ∫ ( x − 2 ) f ′ ( x ) dx = 5; f ( 0 ) = 1 . Tính
0

A. 6

B. 4

2

I = ∫ f ( x ) dx
0

C. 10

D. -3



u = x − 2
 du = dx
⇒
. Khi đó

dv = f ′ ( x ) dx 
v = f ( x )

Lời giải: Đặt 
2

5 = ∫ ( x − 2 ) f ′ ( x ) dx = ( x − 2 ) f ( x )
0

2 2
− f ( x ) dx = 2 f ( 0 ) − I = 2 − I ⇒ I = −3
0 ∫0

Vậy đáp án là D.
Nhận xét: Nếu trong bài toán có xuất hiện tích phân dạng

b

∫ g ( x ) f ′ ( x ) dx
a

thì ta sẽ nghĩ

ngay đến việc đặt u = g ( x ) , dv = f ′ ( x ) dx sau đó sử dụng công thức tính tích phân từng
phần để giải quyết bài toán.
Bài 2.31. Cho tích phân
A.

2

∫

e

1

B. -2

e
f ( x)
dx = 1; f ( e ) = 1 . Tính I = ∫ f ′ ( x ) ln x dx
1
x

C. 0

D.1

1

u = ln x
 du = dx
x
⇒
Lời giải: Đặt 
. Khi đó
 dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )

e e f ( x)
I = f ( x ) ln x − ∫
dx = f ( e ) − 1 = 0 . Vậy đáp án là C.
1 1 x

17


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải

f ( x)

Bài 2.32: Cho hàm số
π
2

∫ f ' ( x ) cos

2

 π

có đạo hàm liên tục trên 0;  , thỏa mãn
 2
π
2

xdx = 10 và f ( 0 ) = 3. Tích phân

∫ f ( x ) sin 2 xdx bằng

0

0

A. I = −13.

B. I = −7.

C. I = 7.

D. I = 13.

Lời giải
Xét

π
2

∫
0

u = cos 2 x
du = − sin 2 xdx
⇒
.

f ' ( x ) cos xdx = 10 , đặt 
2
dv = f ' ( x ) cos xdx v = f ( x )
2

π
2

Khi đó 10 = f ' ( x ) cos 2 xdx = cos 2 xf ( x )
∫
0

π
2

π
2

0

0

π
2
0

π
2

+ ∫ f ( x ) sin 2 xdx
0

⇔ 10 = − f ( 0 ) + ∫ f ( x ) sin 2 xdx ⇒ ∫ f ( x ) sin 2 xdx = 10 + f ( 0 ) = 13. Chọn D.

Bài 2.33: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

3

∫ x. f ′ ( x ) .e

f ( x)

f ( 3) = ln 3 . Tính

dx = 8 và

0

3

I = ∫ e f ( x ) dx.
0

A. I = 1.

B. I = 11.

I = 8 + ln 3.

C. I = 8 − ln 3.

D.

Lời giải

u = x
du = dx
⇒
. Khi đó
Đặt 
f ( x)
f ( x)
dv = f ′ ( x ) .e dx 
v = e

3

3

0

0

3

3

0

0

f ( x)
f ( x)
∫ x. f ′ ( x ) .e dx = x.e

3

− ∫ e f ( x ) dx.
0

f ( 3)
f ( x)
f ( x)
Suy ra 8 = 3.e − ∫ e dx ⇒ ∫ e dx = 9 − 8 = 1. Chọn A.

Bài 2.34: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thỏa mãn

2

∫ f ( x − 1) dx = 3
1

1

3
2
và f ( 1) = 4. Tích phân ∫ x f ' ( x ) dx bằng
0

A. −1.

1
2

B. − .

C.

Lời giải

18

1
.
2

D. 1.

SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
2

Ta có

1

1

t = x −1
f ( x − 1) dx = 3 
→ ∫ f ( t ) dt = 3 hay

∫
1

∫ f ( x ) dx = 3.

