bài giảng đại số 9 chương 4 bài 4 công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài giảng môn Toán 9
BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Công thức
nghiệm
Xét phương trình tổng quát
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
(1)
≠
a x
2
+ bx = - c
2
b c
x x
a a
−
+ =
2
b
a
c
a
−
2
2
2
4
2 4
b b ac

x
a a
−
 
+ =
 ÷
 
2
2
2 4
b
x
a a
∆
 
+ =
 ÷
 

(do a 0 )
≠
x
2

+
2.x
.
=

2
2
b
a
 
 ÷
 
2
2
b
a
 
+
 ÷
 
2
4b ac
∆ = −
Người ta kí
hiệu
(2)
2x
2
+ 5x +2 = 0
 2x
2
+ 5x = - 2
 x

2
+ x = - 1
5
2
2 2
2
5 5 5
2. . 1
4 4 4
x x
   
⇔ + + = −
 ÷  ÷
   
2
5 9
4 16
x
 
⇔ + =
 ÷
 
5 3
4 4
x
⇔ + = ±
1
2
−
=>x = - 2 ; x =

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
x
1
= -2 ; x
2
=
1
2
−
Gọi là biệt thức của phương trình
( đọc là “đen ta” )
BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Công thức
nghiệm
Xét phương trình tổng quát
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
(1)
≠
a x
2
+ bx = -c
2
b c
x x
a a
−
+ =
2

b
a
c
a
−
2
2
2
4
2 4
b b ac
x
a a
−
 
+ =
 ÷
 
2
2
2 4
b
x
a a
∆
 
+ =
 ÷
 

(do a 0 )
≠
x
2

+
2.x
.
=




2
2
b
a
 
 ÷
 
2
2
b
a
 
+
 ÷
 
2
4b ac

∆ = −
Người ta kí
hiệu
(2)
?1
Hãy điền những biểu thức thích hợp
vào các ô trống ( ) dưới đây :
a) Nếu > 0 thì từ phương trình (2)
suy ra
V

2
b
x
a
+ = ±
Do đó, phương trình (1) có 2 nghiệm
1 2
, x x= =
b) Nếu = 0 thì từ phương trình (2)
suy ra
V

2
b
x
a
+ =
Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép x
=

Hoạt động nhóm
2
b
a
− + ∆
2
b
a
− − ∆
2
4 2a a
∆ ∆
= ±
0
2
b
a
−
BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Công thức
nghiệm
Xét phương trình tổng quát
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
(1)
≠
a x
2
+ bx = -c

2
b c
x x
a a
−
+ =
2
b
a
c
a
−
2
2
2
4
2 4
b b ac
x
a a
−
 
+ =
 ÷
 
2
2
2 4
b
x

a a
∆
 
+ =
 ÷
 

(do a 0 )
≠
x
2

+
2.x
.
=




2
2
b
a
 
 ÷
 
2
2
b

a
 
+
 ÷
 
2
4b ac
∆ = −
Người ta kí
hiệu
(2)
a) Nếu > 0 thì từ phương trình (2)
suy ra
V
Do đó, phương trình (1) có 2 nghiệm
b) Nếu = 0 thì từ phương trình (2)
suy ra
V
?2
Hãy giải thích vì sao <0 thì phương
trình vô nghiệm.
V
1 2
, x x= =
2
b
a
− + ∆
2
b

a
− − ∆

2
b
x
a
+ = ±
2
4 2a a
∆ ∆
= ±

2
b
x
a
+ =
0
Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép x
=
2
b
a
−
Nếu < O thì vế phải của phương
trình (2) là số âm còn vế trái là số
không âm nên phương trình (2) vô
nghiệm, do đó phương trình (1) vô
nghiệm.

