EurekaUni Toán Cao Cấp NEU. Giải đề cuối kì K58>K61

Toán cao cấp cho các nhà kinh tế
Eureka! Uni

SOẠN GIẢI: HOÀNG BÁ MẠNH

Kênh học tập trực tuyến

ĐỀ CUỐI KÌ
K58→K61
GIẢI CHI TIẾT
NEU – Spring 2020


1.

2.

MỤC LỤC
ĐỀ CUỐI KÌ K61 .................................................................................................................... 1
1.1.

Đề 1. NT29_CLC_09/12/19_Ca 1 .................................................................................... 1

1.2.

Đề 2. LNT11_CLC_09/12/19 – Ca 2 ............................................................................... 3

1.3.

Đề 3. HVT14_CQ_10/12/19_Ca 1 ................................................................................... 6

1.4.

Đề 4. QTH17_CQ_10/12/19_Ca 2 ................................................................................... 8

1.5.

Đề 5. ALA50_CQ_10/12/19_Ca 3 ................................................................................. 11

1.6.

Đề 6. HBQ26_CQ_10/12/19_Ca 4 ................................................................................. 14

ĐỀ CUỐI KÌ K60 .................................................................................................................. 18
2.1.

Đề 1. CLC19605 ............................................................................................................. 18

2.2.

Đề 2. EUII417................................................................................................................. 20

2.3.

Đề 3. DPM04_Ca 1 ngày 1 ............................................................................................. 21

2.4.

Đề 4. NPV_Ca 2 ngày 1 ................................................................................................. 24

2.5.

Đề 5. TVH13_Ca 3 ngày 1 ............................................................................................. 26

2.6.

Đề 6. TTT21_Ca 4 ngày 1 .............................................................................................. 29

2.7.

Đề 7. VNC28_Ca 1 ngày 2 ............................................................................................. 31

2.8.

Đề 8. LNT08_Ca 2 ngày 2.............................................................................................. 32

2.9.

Đề 9. HHT41_Ca 3 ngày 2 ............................................................................................. 34

2.10.
3.

ĐỀ CUỐI KÌ K59 .................................................................................................................. 39
3.1.

Đề 1. CLC1861814 (ca 1 đề 4) ....................................................................................... 39

3.2.

Đề 2. CLC1861823 ......................................................................................................... 41

3.3.

Đề 3. CQ1961816 ........................................................................................................... 45

3.4.

Đề 4. CQ1961825 ........................................................................................................... 47

3.5.

Đề 5. CQ1961831 ........................................................................................................... 50

3.6.

Đề 6. CQ1961842 ........................................................................................................... 52

3.7.

Đề 7. CQ2061811 ........................................................................................................... 55

3.8.

Đề 8. CQ2061821 ........................................................................................................... 58

3.9.

Đề 9. CQ2061835 ........................................................................................................... 60

3.10.

4.

Đề 10. ALT43_Ca 4 ngày 2 ........................................................................................ 36

Đề 10. CQ2061842 ..................................................................................................... 63

ĐỀ CUỐI KÌ K58 .................................................................................................................. 66
4.1.

Đề 1. LQ02061711 ......................................................................................................... 66

4.2.

Đề 2. HV02061723 ......................................................................................................... 68

4.3.

Đề 3. HQ02061736 ......................................................................................................... 70

4.4.

Đề 4. ĐV02061744 ......................................................................................................... 71


4.5.

Đề 5. VQ03061713 ......................................................................................................... 73

4.6.

Đề 6. NV03061723 ......................................................................................................... 77

4.7.

Đề 7. TH03061735 ......................................................................................................... 78

4.8.

Đề 8. AQ03061743 ......................................................................................................... 82

XIN CHÀO CÁC BẠN
Tại hạ, học đi không thay tên, học lại không đổi họ, cư dân mạng gọi là LND9492 (a.k.a Hoàng
Bá Mạnh)
Liên tục nhận đăng kí lớp học Online (trên Google Meet, Microsoft Teams) các học phần đại
cương như Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (giải tích), Lý thuyết xác suất và Thống kê toán,
Kinh tế lượng (Cơ bản / Nâng cao)
Đăng kí

Facebook: />Số điện thoại: 0986.960.312

Slogan

Chưa nghĩ ra!

CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT!
-----------------------------------------------------------------------------------------🔺 KÊNH HỌC TẬP ONLINE FREE EUREKA! UNI:
/>▶ HỆ THỐNG GROUP THẢO LUẬN, HỎI ĐÁP CÁC MÔN HỌC:
✅ Group Toán cao cấp: />✅ Group Xác suất thống kê: />✅ Group Kinh tế lượng: />✅ Group Kinh tế vi mô: />✅ Group Kinh tế vĩ mô: />🔴 Fanpage của Eureka! Uni: />🔷 Website Eureka! Uni:

Page 1 of 91
Trang Eureka Uni

/>
1. ĐỀ CUỐI KÌ K61
1.1.Đề 1. NT29_CLC_09/12/19_Ca 1
3

lim (1 + sin 4x ) 8x

Câu 1. Tính giới hạn:

x →0

Câu 2. (Đề bị khuyết 2 số màu đỏ, mình tự thêm vào) Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu: Q = 100 − 0,5 p
và hàm chi phí cận biên: MC = Q 2 − 14Q + 200
a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 20 và nêu ý nghĩa của kết quả nhận được
b) Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp tối đa lợi nhuận
Câu 3. Một công ty sản xuất và bán ô tô điện vừa giới thiệu một mẫu ô tô điện biết rằng hàm cung cận biên
của công ty đối với mẫu này có dạng:

MS = S  ( p ) =

270 p

( 45 − p )

2

; 0  p  45

S ( p ) là lượng xe được đặt hàng khi giá là p (nghìn USD/chiếc). Tìm hàm cung S ( p ) biết công ty sẽ bán
được 3400 chiếc khi giá là 44 (nghìn USD
Câu 4. Tìm các điểm cực trị của hàm số: w = −x 2 − y 2 − 2z 2 − 2x − 4 yz − 4z − 5
Câu 5. Một người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 40x 0,5 y 0,5 . Cho biết giá bán mỗi đơn vị hàng hóa thứ nhất là
$25 và giá bán mỗi đơn vị hàng hóa thứ hai là $16.
a) Tìm túi hàng để người tiêu dùng đạt mức lợi ích U = 4000 với chi phí tối thiểu
b) Để lợi ích tăng thêm 1% thì chí phí tối thiểu sẽ thay đổi thế nào?
Câu 6. Giải phương trình vi phân:

( 4xy − x + 1) dx + ( 2x 2 − 2 y + 5)dy = 0
Giải chi tiết

Câu 1
3

y = (1 + sin 4x ) 8x  ln y =

3ln (1 + sin 4x )
8x

3ln (1 + sin 4x ) ( L )
12 cos 4x
3
= lim
=
x →0
x →0 8 (1 + sin 4x )
8x
2

lim ln y = lim
x →0

3

3

 lim (1 + sin 4x )8x = e 2
x →0

Câu 2

p
p
= −0,5.
Q
100 − 0,5 p

1
9
Ý nghĩa: Tại p = 20, nếu giá tăng 1 (%) thì lượng cầu giảm xấp xỉ 1/9 (%)
b) Q = 100 − 0,5 p  p = 200 − 2Q  TR = pQ = ( 200 − 2Q )Q = 200Q − 2Q 2
a) d = Q  ( p )

p = 20  d = −

 = TR −TC
  = MR − MC = ( 200 − 4Q ) − (Q 2 − 14Q + 100 ) = −Q 2 + 10Q = 0  Q = 10
  = −2Q + 10    (10 ) = −10  0

Vậy, Q = 10 là mức sản lượng cần tìm
Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 2 of 91
Trang Eureka Uni

/>
Câu 3

S ( p ) =  S  ( p ) dp = 
= 12150

 12150

270 p

( 45 − p )

dp

( 45 − p )