0

1

3
2
t=x
→
Xét ∫ x f ' ( x ) dx 
2

0

0

1
1
u = x
du = dx
1
1


tf
'
t
d
t
=
xf ' ( x ) dx. Đặt 
⇒
.
(
)
∫
∫
20
20
dv = f ' ( x ) dx 
v = f ( x )


1
1 1
 1
1
1
1
→ ∫ tf ' ( t ) dt =  xf ( x ) −∫ f ( x ) dx  = [ 4 − 3] = . ChọnC.
Khi đó ∫ x f ' ( x ) dx 
20
2 
2
0 0
0
 2
1

3

t = x2

2

Bài 2.35: Cho hàm số y = f ( x ) với f ( 0 ) = f ( 1) = 1. Biết rằng:
1

∫e
0

x

 f ( x ) + f ' ( x )  dx = ae + b. Tính Q = a 2019 + b 2019 .

B. Q = 2.

A. Q = 22019 + 1.

C. Q = 0.

D. Q = 22019 − 1.

Lời giải
x
x
1


u = e
 du = e dx
⇔
⇒ ∫ e x . f ' ( x ) dx = e x . f ( x )
Đặt 
dv = f ' ( x ) dx
v = f ( x )
0



1

1
0

− ∫ e x . f ( x ) dx
0

1
1
a = 1
⇔ ∫ e x . f ' ( x ) dx + ∫ e x . f ( x ) dx = e. f ( 1) − f ( 0 ) ⇔ ae + b = e − 1 ⇒ 
. Vậy Q = 0.
b
=
−
1

0
0

Bài 2.36: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [ 0; 2] . Biết
f ( 0) = 1

(x

2

I =∫

3

và

f ( x ) f ( 2 − x ) = e2 x

− 3x 2 ) f ' ( x )
f ( x)

0

A. I = −

2

−4 x

với

mọi

x ∈ [ 0; 2] .

Tính

tích

dx.

14
.
3

B. I = −

32
.
5

C. I = −

16
.
3

D. I = −

Lời giải
u = x 3 − 3 x 2
2

x − 3x ) f ' ( x )
(

 du = ( 3 x − 6 x ) d x
.
f '( x) ⇒ 
dx. Đặt 
Ta có I = ∫
d
v
=

d
x
f
x
(
)
v
=
ln
f
x
(
)


0

f ( x)

3

2

2

I = ( x − 3x ) ln f ( x )
3

2

2

2

0

0

2

− ∫ ( 3x − 6 x ) ln f ( x ) dx = − 3∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) dx = −3J .
2

0

J = ∫ ( x − 2 x ) ln f ( x ) dx =
0

f ( 2 ) =1

2

x = 2 −t

2

0

0

∫ ( 2 − t )
2

2

− 2 ( 2 − t )  ln f ( 2 − t ) d ( 2 − t )

2

= ∫ ( 2 − x ) − 2 ( 2 − x )  ln f ( 2 − x ) d ( 2 − x ) = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( 2 − x ) dx.


2

phân

2

0

19

16
.
5


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
2

2

2

0

0

0

⇒ 2 J = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) dx + ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( 2 − x ) dx = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) f ( 2 − x ) dx
2

= ∫ ( x − 2 x ) ln e
2

2 x2 −4 x

0

2

dx = ∫ ( x 2 − 2 x ) ( 2 x 2 − 4 x ) dx =
0

32
16
16
⇒ J = . Vậy I = − . Chọn D.
15

15
5

Bài 2.37: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = 0 ,
1

∫  f ′ ( x )  dx = 7 và
2

0

A.

1

2
∫ x f ( x ) dx =
0

7
.
5

1
. Tính
3

1

∫ f ( x ) dx .

0

B. 1 .

C.