∆
BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Công thức
nghiệm
Xét phương trình tổng quát
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
(1)
≠
2
b
a
c
a
−
2
2
2
4
2 4
b b ac
x
a a
−
 
+ =
 ÷
 
2

2
2 4
b
x
a a
∆
 
+ =
 ÷
 

x
2

+
2.x
.
=




2
2
b
a
 
 ÷
 
2

2
b
a
 
+
 ÷
 
2
4b ac
∆ = −
Người ta kí
hiệu
(2)
Đối với phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) và biệt thức
≠
2
4b ac
∆ = −
•
Nếu > 0 thì phương trình có hai
nghiệm phân biệt :
∆
1 2
;
2 2
b b
x x

a a
− + ∆ − − ∆
= =
•
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm
kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
∆
•
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
∆
+.Xác định các hệ số a, b, c
+.Tính
+.Tính nghiệm theo công thức nếu
0 Kết luận phương trình vô nghiệm
nếu < 0
∆
∆
∆
≥
a) Nếu > 0 thì từ phương trình (2)
suy ra
V
Do đó, phương trình (1) có 2 nghiệm
b) Nếu = 0 thì từ phương trình (2)

suy ra
V
c)Nếu <0 thì phương trình vô
nghiệm.
V
1 2
, x x= =
2
b
a
− + ∆
2
b
a
− − ∆

2
b
x
a
+ = ±
2
4 2a a
∆ ∆
= ±

2
b
x
a

+ =
Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép x
=
2
b
a
−
0
BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Công thức
nghiệm

Đối với phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) và biệt thức
≠
2
4b ac
∆ = −
•
Nếu > 0 thì phương trình có hai
nghiệm phân biệt :
∆
1 2
;
2 2
b b
x x
a a

− + ∆ − − ∆
= =
•
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm
kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
∆
•
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
∆
2. áp dụng
Ví dụ: Giải phương trình 3x
2
+ 5x –
1 = 0
Giải
Ta có a = 3; b = 5; c = -1
2
4b ac
∆ = −
= 5
2
– 4.3.(-
1)
= 25 +12

=37
>
0
ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGHIỆM,
PHƯƠNG TRÌNH CÓ 2 NGHIỆM
PHÂN BIỆT :
x
1
=
- 5
+
37
6
2
5 37
6
x
− −
=
;
+.Xác định các hệ số a, b, c
+.Tính
+.Tính nghiệm theo công thức nếu
0 Kết luận phương trình vô nghiệm
nếu < 0
∆
∆
∆
≥
BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1.Công thức
nghiệm

Đối với phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) và biệt thức
≠
2
4b ac
∆ = −
•
Nếu > 0 thì phương trình có hai
nghiệm phân biệt :
∆
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
•
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm
kép
1 2
2
b
x x

a
= = −
∆
•
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
∆
2. áp dụng
Ví dụ: Giải phương trình 3x
2
+ 5x –
1 = 0
Giải
Ta có a = 3; b = 5; c = -1
2
4b ac
∆ = −
= 5
2
– 4.3.(-
1)
= 25 +12
=37
>
0
ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGHIỆM,
PHƯƠNG TRÌNH CÓ 2 NGHIỆM
PHÂN BIỆT :
x
1
=

- 5
+
37
6
2
5 37
6
x
− −
=
;
?3
ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGHIỆM
ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH
SAU:
a) 5x
2
– x + 2 = 0
b) 4x
2
– 4x + 1 = 0
c) -3x
2
+ x + 5 =0
1 2
1
2
x x= =
2
1 4.( 3).5 61 0

∆ = − − = >
Phương trình vô nghiệm
2
( 1) 4.5.2 39 0∆ = − − = − <
Phương trình có 2 nghiệm phân
biệt
1 2
1 61 1 61 1 61
;
6 6 6
x x
− + − +
= = =
−
2
( 4) 4.4.1 16 16 0∆ = − − = − =
Phương trình có nghiệm
kép
Bạn An nói rằng : “phương trình
ax
2
+ bx + c = 0 ( a khác 0) nếu
có a, c trái dấu thì phương trình
luôn có hai nghiệm phân biệt”.
Điều đó đúng hay sai ? Giải
thích?
BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Công thức
nghiệm

Đối với phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) và biệt thức
≠
2
4b ac
∆ = −
•
Nếu > 0 thì phương trình có hai
nghiệm phân biệt :
∆
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
•
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm
kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
∆

