SKKN giải một số bài toán vận dụng nghiệm của phương trình bậc hai

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: "Giải một số bài toán vận dụng
nghiệm của phương trình bậc hai”.
Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Kiều Nga

Tam Dương, năm 2019


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. Lời giới thiệu
Trong các kỳ thi HSG toán 9, thi tuyển sinh vào lớp 10, vào các trường chuyên, lớp
chọn ta thường gặp các dạng toán mà học sinh có thể vận dụng "Điều kiện có nghiệm
của phương trình bậc hai” để giải quyết một cách nhanh chóng, tránh gặp các sai sót
một cách đáng tiếc có thể xẩy ra. Là một giáo viên được giao nhiệm vụ bồi dưỡng và
giảng dạy môn Toán 9, lớp mà các em sắp bước vào nhiều kì thi quan trọng giáo viên
phải học hỏi và tích lũy được nhiều điều và phân dạng để xây dựng phương pháp giải
cho từng dạng. Trong sáng kiến này tôi đưa ra "Giải một số bài toán vận dụng
nghiệm của phương trình bậc hai”. Hy vọng sẽ đem lại nhiều điều bổ ích cho tất cả
giáo viên và học sinh cùng những người yêu toán.
II. Tên sáng kiến:
"Giải một số bài toán vận dụng nghiệm của phương trình bậc hai”.
III. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Kiều Nga
- Địa chỉ tác giả sáng kiến:Trường THCS Đồng Tĩnh– Huyện Tam Dương – Tỉnh
Vĩnh Phúc.

- Số điện thoại: 0362644498
Email:
IV. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
Giáo viên: Nguyễn Thị Kiều Nga
V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Bồi dưỡng học sinh đại trà.
VI. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
- Đối học sinh lớp 9A: ngày 18/5/2018.
VII. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
1 . Cơ sở lí luận khoa học
Dạy học toán điều quan trọng bậc nhất là hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán một
cách thông minh, khoa học và nhanh gọn. Đó là mục tiêu của mỗi bài học, mỗi một
2


mảng toán, là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là điều quan trọng để
xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng sáng tạo các kiến thức đã học vào con đường
hình thành phương pháp tư duy khoa học cũng như trong cuộc sống.
Cùng với việc dạy học các kiến thức cho học sinh, việc rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh, việc cung cấp cho học sinh kiến thức nâng cao và con đường đào sâu
kiến thức có vị trí then chốt, nó cung cấp cho học sinh vốn kiến thức cơ bản và nâng cao
cùng các cách giải quyết các vấn đề khó khăn trong học toán, giải toán. Qua đó giáo
dục, rèn luyện toàn diện học sinh theo mục đích bộ môn, góp một phần lớn vào việc thực
hiện mục tiêu chung của giáo dục.
Kiến thức cơ sở
2
* Phương trình ax  bx  c  0  a �0 

� ax 2  bx  c

� x2 

b
c
x
a
a
2

2

b �b � �b � c
� x  2.x.  � � � �
2a �2a � �2a � a
2

2

2
� b � b  4ac
� �x 
�
4a 2
� 2a �

Người ta ký hiệu:   b 2  4ac .
2
- Nếu   0 thì phương trình ax  bx  c  0  a �0  có 2 nghiệm phân biệt:

x1 

b  
;
2a

x2 

b  
2a

2
- Nếu   0 thì phương trình ax  bx  c  0  a �0  có nghiệm kép:

x1  x2  

b
2a

2
- Nếu   0 thì phương trình ax  bx  c  0  a �0  vô nghiệm

2
* Phương trình ax  bx  c  0  a �0  , đặt b=2b’
2
2
2
Thì:   b  4ac   2b '  4ac  4b '  4ac  4  b '  ac 
2

Ký hiệu:  '  b '2  ac , ta có:   4 '

3


- Nếu  '  0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 

b '  '
;
a

x2 

b '  '
a

- Nếu  '  0 thì phương trình có nghiệm kép: x1  x2  

b'
a

- Nếu  '  0 thì phương trình vô nghiệm
Vậy: Đối với phương trình

ax 2  bx  c  0  a �0 

có nghiệm khi và chỉ khi

 �0

hoặc

 ' �0

2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Phương trình bậc hai một ẩn là loại toán được sử dụng từ cấp hai và tiếp nối lên THPT.
kiến thức của phương trình bậc hai là cơ sở để cho các dạng bài tập khác có thể nói nó là
công cụ giải bài tập khảo sát hàm số sau này nên cần được khắc sâu, rèn thành kĩ năng.
Xuất phát từ những lý do trên và qua quá trình giảng dạy, tôi rút ra được một số
kinh nghiệm khi dạybài toán về căn bậc hai. Tôi chọn đề tài "Giải một số bài toán vận
dụng nghiệm của phương trình bậc hai” nhằm phục vụ cho quá trình dạy học của giáo
viên cũng như quá trình học tập của học sinh.
3. Mô tả, phân tích các giải pháp
*Phương pháp chính được sử dụng:
1. Phương pháp đọc, nghiên cứu tài liệu.
2. Phương pháp thảo luận nhóm.
3. Phương pháp luyện giải.

