SKKN hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trắc nghiệm tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân

MỤC LỤC

Trang

1. Lời giới thiệu

3

2. Tên sáng kiến

3

3. Tên sáng kiến

3

4. Chủ đầu tư sáng kiến

3

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

3

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử

4

7. Mô tả bản chất sáng kiến

4

7.1. Nội dung sáng kiến

4

Chương 1. Hệ thống kiến thức cơ bản

4

1.1. Bảng cơng thức đạo hàm

4

1.2. Quy tắc tính đạo hàm

4

1.3. Bảng cơng thức tính ngun hàm

4

1.4. Định nghĩa tích phân

5

1.5. Tính chất của tích phân

5

1.6. Phương pháp tính tích phân

6

1.7. Ứng dụng tích phân

6

Chương 2. Nội dung
2.1. Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất

8
9

2.1.1. Phương pháp giải

9

2.1.2. Bài tập áp dụng

9

2.1.2. Bài tập tự luyện

12

2.2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

13

2.2.1. Phương pháp giải

13

2.2.2. Bài tập áp dụng

14

2.2.2. Bài tập tự luyện

18

2.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

20

2.3.1. Phương pháp giải

20

2.3.2. Bài tập áp dụng

20

2.3.2. Bài tập tự luyện

23

2.4. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

25

2.4.1. Phương pháp giải

25

2.4.2. Bài tập áp dụng

25
1


2.4.2. Bài tập tự luyện

27

2.5. Ứng dụng tích phân tính thể tích

30

2.5.1. Phương pháp giải

30

2.5.2. Bài tập áp dụng

30

2.5.2. Bài tập tự luyện

33

2.6. Ứng dụng tích phân giải một số bài toán khác

35

2.6.1. Phương pháp giải

35

2.6.2. Bài tập áp dụng

35

2.6.2. Bài tập tự luyện

40

2.7. Bài kiểm tra đánh giá năng lực học sinh

43

2.7.1. Ma trận đề kiểm tra

43

2.7.2. Nội dung đề kiểm tra

43

2.7.3. Đáp án đề kiểm tra

46

Chương 3. Kết quả đạt được và kết luận

47

3.1. Bài học kinh nghiệm

47

3.2. Kết quả và kết luận

47

7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến

49

8. Những thông tin cần được bảo mật

49

9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

49

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến

49

theo ý kiến của tác giả
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng
kiến lần đầu

50

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. LỜI GIỚI THIỆU
Bài tốn tích phân là một trong những bài toán khá phong phú và đa dạng. Các em học
sinh thường lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ.
Qua thống kê các kỳ thi THPT Quốc gia các năm gần đây. Số câu hỏi có nội dung liên
quan tới bài tốn tích phân như sau:
2


Năm
Mã đề
Số câu hỏi

101
3

2017
102
3

103
3

101
5

2018
102
5

103
5

101
5

2019
102
5

103
5

- Hệ thống câu hỏi trong các mã đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần
- Các câu liên quan tới tích phân trong đề thi thường hỏi ở dạng hàm số dưới dấu tích phân là
hàm số ẩn và ứng dụng của tích phân.
Thực tế qua giảng dạy tôi nhận thấy đối với những bài tốn tích phân mà hàm số dưới
dấu tích phân cho cụ thể thì đa số học sinh có thể vận dụng kiến thức cơ bản để giải quyết tốt
bài tốn đó. Tuy nhiên khi gặp bài tốn tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân cho dưới
dạng hàm số ẩn thì nhiều học sinh gặp lúng túng khơng biết giải quyết bài tốn đó như thế
nào. Chính vì lí do đó tơi đã nghiên cứu và viết đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải một số bài
toán trắc nghiệm tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân”

Hy vọng sẽ hướng dẫn học sinh có cách nhìn tốt để chuyển một bài toán lạ về một bài
toán quen thuộc đã biết cách giải. Việc làm này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và
phương pháp giải các dạng tốn. Ngồi ra, các em học sinh cịn phải biết tư duy, phân tích,
vận dụng phương pháp giải một cách khoa học.
2. TÊN SÁNG KIẾN
- Hướng dẫn học sinh giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn.
3. TÁC GIẢ VIẾT SÁNG KIẾN
- Họ và tên: Nguyễn Trung Thành
- Địa chỉ : Trường THPT Yên Lạc
- Số điện thoại: 0988346588
- Email:
4. CHỦ ĐẦU TƯ SÁNG KIẾN: Nguyễn Trung Thành
5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
- Dành cho học sinh lớp 12 ôn tập thi THPT Quốc Gia.
6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ
- Ngày 18 tháng 01 năm 2019.
7. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
7.1. Nội dung của sáng kiến
- Chương 1: Hệ thống kiến thức cơ bản
1.1. Bảng cơng thức đạo hàm
1.2. Quy tắc tính đạo hàm
1.3. Bảng cơng thức tính ngun hàm
1.4. Định nghĩa tích phân

3


1.5. Tính chất của tích phân
1.6. Phương pháp tính tích phân
1.7. Ứng dụng tích phân

- Chương 2: Nội dung
2.1. Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất
2.2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
2.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
2.4. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
2.5. Ứng dụng tích phân tính thể tích
2.6. Ứng dụng tích phân giải một số bài toán khác
2.7. Bài kiểm tra đánh giá năng lực học sinh
2.7.1. Ma trận đề kiểm tra
2.7.2. Nội dung đề kiểm tra
2.7.3. Đáp án đề kiểm tra
- Chương 3: Kết quả đạt được và kết luận
3.1. Bài học kinh nghiệm
3.2. Kết quả và kết luận

Chương 1: HỆ THỐNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN
STT

HÀM THÔNG THƯỜNG
( x )  nx n1 ,  n ��, n  1

HÀM SỐ HỢP

n '

'

Nhóm 1

1
�1 �
� �  2 ,  x �0 
x
�x �

(u )'   .u 1.u '
'

u'
�1 �
� �  2
u� u
�

4


 x

'