Lại có S ( 44 ) = 3400 

2

dp =  
2

−

270 
dp
( 45 − p ) 

 ( 45 − p )
270
12150
−
dp =
+ 270 ln ( 45 − p ) + C
45 − p
( 45 − p )
2

12150
+ C = 3400  C = −8750
45 − 44

Vậy, hàm cung phải tìm là: S ( p ) =

12150
+ 270 ln ( 45 − p ) − 8750
45 − p

Câu 4
MXĐ:

3

w x = −2x − 2 = 0
x = −1


 y = 2
w y = −2 y + 4z = 0
 

z = 1
w z = −4z + 4 y − 4 = 0

 = w yx
 = 0;w xz
 = w zx
 = 0;w yz = w zy
 = 4
w x = −2;w y = −2;w z = −4;w xy
2

2

2

 −2 0 0 



 H =  0 −2 4  có D1 = −2  0 ; D1 = −2  0 ; D 3 = 16  0
 0 4 −4 


Vậy, ( x , y , z ) = ( −1,2,1) không phải điểm cực trị của w ( x , y , z )
Câu 5
Tối thiểu chi phí tiêu dùng

C = 25x + 16 y

Điều kiện:

Lợi ích mong muốn

40x 0,5 y 0,5 = 4000

Lagrange:

L = 25x + 16 y +  ( 4000 − 40x 0,5 y 0,5 )

a) Mục tiêu:


5x 0,5 4 y 0,5
=
 =
Lx = 25 − 20 x −0,5 y 0,5 = 0
4 y 0,5 5x 0,5
x = 80





0,5 −0,5
= 0  25x = 16 y
  y = 125
L y = 16 − 20 x y

 0,5 0,5
 = 1
0,5 0,5

L = 4000 − 40x y = 0 x y = 100

Tại ( x , y ,  ) = ( 80;125;1) , ta có:

L11 = 10x −1,5 y 0,5  0 ;

g1 = 20x −0,5 y 0,5  0

g 2 = 20x 0,5 y −0,5  0

L22 = 10x 0,5 y −1,5  0

L12 = L21 = −10x −0,5 y −0,5  0

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 3 of 91
Trang Eureka Uni

0
 g1

g2

/>
g1 g 2
L11 L12 = g 1g 2 L12 + g 2 g 1L21 − g 22 L11 − g 12 L22  0
L21 L22

Vậy, ( x , y ) = ( 80;125) là túi hàng cần tìm
b) Hệ số co dãn của chi phí tối thiểu (C min ) theo lợi ích (U 0 ) là: C min =

C min U 0
U

= 0
U 0 C min
C min

4000
=1
4000

Vậy, để lợi ích tăng thêm 1% thì chi phí tối ưu cần phải tăng thêm 1%
Tại U 0 = 4000   = 1;C min = 25.80 + 16.125 = 4000  C min = 1.

Câu 6

M = 4xy − x + 1; N = 2x 2 − 2 y + 5 , vì M y = 4x  N x  phương trình vi phân đã cho là phương
trình vi phân toàn phần, với vế trái là vi phân toàn phần của hàm số:


y

x

w ( x , y ) =  ( −x + 1) dx +  ( 2x 2 − 2 y + 5) dy =  x −
0



0

x2  x

2 0

(

+ 2x 2 y − y 2 + 5 y

Tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: x −

x2
2

)0

y

=x−

x2
2

+ 2x 2 y − y 2 + 5 y

+ 2x 2 y − y 2 + 5 y = C

1.2.Đề 2. LNT11_CLC_09/12/19 – Ca 2
1−3x

Câu 1. Tính giới hạn:

 2x + 1 
lim 
x →+ 2x + 5 



Câu 2. Khai triển Taylor hàm số f ( x ) = ( x − 1) e

cos( x + 2 )

lũy thừa bậc 3 của ( x −1) với phần dư Peano

Câu 3. Biết hàm cầu và hàm cung đối với một loại sản phẩm lần lượt là:

Qd = −0,3 p + 40; Q s = 0,2 p − 10
a) Tính hệ số co dãn của cầu và cung theo giá tại mức giá p = 90 và nêu ý nghĩa của các kết quả tính được
b) Tìm điểm cân bằng của thị trường và thặng dư của người tiêu dùng tại điểm cân bằng
Câu 4. Tìm các điểm cực trị của hàm số:

U = 14x 2 + 12 y 2 + 8z 2 − 4xy − 12 yz − 6zx − 2x − 8 y − 18z + 2019
Câu 5. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 7K 0,3L0,8 . Cho biết giá thuê tư bản là w K = $30 và giá thuê lao
động là w L = $80 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với chi phí cố định là $11000. Hãy tìm mức sử dụng lao
động và tư bản để doanh nghiệp đạt được sản lượng tối đa.
+

Câu 6. Tính tích phân suy rộng:

I =

dx

 ( x + 6 ) ln ( x + 6 )
2

1

Câu 7. Giải phương trình vi phân:

xy  − 4 y = −7x 2

Giải chi tiết

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 4 of 91
Trang Eureka Uni

/>
Câu 1
1−3x

 2x + 1 
y =

 2x + 5 

 2x + 1 
 ln y = (1 − 3x ) ln 

 2x + 5 

−4 (1 − 3x ) ( L )
−4  ln(1+u )~u
12
 2x + 1 


lim ln y = lim (1 − 3x ) ln 
= lim (1 − 3x ) ln 1 +
= lim
= lim
=6


x →+
x →+
x
→+
x
→+
x
→+
2x + 5
2
 2x + 5 
 2x + 5 
1−3x

 2x + 1 
lim 
x →+ 2x + 5 



= e6

Câu 2
Đặt g ( x ) = e

g (1) = e cos3

cos( x + 2 )

, khai triển g ( x ) đến lũy thừa bậc 2 của ( x −1) , phần dư Peano

g  ( x ) = − sin ( x + 2 ) e cos( x + 2 )  g  (1) = − sin 3.e cos3

g  ( x ) = − cos ( x + 2 )e cos( x +2) + sin 2 ( x + 2 )e cos(x +2)  g  (1) = ( sin 2 3 − cos3)e cos3

(

)

1
2
2
 g ( x ) = e cos3 − e cos3 ( x − 1) sin 3 + e cos3 sin2 3 − cos3 ( x − 1) + o ( x − 1) 


2

(

)

1

2
3
3
 f ( x ) = ( x − 1) g ( x ) = e cos3 ( x − 1) − e cos3 ( x − 1) sin3 + e cos3 sin2 3 − cos3 ( x − 1) + o ( x − 1) 


2
Câu 3
a)  d =

dQd p
p
0,3.90
27
. p = 90  d = −
.
= −0,3
=−
dp Qd
−0,3 p + 40
−0,3.90 + 40
13

Ý nghĩa: Tại p = 90, nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm xấp xỉ

s =

27
%
13

dQ s p
p
0,2.90
9
. p = 90   s =
.
= 0,2
= = 2,5
dp Q s
0,2 p − 10
0,2.90 − 10 4

Ý nghĩa: Tại p = 90, nếu giá tăng 1% thì lượng cung tăng xấp xỉ 2,5%
b) Qd = Q s  −0,3 p + 40 = 0,2 p − 10  0,5 p = 50  p = 100  Q = 10

Qd = −0,3 p + 40  p =

40 − Q
0,3

40 − Q
40Q − 0,5Q 2 10
500
CS = 
dQ − 100.10 =
− 1000 =
0,3
0,3
0

3
0
10

Câu 4
MXĐ:

3

U x = 28x − 4 y − 6z − 2 = 0
28x − 4 y − 6z = 2
x = 1



U y = 24 y − 4x − 12z − 8 = 0  −4x + 24 y − 12z = 8   y = 2
 


−6x − 12 y + 16z = 18 z = 3
U z = 16z − 12 y − 6x − 18 = 0
Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 5 of 91
Trang Eureka Uni