Dạng 1: Tìm cực trị của một biểu thức
I. Biểu thức có dạng là phân thức :
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
4x  3
a, A  2
x 1

2x2  2x  9
b, B  2
x  2x  5

Giải:
a) A 

4x  3
x2  1

Ta có x2+1 �0 với x �R , nên A 

4x  3
� A(x2+1)=4x+3 � Ax2 + A = 4x+3
2
x 1

� Ax2 - 4x +A – 3 = 0 (2)
4


- Nếu A=0 thì phương trình (2) � - 4x – 3 = 0
� x=

3
4

A=0 � x=

3
(*)
4

- Nếu A �0, thì phương trình bậc hai ẩn x: Ax2 - 4x +A – 3 = 0 (2)
Có nghiệm khi và chỉ khi:  ' �0
� (-2)2-A(A-3) �0

� 4-A2+3A �0
� (4-A)(A+1) �0
�
4��
A 0
�
�A 4
�
�
�
�
A

1
�
0
�
�A �1
��
��
� 1 �A �4
�
�
4

A

0
A


4
�
�
�
�
(VN )
�
�
�
�
�A  1  0
�A  1
*Max A=4, Thay vào (2) ta có: 4x2 – 4x + 1 = 0 � x 

1
2

*Min A=1, Thay vào (2) ta có: –x2 - 4x – 4=0 � x= - 2
Đối chiếu với (*) ta có: Max A=4 � x 

1
2

Min A= -1 � x= - 2
2x2  2x  9
b, B  2
x  2x  5
Ta có: x2 +2x+5=(x+1)2+4 �0, x �R
2x2  2x  9
� B(x2 + 2x + 5) = 2x2 - 2x + 9

Nên B  2
x  2x  5
� (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = 0 (3)
Nếu B=2 thì phương trình (3) � 6x+1=0
� x

1
6

Nếu B �2 thì phương trình bậc hai ẩn x: (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = 0
5


có nghiệm khi và chỉ khi:  ' �0
� (B+1)2-(B-2)(5B-9) �0
� B2+2B+1-5B2+9B+10B-18 �0
� -4B2+21B-17 �0
� 4B2-21B+17 �0
� (B-1)(4B-17) �0
�
�B  1 �0
�
�
4 B  17 �0
�
�
���
�
�
�B  1  0

�
�
4 B  17  0
�
�
Vậy: Max B=

�
�B �1
�
�
� 17
�
�B �4
�
�
�B  1
�
�
�
�
� 17 (VN )
B
�
�
� 4
�

17
4

1 B

17
7
�x
4
3

Min B=1 � x=2
Bài toán 2: Tìm a,b để biểu thức M 

ax  b
1
; (4) đạt giá trị nhỏ nhất bằng  , đạt giá
2
2
x 2

trị lớn nhất bằng 1.
Giải:
Ta có: x 2  2 �0 , với x �R ;
Nên (4) � M(x2+2) = ax+b
� Mx2-ax+2M-b=0 (*)

-

ab0
�
�

Nếu M=0 thì (*) � ax+b=0 � �
b
a �0, x 
a
�

- Nếu M �0 thì phương trình (*) ẩn x có nghiệm �  �0
� (-a)2- 4M(2M-b) �0
� a2-8M2+4bM �0
1
2

1
2

Để M đạt giá trị nhỏ nhất bằng  , đạt giá trị lớn nhất bằng 1, thì  , 1 là nghiệm của
phương trình bậc hai: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M)
Vì phương trình: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M) có hệ số a,c trái dấu nên luôn có nghiệm, theo
hệ thức viet ta có:
6