1
2 x

 u

,  x  0

 sin u   u ' .cos u
'
 cos u   u ' .sin u

1

�
 tan x   2 , �
�x �  k �
cos x � 2
�
1
'
 cot x    2 ,  x �k 
sin x

u'
 tan u   2
cos u
u'
'
 cot u    2
sin u
'
'
 ln u   uu
'
u'
 loga u   u ln a

'

1
 ,  x �0 
x
1
'
,  0  a �1, x  0 
 log a x  
x ln a

 ln x 

'

( e x )'  e x

Nhóm 4

2 u

 sin x   cos x
'
 cos x    sin x
'

Nhóm 3



u'

'

'

Nhóm 2

'

(eu )'  u ' .e u
( a u )'  u ' .a u .ln a

(a x )'  a x ln a,  a  0, a �1

1.2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
'
1.2.1. Đạo hàm của tổng:  u �v   u ' �v '
1.2.2. Đạo hàm của tích:  uv   u 'v  uv '
'

'

'
'
�u � u v  uv
,  v �0 
1.2.3. Đạo hàm của thương: � �
v2
�v �

1.3. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP
1)

dx  x  C
�

�
sin x.dx   cos x  C
7) �

6) cos x.dx  sin x  C

x  1
2) �
x dx 
 C ,   �1
 1
1
3) �dx  ln x  C
x


4)

e dx  e
�
x

x

C

1

8)

�
cos

9)

1
.dx   cot x  C
�
sin 2 x

2

ax
5) �
a dx 
 C ,  a  0, a �1
ln a
1.4. ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn
x

x

.dx  tan x  C

[a; b].

Giả sử F  x  là một nguyên

hàm của f  x  trên [a; b]. Hiệu số F (b)  F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân
b

xác định trên đoạn

[a; b]

của hàm số

f ( x),

kí hiệu là

f ( x )dx.
�
a

1.5. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
a

f ( x)dx  0
1. �
a

b

a

a

b

f ( x) dx   �
f ( x) dx
2. �

5


3.

b

c

c

a
b

b

a

f ( x)dx  �

f ( x )dx  �
f ( x)dx ( a  b  c
�
b

b

a

a

)

[ f ( x)  g ( x)]dx  �
f ( x )dx  �
g ( x )dx .
5. �
a

b

b

a
b

a

k . f ( x )dx  k .�
f ( x)dx (k ��)

4. �
b

b

a

a

[ f ( x)  g ( x)]dx  �
f ( x) dx  �
g ( x) dx .
6. �
a

1.6. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1.6.1. Phương pháp đổi biến số
Định lí: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x   (t) có đạo hàm và liên
tục trên đoạn [ ;  ] sao cho  ( )  a,  (  )  b và a � (t ) �b với mọi t �[ ;  ].
Khi đó:

b



a



f ( x)dx  �

f ( (t )) '(t )dt.
�

1.6.2. Phương pháp tích phân từng phần
Định lí : Nếu u  u ( x) và v  v ( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

b

b

b

a

a

a

u ( x)v '( x) dx   u ( x)v( x)  a  �
u '( x)v( x) dx , hay viết gọn là �
udv  uv |ba  �
vdu .
�
b

a

1.7. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1.7.1. Tính diện tích hình phẳng

Bài tốn 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hồnh và hai đường thẳng

x =a ,

x =b thì diện tích miền phẳng

b

H được tính theo cơng thức S =�f ( x) dx
a

y
y  f (x)

O a c1

c2

�y  f (x)
�
�y  0
(H ) �
�x  a
�
�x  b

c3 b x

b

S�
f ( x ) dx
a

Bài toán 2: Cho hàm số y = f1 ( x) và y = f 2 ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi H là miền phẳng
giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó hai đường thẳng

x =a ,

x =b thì diện tích miền phẳng H

b

được tính theo cơng thức S =�f1 ( x ) - f 2 ( x ) dx
a

6


y

�
(C1): y  f1(x)
�
(C ): y  f2 (x)
�
(H ) � 2
�x  a
�x  b

�

(C1)
(C2 )

b

c2 b

a c1

O

S�
f1 ( x )  f 2 ( x ) dx

x

a

1.7.2. Thể tích vật thể
1.7.2.1. Thể tích của vật thể
Bài tốn: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các
điểm a và b; S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục
Ox tại điểm

x  a �x �b  Giả sử

S ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . Khi đó, thể tích của
b

S ( x )dx
vật thể B được tính theo cơng thức V =�
a

(V )
O

b

x

a

b

x

V �
S ( x )dx
a

S(x)

1.7.2.2. Thể tích khối trịn xoay
Bài tốn: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai
đường thẳng

x =a ,

x =b

 a  b

quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay.
b

Khi đó thể tích của nó được tính theo cơng thức V   �
�f  x  �
�dx

�

2

a

y
y  f (x)

O

a

b

�
(C ): y  f (x)
�
b

(Ox): y  0
2
�
Vx   �
 f ( x ) dx
�
x �x  a
a
�
x

b
�

Chương 2: NỘI DUNG

7


Để học sinh có thể làm tốt các dạng bài tập tích phân trong đề thi THPT QG thì cần
phải hướng học sinh suy nghĩ tìm lời giải cho bài tốn tích phân dựa vào kiến thức cơ bản như
sau:
Thứ nhất: Học sinh phải nhớ được bảng công thức đạo hàm cơ bản
Thứ hai: Học sinh biết các công thức nguyên hàm của hàm số thường gặp

Thứ ba: Học sinh phải luyện cho mình cách nhận dạng (loại) tích phân nhanh, vì biết được
dạng tích thì sẽ dễ dàng biết cách tính. Để nhận dạng tích phân cần tính, có thể nên tạo thành
thói quen tự đặt cho mình những câu hỏi về hàm số dưới dấu tích phân theo thứ tự như sau:
STT
Câu hỏi