/>
 = −4;U yz
 = U zy = −12;U xz = U zx − 6
U x = 28;U y = 24;U z = 16;U xy = U yx
2

2

2

 28 −4 −6 


 H =  −4 24 −12  có D1 = 28  0; D 2 = 656  0 D 3 = 5024  0
 −6 −12 16 


Vậy, (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,3) là điểm cực tiểu của U, giá trị cực tiểu 𝑈𝑐𝑡 = 𝑈(1,2,3) = ⋯
Câu 5
Mục tiêu:

Tối đa sản lượng

Q = 7K 0,3L0,8

Điều kiện:

Nguồn lực hữu hạn

30K + 80L = 11000

= 7K 0,3L0,8 +  (11000 − 30K − 80L )

Lagrange:








0,7L0,8 0,7K 0,3

=
=

0,7

L − 30 = 0
K = 100
K = 2,1K
10
K
10L0,2



0,3 −0,2


L − 80 = 0  K = L
 L = 100
L = 5,6 K
30K + 80L = 11000
 = 0,07.1000,1

 = 11000 − 30K − 80L = 0



−0,7

0,8

g1 = 30; g 2 = 80;
0 30
 30 11
80 21

11

= −1,47K −1,7 L0,8  0;

22

= −1,12K 0,3L−1,2  0 ;

12

=

21

= 1,68K −0,7 L−0,2  0

80
12

= 2400

12

+ 2400

12

− 802

11

− 302

22

0

22

Vậy, ( K , L ) = (100,100 ) là kết hợp đầu vào cần tìm

Câu 6

d  ln ( x + 6 )
t
1
1
1
=
=−
=
−
2
2

x + 6 ) ln ( x + 6 ) 1 ln ( x + 6 )
ln ( x + 6 ) 1 ln 7 ln (t + 6 )
1 (

t

I (t ) = 

t

dx

 1

1
1

1
lim I (t ) = lim 
−
−0 =
=
t →+
t →+ ln 7
ln (t + 6 )  ln 7
ln 7

+

Vậy,

dx

1

 ( x + 6 ) ln ( x + 6 ) = ln 7
2

1

Câu 7

xy  − 4 y = −7x 2  y  −

4

x

y = −7x (*)

dx
ln( x 4 )
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất liên kết với (*) là: y = Ce  x = Ce
= Cx 4
4

Nghiệm riêng của (*) có thể tìm dưới dạng: y 0 = C ( x ) x 4 , C(x) là hàm của x
Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 6 of 91
Trang Eureka Uni

/>
y 0 = C  ( x ) x 4 + 4x 3C ( x )

y 0 −

4

4

y 0 = −7x  C  ( x ) x 4 + 4x 3C ( x ) − C ( x ) x 3 = −7x  C  ( x ) x 4 = −7x

x
x

 C  (x ) = −

7

x

3

 C ( x ) = −7

7
dx
7
7
= 2  ta có nghiệm riêng: y 0 = C ( x ) x 4 = 2 .x 4 = x 2
3
2x
x
2
2x

7
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: y = x 2 + Cx 4
2
1.3.Đề 3. HVT14_CQ_10/12/19_Ca 1
Câu 1. Chứng minh hai vô cùng bé sau đây tương đương khi x → 0

 ( x ) = (1 + 5x ) − 1 và  ( x ) = 5 3x
3

Câu 2. Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngược: p = 1800 − 8,5Q :
c) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 30 (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) và giải thích
ý nghĩa của kết quả tìm được
d) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, cho biết hàm chi phí cận biên MC = Q 2 − 36Q + 250
Câu 3. Tính đạo hàm của hàm ẩn 2 biến z = z ( x , y ) xác định bởi phương trình:

e xy + 2x 2 yz + 5z 5 = 2019
Câu 4. Tìm các điểm cực trị của hàm số:

f ( x , y , z ) = 26x 2 + 3y 2 + 2z 2 − 8xy + 6xz − 2x + 16 y − 6z + 2019
Câu 5. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 5K 0,2 L0,6 . Giá thuê tư bản là w K = $20 , giá thuê lao động là

w L = $60 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định $1200. Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử
dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa.
0

Câu 6. Tính tích phân suy rộng:

I =

 ( 3x − 2 )e

3x

dx

−

Câu 7. Giải phương trình vi phân:

 y
5y 2
+

2
 2 x 2x


5y 

dy = 0
 dx +  x −
x 



Giải chi tiết
Câu 1
3
e u −1 ~u
 (x )
1 + 5x ) − 1
3 ln (1 + 5x )
ln (1 + 5x )
(
e 3 ln(1+5x ) − 1 ( )
lim

= lim
= lim
= lim
= lim
=1
x →0  ( x )
x →0
x →0
x →0
x →0
5x
5 3x
5 3x
5 3x

Hoặc mọi người Lôpitan cho nhanh :v

(

3
Vậy, khi x → 0 thì (1 + 5x ) − 1 ~ 5 3x



Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

)
/>

/>

Page 7 of 91
Trang Eureka Uni

/>
Câu 2

1800 − p
8,5
p
1
p
−p
p = 30   d = ...  0,017
d = Q  ( p ) = − .
=
Q
8,5 1800 − p 1800 − p
8,5
Ý nghĩa: Tại p = 30, nếu giá tăng 1 (%) thì lượng cầu giảm xấp xỉ 0,017 (%)
d) TR = pQ = (1800 − 8,5Q )Q = 1800Q − 8,5Q 2
c) p = 1800 − 8,5Q  Q =

 = TR −TC

  = MR − MC = (1800 − 17Q ) − (Q 2 − 36Q + 250 ) = −Q 2 + 19Q + 1550 = 0
Q = 50

 Q = 50

Q
=
−
30

0
lo¹i
(
)


  = −2Q + 19    ( 50 ) = −81  0
Vậy, Q = 50 là mức sản lượng cần tìm
Câu 3

F ( x , y , z ) = e xy + 2x 2 yz + 5z 4 − 2019

z x = −

F x
ye xy + 4xyz
=− 2
F z
2x y + 25z 4

z y = −

F y
xe xy + 2x 2 z
=− 2

F z
2x y + 25z 4

Câu 4
MXĐ:

3

f x = 52x − 8 y + 6z − 2 = 0
x = −85 / 97


  y = −372 / 97
f y = 6 y − 8x + 16 = 0
 

z = 273 / 97
f z = 4 z + 6 x − 6 = 0

f x = 52; f y = 6; f z = 4; f xy = f yx = −8; f xz = f zx = 6; f yz = f zy = 0
2

2

2

 52 −8 6 


 H =  −8 6 0  có D1 = 52  0 ; D 2 = 248  0 ; D 3 = 776  0

 6 0 4


 85 372 273 
;
Vậy, ( x , y , z ) =  − ; −
là điểm cực tiểu của f ( x , y , z )
97 97 
 97

Câu 5
Mục tiêu:

Tối đa sản lượng đầu ra

Điều kiện:

Ngân sách hữu hạn

Lagrange:

Q = 5K 0,2 L0,6

20K + 60L = 1200

= 5K 0,2 L0,6 +  (1200 − 20K − 60L )

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 8 of 91
Trang Eureka Uni

/>

L
K
=
 =
0,8
 K = K −0,8 L0,6 − 20 = 0
K = 15
20K
20L0,4




0,2 −0,4
 L = 15
 L = 3K L − 60 = 0  K = L
  = 1200 − 20K − 60L = 0 20K + 60L = 1200
 = 0,05.15−0,2

 



0,6

g 1 = 20; g 2 = 60 ;
12

=

0 20
 20 11
60 21

21

11

= −0,8K −1,8L0,6  0 ;