7
.
4

D. 4 .

Lời giải
1

1
Xét ∫ x f ( x ) dx = . Đặt
3
0
2

du = f ′ ( x ) dx
u = f ( x )

⇒

x3
2
dv = x dx v =
3


1

1

1

1

1
1 3
1
1
3
⇒ ∫ x f ( x ) dx = x3 f ( x ) − ∫ x 3 f ′ ( x ) dx = − ∫ x f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = − 1
30
3
30
0
0
0
2

1
2
 ∫  f ′ ( x )  dx = 7
0
 1
3
Ta lại có  ∫ 14 x f ′ ( x ) dx = −14

0
1
1
 ∫ 49 x 6 dx = 7 x 7 = 7
0
 0
1

1

1

1

⇒ ∫  f ′ ( x )  dx + ∫ 14 x f ′ ( x ) dx + ∫ 49 x dx = 0 ⇔ ∫  f ′ ( x ) + 7 x 3  dx = 0
2

3

0

0

6

0

2

0

⇔ f ′ ( x ) + 7 x 3 = 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ f ′ ( x ) = −7 x 3 , ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ f ( x ) = −

Ta có f ( 1) = 0 ⇔ C =
1

⇒∫
0

1

7
7
⇒ f ( x ) = ( 1 − x4 )
4
4

7
f ( x ) dx = ∫ ( 1 − x 4 ) dx =
40

1

7
x5 
7 1 7
x
−

÷ =  1 − ÷ = Chọn A.

4
5 0 4 5 5

Bài 2.38: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên
tục trên R và có đồ thị như hình bên. Đặt
1

K = ∫ x. f ( x ) . f ′ ( x ) dx, khi đó K thuộc khoảng nào
0

sau đây?

20

7 x4
+C
4


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải

A. ( −3; − 2 ) .

3

B.  −2; − ÷.


 3 2
C.  − ; − ÷.

2

 2



D.  − ; 0 ÷.
3
2

3





Lời giải
du = dx
u = x

⇒
Đặt 
f 2 ( x) .
dv = f ( x ) . f ′ ( x ) dx v =

2
1
1
x f 2 ( x)

1
1 1
2
− ∫ f ( x ) dx = − ∫ f 2 ( x ) dx.
Khi đó K = ∫ x. f ( x ) . f ′ ( x ) dx =
2
20
2 20
0
0
1

1

Từ đồ thị, ta thấy:
1

• f ( x ) > 2 − x, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ ∫
0

1

• f ( x ) < 2, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ ∫
0

f 2 ( x)
2

1

dx > ∫
0

( 2 − x)
2

2

1
f 2 ( x)
7
1
2
dx = ⇒ K = − ∫
dx < − .
6
2 0 2
3

1
1
f 2 ( x)
f 2 ( x)
1
3
dx > ∫ 2 dx = 2 ⇒ K = − ∫
dx > − . Chọn C.
2
2 0 2
2

0

2.3.3. Bài tập tự luyện
Bài 2.39: Biết F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) trên ¡ thỏa mãn
F ( e ) = 5. Tích phân

∫

e

1

e

∫ F ( x ) d ( ln x ) = 3
1

và

ln x. f ( x ) dx bằng

A. 3.

B. -3.

C. 2.

D. -2.

Bài 2.40: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn f ( 3) = 7 ,

3

1

0

0

∫ f ( x ) dx = 3. Giá trị ∫ xf ′ ( 3x ) dx
A.

8
.
3

bằng

B. 6.

C. 8.

D. 2.
2

Bài 2.41: Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên ¡

và

f (2) = 16, ∫ f ( x)dx = 4. Tính
0

4

x
I = ∫ xf '  ÷dx.
2
0

A. I = 12.

B. I = 112.

C. I = 28.

21

D. I = 144.


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải

Bài 2.42: Cho

∫

π

0

f ( x ) dx = 2

và

∫

π

0

π

I = ∫  2 f ( x ) + x sin x − 3 g ( x )  dx

g ( x ) dx = −1 . Tính

0

bằng
B. I = 7 + 4π

A. I = 7 + π

Bài 2.43: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

C. I = π − 1

D. I = 7 +

π
4

∫ ( 2 x + 3) . f ' ( x ) dx = 15 và 7. f ( 2 ) − 5. f ( 1) = 8. Tính
2

1

2

I = ∫ f ( x ) dx.
1

7
2

2
7

A. I = .

2
7

B. I = − .

7
2

C. I = .

D. I = − .

Bài 2.44: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡
f ( x ) + f ( 2 − x ) = x − 2 x + 2 ∀x ∈ ¡ . Tích phân
2