Phương pháp đúng như câu hỏi đặt ra
1. Có phải dạng cơ bản khơng
Chỉ việc áp dụng cơng thức cơ bản
Có phân tích, biến đổi đại số, biến đổi
Chỉ việc phân tích, biến đổi, rồi áp dụng
2. lượng giác,… đưa về dạng cơ bản được
cơng thức
khơng?
Có tương tự dạng cơ bản, chỉ sai khác
3. hằng số hoặc chỉ sai khác hệ số của biến Dùng phương pháp đổi biến số
số khơng?
Có thừa số nào hoặc biểu thức nào là đạo
hàm đúng hoặc gần đúng (chỉ sai khác
4.
Dùng phương pháp đổi biến số
hệ số) của biểu thức khác trong hàm số
dưới dấu tích phân khơng?
Dùng phương pháp tích phân các hàm
5. Có thuộc loại tích phân hữu tỷ khơng?
hữu tỷ đã học
Có thuộc loại tích phân hàm số lượng Dùng phương pháp tích phân các hàm
6.
giác khơng?
lượng giác đã học
Có thuộc loại tích phân các hàm vơ tỷ Dùng phương pháp tích phân các hàm vơ
7.
khơng?
tỷ đã học
Suy nghĩ tìm thêm cách biến đổi biến số,
8. Ngồi các loại trên?

nếu không được, nên nghĩ đến việc dùng
phương pháp tích phân từng phần

8


2.1. TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
2.1.1. Phương pháp giải
Sử dụng tính chất và cơng thức nguyên hàm cơ bản
b

a

a
b

b

f ( x)dx   �
f ( x)dx
1. �

c

a
b

b

c

f ( x)dx  �
f ( x) dx  �
f ( x) dx ( a  b  c )
2. �

b

k . f ( x )dx  k .�
f ( x )dx (k ��)
3. �
a

b

a

b

b

a

a

[ f ( x ) �g ( x)]dx  �
f ( x)dx ��
g ( x)dx .
4. �

a

a

Chú ý:
1) Định lí dấu nhị thức bậc nhất và dấu tam thức bậc 2
�
�f  x  , f  x  �0
2) Biểu thức chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối f  x   �
 f  x , f  x  0
�
3) Định nghĩa vi phân df  x   f '  x  dx
4) Hàm số y  f  x  liên tục trên � và tuần hoàn với chu kì T thì
a T

T

a

0

�f  x  dx  �f  x  dx

5) Quy tắc đạo hàm của tích �
�f  x  .g  x  �
� f '  x  .g  x   f  x  .g '  x 
'

2.1.2. Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho

0

2

2

2

0

2

�f ( x)dx  2, �f ( x)dx  1. Tích phân �f ( x )dx bằng

A. 4

B. 3

C. 6

D. 1

Lời giải:
2

Ta có

0

2

2

3

0
3

3

1

1

1

�f ( x)dx  �f ( x )dx  �f ( x )dx  2  1  3. Chọn B.

2

Câu 2: Cho

g  x  dx.
�
�f  x   2 g  x  �
�dx  9. Tính I  �
�f  x  dx  5, �

A. I  14.

B. I  14.

C. I  7.

D. I  7.

Lời giải:
3

Ta có �
�f  x   2 g  x  �
�dx 

�
1

3

3

3

1

1

1
5

g  x  dx  9 � �
g  x  dx 
�f  x  dx  2.�

Câu 3: Cho các hàm số f  x  , g  x  liên tục trên � có

5  9
 7. Chọn D.
2

2 f  x   3g  x  �
�
�
�dx  5 ;
�

1

9


5

5

1

1

3 f  x   5g  x  �

�
�
�
�dx  21 . Tính �
�f  x   g  x  �
�dx
�
A. 5

B. 1

C. 5

D. 1

Lời giải:
Ta có:
5
�5
�5
�5
2
f
x

3
g
x
dx



5
2
f
x
dx

3
g
x
dx


5
f  x  dx  2
�
�
 �
 
��
� � 
��
�  
�
�1
�1
�1
1
� �5
� �5

�5
5
��
�
� g x dx  3
3 f  x   5g  x  �
3 f x dx  5 �
g  x  dx  21
�
�dx  21
��
� � 
�� 
�1
�1
�1
1

5

5

1

1

5

��
f  x  dx  �

g  x  dx  1 � �
dx  1 . Chọn D.
�
�f  x   g  x  �
�
1

Câu 4: Tính tích phân I 

2019

� 1  cos2 xdx.
0

A. I  0.

B. I  2 2.

C. I  2019 2.

D. I  4038 2.

Lời giải:


2

2019 



2018

I  2�
sin x dx  2 �
sin x dx  ...  2
0

�sin x dx



 2019 2 �
sin xdx  4038 2. Chọn D.
0

Câu 5: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  6;5 có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa
5

đường trịn như hình vẽ. Tính giá trị I  �
�f  x   2 �
�dx

�

6

A. 3  12

B. 2  32

C. 2  8

D. 3  12

Lời giải::

10


Nhận xét: Ở bài tốn này có thể dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết quả nhanh gọn.
Tuy nhiên để rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp tơi hướng dẫn học sinh giải bài tốn
theo hướng dài hơn là dùng định nghĩa và tính chất của tích phân để giải quyết bài tốn.
�x  4
�2
�
�
1+ 4  x 2
�
�
2x 1
�
�
� 3

Ta có: f  x  

khi  6 �x �2
khi  2 �x �2
khi 2 �x �5

5

2

2

5

5

6

6

2

2

6

�
I�
f  x  2�
f  x dx  �
f  x dx  �
f  x dx  �
2dx . Chọn B.
�
�dx  �

Câu 6: Cho các hàm số y  f  x  và y  g  x  có đạo hàm liên tục trên  0;2 và thỏa mãn
2

f '  x  g  x  dx  1,
�
0

2

2

0

0

�
f  x  g '  x  dx  2020. Tính tích phân I  �
�
�f  x  g  x  �
�dx.

A. I  1.

B. I  2020.
2

/

C. I  2019.

D. I  2018.

2

�
�
Lời giải:: Ta có I  �
�f  x  g  x  �
�dx  �
�f '  x  g  x   f  x  g '  x  �
�dx
/

0

0

2

2

0

0

�
f '  x  g  x  dx  �
f  x  g '  x  dx  2019. Chọn C.

Câu 7: Cho các hàm số y  f  x   0 xác định và có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn
x

g  x   1  2018�
f  t  dt , g  x   f
0

2

 x  . Tính

1

g  x  dx
�
0

1011
A.
2

1009
B.
2

C.