4b
�1
�1 2 b
 1 
  
�
�
b 1

�
�2
�
8
2 2 2
�
�
�
�
�
�
2
2
a  �2
�
� 1 .1  a
�1  a
�2 8
8
�2

Vậy: Để biểu thức M 

�
a  2
�
�
�
b 1
�

�
�
a2
�
�
�
b 1
�
�

ax  b
1
; (4) đạt giá trị nhỏ nhất bằng  , đạt giá trị lớn nhất
2
x 2
2

a  2
�
�a  2
hoặc �
b 1
b 1
�
�

bằng 1 thì: �

Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x 2  xy  y 2

A
với x �0 ;
x2  y2

- Xét y=0 � A=1(*)
2

-

x 2 xy y 2 �x � x


� �  1
y 2 y 2 y 2 �y � y

Xét y �0 ta có A 
2
x2 y 2
�
�
x

�y � 1
y2 y2
��

x
t2  t 1
t2  t 1
2


t
� At2+A=t2+t+1
�
0
Đặt y , ta có: A  2
, ta có: t +1 Nên : A  2
t 1
t 1
� (A-1)t2-t+A-1=0

- Nếu A=1 thì t=0 (**)
- Nếu A �1, thì phương trình bậc hai: (A-1)t2-t+A-1=0 (ẩn t) có nghiệm:
� 1-4(A-1)(A-1) �0
� 4A2-8A+3 �0
� (2A-1)(2A-3) �0

�
� 1
A
�
�
� 2
(VN )
�
�
�
2A 1  0
�
3

�
�A 
�
�
2
A

3

0
�
� 2
�
� �
��
�
2 A  1 �0
�
� 1
�
A�
�
�
�
�
1
�
2
2
A


3
�
0
�
�
�
ۣ
�
�
2
�A �3
�
� 2
�

7

A

3
2


3
1
3
A (***)T (*),(**) v (***) ta cú: Max A= x=y
2
2

2
MinA=

1
x=-y
2

Bi tp t luyn.
Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc:
a) A

x2 x 1
x2 x 1

b) B

2x2 4 x 5
x2 1

c) C

x 2 xy y 2
x 2 xy y 2

II. Biu thc l mt a thc hai bin :
Bi toỏn 1. ( Đề thi TS lớp 10- Tỉnh Hà tĩnh- năm học 2010 - 2011)
Tìm x để y lớn nhất thõa mãn: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y +13 = 0
(1)
Gii
(1) x2 + 2(y 4).x + 2y2 - 6y +13 = 0

' =( y 4)2 - 2y2 + 6y -13 ' =- y2 -2 y +3
Phng trỡnh bc hai n x, cú nghim
' 0 -y2 - 2y +3 0
y2 + 2y -3 0
( y 1)(y + 3) 0


y
1 0

y 1
3 y 1




y

3

0
y


3

y 1 0
y 1


(VN )


y

3

0
y


3




Vy Max(y) = 1 x = -3
Bi toỏn 2.( Đề thi TS lớp 10- ĐHQG Hà nội - năm học 04 - 05)
Tìm căp số ( x; y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn: x 2 + 5y2 +2y - 4xy -3
= 0(2)
Gii
(2) x2 - 4xy+ 5y2 +2y -3 = 0
Phng trỡnh bc hai n x, cú nghim
' 0 4y2 - 5y2 -2y +3 0 -y2 -2y +3 0 ( y 1)(y + 3) 0
-3 y 1

8


Vậy: ( x; y) = ( 6; -3)
Bài toán 3: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- Hà Tĩnh năm học 2010-2011)
Tìm x để y lớn nhất thỏa mãn: x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0 (3)
Giải:
x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0
� x2+2(y-4)x+2y2-6y+13=0; (Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm:
2
2
�  ' �0 � (y-4) -(2y -6y+13) �0

� y2-8y+16-2y2+6y-13 �0 � -y2-2y+3 �0

�
y ��
1 0
�
�y 1
� 3 �y �1
�
�
�
�
y

3
�

0
y
�

3
�
�
� y2+2y-3 �0 � (y-1)(y+3) �0 � �
��
�
�
�y  1  0
�y �1
�
�
(VN )
�
�
�y  3  0
�y �3
�
�
Nên y có giá trị lớn nhất là 1, thay y=1 vào phương trình (5) ta có:
x2+2+2x-8x-6+13=0 � x2-6x+9=0 � (x-3)2=0 � x-3=0 � x=3
Vậy x=3 thì y đạt giá trị lớn nhất bằng 1
Bài toán 4: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- ĐHQG Hà Nội- Năm học 2004-2005):
Tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn:
x2+5y2+2y-4xy-3=0; (4)
Giải:
Ta có: x2+5y2+2y-4xy-3=0