0,2

22

= −1,2K 0,2 L−1,4  0

= 0,6K −0,8L−0,4  0

60
12

= 1200L12 + 1200L21 − 602 L11 − 202 L22  0

22

Vậy, ( K , L ) = (15;15) là các mức sử dụng đầu vào cần tìm
Câu 6
0

I (t ) =  ( 3x − 2 ) e 3x dx =
t

0
0
1
1
3x
3x 0
3
x
−
2
d
e
=
3
x
−
2
e
−
e 3x dx

(
)
(
)


3t
3
t t

( )

0
2 1
1
1
1
t +1
= − − ( 3t − 2 ) e 3t − e 3x = −1 − ( 3t − 2 ) e 3t + e 3t = −1 + −3t
3 3
3
t
3
3
e

t +1 
t + 1 (L )
1


lim I (t ) = lim  −1 + −3t  = −1 + lim −3t = − 1 + lim
= −1 + 0 = −1
t →−
t →−
t
→−
t
→−
e 
e
−3e −3t

Câu 7

5y 2
5y
1
5y
, vì M y =
; N = x−
+ 2  N x  phương trình vi phân đã cho là
2
x
2 x 2x
2 x x
phương trình vi phân toàn phần, với vế trái là vi phân toàn phần của hàm số:

M =

y

+

x

y


0

w ( x , y ) =  0dx +   x −
1


5y 
5y 2
dy
=
0
+
y
x
−

x 
2x


y
5y 2

=
y
x
−

2x
0

Tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: y x −

5y 2
=C
2x

1.4.Đề 4. QTH17_CQ_10/12/19_Ca 2
Câu 1. Xét tính liên tục và khả vi của hàm số sau tại điểm x = 2

f (x ) = x − 2 + x
Câu 2. Xác định khoảng tăng, giảm và cực trị của y = ( x + 1) 3 ( x − 1)
+

Câu 3. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng:

1

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

1

  x −

2


 dx
x2 +2 
1

/>
/>

Page 9 of 91
Trang Eureka Uni

Câu 4. Cho hàm số khả vi f (u ) và hàm số w = sin ( x + 2 y ) − f ( x − 3 y )

/>
2

Tìm biểu thức: 3

w w
+
x y

Câu 5. Tìm cực trị của hàm số: U = 2x 2 + 3y 2 + z 2 − xz + 2 yz − 5x + y + z − 1
Câu 6. Một công ty có hàm sản xuất Q = 100K 0,5L0,5
a) Tìm giá trị sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản khi công ty sử dụng 25 đơn vị tư bản và 900 đơn vị lao

động. Phát biểu ý nghĩa.
b) Giả sử giá thuê một đơn vị tư bản là $8 và một đơn vị lao động là $2 và ngân sách sản xuất là $1600. Xác
suất số đơn vị tư bản và lao động để sản xuất được số sản phẩm tối đa

 1
Câu 7. Giải phương trình: 2x y cos x 2 + x − 1 dx + 
sin x 2 − 2e y
2 y


(

)


 dy = 0


Giải chi tiết
Câu 1
Xét liên tục, ta thấy:

lim f ( x ) = lim− x + 2 − x  = 2 = lim+ f ( x ) = lim+ x + x − 2  = 2 = f ( 2 )

x →2 −

x →2

x →2

x →2

Nên f ( x ) liên tục tại x = 2
Xét khả vi, ta có:
lim−

f (x ) − f (2)
x +2−x −2
= lim
= lim ( 0 ) = 0  f − ( 2 ) = 0
x →2
x →2
x −2
x −2

lim+

f (x ) − f (2)
x +x −2−2
= lim
= lim ( 2 ) = 2  f + ( 2 ) = 2
x
→
2
x →2
x −2
x −2

x →2

x →2

−

−

+

+

Do f − ( 2 ) = 0  f + ( 2 ) = 2  f ( x ) không khả vi tại x = 2
Câu 2
MXĐ:

y  = 3 ( x − 1) +
2

2 ( x + 1)
3 x −1
3

=

3 ( x − 1) + 2 ( x + 1)
3 x −1
3

=

5x − 1
1
=0x =
3
5
3 x −1

1
Ta có 2 điểm tới hạn x = ; x = 1 . Dấu của y  theo dấu của ( 5x − 1)( x − 1)
5

x
y

−

y

+

1/ 5
0

−

1
||

+

+

6 3 16
5 25
0

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 10 of 91
Trang Eureka Uni

Khoảng tăng: ( −;1 / 5) và (1; + )

khoảng giảm (1 / 5;1)

điểm cực đại x cd = 1 / 5

Cực trị:

/>
giá trị cực đại y cd =

điểm cực tiểu x ct = 1

6 3 16

5 25

giá trị cực tiểu y ct = 0

Câu 3
t
1

t
t
1
dx t dx
t
I (t ) =   −
dx =  − 
= ln x − ln x + x 2 + 2 = ln 1 + 3 + ln

2
2
x
x 1 x +2
1
1
x +2 
t + t2 +2
1
1

(

t




t
1
lim I (t ) = lim  ln 1 + 3 + ln
= lim ln 1 + 5 + ln

t →+
t →+

t + t 2 + 4  t →+ 
1+ 1+ 4 / t 2

(

)

(

)

)


1+ 3
 = ln
2



Vậy, tích phân đã cho hội tụ
Câu 4

w

= − x 2 + 2 y cos x 2 + 2 y − ( x − 3y )x f  ( x − 3y ) = −2x cos x 2 + 2 y − f  ( x − 3y )
x
x

(

)

(

)

(

)

w

= − x 2 + 2 y cos x 2 + 2 y − ( x − 3y )y f  ( x − 3y ) = −2 cos x 2 + 2 y + 3f  ( x − 3y )
y
y
w w
3

+
= ... = − ( 6x + 2 ) cos x 2 + 2 y
x y

(

)

(

)

(

(

)

)

9 7
 18
 18 9 7 
Câu 5 Điểm cực tiểu ( x , y , z ) =  , − ,  , giá trị cực tiểu U  , − ,  = ...
 13 26 13 
 13 26 13 

Câu 6

MPPL = Q L = 50K 0,5L−0,5

a)

 MPPL ( 25,900 ) = 50.250,5.900−0,5 = 25 / 3

Ý nghĩa: tại mức sử dụng ( K , L ) = ( 25,900 ) , nếu dùng thêm một đơn vị tử bản và giữ nguyên lượng
lao động thì sản lượng tăng xấp xỉ 25/3 đơn vị sản lượng
0,5 0,5
b) L = 100K L +  (1600 − 8K − 2 L )

( K , L ,  ) = 100, 400,


25 
2 

Câu 7

M = 2x y cos x 2 + x − 1; N =

1
2 y

sin x 2 − 2e y , vì M y =

x cos x 2
 N x nên phương trình vi phân
y

đã cho là phương trình vi phân toàn phần, với vế trái là vi phân toàn phần của hàm số:

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 11 of 91
Trang Eureka Uni

/>x

(

)

y

w ( x , y ) =  2x y cos x 2 + x − 1 dx +  ( −2e y ) dy
0

1

x

x

0

0

y

= y  2x cos x 2dx +  x − 1dx − 2  e y dy
x

1

x

( )

y

1
2

= y  cos x 2d x 2 +  ( x − 1) d ( x − 1) − 2  e y dy
0

= y sin x 2

0

x
0

+

2
3

1

( x − 1)

3

x
0

− 2e y

y
1

= y sin x 2 +

y sin x 2 +

Tích phân tổng quát của PTVP đã cho là:

2
3

2
3

( x − 1)

( x − 1)