thỏa mãn f ( 0 ) = 3 và

2

∫ xf ' ( x ) dx

bằng:

0

4
3

A. −

B.

2
3

C.

5
3

D. −

10
3

Bài 2.45: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn
1

 2
2
∫0  f ( x ) + 2 ln
e
4

1

1

2
dx = 2∫  f ( x ) ln ( x + 1)  dx. Tích phân I = ∫ f ( x ) dx.
e 
0
0
4
e

A. I = ln .

e
2

B. I = ln .

2
e

C. I = ln .

D. I = ln .
 π

π 

Bài 2.46: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f  ÷ = 0. Biết
 4
4
rằng

π
4

∫
0

π

π

8
π 4
π
f 2 ( x ) dx = ; ∫ f ' ( x ) sin 2 xdx = − . Tính tích phân I = ∫ f ( 2 x ) dx .
8 0
4
0

1
2

1
4

A. I = .

B. I = .

C. I = 2 .

D. I = 1 .

Bài 2.47: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] và f ( 0 ) + f ( 1) = 0 .
1

Biết

∫

0

A.

1
π
f ( x ) dx = , ∫ f ' ( x ) cosπ xdx = . Tính
2 0
2
1

2

3π
2

B.

1

∫ f ( x ) dx

2
π

0

C. π

22

D.

1
π


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
2.4. Sử dụng một số tính chất đặc biệt để tính tích phân hàm ẩn
Tính chất 2.4.1. Nếu f ( x ) là hàm chẵn và liên tục trên

[ −m; m] , m > 0, k ∈ ¡

thì

m
f ( x)
∫ a kx + 1 dx = ∫0 f ( x ) dx, a > 0 .
−m
m

Để chứng minh tính chất này bạn đọc có thể đặt x = −t và sử dụng tính chất của hàm
chẵn f ( − x ) = f ( x ) . Thật vậy
0
m
m
f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)

dx
=
dx
+
dx
=
I
+
1
∫− m a kx + 1 −∫m akx + 1 ∫0 a kx + 1
∫0 a kx + 1 dx
m

0
m kt
m kx
f ( x)
f ( −t )
a .f ( t)
a . f ( x)
dt = ∫ kx
dx
Xét đặt x = −t ta được I1 = ∫ kx dx = − ∫ − kt dt = ∫ kt
a +1
a +1
a +1
a +1
−m
m
0

0
0

m
f ( x)
dx
=
f ( x ) dx
Từ đó suy ra ∫ kx
∫
a
+
1
−m
0
m

Bài 2.48. Cho hàm số chẵn y = f ( x ) liên tục trên ¡ và

1

∫

−1

A.

2

B. 4

f ( 2x)
dx = 8 . Tính
2x + 1

C.8
1

Lời giải : Áp dụng tính chất 2.4.1 ta có 8 = ∫

−1

1
f ( 2x)
dx
=
∫0 f ( 2 x ) dx
2x +1

2

Đặt t = 2 x sau đó đổi cận ta được

∫ f ( x ) dx = 16 . Đáp án D
0

Tương tự:
Tính chất 2.4.2. Nếu f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ − a; a ] với a > 0 thì
a

∫

−a

Chứng minh:

a

f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( − x )  dx
0

a

0

a

a

−a

−a

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =∫  f ( x ) + f ( − x )  dx

23

2

∫ f ( x ) dx
0

D.16


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
Bài 2.49. Cho hàm số f ( x ) là hàm số liêm tục trên ¡ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = cos x .
Tính I =

π
2

∫ f ( x ) dx .