� x2-4yx +5y2+2y-3=0 (Phương trình bậc hai ẩn x) có nghiệm:
2
2
2
2
2
�  ' �0 � (-2y) -(5y +2y-3) �0 � 4y -5y -2y+3 �0 � -y -2y+3 �0

�
y ��
1 0
�
�y 1
� 3 �y �1
�
�
�
�
y

3
�
0
y
�

3
�
�
� y2+2y-3 �0 � (y-1)(y+3) �0 � �

��
�
�
�y  1  0
�y �1
�
�
(VN )
�
�
�
�
�y  3  0
�y �3
Nên y có giá trị nhỏ nhất bằng -3, thay y=-3 vào phương trình (4) ta có:
x2+5(-3)2+2(-3)-4x(-3)-3=0
� x2+12x+36=0 � (x+6)2=0 � x=-6 Vậy: (x;y)=(-6;-3)

Bài toán 5: Tìm m để phương trình ẩn x sau
9


x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 (5) có nghiệm là lớn nhất, nhỏ nhất:
Giả sử x0 là nghiệm của phương trình đã cho, phương trình ẩn m sau có nghiệm:
m2+2(x0+1)m+ x 04 +2 x02 +1=0 khi  ' �0
� (x0+1)2 - ( x 04 +2 x02 +1) �0
� (x0+1)2 - ( x02 +1)2 �0
� ( x0+1+ x02 +1) ( x0+1- x02 -1) �0
� ( x02 +x0+2) ( x0- x02 ) �0
1

2

7
4

Vì x02 +x0+2= (x0+ )2+ >0 Nên ( x02 +x0+2) ( x0- x02 ) �0 khi: ( x0- x02 ) �0
� x0(1- x0) �0
�
�x0 0
�
�
1  x0 �0
�
�
 �
�
�x0  0
�
�
1  x0  0
�
�
�

0

x0 1

Dấu “=” xảy ra khi x0=0; x0=1 thay vào (5) ta có:
Khi x0=0 thì m2+2m+1=0 � m= -1

Khi x0=1 thì : m2+4m+4 = 0 � m= - 2
Vậy: Để phương trình ẩn x: x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 có nghiệm là lớn nhất x0=1 thì
m= - 2, có nghiệm nhỏ nhất x0=0 thì m= -1.
Bài toán 6: Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn: x  1y 2  x  1  y ; (6) sao cho x đạt giá trị lớn
nhất.
Giải:
- Nếu x=1 thì y=0.
- Nếu x>1, Xem phương trình (6) là phương trình bậc 2 ẩn y
Phương trình (6) � x  1y 2  y  x  1  0 có nghiệm:
�  �0

 1

2

5
 4 x  1 x  1 �0 � 1- 4(x-1) �0 (vì x>1) � 1-4x+4 �0 � x �
4

Suy ra x có giá trị lớn nhất là

5
.
4

5
4

Thay x  vào (6) ta có:
10

5
5
 1y 2 
1  y
4
4
1
1
� y2   y  0
2
2
2
� y  2 y 1  0
�  y  1  0
2

� y 1

Vậy: Cặp số (x;y) thỏa mãn:
�5 �
x  1 y 2  x  1  y ; Sao cho x đạt giá trị lớn nhất là (x;y)= � ;1�.
�4 �

Bài toán 7: Cho các số thực thõa mãn: 9x2+y2=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M= x  y .
Giải
Đặt: A=x-y, Suy ra: y=x-A

9x2+y2=1 � 9x2+(x-A)2-1=0

� 10x2-2Ax+A2-1=0 ( phương trình bậc 2 ẩn x) có nghiệm:
�  ' �0
� A2-10(A2-1) �0 � -9A2+10 �0
10
� A2 �
9

� A � 10
3

10
10
Hay: M= x  y �
. Hay giá trị lớn nhất của M là
3

3

Bài toán 8: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- Năm học 2008-2009- Hà Tĩnh)
Cho các số x,y thỏa mãn: x2+2y2+2xy+8(x+y)+7=0 ; (8)
Tìm Min, Max của S=x+y
Giải:
Từ: S=x+y, Suy ra : y=S-x, thay vào (8) ta có:
x2+2(S-x)2+2x(S-x)+8(x+S-x)+7=0
� x2+2(S2-2Sx+x2)+2xS-2x2+8S+7=0
� x2+2S2-4Sx+2x2+2xS-2x2+8S+7=0
� x2-2Sx +2S2+8S+7=0 ( Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm
2