2019
2

D. 505

x

f  t  dt � g '  x   2018 f  x   2018. g  x 
Lời giải:: Ta có g  x   1  2018�
�

g ' x

t

g ' x

0

t

 2018 � �
dx  2018�
dx � 2
g  x
g  x
0
0





g  t   1  2018t (do

g  0  1)

1

1009 2 �1 1011
�
� g  t   1009t  1 � �g  t  dt  �
t  t �|0 
. Chọn A.
2
�2
�
0

'
Câu 8: Cho các hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn f  0   9
'
và 9 f ''  x   �
�f  x   x �
�  9 . Tính T  f  1  f  0 
2

A. T  2  9 ln 2

1
2

B. T  9

C. T   9 ln 2

''
'
Lời giải:: Ta có 9 f  x   �
�f  x   x �
� 9 � 
2

f ''  x   1

D. T  2  9 ln 2

1
'
9
�
�f  x   x �
�
2



f ''  x   1
1
1
x

dx  �dx � '

 C
2
Lấy nguyên hàm hai vế � '
9
f  x  x 9
�
�f  x   x �
�

11


'
Do f  0   9 � C 

1

1

1
9
�9
�
� f '  x 
x��
f '  x  dx  �
 x�
dx
�
9

x 1
x

1
�
�
0
0
1
2

Vậy T  f  1  f  0   9 ln 2  . Chọn C.
2.1.3. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho

3

3

2

0

2

0

�f  x  dx  a,�f  x  dx  b . Khi đó �f  x  dx bằng:

A. a  b

B. b  a

Câu 2: Cho hàm số f  x  thỏa mãn
A. I  32.
Câu 3: Cho

B. I  34.

C. a  b

D. a  b

5

2

2

5

2  4 f  x �
dx.
�
�
�
�f  x  dx  10. Tính I  �
C. I  36.

D. I  40.

2019

2019

2019

1

1

1

2 f  x  g  x �
�
�dx
�f  x  dx  2, �g  x  dx  5 . Tìm J  ��

A. J  1
B. J  1
C. J  0
Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị là đường gấp
khúc như hình vẽ bên. Tính

D. J  2

9

�f  x  dx .
0

A. 18
B. 2
C. 0
D. 16
Câu 5: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  3;5 và
có đồ thị như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần
2
của  P  : y  ax  bx  c ). Tích phân

53
.
A.
2
95
.
C.
7

3

�f  x  dx bằng
2

61
.
B.
3
97
.

D.
6

Câu 6: Cho hàm số f  x  liên tục trên �và thỏa mãn

1

2

5

0

�
�f  1  3x   9 �
�dx
�f  x  dx  9 . Tính �

.
A. 27

C. 15

B. 21

D. 75

Câu 7: Cho f  x  là hàm số liên tục trên �và thỏa mãn điều kiện

1

3

0

0

�f  x  dx  4, �f  x  dx  6 .

1

Tính I 

f  2 x  1  dx
�

1

A. I  6
B. I  3
C. I  4
D. I  5
Câu 8: Cho hàm số y  f  x  là hàm số xác định và có ngun hàm liên tục trên R, tuần
1

hồn có chu kì là T  6. Biết

2

�f  2 x  dx  1; �f  x  4  dx  3. Giá trị I  �f  x  dx bằng

2

0

A. 336

B. 334

2018

C. 332

0

D. 338

12


Câu
Đáp án

1
D

2
B

3
B

4
B

5
D

6
B

7
A

8
B

2.2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Ở phần này tôi hướng dẫn học sinh giải một số bài tốn tích phân mà hàm số dưới dấu
tích phân so với dạng cơ bản thấy chỉ sai khác ở chỗ: biến số có nhân thêm hệ số hoặc sai
khác hằng số hoặc đạo hàm một biểu thức sai khác với biểu thức cịn lại một hệ số thì dùng
phương pháp đổi biến số đặt ngay biểu thức đó bằng t để đưa tích phân đó về dạng cơ bản.
2.2.1. Phương pháp giải
Định lí :

b



a



�f  x  dx  �f    t   . ' t  dt

a) Đổi biến số loại 1
Bước 1: Đổi biến số đặt x    t  � dx   '  t  dt
Bước 2: Đổi cận x  a � t  
x b �t  



b

�



Bước 3: Đổi biểu thức dưới dấu tích phân I  f  x  dx  f   t  . '  t  dt

�



a

b) Đổi biến số loại 2

Bước 1: Đổi biến số đặt u    t  � du   '  t  dt
Bước 2: Đổi cận :

t  � u    a

t   �u    b

Bước 3: Đổi biểu thức dưới dấu tích phân I 



b



a

�f    t   . '  t  dt  �f  u  du

Chú ý : Một số dạng đặc biệt của tích phân
1)

 
�f  x  dx  ln f  x   C
f' x

2) Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau
b

b

a

a

�f  x  dx  �f  a  b  x  dx
3) Nếu f  x  là hàm chẵn và liên tục trên  a; a  thì
4) Nếu f  x  là hàm lẻ và liên tục trên  a; a  thì

a

a

a

0

�f  x  dx  2�f  x  dx

a

�f  x  dx  0

a

13


a
f  x
dx  �
f  x  dx , ( f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  a; a  )
5) �x

m 1
a
0
a

2.2.2. Bài tập áp dụng
5

f  x  dx  4 . Tính I 
Câu 1: Cho �
1

A. I  2

B. I 

2

f  2 x  1 dx
�

1

5
2

C. I  4

D. I 

3
2

Lời giải:
Đặt 2x  1 u � 2dx  du � I 
Câu 2: Cho

5

1
1
f  u du  .4  2
�
2 1
2

1


4

0

0

�f  x  dx  2020. Tích phân �f  sin 2 x  cos 2 xdx bằng:
B. 1009

A. 2019

C. 2018

D. 1010

Lời giải:

�x  0 � t  0
�
Đặt t  sin 2 x � dt  2 cos 2 xdx, đổi cận � 
x  �t 1
�
� 4

4

1

1
1
��
f  sin 2 x  .cos 2 xdx  �
f  x  dx  .2020  1010 . Chọn D.
20
2
0
Câu 3: Cho hàm số f  x  liên tục trên � và
I

e 2019 1

x
.f �
ln  x 2  1 �
�
�dx.
1
A. I  1.
B. I  2.