3

3

− 2e y + 2e

− 2e y + 2e = C

1.5.Đề 5. ALA50_CQ_10/12/19_Ca 3
Câu 1. Cho hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥) được xác định bởi phương trình 𝑒 𝑦 − 3𝑥𝑦 = 𝑒 3 .
a) Tính đạo hàm của hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥)
y −3
b) Tính lim
x →0 4x
Câu 2. Cho hàm cầu và hàm cung của một loại hàng hóa lần lượt là 𝑄𝑑 = 235 − 2𝑝2 ; 𝑄𝑠 = 4𝑝 − 5. Hãy tính
hệ số co giãn của cầu theo giá tại mức giá cân bằng và cho biết ý nghĩa kinh tế của con số vừa tính được.
Câu 3. Cho hàm số:
𝑓(𝑥, 𝑦) =

3𝑥𝑦
,
+ 𝑦2
0,

{𝑥 2

𝑥2 + 𝑦2 ≠ 0

𝑥=𝑦=0

Hãy xác định hàm số 𝑓𝑥′
Câu 4. Một công ty chuyên sản xuất ba loại ván lướt sóng: loại 1, loại 2, loại 3. Hàm cầu đối với từng loại
như sau:
𝑝1 = 200 − 2𝑄1 − 2𝑄2 + 3𝑄3 ; 𝑝2 = 120 − 𝑄1 − 3𝑄2 + 4𝑄3 ; 𝑝3 = 310 − 3𝑄1 − 4𝑄2 − 𝑄3, trong đó 𝑝𝑖 , 𝑄𝑖
tương ứng là giá và sản lượng của loại ván lướt sóng 𝑖 (𝑖 = 1,2,3). Hàm chi phí kết hợp là 𝑇𝐶(𝑄1 , 𝑄2 , 𝑄3 ) =
1000 + 124𝑄1 + 12𝑄2 + 250𝑄3. Hãy xác định mức sản lượng 𝑄1 , 𝑄2 , 𝑄3 để công ty đó thu được lợi nhuận
tối đa.
+

Câu 5. Tính tích phân suy rộng I =

x
2

dx
12 + x 2

Câu 6. Cho hàm lợi ích tiêu dùng 𝑈 = 20𝑥10,3 𝑥20,7 . Hãy chọn túi hàng tiêu dùng tối đa hóa lợi ích trong điều
kiện giá hàng hóa thứ nhất là $30, giá hàng hóa thứ hai là $10 và thu nhập khả dụng là $2100.
Câu 7. Giải phương trình vi phân: 𝑥 5 (𝑦 ′ − 6𝑦) = 𝑒 6𝑥
Giải chi tiết
Câu 1

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>

/>

Page 12 of 91
Trang Eureka Uni

F
−3y
3y
a) F ( x , y , z ) = e y − 3xy − e 3  y  = − x = − y
= y
F y
e − 3x e − 3x

/>
b) x = 0  e y − 0 = e 3  y = 3  y ( 0 ) = 3

y (x )
3y ( 0 ) 3.3
y − 3 (L )
3y
9
= lim
= lim
= y (0) =
= 3
3
y
x →0 4x
x →0
x →0 4 e − 3x

4
4.e
4e
(
) 4e

 lim
Câu 2

 p = 10
 p = 10
Cân bằng ⇔ 𝑄𝑑 = 𝑄𝑠 ⇔ 235 − 2𝑝2 = 4𝑝 − 5  p 2 + 2 p − 120  
 p = −12  0

d =

dQd p
p
−4 p 2
−4.102
80

= −4 p 
=
;
p
=
10



=
=−
d
2
2
2
dp Qd
235 − 2 p
235 − 2 p
235 − 2.10
7

Ý nghĩa: Tại trạng thái cân bằng, giá tăng 1% thì lượng cầu giảm xấp xỉ

80
%
7

Câu 3

(

)

3y x 2 + y 2 − 2x .3xy 3y 3 − 3x 2 y
3xy

Tại ( x , y )  ( 0,0 ) : f ( x , y ) = 2
 fx =
=

2
2
x +y2
x2 + y2
x2 + y2

(

)

(

)

f ( x ,0 ) − f ( 0,0 )
0−0
= lim
= lim 0 = 0
x →0
x →0 x
x →0
x −0

Tại ( x , y ) = ( 0,0 ) : f x ( 0,0 ) = lim

 3y 3 − 3x 2 y
, ( x , y )  ( 0,0 )

2
Vậy, f x =  x 2 + y 2


0
, ( x , y ) = ( 0,0 )


(

)

Câu 4
𝑇𝑅1 = 𝑝1 𝑄1 = (200 − 2𝑄1 − 𝑄2 + 3𝑄3 )𝑄1 = 200𝑄1 − 2𝑄12 − 𝑄1 𝑄2 + 3𝑄1 𝑄3
𝑇𝑅2 = 𝑝2 𝑄2 = (120 − 𝑄1 − 3𝑄2 + 4𝑄3 )𝑄2 = 120𝑄2 − 𝑄1 𝑄2 − 3𝑄22 + 4𝑄2 𝑄3
𝑇𝑅3 = 𝑝3 𝑄3 = (310 − 3𝑄1 − 4𝑄2 − 𝑄3 )𝑄3 = 310𝑄3 − 3𝑄1 𝑄3 − 4𝑄2 𝑄3 − 𝑄32
𝑇𝑅 = 𝑇𝑅1 + 𝑇𝑅2 + 𝑇𝑅3 = 200𝑄1 + 120𝑄2 + 310𝑄3 − 2𝑄12 − 3𝑄22 − 𝑄32 − 2𝑄1 𝑄2
𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 76𝑄1 + 108𝑄2 + 60𝑄3 − 2𝑄12 − 3𝑄22 − 𝑄32 − 2𝑄1 𝑄2 − 1000

 Q = 76 − 4Q1 − 2Q 2 = 0
Q1 = 12
 1

 Q 2 = 108 − 6Q 2 − 2Q1 = 0  Q 2 = 14


Q 3 = 30
 Q 3 = 60 − 2Q 3 = 0

Q = −4
2
1

Q = −6
2
2

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

Q = −2
2
3

 Q Q =  Q Q = −2
1 2

2 1

 Q Q =  Q Q =  Q Q = Q Q = 0
1 3

3 1

2 3

3 2

/>
/>

Page 13 of 91

Trang Eureka Uni

/>
 −4 −2 0 


→ H =  −2 −6 0  có D1 = −4  0 ; D 2 = 20  0 ; D 3 = −40  0
 0 0 −2 


Vậy, (Q1 ,Q 2 ,Q 3 ) = (12,14,30 ) là điểm cực đại duy nhất của 𝜋 nên đó là kết hợp sản lượng cần tìm
Câu 5

t

t  2 : I (t ) = 
2

=

t

dx
x 12 + x 2

1
2 3

=

(

2

dx
12

x2

)

ln 2 + 3 −

x
1

2 3

2

=−
+1

ln

2 3

t

+

1
2

t


3
2

12

t2

2 3

 x 

d 

2

2 3

 + 1
x



=−

1
2 3

ln

2 3

x

+

12

x

2

+1

t
2

+1

 1

1
2 3
12

1
1
lim I (t ) = lim 
ln 2 + 3 −
ln
+ 2 +1  =
ln 2 + 3 − 0 =
ln 2 + 3
t →+
t →+ 2 3
t
t
2 3
2 3

 2 3
Vậy,



+

2

dx
x 12 + x 2

=

(

)

1

ln 2 + 3

2 3

(

(

)

(

)

)

Câu 6
Cần tìm (𝑥1 , 𝑥2 ) thỏa mãn tối đa 𝑈 = 20𝑥10,3 𝑥20,7 trong ràng buộc ngân sách 30𝑥1 + 10𝑥2 = 2100
Lagrange 𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , 𝜆) = 20𝑥10,3 𝑥20,7 + 𝜆(2100 − 30𝑥1 − 10𝑥2 )


x 20,7 7x 10,3


=

= 0,3

0,7
L1 = 6x 1−0,7 x 20,7 − 30 = 0
x 1 = 21
5
x
5
x
1
2




0,3 −0,3
 x 2 = 147
L2 = 14x 1 x 2 − 10 = 0  7x 1 = x 2
30x + 10x = 2100
30x + 10x = 2100