2
2
2
�  ' �0 � (-S) -(2S +8S+7) �0 � S -2S -8S-7 �0

� S2+8S+7 �0 � (S+1)(S+7) �0

11



1 0
1
S
S
7 S 1




S

7

0
S


7

S 1 0
S 1


(VN )


S 7 0
S 7


Hay: 7 x y 1 .
x 1
Vy: Max S=-1
y 0
x 7
Min S=-7
y 0
Bài tập tự luyện:
1) Tìm Max P = -x2 y2 + xy + 2x + 2y + 5
2) Tìm min P = 2x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 9
3) Tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn: x 2 + 5y2 4xy +
2y 3 = 0
4) Cho các số thực (x;y) thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 6x + 8y + 4 = 0
Tìm min, Max của S = x + y +2010

5) Cho x + y + z =3. Tìm Max D = xy + 2yz + 3xz
6) Cho các số thực (x;y; z) thỏa mãn: x + y +2z = 3.
Tìm min P = 2x2 + 2y2 z2
7) Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn: x+y+z = 1.
Tìm Max P = ( x+2y+3z)(6x+3y+2z)

Dng 2: Gii phng trỡnh nghim nguyờn:
Bi toỏn 1: Tìm nghiệm nguyên của đa thức:
5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0 (1)
Gii
(1) 5x2 + 2( 4y 1)x + 5y2 + 2y + 2 = 0 ( pt bậc 2 ẩn x)
' =16y2 8y +1- 25y2 -10y -10

= - 9y2 -18y - 9 = - 9( y + 1)2 0

(1) cú nghim ' = 0 y =- 1. T ú suy ra x = 1.
Thử lại ta có (x;y) = ( 1;-1).
Bi toỏn 2 ( Đề TS 10 Chuyên tỉnh Hà tĩnh 07- 08)
Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x2-xy+y2=2x-3y-2
Gii:
x2-xy+y2=2x-3y-2
12


� x2-(y+2)x+y2+3y+2=0 (Phương trình bậc hai ẩn x, y là tham số) có nghiệm:





2
�  �0 � �
  y  2 �
�
� 4 y  3 y  2 �0
2

� y2+4y+4-4y2-12y-8 �0 � -3y2-8y-4 �0 � 3y2+8y+4 �0

�
�y  2
�
�
�
�y  2  0
� 2
�
�
�
�y  3
3
y

2

0
2
�
�
�

� (y+2)(3y+2) �0 � �
��
� 2 �y �
�
3
�y  2 �0
�y �2
�
�
�
�
�
3 y  2 �0
� 2
�
�
y�
�
�
� 3
�
Vì y �Z nên: 2 �y �1 :
- Với y=-2, thay y=-2 vào phương trình x2-xy+y2=2x-3y-2 ta được:
x2+2x+4=2x+6-2 � x2=0 � x=0. ta có: (x;y)=(0;-2)
- Với y=-1, thay y=-1 vào phương trình x2-xy+y2=2x-3y-2 ta được:
x2+x+1=2x+3-2 � x2-x=0 � x(x-1)=0
� x=0 hoặc x=1. ta có: (x;y)=(0 ;-1) (x;y)=(1;-1)

Vậy: Phương trình có 3 nghiệm nguyên là: (x;y)=(0;-2)
(x;y)=(0 ;-1)

(x;y)=(1;-1)
Bài toán 3: T×m cÆp sè (x, y ) nguyªn tháa m·n: 3x2 + 4y2 + 6x +4 y 5 = 0 (3)
Giải
(3) � 3x2 + 6x + 4y2 +4 y - 5 = 0
Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm
�  ' �0 � 9 – 3(4y2 + 4y – 5) �0
� -y2 - y + 2 �0
� ( y – 1)(y + 2) �0
� -2 �y �1

Vì y�Z, nên y = ( -2; -1; 0; 1)
Suy ra: (x; y) = (-1; 2), (-1; 1)
Bài tập :Tìm cÆp sè (x, y ) nguyªn tháa m·n:
13


1)
2)
3)
4)

x2 + y2 + xy - 2x - y = 0
x2 + 2y2 - 2xy + 3x - 3y + 2 = 0
x2 + 2y2 + 2xy - 3y - 4 = 0
2x2 + y2 - 2xy + y = 0

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức:
Bài toán 1: Cho x,y thỏa mãn điều kiện: x2+y2=xy+x-2y; (1) Chứng minh:


2 3
2 3
�x �
.
3
3

Giải: x2+y2=xy+x-2y � y2+(2-x)y+x2-x=0 (*)
Xét phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn y, ta có:
Phương trình (*) có nghiệm �  �0
� (2-x)2-4(x2-x) �0 � 4-4x+x2-4x2+4x �0