�x
0

2019

�f  x  dx  2 .

Tính tích phân sau

0

2

C. I  4.

D. I  5.

Lời giải:
2
Đặt t  ln  x  1 , suy ra dt 

1
Khi đó I 
2

2019

1
f  t  dt 
�
2
0

2019

�x  0 � t  0
2 xdx
xdx
dt
� 2
 . Đổi cận: �
2019
2
x 1
x 1 2
�x  e  1 � t  2019
1

�f  x  dx  2 .2  1. Chọn A.
0

Câu 4: Cho hàm số f  x  liên tục trên � và

9

f

  dx  4,

�
1

x

x


2

f  sin x  cos xdx  2.
�

Tính tích

0

3

f  x  dx.
phân I  �
0

A. I  2.

B. I  6.

C. I  4.

D. I  10.

Lời giải:

14


Xét

9

f

 x  dx  4. Đặt t 

�

x

1

x � t 2  x, suy ra 2tdt  dx.

 x 1� t 1

Đổi cận x  9 � t  3. Suy ra
Xét

9

 x  dx  2

f

�

x

1


2

f  sin x  cos xdx  2. Đặt u  sin x,
�

3

3

1

1

f  t  dt � �
f  t  dt  2.
�

suy ra du  cos xdx.

0


�
1
2
�x  0 � u  0
Đổi cận �x   � u  1. Suy ra 2  �
f  sin x  cos xdx  �
f  t  dt.
�
� 2
0
0
3

1

3

0

0

1

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  4. Chọn C.
Vậy I  �

Câu 5: Cho các hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  0;1 thỏa mãn m. f  x   n. f  1  x   g  x 
với m, n là số thực khác 0 và

1

1

0

0

f  x  dx  �
g  x  dx  1. Tính m  n.
�
1
2

A. m  n  0.

B. m  n  .

C. m  n  1.

D. m  n  2.

Lời giải:
Áp dụng tính chất

b

b

a

a

�f  x  dx  �f  a  b  x  dx

Từ giả thiết m. f  x   n. f  1  x   g  x  , lấy tích phân hai vế ta được
1

1

�
m. f  x   n. f  1  x  �
dx  �
g ( x)dx
�
�
�
0

0

1

f  1  x  dx  1 (do
Suy ra m  n �
0

1

1

0

0

f  x  dx  �
g  x  dx  1 ).  1
�

f  1  x  dx. Đặt t  1  x , suy ra dt  dx. Đổi cận: 
.
�
x 1� t  0
1

Xét tích phân

x  0 �t 1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

f  1  x  dx   �
f  t  dt  �
f  t  dt  �
f  x  dx  1.
Khi đó �

Từ  1 và  2  , suy ra m  n  1 . Chọn C.
Câu 6: Cho hàm số
e2

f  ln x 
2

�x ln x

f  x

liên tục trên � và thỏa mãn
2

f  2x

dx  1. Tính tích phân I  �
x
1

e

A. I  1.

 2

4

B. I  2.


4

tan x. f  cos x  dx  1,
�
2

0

dx.

C. I  3.

D. I  4.

Lời giải:

4

2
Xét A  �
tan x. f  cos 2 x  dx  1 . Đặt t  cos x.

0

15


Suy ra dt  2sin x cos xdx  2 cos 2 x tan xdx  2t. tan xdx � tan xdx  

dt
.
2t

�
�x  0 � t  1

Đổi cận: �x   � t  1 .
�
� 4
2

Khi đó A  

1
2

1
1
1
f  x
1 f  t
1 f  t
1 f  x
d
t

d
t

d
x
�
dx  2.
�
�
�

�
21 t
21 t
21 x
x
1



e2

2

2



2

2

f ln x
dx  1. Đặt u  ln 2 x.
Xét B  �
x ln x
e

2ln x
2ln 2 x
2u

dx
du
dx 
dx 
dx �
 .
x
x ln x
x ln x
x ln x 2u

Suy ra du 



x  e �u 1

Đổi cận: x  e 2 � u  4 .

4
4
4
f  x
1 f  u
1 f  x
d
u

d
x

�
dx  2.
�
�
�
21 u
21 x
x
1
2
f  2x
I �
dx.
Xét tích phân cần tính
x
1

Khi đó B 

2

1
�
dx  dv
�
�
�x  1 � v  1
Đặt v  2 x, suy ra � v2 . Đổi cận: � 4
2.
�

�x 
�x  2 � v  4
� 2
4
4
1
4
f  v
f  x
f  x
f  x
I  � dv  � dx  � dx  � dx  2  2  4.
Khi đó
Chọn D.
v
x
x
x
1
1
1
1
2

2

2

Câu 7: Cho hàm số f  x  liên tục trên � và thỏa f  x   f   x   2  2cos 2 x với mọi x ��.
Tính I 

3
2



f  x d x .
�

3
2

A. I  6 .

B. I  0 .

Lời giải:

C. I  2 .

D. I  6 .

3
3
�
�x   2 � t  2
.
Đặt t   x � dx  dt. Đổi cận: � 3
3
�x 

�t  
� 2
2


Khi đó I  

Suy ra 2 I 

3
2

3
2

3
2

�f  t  dt  �f  t  dt  �f   x  dx.