1
1
2
1
2


x 3 = .70,7


5


g 1 = 30 ; g 2 = 10 ; L11 = −4,2x1−1,7x 20,7  0 ; L22 = −4,2x10,3x 2−1,3  0 ; L12 = L21 = 4,2x1−0,7x 2−0,3  0
0 30
30 L11
10 L21

10

L12 = 300L12 + 300L21 − 102 L11 − 302 L22  0
L22

Vậy, ( x1 , x 2 ) = ( 21;147 ) là kết hợp hàng hóa tiêu dùng cần tìm.
Câu 7

x 5 ( y  − 6 y ) = e 6x  y  − 6 y =

1

x5

e 6 x (*)

Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (*) là
Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>

/>

Page 14 of 91
Trang Eureka Uni

/>
y = Ce  = Ce 6 x
6 dx

Tìm nghiệm riêng của (*) dưới dạng: y 0 = C ( x ) e 6 x , C(x) là hàm của x

y 0 = C  ( x ) e 6 x + 6C ( x ) e 6 x
 y 0 − 6 y 0 =

1

x

5

1

e 6 x  ...  C  ( x )e 6 x =

x

 ta có 1 nghiệm riêng của (*) là: y 0 = −
Vậy, NTQ của PTVP đã cho là y = −

1

4x

4

5

e 6x  C  ( x ) =

1
4x

4

1

x

5

 C (x ) = −

1
4x 4

e 6x

e 6 x + Ce 6 x

1.6.Đề 6. HBQ26_CQ_10/12/19_Ca 4

e 4 x − 1 + 5sin x
Câu 1. Tính giới hạn: lim
x →0
ln (1 + 2x )
2

Câu 2. Giả sử trong chiến dịch tiêm chủng quốc gia phòng chống một loại cúm, bộ Y tế biết rằng chi phí để
tiêm chủng x % dân số được tính (xấp xỉ) bởi:

C (x ) =

180x
(triệu đô la)
200 − x

Hãy tính chi phí để tiêm chủng được cho 75% dân số đầu tiên và ước tính số chi phí tăng thêm nếu bộ Y tế
muốn tiêm chủng thêm cho 1% dân số tiếp theo.
Câu 3. Xác định khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số:

y = −17 + 9 ( 2t + 1) e −0,3t
Câu 4. Tại một nhà máy, sản lượng Q liên hệ với lượng đầu vào x và y bởi hàm:

Q = 2 y 3 + 3x 2 y 2 + (1 + x )

3

Giả sử lượng đầu vào hiện tại đang là x = 50 và y = 30 . Khi lượng đầu vào x giảm 1 đơn vị thì lượng đầu
vào y phải tăng hay giảm để nhà máy vẫn duy trì được mức sản lượng hiện tại?
Hãy ước lượng số đơn vị thay đổi của lượng đầu vào y?
Câu 5. Tìm cực trị của hàm số: z = y 3 + 3xy 2 − 12x + 15y

Câu 6. Mỗi tháng, một nhà máy sản xuất đúng 900 chiếc tủ lạnh và cung cấp hết cho hai cửa hàng: A và B.
Nhà quản lý ước lượng rằng nếu x chiếc tủ lạnh được cung cấp cho cửa hàng A và y chiếc tủ lạnh được cung
cấp cho cửa hàng B thì lợi nhuận hàng tháng của nhà máy sẽ là P ( x , y ) (nghìn đô la) với:

P ( x , y ) = −0,02x 2 − 0,03xy − 0,05y 2 + 35x + 50 y − 3500
Tìm số tủ lạnh được cung cấp cho mỗi cửa hàng để nhà máy đạt tối đa lợi nhuận hàng tháng.
+

Câu 7. Tính tích phân suy rộng: I =


1

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

ln ( x + 3)

x2

dx
/>
/>

Page 15 of 91
Trang Eureka Uni

/>
Câu 8. Tìm hàm cầu Q = D ( p ) biết rằng hệ số co giãn của cầu tại mọi mức giá đều bằng -1/4 và tại mức giá

p = 81 thì lượng cầu là Q = 300 .
Giải chi tiết
Câu 1

e 4 x − 1 + 5sin x ( L )
8xe 4 x + 5cos x 5
lim
= lim
=
x →0
x →0
ln (1 + 2x )
2 / (1 + 2x )
2
2

2

Câu 2
Chi phí tiêm chủng cho 75% dân số là: C ( 75) =

MC ( x ) = C  ( x ) =

180 ( 200 − x ) + 180x

( 200 − x )

2

=

180.75
= 108 (triệu đô la)
200 − 75

36000

( 200 − x )

2

 MC ( 75) =

36000

( 200 − 75)

2

=

288
= 2,304
125

Cho biết, nếu bộ muốn tiêm chủng thêm 1% dân số tiếp theo, thì sẽ phải tốn thêm khoảng 2,304 (triệu
đô la).
Câu 3
MXĐ:

y  = 9 (1,7 − 0,6t ) e −0,3t = 0  1,7 − 0,6t = 0  t =

17
6

Bảng biến thiên

t
y

−

17/6
0
20
−17 + e −0,85
3

+

y

−

+

(tự kết luận)
Câu 4
Đường đồng lượng: Q = Q 0  2 y 3 + 3x 2 y 2 + (1 + x ) = Q 0 xác định hàm ẩn y ( x ) với đạo hàm:

3

6xy + 3 (1 + x )
2xy + (1 + x )
Q
y (x ) = − x = −
=−
 0 x, y  0
2
2
Q y
6 y + 6x y
2 y 2 + 2x 2 y
2

2

2

2

 Khi đầu vào x giảm 1 đơn vị thì đầu vào y phải tăng để giữ nguyên mức sản lượng (Q0) như
cũ.
Tại x = 50, y = 30 ta có tỷ lệ thay thế kĩ thuật cận biên là:
2.50.302 + (1 + 50 )
y
92601
=−
 − y  ( 50 ) =
=

 0,61
2
2
x
2.30 + 2.50 .30
151800
2

 yx

Vậy, lúc này đầu vào y cần phải tăng khoảng 0,61 đơn vị.
Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 16 of 91
Trang Eureka Uni

/>
Câu 5
MXĐ:

2

9

y 2 = 4

x = ;y = 2

z x = 3y 2 − 12 = 0

4


9
2
x = − 9 ; y = −2
z y = 3y + 6xy + 15 = 0
xy =

2

4
 = z yx
 = 6 y  D = z x .z y − z xy
 z yx = −36 y 2  0
a11 = z x = 0 z y = 6 y + 6x ; z xy
2

2

2

2

Cả hai điểm dừng đều có y  0  D  0  chúng đều không phải điểm cực trị của z
Câu 6

P (x , y )

Mục tiêu:

Tối đa lợi nhuận

Điều kiện:

Chỉ sản xuất đúng 900 chiếc tủ lạnh x + y = 900

Lagrange:

L = −0,02x 2 − 0,03xy − 0,05y 2 + 35x + 50 y − 3500 +  ( 900 − x − y )

Lx = −0,04x − 0,03y + 35 −  = 0
x = 600


L y = −0,03x − 0,1y + 50 −  = 0   y = 300
 

 = 2
L = 900 − x − y = 0

0
1
1
g 1 = 1 = g 2 ; L11 = −0,04; L22 = −0,1; L12 = L21 = −0,03  1 −0,04 −0,03 = 0,08  0
1 −0,03 −0,1

Vậy, các mức cung cấp tủ lạnh cần tìm là ( x , y ) = ( 600,300 )
Câu 7
t

I (t ) = 

ln ( x + 3)