2 3
x�
3

4
4
� -3x2+4 �0 � x 2 � � x �
3
3

�  2 3 �x �2 3 (ĐPCM)
3
3

Bài toán 2: Cho x,y,z thỏa mãn: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5; (2).
Chứng minh rằng: 1 �x  2 y �4
Giải:
Ta có: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5

� z2 -2z +x2-4xy+ 4y2-5x+10y+5=0 (*)

Xem phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn z, có nghiệm:
�  ' �0
� 1-(x-2y)2+5x-10y-5 �0 � (x-2y)2-5(x-2y)+4 �0 � (x-2y-1)(x-2y-4) �0
�
�x  2 y  1 �0
�
�
�x  2 y  4 �0
�
�
�

�
�x  2 y  1  0
�
�
�x  2 y  4  0
�

1 x 2y

4

Vậy: 1 �x  2 y �4
Bài toán 3. Cho đẳng thức: x2 - x + y2 - y = xy. ( 3)
4
3

Chứng minh rằng: (y - 1)2 � ,

4
3

(x - 1)2 �

Giải
14

�


( 3) � x2 – ( y – 1)x + (y2 - y) = 0

(4)

 = (y + 1)2 - 4(y2 - y) = - 3y2 + 6y + 1

Để phương trình (4) ẩn x có nghiệm, ta phải có  ' �0 , tức là
4
3

3y2 - 6y - 1 �0 � 3y2 - 6y + 3 �4 � 3(y - 1)2 �4 � (y - 1)2 �

4
3

Vai trò x và y trong (3) bình đẳng. Do đó ta cũng có (x - 1)2 �
Bài toán 4: Cho a,b là hai số thực thỏa mãn: a2+4b2=1; (4)

Chứng minh rằng: a  b �

5
.
2

Giải:
Đặt a-b=x; � a=b+x, thay vào (4) ta có:
(b+x)2+4b2=1 � 5b2+2xb+x2-1=0 (*) (Phương trình bậc hai ẩn b) có nghiệm
�  ' �0
5
� x2-5(x2-1) �0 � -4x2+5 �0 � x2 � � x � 5 Hay: a  b � 5
4
2
2

Bài toán 5: Cho a,b,c thỏa mãn:
abc  4
�
�
ab  bc  ca  5
�

Chứng minh rằng:

2
�a, b, c �2
3

bc  4a

bc  4a
�
�
abc  4
�
��
��
bc  5  a  b  c 
bc  5  a  4  a 
ab  bc  ca  5 �
�
�

Giải: Ta có �

Khi đó b,c là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x sau:
x2-(4-a)x+5-4a+a2=0, có nghiệm �  �0
� (a-4)2-4(5-4a+a2) �0

� a2-8a+16-20+16a-4a2 �0

� -3a2+8a-4 �0 � 3a2-8a+4 �0 � (a-2)(3a-2) �0
�
a2 0
�
�
�
3a  2  0
2
�

� �
�
ۣ
�
3
a  2 �0
�
�
�
3a  2 �0
�
�
�

2
�a �2
3

15

a

2


Tương tự ta có:

2
2
2

�b �2 ; �c �2 Vậy: �a, b, c �2
3
3
3

Bài toán 6: ( Đề Thi HSG Toán 9 huyện Cẩm Xuyên năm học 2013- 2014)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2x +  x 2  4 x  1 (5)
Giải
ĐK: 2  5 �x � 5  2
(5) � P - 2x =  x 2  4 x  1
� P2 – 4Px + 4x2 = -x2 -4x+ 1
� 4Px + 5x2 – 4(P – 1)x + P2 – 1= 0

Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm
2
2
�  ' �0 � -P – 8P + 9 �0 � 25 –(P + 4) �0 � -9 �P �1

Vậy Max(P) = 1 � x = 0
* Qua việc áp dụng đề tài tôi có một số giải pháp sau:
Rèn cho học sinh khả năng tri giác, khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hoá
trong từng bài toán với yêu cầu cụ thể. Để từ đó hướng dẫn cho học sinh khả năng phát
triển, khai thác bài toán theo các hướng khác nhau nhằm khắc sâu kiến thức và phương
pháp giải.
Giáo viên cần chỉ ra các bài tập mà trong đó cần phải xét đến tính tổng quát của
vấn đề để phát triển và khai thác bài tập đó. Từ đó dẫn dắt học sinh vào một thế giới toán
học phong phú và lí thú, tạo điều kiện cho các em lĩnh hội được những tinh hoa của nhân
loại.
Việc khai thác một vấn đề toán học đòi hỏi giáo viên phải đầu tư suy nghĩ, có sự
sáng tạo và linh hoạt khi nhìn nhận vấn đề. Bên cạnh đó để truyền đạt được cho học sinh