3
2
3
2



3
2



3
2

3
2

3
2

3
2

0

cosx dx  12 � I  6. Chọn D.
��
�f  x   f   x  �
�dx  � 2  2 cos 2 xdx  4 �



3
2



16

f  2 x  dx
 8. Tính
�
1 1  2019 x
A. 2.
B. 4.
C. 8.
D. 16.
Phương pháp: Đổi biến số và sử dụng tính chất của hàm số chẵn.
Lời giải:
Đặt t   x � dx  dt. Đổi cận: x  1 � t  1; x  1 � t  1
Câu 8: Cho hàm số chẵn y  f  x  liên tục trên R và

1

2

�f  x  dx
0

f  2 x  dx 1 f  2   dt  1 2t f  2t  dt
I�
�
�
(Vì y  f  x  là hàm số chẵn)
x
t
t
1


2019
1

2019
1

2019
1
1
1
1

1
1
f  2 x  dx 1 2 x f  2 x  dx
� 2I  �


f
2
x
dx
�
f  2 x  dx  2.8  16


�
�
�

1 1  2019 x
1 1  2019 x
1
1
1

� �f  2 x  dx  �
f  2 x  dx  16 . Do y  f  x  là hàm số chẵn
0

1

1
0

0

1

1

1

0

0

0

� �f  2 x  dx  �

f  2 x  dx � 2 �
f  2 x  dx  16 � �f  2 x  dx  8
1

Đặt 2 x  m � dx 

1
dm. Đổi cận x  0 � m  0, x  1 � m  2
2

2

2
1
� �f  2 x  dx  �
f  m  dm  8 � �f  x  dx  16 . Chọn D.
0
0
20
1

Câu 9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , f  x  và f '  x  đều nhận giá trị
1

1

2
�f '  x  . �f  x  �
 1�
dx  2 �f '  x  . f  x  dx.

dương trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   2, �
�
�
�
�
0
0
1

Tính �
�f  x  �
�dx.

�

3

0

15
.
4

B.

Phương pháp:

f n  x  . f '  x  dx 
�

A.

15
.
2

Lời giải:
1

C.

17
.
2

f n 1  x 
 C ,  n �1
n 1

1

D.

19
.
2

1

2

2
�f '  x  . �f  x  �
�dx  2 f '  x  . f  x  dx � �f '  x  . �f  x  �
�

1
� � �
� � 2 f '  x  . f  x   1�dx  0
�
�
�
�
�
0
0
0
1

2

� f '  x  . f  x   1�dx  0 � f '  x  . f  x   1  0 � f 2  x  . f '  x   1, x � 0;1
��
�
�
0

f 3  x
��
f  x  . f '  x  dx  �
1dx �

3
0
0
x

x

x

2

0

f 3  x  f 3  0
x�

x
3
3

1  3x  8
�
f
x
�
dx

3
x


8
dx

.




Mà f  0   2 � f  x   3 x  8 � �
�
�
�
3
2
0
0
1

3

3

1

2 1


0

19

. Chọn D.
2

17


2.2.3. Bài tập tự luyện
2

Câu 1: Cho

fx
�

5

2

1

 1 dx  2 . Khi đó I  �
f  x  dx bằng
2

A. 2.
B. 1.
C. -1.
D. 4.
Câu 2: Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn 2f  x   3f  1  x   1  x 2 . Tính
1

I�
f  x  dx.
0

A.


.
4

B.


.
6

4


.
20

C.

D.
2

5

f  4x  3 dx 
f  x  dx  6 và �
f  x  dx  10 , khi đó �
Câu 3 : Biết �
1

A.

1

4

3
.
2

B.

13
.
2


.
16

ln 2

f e e
�

2x

2x

dx bằng

0

C. 4 .

D. 1.

5
Câu 4: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên �, thỏa f  x  4 x  3  2 x  1 với mọi

8

x ��. Tích phân

�f  x  dx

bằng

2

A. 2.

B. 10.

C.

Câu 5: Biết f  x  là hàm số liên tục trên � và
2
.
2

A. 2 

B. 3 

32
.
3


2


4

0

0

f  x  dx  4 . Khi đó �
�
dx
�f  2 x   sin x �
�
�

2
.
2

C. 1 

Câu 6: Cho hàm số f  x  liên tục trên � và thỏa mãn
1

f  4x

Tính tích phân I  �
x
1

D. 72.


2

2
.
2

D. 2 





2
.
2

 x  dx  1 .

16 f
2
cot
x
.
f
sin
x
d
x

�
�


4

bằng

1

x

dx.

8

3
2

A. I  3.

Câu 7: Cho hàm số f  x  liên tục trên �. Biết

5
2

C. I  2.

B. I  .
ln 2

D. I  .

�f  e  1 dx  5 và
x

0

3

 2 x  3 f  x  dx  3

�
2

x 1

.

3

Tính I 

�f  x  dx
2

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

18


Câu

8:

f  x 



Cho

hàm

số

y  f  x

liên

tục

trên

  ln x . Tính tích phân của I  �f  x  dx .

[1;4]

và

thỏa

mãn

4

f 2 x 1

x
B. I  2ln 2.

x

đoạn

A. I  2 ln 2.
2

3

C. I  3  2ln 2 2.

D. I  ln 2 2.

�1 �
Câu 9: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên � ;2 �, thỏa f  x  
�2 �
2
f  x
I  �2
dx.
Tính tích phân
1 x 1

1
�1 �
f � � x 2  2  2.

x
�x �

2

3
A. I  .
2

5
2

B. I  2.

D. I  3.

C. I  .

Câu 10: Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f  x  liên tục và luôn dương trên đoạn  0;a  thỏa
a

1
dx.
1 f  x 
0

mãn f  x  .f  a  x   1, x � 0;a  . Tính tích phân I  �
A. I 

a

2

B. I  a

C. I 

2a
3

D. I 

a
3

ĐÁP ÁN
Câu
Đáp án

1
D

2
C

3
D

4
B

5
A

6
D

7
B

8
A

9
A

10
A

19


2.3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
2.3.1. Phương pháp giải
Định lí : Nếu u  u  x  và v  v  x  là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  a; b  thì
b

b

u  x  .v '  x  dx u  x  .v  x  |  �
u '  x  .v  x  dx

�
b
a

a

a

Chú ý:
- Nhận dạng: Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số khác nhau
- Ý nghĩa: Đưa một tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn
'
- Tích phân hàm ẩn hay xuất hiện biểu thức dạng �
�f  u  �
� f  u  .u '
'

Bước 1: Quan sát xem hàm số dưới dấu tích phân là tích của 2 hàm số nào
Bước 2: Đặt một hàm số bằng

u và cịn lại bằng dv thơng thường dựa vào sơ đồ sau

Lượng giác

Mũ

Đa thức
Lôgarit

Lôgarit nê-pe

(Để ý hàm số dưới dấu tích phân có thể chứa tích f '  x  .g  x  với g  x  có thể là hàm đa
thức, hàm lượng giác, hàm mũ, loga nê pe thì đặt dv  f '  x  và u  g  x  ).
Bước 3: Áp dụng cơng thức tích phân từng phần đưa tích phân về dạng đơn giản.