1

= ln 4 −

x

2

t

1

dx = −  ln ( x + 3) d   = −
x 
1

ln ( x + 3) t

x

t

dx
1 1 x ( x + 3)
+

ln (t + 3) 1 t  1
ln (t + 3) 1
ln (t + 3) 1
1 
x t 4
t
+  −
dx = ln 4 −
+ ln
= ln 4 −
+ ln

t
3 1  x x +3
t
3 x +3 1 3
t
3 t +3

4
ln (t + 3) 1
t 
lim I (t ) = lim  ln 4 −
+ ln

t →+

t →+ 3
t
3 t +3 

ln (t + 3) ( L )
1
t
1
= lim
= 0 ; L2 = lim ln
= lim ln
= ln1 = 0
t →+
t →+ t + 3
t →+
t
t + 3 t →+ 1 + 3 / t

L1 = lim

1
 I = lim I (t ) = 2 ln 4 − L1 + L2 = 2 ln 4
t →+
3
Câu 8
Cần tìm hàm cầu Q = Q ( p ) , ( p  0,Q  0 ) . Theo bài, ta có
Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 17 of 91
Trang Eureka Uni

/>
dQ p
1
dQ
1 dp
dQ
1 dp
d =
. =− 
=−

=− 
dp Q
4
Q
4 p
Q
4 p
1
−
 −1 
1
 lnQ = − ln p + lnC , (C  0 )  ln Q = ln Cp 4   Q = Cp 4
4




−

Lại có Q (81) = 300  C .81

1
4

= 300  C = 900

Vậy, hàm cầu cần tìm là: Q = 900 p

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

−

1
4

/>
/>

Page 18 of 91
Trang Eureka Uni

/>

2. ĐỀ CUỐI KÌ K60
2.1.Đề 1. CLC19605
1

 3e 3x − x  x
Câu 1. Tìm giới hạn lim  3x

x →0
 e +2 

Câu 2. Xác định khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số

y = x ( 5 − ln 4x )
+

x +2
a) 
dx
3
( 4x − 1)

Câu 3. Tính các tích phân

b)

 ( 3 + 2x ) e

−0,1x

dx

1

Câu 4. Một doanh nghiệp độc quyền bán 2 loại sản phẩm A và B trên thị trường. Biết rằng chi phí cho mỗi
đơn vị sản phẩm A, B lần lượt là $25, $35 và nếu giá bán mỗi đơn vị sản phẩm A, B lần lượt là $x, $y thì mỗi
ngày số sản phẩm A bán được là 85 − 5x + 4 y sản phẩm và số sản phẩm B bán được là 95 + 6x − 7 y sản
phẩm.
Hãy xác định mức giá bán 2 loại sản phẩm A, B để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận thu được mỗi ngày.
Câu 5. Giả sử rằng lợi ích của việc học tập của một sinh viên phụ thuộc vào thời gian học lý thuyết và thời
1
2

1
3

gian làm bài tập, xác định bởi hàm U = x y , trong đó x là số giờ học lý thuyết và y là số giờ làm bài tập của
sinh viên đó.
a) Biết rằng sinh viên đó đã học 81 giờ lý thuyết và 125 giờ bài tập. Nếu sinh viên đó dành thêm 1 giờ để
học thì sinh viên đó nên dành 1 giờ đó để học lý thuyết hay làm bài tập để nhận được lợi ích cao hơn.
b) Nếu sinh viên đó dành tổng cộng 300 giờ để học cả lý thuyết và bài tập, hãy tìm số giờ học lý thuyết
và số giờ làm bài tập để sinh viên đó đạt mức lợi ích tối đa.
Câu 6. Biết rằng lượng cung và lượng cầu của một loại hàng hóa được xác định bởi S ( p ) = 6 + 2 p + 5 p  và

D ( p ) = 30 − 4 p + 3 p  trong đó p = p (t ) là giá của hàng hóa theo thời gian t và p  là đạo hàm của p. Giả sử
giá của một đơn vị hàng hóa đó tại thời điểm ban đầu (t = 0 ) là $6 và sẽ điều chỉnh liên tục để S ( p ) = D ( p )
. Hãy tìm hàm p (t ) .
Giải chi tiết
Bài 1

 3e 3x − x

ln
 3x
 3e 3x − x  x
 e +2
y =  3x
  ln y =
x
 e +2 
1

lim ln y = lim
x →0

(

ln 3e

x →0

3x

)

(

− x − ln e

x

3x


 ln 3e 3x − x − ln e 3x + 2
=

(

)

(

)

x

9e 3x − 1
3e 3x
−
+2
3x
3x
5
= lim 3e − x e + 2 =
x →0
1
3

)

(L )

1

5
 3e 3x − x  x
3
 lim  3x
=
e
= 3 e5

x →0
 e +2 

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 19 of 91
Trang Eureka Uni

/>
Bài 2

1
4

MXĐ: ( 0; + )

y  = 4 − ln 4x = 0  x = e 4

(tự vẽ bảng biến thiên)

1
1
 1 

khoảng tăng  0; e 4  , khoảng giảm  e 4 ; +  , x C§ = e 4
4
4
 4 


Bài 3
a.



x +2
1
x +2
1

=−
dx
=
...

Tõng
phÇn,
®Æt
u
=
x
+
2,
dv
=
dx
−
+C
3
2
 ( 4x − 1)3


32 ( 4x − 1)
4
x
−
1
8
4
x
−
1
(
)

(
)


(Hoặc có thể đặt ẩn phụ t = 4x − 1 , dt = 4dx )
t

b. Xét I (t ) =  ( 3 + 2x ) e −0,1x dx = ... ( tõng phÇn ) = 250e −0,1 − ( 230 + 20t ) e −0,1t
1

lim I (t ) = lim 250e −0,1 − ( 230 + 20t ) e −0,1t  = 250e −0,1 − lim
t →+
t →+
t →+

230 + 20t

e

0,1t

(L )

20
t →+ 0,1e 0,1t

= 250e −0,1 − lim

= 250e −0,1 − 0 = 250e −0,1
+

Vậy,

 ( 3 + 2x ) e

−0,1x

dx = lim I (t ) = 250e −0,1
t →+

1

Bài 4

TR = x (85 − 5x + 4 y ) + y ( 95 + 6x − 7 y )

TC = 25 ( 85 − 5x + 4 y ) + 35 ( 95 + 6x − 7 y )

  = TR −TC = 85x − 5x 2 + 4xy + 95y + 6xy − 7 y 2 − 25 (85 − 5x + 4 y ) − 35 ( 95 + 6x − 7 y )
= −5x 2 − 7 y 2 + 10xy + 240 y − 5450


x = 60
 x = −10x + 10 y = 0

 

 y = −14 y + 10x + 240 = 0  y = 60

 x = −10  0  y = −14

2

2

 =  yx
 = 10
 xy

D = 40  0

 ( x ; y ) = ( 60;60 ) là điểm cực đại duy nhất của  , nên đó là các mức giá cần tìm
Bài 5
a. Ta sẽ so sánh lợi ích cận biên của mà các phương án mang lại

1 12 − 23
1 − 12 13
1 9
1 5 5
3
MU x = x y  MU x (81;125) = . =
 MU y = x y  MU y (81;125) = . =
3
2
3 25 25
2 9 18
Do đó, để thu được lợi ích cao hơn sinh viên nên học thêm 1 giờ lý thuyết
1

1

b. Cần tìm ( x ; y ) để tối đa U = x 2 y 3 thỏa mãn x + y = 300
1

1

L = x 2 y 3 +  ( 300 − x − y )

kết quả: ( x ; y ) = (180;120 ) ;  =

1
1
1
−
(180) 2 (120) 3
2

Bài 6
Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 20 of 91
Trang Eureka Uni

S ( p ) = D ( p )  6 + 2 p + 5 p  = 30 − 4 p + 3 p   p  + 3 p = 12 (*)