những ý tưởng đó thì cần phải có phương pháp khéo léo và phù hợp để các em hiểu và
lĩnh hội được kiến thức.
Khêu gợi ở mỗi cá nhân học sinh sự sáng tạo và cho các em cơ hội thể hiện được
bản lĩnh và tri thức của mình trước một vấn đề toán học.
+ Bài tập khó hãy biết tạo cho học sinh dàn ý hoặc đưa thành bài tập đơn giản hơn
trên cơ sở điền khuyết .
+Bài tập vân dụng có tính chất phân loại cho học sinh từ đơn giản đến phức tạp .
+ Phân loại bài tập theo nhóm
16


* Đối với giáo viên:
- Phải xác định đúng mục tiêu môn học, lựa chọn phương pháp phù hợp, linh hoạt
với từng kiểu bài, dạng bài, chú ý phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học
sinh.
- Tâm huyết, yêu nghề, có tinh thần trách nhiệm, chịu khó tìm tòi, học hỏi, nghiên
cứu để nâng cao trình độ chuyên môn.
- Lựa chọn những nội dung, những chuyên đề phù hợp vừa đảm bảo kiến thức bám
sát vừa nâng cao, chuyên sâu hợp lí.
- Qua việc nêu vấn đề nhận thức, tạo động cơ, hứng thú cho học sinh, giáo viên cố
gắng biến ý đồ dạy học của mình thành nhiệm vụ học tập tự nguyện, tự giác của học
sinh, chuyển giao cho trò những tình huống để trò hoạt động.
- Khuyến khích học sinh sưu tầm tài liệu để có những cách giải hay liên quan đến
chuyên đề.
- Giảng dạy cho học sinh nắm được bản chất, trọng tâm vấn đề. Sau đó gợi mở
cho các em hướng tự nghiên cứu, khai thác vấn đề. Cần có câu hỏi tự ôn tập, tự kiểm tra
cho các em .
- Coi trọng kết quả, đánh giá học sinh theo tinh thần đổi mới, kiểm tra đánh giá
trên cơ sở bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng môn học, chú trọng đến phát triển năng lực
người học.

* Đối với học sinh:
- Xác định được mục đích học tập đúng đắn, nghiêm túc.
- Xác định được nhiệm vụ của mình là chủ động hoạt động nhận thức dưới sự
hướng dẫn của giáo viên.
- Luôn biết đưa ra những câu hỏi, những vấn đề nảy sinh trong quá trình nhận
thức.
- Vừa biết tư duy độc lập, vừa biết phối hợp nhóm khi cần thiết để tìm ra tri thức.
- Luôn chuẩn bị bài chu đáo trước khi đến lớp.
VIII. Những thông tin cần được bảo mật: Không
IX. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
+ Nguồn lực: - Học sinh đại trà
- Giáo viên: vững chuyên môn, nhiệt tình, trách nhiệm.
+ Thời gian: bố trí thời gian phù hợp dành cho các chuyên đề.
+ Cơ sở vật chất: có phòng học đầy đủ, trang thiết bị dạy học (máy chiếu, máy tính,….)
17


X. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng
sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
- Từ chuyên đề này các em có được những nội dung kiến thức,kĩ năng thiết thực
giúp các em hình thành được năng lực toán học cho bản thân; khơi dậy cho các em niềm
say mê, ham học hỏi, tìm tòi, sáng tạo.
Việc rèn luyện phương pháp và kĩ năng khai thác kết quả bài toán có tác dụng tích
cực trong việc củng cố và đào sâu kiến thức cơ bản phục vụ mục tiêu trước mắt là
thi vào 10 và tạo một phần nền tảng kiến thức cho học sinh. Qua đó học sinh tìm
thấy sự đam mê trong học tập và có ý chí vươn lên.
Trong quá trình giảng dạy học sinh đại trà lớp 9 triển khai các dạng toán dạng bài
tập áp dụng về phương trình bậc hai theo các hướng trên và thu được kết quả điểm kiểm
tra khảo sát và tìm hiểu tâm lý học sinh như sau:

Tỉ lệ điểm khảo sát
lý
sinh

Điểm
SL
Tâm
lý
Số HS
25 (lớp
0
Số HS
9)
25 (lớp 9)