2.3.2. Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho
A. 4032

2

1

0

0

f  2 x  dx bằng:
 1  2 x  f '  x  dx  3 f  2   f  0   2020. Tích phân �
�
B. 1010

C. 0

D. 2020

20


Lời giải:

2

2

 1  2 x  f '  x  dx  �
 1  2x  d  f  x    1  2x  f  x 
�
0

0

2
0

2

 2�
f  x  dx
0

2

2

1

0

0

0

� 2020  3 f  2   f  0   2 �
f  x  dx � �
f  x  dx  2020 � �
f  2 x  dx  1010

2

��
0; , thỏa mãn
Câu 2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên �
� 2�
�

f  0   3. Tích phân


2

f  x  sin 2 xdx
�

f '  x  cos
�

2

xdx  10 và

0

bằng

0

A. I  13.

B. I  7.

C. I  7.

Lời giải:
Xét


2



�
u  cos 2 x

D. I  13.

du   sin 2 xdx

�
f '  x  cos xdx  10 , đặt �
v  f  x

dv  f '  x  cos 2 xdx
�
�
2

0


2

10  �
f '  x  cos 2 xdx  cos 2 xf  x 
0


2
0


2


2

0

0

.

�
f  x  sin 2 xdx � �
f  x  sin 2 xdx  10  f  0   13. Chọn D.
3

3

0

0

f x
x. f �
e   dx.
 x  .e f  x  dx  8 và f  3  ln 3 . Tính I  �
Câu 3: Cho hàm số f  x  thỏa mãn �

A. I  1.

B. I  11.

C. I  8  ln 3.

D. I  8  ln 3.

Lời giải:
ux
d u  dx
�
�

� � f  x  . Khi đó
f  x
Đặt �dv  f �
x
.
e
d
x
ve
 
�
�
3

3

0

0

3

x. f �
 x  .e
�

f  x

dx  x.e

f  x

3
0

0

3

�
e   dx.
f x

0

f  3
f x
f x
e   dx � �
e   dx  9  8  1. Chọn A.
Suy ra 8  3.e  �

Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn

2

f  x  1 dx  3
�

và

1

1

x3 f '  x 2  dx bằng
f  1  4. Tích phân �
0

1
2

A. 1.

B.  .

C.

1
.
2

D. 1.

Lời giải:
2

Ta có

1

1

f  x  1 dx  3 ���
��
f  t  dt  3 hay �
f  x  dx  3.
�
t  x 1

1

0

1

tx
x 3 f '  x 2  dx ���
�
Xét �
2

0

0





1
1
ux
du  dx
tf '  t  dt  �
xf '  x  dx. Đặt
�
�
dv  f '  x  dx
v  f  x .
20
20
1

1

1
1 1
� 1
1
1�
1
x f '  x  dx ���
� �
tf '  t  dt  �
xf  x   �
f  x  dx �  4  3  . Chọn
Khi đó �
20
2�

2
0 0
� 2
0
1

3

2

t  x2

C.

21


Câu

5:

Cho

hàm

y  f  x

số

với

f  0   f  1  1.

Biết

rằng:

1

e �
�f  x   f '  x  �
�dx  ae  b.
�
x

0

Tính Q  a 2019  b 2019 .
A. Q  22019  1.
B. Q  2.
C. Q  0.
Lời giải:
�
�
u  ex
du  e x dx 1 x
�
�
��
��

e . f '  x  dx  e x . f  x 
Đặt �
dv  f '  x  dx
v  f  x
0
�
�

D. Q  22019  1.
1

1
0

�
e x . f  x  dx
0

�a  1
��
e x . f '  x  dx  �
e x . f  x  dx  e. f  1  f  0  � ae  b  e  1 � �
. Vậy Q  0.
b


1
�
0
0

1

1

Câu 6: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;2 . Biết f  0   1 và
f  x f  2  x  e

2

2 x2 4 x

x

với mọi x � 0; 2  . Tính tích phân I  �

3

 3x2  f '  x 

0

14
A. I   .
3

32
B. I   .
5

C. I  

f  x

16
.
3

dx.

D. I  

16
.
5

Lời giải:
2

x

Ta có I  �

3

 3x 2  f '  x 

0

f  x

I   x 3  3x 2  ln f  x 

2
0

�
u  x3  3x 2
�du   3x 2  6 x  dx
�
�
f
'
x


�
.
dx. Đặt �dv 
dx �v  ln f  x 
�
�
f  x
�
f  2 1

2

2

�

 3x 2  6 x  ln f  x  dx   3�
 x2  2 x  ln f  x  dx  3J .
0

2

0

x  2 t

J �
 x 2  2 x  ln f  x  dx 
0
0

0

�
 2t
�
�
2

2

 2 2  t �
ln f 2  t  d  2  t 
� 
2

2
�
�
ln f 2  x  d  2  x   �
�2  x   2  2  x  �
 x 2  2 x  ln f  2  x  dx.
� 
2

0

2

2

2

0

0

� 2J  �
 x 2  2 x  ln f  x  dx  �
 x 2  2 x  ln f  2  x  dx  �
 x 2  2 x  ln f  x  f  2  x  dx
0

2

�

 x 2  2 x  ln e2 x

2

4 x

0

2

dx  �
 x 2  2 x   2 x2  4 x  dx 
0

32
16
16
� J  . Vậy I   . Chọn D.
15
15
5

Câu 7: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn
1

1

1

 0;1

thỏa mãn f  1  0 ,

1

�
x f  x  dx  . Tính �
f  x  dx .
 x �
�f �
�dx  7 và �
�
3
2

0

2

0

7
A. .
5

0

B. 1 .

C.