−π
2

A.

0

B. 1

C.-1

Lời giải : Áp dụng tính chất 2.4.2 ta có I =

D.2

π
2

π
2

π
2

−π
2

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx = ∫ cos xdx = 1

Đáp án là B.
Tương tự:
Bài 2.50: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và thỏa f ( x ) + f ( − x ) = 2 + 2 cos 2 x với mọi
x∈¡ .
Tính I =

3π
2

−

∫ f ( x) d x .
3π
2

A. I = −6 .

B. I = 0 .

C. I = −2 .

D. I = 6 .

Lời giải
Áp dụng tính chất
Suy ra 2 I =

3π
2

∫

3π
−
2

 f ( x ) + f ( − x )  dx =

3π

2

∫

3π
−
2

3π
2

2 + 2 cos 2 xdx = 4 ∫ cosx dx = 12 ⇒ I = 6. Chọn D.
0

Tính chất 2.4.3. Nếu f ( x ) là hàm số liên tục trên [ a; b ] thỏa mãn f ( x ) = f ( a + b − x ) thì
b

b

a+b
∫a xf ( x ) dx = 2 ∫a f ( x ) dx

Tính chất này được chứng minh bằng cách đặt t = a + b − x
Bài 2.51: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 1; 2] thỏa mãn f ( x ) = f ( 3 − x ) và
2

2

1

1

∫ f ( x ) dx = 8 . Tính ∫ xf ( x ) dx .
A.

8

B. 2

C.

Lời giải: Áp dụng tính chất 2.4.3 ta có
2

2

1+ 2
3
∫1 xf ( x ) dx = 2 ∫1 f ( x ) dx = 2 .8 = 12 . Đáp án là D.

24

8
3

D.12


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải
Tương tự

Bài 2.52: Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn
m. f ( x ) + n. f ( 1 − x ) = g ( x ) với m, n là số thực khác 0 và
m+n
1
2

B. m + n = .

A. m + n = 0.

1

1

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = 1.

C. m + n = 1.

D. m + n = 2.

Lời giải
Áp dụng tính chất

b

b

a

a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx

Từ giả thiết m. f ( x ) + n. f ( 1 − x ) = g ( x ) , lấy tích phân hai vế ta được
1

1

0

0

∫  m. f ( x ) + n. f ( 1 − x ) dx = ∫ g ( x)dx
1

Suy ra m + n ∫ f ( 1 − x ) dx = 1 (do
0

1

1

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = 1 ). ( 1)
x = 0 ⇒ t = 1

1

Xét tích phân

∫ f ( 1 − x ) dx. Đặt t = 1 − x , suy ra dt = −dx. Đổi cận:  x = 1 ⇒ t = 0 .
0

1

Khi đó

∫
0

0

1

1

1

0

0

f ( 1 − x ) dx = −∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 1. ( 2 )

Từ ( 1) và ( 2 ) , suy ra m + n = 1 . Chọn C.
Tính chất 2.4.4. Nếu f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ 0; a ] , a > 0 thì
a

∫
0

a

f ( x ) dx = ∫ f ( a − x ) dx . Ta dễ dàng chứng minh được bằng cách đặt t = a − x .
0

Bài 2.53. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn
π

f ( x ) + f  − x ÷ = sin x.cos x, ∀x ∈ ¡ , f ( 0 ) = 0 . Tính
2


A.

−

π
4

B.

1

4

C.

Lời giải: Theo giả thiết ta có f ( 0 ) = 0 và
π

π 
f ( x ) + f  − x ÷ = sin x.cos x, ∀x ∈ ¡ ⇒ f  ÷ = 0
2

2

25

π
2

∫ xf ′ ( x ) dx
0

π
4

Tính

D. −

1
4