/>

Cần tìm p = p (t ) thỏa mãn (*) và p ( 0 ) = 6
− 3dt
Nghiệm tổng quát của thuần nhất liên kết với (*) là p = Ce  = Ce −3t

Dễ thấy (*) có 1 nghiệm riêng p = 4
Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, ta có nghiệm tổng quát của (*) là p = Ce −3t + 4
Tại thời điểm ban đầu, p ( 0 ) = 6  C + 4 = 6  C = 2 . Do đó, hàm phải tìm là p (t ) = 2e −3t + 4
2.2.Đề 2. EUII417

(

lim e

Câu 1. Tính giới hạn:

x →+

3x

)

−1

1
4x

Câu 2. Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản phẩm: Q s = −49 + 2 p , Qd = 101 − p . Hãy tính
hệ số co dãn của cung và cầu theo giá tại mức giá cân bằng và giải thích ý nghĩa.
Câu 3. Khai triển Taylor đến lũy thừa bậc 2 của x − 2 với phần dư dạng Peano hàm số sau:

f (x ) =

3

1
x +6

Câu 4. Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Q = 3500K 0,45L0,35 , biết rằng doanh nghiệp sử
dụng L0 = 300 đơn vị lao động, tìm mức sử dụng tư bản K 0 , sao cho sản lượng hiện vật cận biên của tư bản
tại ( K 0 , L0 ) là MPPK = 250 .
Câu 5. Tìm cực trị của hàm số sau: u = −2x 2 − 9 y 2 − 3z 2 + 6 yz + 12x + 8z + 2
Câu 6. Giả sử hàm lợi ích khi mua sắm hàng hóa của người tiêu dùng là U = 2x10,5x 20,7 . Trong đó x1 , x 2 lần
lượt là lượng hàng hóa thứ 1 và thứ 2. Xác định cơ cấu mua sắm tối đa hóa lợi ích, biết rằng giá hàng hóa thứ
1 và 2 tương ứng là $10 và $7 , ngân sách dành cho mua sắm cố định là $240 .

−3000 p

Câu 7. Một công ty có hàm cầu cận biên của người tiêu dùng đối với sản phẩm của mình là D  ( p ) =

16 − p 2

. Tìm hàm cầu biết rằng lượng cầu bằng 13000 khi giá mỗi sản phẩm là 3 USD

( 2 y − 5x )dx + ( 2x + y )dy = 0

Câu 8. Giải phương trình vi phân:

2

Giải chi tiết

Câu 1

(

Đặt y = e

3x

)

−1

1
4x

 ln y =

(

)

ln e 3x − 1
4x

3e 3x
ln e − 1
3x
3
3
lim ln y = lim

= lim e − 1 = lim
=
x →+
x →+
x →+
x →+ 4 1 − e −3x
4x
4
4

(

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

3x

)

(L )

(

)

(

)

Vậy: lim e 3x − 1
x →+

1
4x

3

=e4

/>
/>

Page 21 of 91
Trang Eureka Uni

/>
Câu 2

Qd = Q s  101 − p = −49 + 2 p  3 p = 150  p = 50

d =

dQd p
−p
50
, p = 50  d = −
=
dp Qd 101 − p
51

Ý nghĩa, tại trạng thái cân bằng, giá tăng 1% làm lượng cầu giảm xấp xỉ

50
%
51

Tương tự cho  s
Câu 3

f (2) =

1
2

f  ( x ) =

f (x ) = −
4

9 3 (x + 6)

1
2

f (x ) = −

7

1

288

 f  ( 2 ) =

f  ( x ) =

1
33 (x + 6)

 f (2) = −

4

−28
27 3 ( x + 6 )

10

1
48

 f  ( 2 ) =

−7
6912

1
1
7
2

3
3
(x − 2) + (x − 2) −
( x − 2 ) + o ( x − 2 ) 
48
576
41472

Câu 4

MPPK = Q K = 1575K −0,55L0,35 , với L = 300 và MPPK = 250 ta có:
20

1575K −0,55 .3000,35 = 250  K 0,55

63
 63
 11
= .3000,35  K =  .3000,35  là mức lao động cần tìm
10
 10


Câu 7

D ( p ) =  D  ( p ) dp = 

−3000 p
16 − p

2

dp = 1500

d (16 − p 2 )
16 − p

2

= 3000 16 − p 2 + C

Lại có D ( 3) = 13000  3000 16 − 32 + C = 13000  C = 13000 − 3000 7

D ( p ) = 3000 16 − p 2 + 13000 − 3000 7

Vậy, hàm cầu phải tìm là:
Câu 8

Phương trình vi phân toàn phần, dưới đây là các bước tính tích phân chính:
y

y
5 x 1
5
1

 ( x ; y ) =  2 y − 5x dx +  ydy =  2xy − x 3  + y 2 = 2xy − x 3 + y 2
3 0 2
0
3

2

0
0
x

(

2

)

Tích phân tổng quát:

5
1
2xy − x 3 + y 2 = C
3
2

2.3.Đề 3. DPM04_Ca 1 ngày 1
Câu 1: (1,25 điểm) Hàm số sau đây có liên tục tại điểm x = 0 hay không? Tại sao?
Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

Page 22 of 91

Trang Eureka Uni

/>
 4x − x
,x  0

f ( x ) =  sin 6x − sin 3x
1

−
,x = 0

3
2

Câu 2: (2,5 điểm) Cho hàm số: f ( x ) = x 5x + 6
a) Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của f ( x ) ?
b) Khai triển Taylor f ( x ) tới lũy thừa bậc hai của x − 2 với phần dư Peano?
Câu 3: (1,25 điểm) Một trung tâm thương mại nhận thấy rằng bất kỳ sự thay đổi nào trong mức giá bán sản
phẩm bình quân x và mức chi cho các hoạt động quảng cáo y đều có ảnh hưởng tới doanh thu F (đơn vị: tỷ
VND) theo quy luật hàm số sau đây:
F = 400 − 5 x +

8

( 0,2 y − 3)

3
4

3
Giả sử mức chi cho quảng cáo được áp dụng ở mức y = 20 (triệu VND/tuần). Nếu mức chi này được tăng thêm

1 triệu VND/tuần, trong khi giá sản phẩm được giữa không đổi thì doanh thu của trung tâm thay đổi thế nào?
Giải thích?
Câu 4: (1,25 điểm) Một hãng độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán cho hai nhóm khách hàng. Biết
hàm chi phí của doanh nghiệp là TC = 30 + 5Q và hàm cầu đối với sản phẩm của hai nhóm khách hàng lần lượt
là p1 = 15 − Q1 và p 2 = 65 − 3Q 2 . Hãy xác định số lượng hàng hóa cung cấp cho mỗi nhóm khách hàng và giá
bán để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa?
Câu 5: (1,25 điểm) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số w = 3x + 2 y với điều kiện
x 2 + 4 y 2 = 40
Câu 6: (1,25 điểm) Tính tích phân suy rộng:
0

 ( 3x + 1) e

4x

dx

−

Câu 7 (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân y  + 7 y = 2e −3x với điều kiện y ( 0 ) = 2
Giải chi tiết
Câu 1 f ( 0 ) = −

1

lim f ( x ) = lim
x →0

3

x →0

4x 2 − x
sin 6x − sin 3x

(L )

8x − 1

1
= − = f (0)
x →0 6 cos6x − 3cos3x
3

= lim

 f ( x ) liên tục tại x = 0

Câu 2
 6

a. MXĐ:  − ; + 
5


f  ( x ) = 5x + 6 +

5x
2 5x + 6

Bảng biến thiên
x
−6 / 5
f (x )

=

15x + 12

4
 f  ( x ) = 0  x = − ; dấu của 𝑦 ′ theo dấu của (15𝑥 + 12)
5
2 5x + 6

−

+

0

f (x )
−

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

+

-4/5

4 2
5

/>
/>