7
.
4

D. 4 .

Lời giải:

22


�du  f �
 x  dx

�
u  f  x
1
�
� 3
x f  x  dx  . Đặt �
�
Xét �
� x
2
3
0
�dv  x dx �v 
1

2

�

1

3

1

1

1
1
1 3
��
x f  x  dx  x 3 f  x   �
x f�
 x  dx � x3 f �
 x  dx   1
 x  dx   x3 f �
3
3
3
0
0
0
0
0
1

1

�

2

1

1

�
14 x 3 f �
 x �
 x  dx  14 ,
Ta lại có �
�f �
�dx  7 , �
2

0

1

0

1

1

�

1

49 x dx  7 x
�
6

0

1

7 1
0

7

�
��
�
14 x f �
49 x dx  0 � �
 x �
 x  dx  �
 x   7 x3 �
�f �
�dx  �
�f �
�dx  0
2

0

3

2

6

0

0

0

4

� f�
 x   7 x3  0, x � 0;1 � f � x   7 x3 , x � 0;1 � f  x    7 x  C
4
Ta có f  1  0 � C 

7
7
� f  x    1  x4 
4
4
1

1

1
7
7 � x5 � 7 � 1 � 7
��
f  x  dx  �
1  x 4  dx  �x  �  �
1  � Chọn A.

40
4 � 5 �0 4 � 5 � 5
0

Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R và
1

 x  dx, khi đó K
có đồ thị như hình bên. Đặt K  x. f  x  . f �

�
0

thuộc khoảng nào sau đây?
3�
�
� 3 2�
2;  �
.
.
A.  3;  2  . B. �

C. � ;  �
2�
�
� 2 3�
Lời giải:
du  dx
�
ux
�
�
� � f 2  x .
Đặt �
�
d
v

f
x
.
f
x
d
x
   
�
�v 
�
2

�2 �

 ;0 �
.
D. �
�3 �

1

1
1
x f 2  x
1
1 1
x. f  x  . f �
 �
f 2  x  dx   �
f 2  x  dx.
Khi đó K  �
 x  dx 
2
20
2 20
0
0
1

Từ đồ thị, ta thấy:
1
1
f 2  x
2  x

f 2  x

7
1
2
dx  �
dx  � K   �
dx   .
• f  x   2  x, x � 0;1 � �
2
2
6
2 0 2
3
0
0
1

2

1
1
f 2  x
f 2  x
1
3
dx  �
2dx  2 � K   �
dx   . Chọn C.
• f  x   2, x � 0;1 � �

2
2 0 2
2
0
0
1

2.3.3. Bài tập tự luyện

23


Câu 1: Biết F  x  là nguyên hàm của f  x  trên � thỏa mãn
Tích phân

e

�ln x. f  x  dx
1

�F  x  d  ln x   3 và F  e   5.
e

1

bằng

A. 3.

B. -3.

C. 2.

D. -2.

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên � và thỏa mãn f ( 3) = 7 ,
3

1

�f ( x) dx = 3. Giá trị
0

8
.
3

A.

( 3 x) dx
�xf �

bằng

0

B. 6.

C. 8.

D. 2.
2

4

�x �
f ( x ) dx  4. Tính I  �
xf ' � �
dx.
Câu 3: Cho hàm số f ( x) liên tục trên � và f (2)  16, �
2
�
�
0
0

A. I  12.
Câu 4: Cho

B. I  112.



C. I  28.



D. I  144.



�
2 f  x   x sin x  3g  x  �
dx
f  x  dx  2 và �
g  x  dx  1 . Tính I  �
�
�
�
0

0

0

A. 7  

B. 7  4

Câu 5: Cho hàm số f  x  thỏa mãn

C.   1

D. I  7 


4

� 2 x  3 . f '  x  dx  15 và 7. f  2   5. f  1  8. Tính
2

1

2

I  �f  x  dx.
1

7
2

2
7

A. I  .

2
7

B. I   .

C. I  .

7
2

D. I   .

Câu 6: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên � thỏa mãn

f  0   3 và

2

xf '  x  dx bằng:
f  x   f  2  x   x  2 x  2 x ��. Tích phân �
2

0

4
3

A. 

B.

2
3

C.

Câu 7: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;1 và thỏa mãn
1

5
3

1

D. 

10
3

1

�2
2 2�
f
x

2ln
dx  2 �
f  x  dx.
�


�f  x  ln  x  1 �
�dx. Tích phân I  �
�
�
�
e
�
0�
0
0
e
4

e
2
A. I  ln .
B. I  ln .
C. I  ln .
D. I  ln .
4
e
2
e
��
� �
0; �và f � � 0. Biết rằng
Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn �
� 4�
�4 �

4




4




8

f  x  dx  ; �

f '  x  sin 2 xdx   . Tính tích phân I  �
f  2 x  dx .
�
8
4
0

2

0

0

24


1
2

1
4

A. I  .

B. I  .

C. I  2 .

D. I  1 .

Câu 9: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f  0   f  1  0 . Biết
1

f 2  x  dx 
�
0

A.

1

1

,�
f '  x  cosxdx  . Tính
2 0
2

3
2

1

f  x  dx
�
0

2


B.

C.



D.

ĐÁP ÁN
Câu
1
2
3
4
5
6
7
Đáp án
C
D
B
A
D
D
B
2.4. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1


8
B

9
B

2.4.1. Phương pháp giải
Bước 1: Xác định miền phẳng D cần tính (có thể vẽ hình để dễ xác định miền phẳng)
Bước 2: Áp dụng công thức
b

+ S =�f ( x) dx
a

b

+ S =�f ( x) - g ( x) dx
a

Chú ý:
1) Bài toán 2 đường cong hoặc 3 đường cong tự cắt phải xác định giao điểm của đồ thị
2) Tiếp tuyến của (C) y  f  x  tại điểm M  x0 ; f  x0   là y  f '  x0   x  x0   f  x0 
3) Cách xác định hàm số dựa vào số nghiệm của phương trình hồnh độ giao điểm.
4) Cách khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối của 1 biểu thức bằng phương pháp lập bảng xét
dấu.
2.4.2. Bài tập áp dụng
0;4�
Câu 1: Cho đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn �
�
�như hình vẽ.

4

11
9
Biết diện tích S1 = ,S2 = . Tính tích phân I = �f (x)dx .
6
2
0

A. I =C. I =

8
3

8
3

19
3
19
D. I =3

B. I =

Lời giải:

25