Kém

Yếu

S
%
%
Thích
L học
SL
%
0
0
0
17

68,0

Trung
bình

Khá

Giỏi

Tâm
học

SL % SL % SL %
Bình thường
Không thích
SL 20, %
SL28,
% 52,
5
7
13
0
0
8
32,0
0
0 0

Kết quả nói chung về tư duy học toán của học sinh đội tuyển được nâng lên. Tạo
cho học sinh hứng thú học tập, say mê môn học khi tìm được lời giải và hướng khai thác

cho bài toán. Đặc biệt là qua lời giải của học sinh, ta thấy được tính tích cực, sự linh
hoạt, sáng tạo của học sinh khá giỏi.
Tuy nhiên vẫn còn bộ phận học sinh tiếp thu chưa nhanh vì do năng lực học sinh
và do bước đầu chưa quen, chưa được củng cố khắc sâu. Với đối tượng này giáo viên
cần chú ý hơn, kiên trì sẽ có được kết quả cao hơn.
Qua kết quả học tập thấy được phần nào tính ưu việt của phương pháp dạy học
mới: Lấy học sinh làm trung tâm. Từ đó giúp cho giáo viên củng cố hoàn thiện những
kiến thức và trau dồi chuyên môn và nghiệp vụ.
Đề tài “Giải một số bài toán vận dụng nghiệm của phương trình bậc hai” tuy là
một vấn đề khó nhưng trong quá trình tìm hiểu tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích
không những cho bồi dưỡng học sinh giỏi mà còn bồi dưỡng kiến thức cho giáo viên,
đặc biệt là những em học sinh muốn thi tuyển vào các lớp chọn, lớp chuyên của trung

18


học phổ thông, hy vọng qua đề tài này góp một phần nhỏ vào kho tàng kiến thức của quý
thầy cô giáo và các em học sinh.
XI. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến
lần đầu:
Số Tên tổ chức/cá
TT
nhân
1

Lớp 9A

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực

áp dụng sáng kiến

Trường THCS Đồng Tĩnh-Bồi dưỡng cho học sinh lớp 9
Tam Dương- Vĩnh Phúc

Tam Dương, ngày tháng 3 năm 2019
Thủ trưởng đơn vị
(Ký tên, đóng dấu)

Tam Dương,ngày 25 tháng 02 năm 2019
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Kiều Nga

19


B. ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY
I. Quá trình áp dụng của bản thân:
Bản thân tôi khi nghiên cứu xong sáng kiến này, tôi đã giảng dạy sáng kiến này cho
hai đối tượng học sinh Khá, Giỏi, tùy từng đối tượng mà tôi chọn bài tập cho phù hợp
thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong sáng kiến một cách khá dễ dàng, các em rất
hứng thú khi tự mình có thể lập ra các bài toán mới tương tự.
II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài
Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh lớp chọn 9D năm học 2015 – 2016 tôi đã
cho các em làm bài kiểm tra và kết quả thu được như sau:
LỚP
9D

SĨ
SỐ
32

GIỎI
SL
%

KHÁ
SL
%

12

13

%

%

TB
SL

%

7

%

III. Những bài học kinh nghiệm rút ra:

Qua đề sáng kiến này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng
một vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc, vì vậy người
thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao
trình độ cho bản thân.
20


IV. Những kiến nghị đề xuất
Khi giảng dạy sáng kiến này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng
phù hợp với đối tượng học sinh của mình.
PHẦN III. KẾT LUẬN
Đề tài “Giải một số bài toán vận dụng nghiệm của phương trình bậc hai” tuy là một
vấn đề khó nhưng trong quá trình tìm hiểu tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích không
những cho bồi dưỡng học sinh giỏi mà còn bồi dưỡng kiến thức cho giáo viên, đặc biệt
là những em học sinh muốn thi tuyển vào các lớp chọn, lớp chuyên của trung học phổ
thông, hy vọng qua đề tài này góp một phần nhỏ vào kho tàng kiến thức của quý thầy cô
giáo và các em học sinh.
Trên đây là một số bài toán và suy nghĩ của tôi trong việc nâng cao chất lượng dạy
học bộ môn Toán 9. Rất mong các bạn đồng nghiệp góp ý xây dựng để trong thực tế
giảng dạy của mình đối với môn toán nói chung và môn đại số nói riêng ngày càng có
chất lượng hơn.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi chưa thể
đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng
để sáng kiến này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 09 năm 2016
Người thực hiện

21