•
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
∆
2. áp dụng
?3
ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGHIỆM
ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH
SAU:
a) 5x
2
– x + 2 = 0
b) 4x
2
– 4x + 1 = 0
c) -3x
2
+ x + 5 =0
1 2
1
2
x x= =
2
1 4.( 3).5 61 0
∆ = − − = >
Phương trình vô nghiệm
2
( 1) 4.5.2 39 0∆ = − − = − <
Phương trình có 2 nghiệm phân
biệt
1 2

1 61 1 61 1 61
;
6 6 6
x x
− + − +
= = =
−
 Chú ý
2
4 0b ac
∆ = − >
≠
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
có a và c trái dấu, tức là a.c < 0
thì
Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phân
biệt.
2
( 4) 4.4.1 16 16 0∆ = − − = − =
Phương trình có nghiệm
kép
Bạn An nói rằng : “phương trình
ax
2
+ bx + c = 0 (a khác 0) nếu
có a, c trái dấu thì phương trình
luôn có hai nghiệm phân biệt”.
Điều đó đúng hay sai ? Giải

thích?
BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Công thức
nghiệm

Đối với phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) và biệt thức
≠
2
4b ac
∆ = −
•
Nếu > 0 thì phương trình có hai
nghiệm phân biệt :
∆
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
•
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm
kép
1 2
2

b
x x
a
= = −
∆
•
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
∆
2. áp dụng
Bài tập 1
Cho phương trình x
2
+ 5x + m = 0 (m là
tham số)
a. Giải phương trình với m = 0; m= 6
b.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm ?
Kết quả
a)Với m = 0 phương trình trở thành :
x
2
+ 5x = 0
<-> x (x+ 5) = 0
<-> x = 0 hoặc x + 5
= 0 <-> x = 0 hoặc
x = -5 Vậy với
m = 0 phương trình có 2
nghiệm x
1
= 0; x

2
= -5

•
Với m = 6 thay vào phương trình ta
được : x
2
+ 5x + 6 = 0

‘

x
1
= -2 ; x
2
= -3
 Chú ý
2
4 0b ac
∆ = − >
≠
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
có a và c trái dấu, tức là a.c < 0
thì
Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phân
biệt.
BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Công thức

nghiệm

Đối với phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) và biệt thức
≠
2
4b ac
∆ = −
•
Nếu > 0 thì phương trình có hai
nghiệm phân biệt :
∆
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
•
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm
kép
1 2
2
b
x x
a

= = −
∆
•
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
∆
2. áp dụng
Bài tập 1
Cho phương trình x
2
+ 5x + m = 0 (m là
tham số)
a. Giải phương trình với m = 0; m= 6
b.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm ?
Kết quả
b. Ta có a = 1 ; b = 5; c = m
2
4b ac
∆ = −
= 5
2
– 4.1.m = 25 – 4m
+.Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi
⇔
∆
= 25 - 4m >
0
25
4
m <

+.Phương trình có nghiệm kép khi :
∆
= 25 – 4m =
0
⇔
25
4
m =
+.Phương trình vô nghiệm khi :
∆
= 25 – 4m <
0
⇔
25
4
m >
1 2
5
2
x x= = −
Nghiệm là
:
 Chú ý
2
4 0b ac
∆ = − >
≠
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)

có a và c trái dấu, tức là a.c < 0
thì
Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phân
biệt.
BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Công thức
nghiệm

Đối với phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) và biệt thức
≠
2
4b ac
∆ = −
•
Nếu > 0 thì phương trình có hai
nghiệm phân biệt :
∆
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
•
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm

kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
∆
•
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
∆
2. áp dụng
Bài tập 2
 Chú ý
2
4 0b ac
∆ = − >
≠
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
có a và c trái dấu, tức là a.c < 0
thì
Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phân
biệt.
Cho phương trình:
(m
2
+2m + 2).x
2

+3x – 1 = 0
(m – tham số) Tìm m để
phương trình có hai nghiệm phân
biệt ?
Giải
Ta có a = m
2
+ 2m + 2
= (m
2
+ 2m +1) +1
= (m + 1)
2
+ 1 > 0
với mọi m Còn c = -1 < 0
 a.c < 0
 Phương
trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
với mọi m.