Các phương pháp giải bài tập về số chính phương ở trường THCS

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH

HỒ SƠ ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP
HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019

Tên sáng kiến: Các phương pháp giải bài tập về số chính phương
ở trường THCS.
Tác giả sáng kiến: Khổng Thị Hồng Hoa.
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn.
Đơn vị: Trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dương, tỉnh Vĩnh Phúc.

HỒ SƠ GỒM CÓ:
1. Đơn đề nghị công nhận Sáng kiến cấp huyện.
2. Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến.
3. Giấy chứng nhận Sáng kiến cấp trường.

Tam Dương, năm 2019


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
----------------

ĐƠN ĐỀ NGHỊ
CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN
Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến huyện Tam Dương
Tên tôi là: Khổng Thị Hồng Hoa.
Chức vụ (nếu có): Tổ trưởng chuyên môn.
Đơn vị/địa phương: Trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dương, tỉnh Vĩnh Phúc.
Điện thoại: 0385 921 891

Tôi làm đơn này trân trọng đề nghị Hội đồng Sáng kiến huyện Tam
Dương, xem xét và công nhận sáng kiến cấp huyện cho tôi đối với sáng kiến/các
sáng kiến đã được Hội đồng Sáng kiến cấp trường công nhận sau đây:
1. Tên sáng kiến (thứ 1): Các phương pháp giải bài tập về số chính
phương ở trường THCS.
2. Tên sáng kiến (thứ 2): ...............................................................................
(Có Báo cáo Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến
và Giấy chứng nhận Sáng kiến cấp trường kèm theo)
Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật,
không xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ của người khác và hoàn toàn chịu trách
nhiệm về thông tin đã nêu trong đơn.
Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị
(hoặc Chính quyền địa phương)
(Ký tên, đóng dấu)

Đồng Tĩnh, ngày ..... tháng 03 năm 2019
Người nộp đơn
(Ký tên, ghi rõ họ tên)


PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: Các phương pháp giải bài tập về số chính
phương ở trường THCS.
Tác giả sáng kiến: Khổng Thị Hồng Hoa.

Tam Dương, năm 2019


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Trong thời kì cả nước đang tiến nhanh trên con đường cách mạng công
nghiệp 4.0. Song song với sự phát triển mạnh mẽ về các lĩnh vực kinh tế, xã hội,
công nghệ thông tin,… sự nghiệp giáo dục cũng đang được đổi mới và phát triển
không ngừng, nhất là đổi mới về phương pháp dạy học.
Toán học là bộ môn khoa học trừu tượng nhưng có ý nghĩa vô cùng
quan trọng trong học tập. Việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và dạy
toán trong nhà trường trung học cơ sở nói riêng đã được định hướng pháp chế
hoá trong luật giáo dục đó là: “phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp, bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh …”.
Giúp HS hướng tới học tập chủ động, sáng tạo, chống lại thói quen học tập thụ
động vốn có của đa số học sinh trong nhà trường trung học cơ sở.
Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn
Toán ở trường THCS. Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu của
việc học tập môn Toán. Do vậy việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán
cho học sinh là việc làm hết sức cần thiết.
Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần rèn luyện cho học sinh những
kỹ năng, phương pháp giải toán, sự độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo
nhất. Vì vậy đòi hỏi người thầy phải lao động sáng tạo, tìm tòi ra những phương
pháp mới và hay để dạy cho học sinh. Từ đó học sinh được trau dồi tư duy logic,
sự sáng tạo qua việc giải các bài toán. Việc đánh giá chất lượng, năng lực tư duy,
hay khả năng tiếp thu kiến thức của phương pháp dạy học đối với bộ môn toán
chủ yếu thông qua giải bài tập. Công việc giải bài tập nhằm củng cố hoàn thiện

khắc sâu nâng cao những nội dung kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải toán.
Đối với học sinh ngoài việc truyền đạt cho học sinh những kiến thức, kĩ năng
toán học theo yêu cầu của nội dung chương trình giáo khoa đại trà chúng ta còn
rất cần đầu tư bồi dưỡng cho một bộ phận học sinh khá, giỏi đây là một việc rất
cần thiết và phải được tiến hành thường xuyên ở trong các nhà trường trung học
cơ sở. Nhằm tạo điều kiện để cho học sinh phát huy được năng lực, trí thông
minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồi dưỡng học sinh giỏi các
cấp, phát triển nhân tài cho đất nước.
Một trong những vấn đề kiến thức quan trọng đối với học sinh THSC là
cần nắm vững kiến thức quan trọng đó là giải bài tập về số học trong đó có nội


dung số chính phương. Nội dung này học sinh đã được học ở lớp 6 nhưng kiến
thức này sẽ gặp lại ở các lớp 7; 8; 9....Trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ chú trọng
các kiến thức cơ bản nhất, chưa phong phú và đa dạng. Bài tập còn ít và dễ do
các yêu cầu về nội dung chương trình khung của Bộ giáo dục đào tạo đã đề ra.
Chưa đáp ứng được yêu cầu học tập nâng cao tri thức, phát triển kĩ năng của
những em học sinh có năng lực học tập khá, giỏi.
Trong kỳ thi giao lưu học sinh giỏi cấp huyện trong những năm gần đây,
học sinh đội tuyển toán nhà trường, của huyện Tam Dương nói chung đa số
không làm được bài toán số chính phương hoặc làm nhưng không lập luận chặt
chẽ, do đó kết quả học sinh giỏi không cao.
Với những lý do trên tôi đưa ra sáng kiến: "Các phương pháp giải bài
tập về số chính phương ở trường THCS" để áp dụng vào giảng dạy cho đội
tuyển học sinh giỏi toán của nhà trường, đồng thời làm tài liệu chung bồi dưỡng
học sinh giỏi toán của huyện trong năm học 2018 - 2019 và những năm sau.
2. Tên sáng kiến: "Các phương pháp giải bài tập về số chính phương ở
trường THCS"
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Khổng Thị Hồng Hoa.

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THCS Đồng Tĩnh - Tam Dương - Vĩnh
Phúc.
- Số điện thoại: 0385 921 891.
- Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Giáo viên: Khổng Thị Hồng Hoa - Trường THCS Đồng Tĩnh, Tam
Dương, Vĩnh Phúc.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Sáng kiến được áp dụng trong lĩnh vực Giáo dục đào tạo, cụ thể là áp
dụng trong bồi dưỡng học sinh đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS.
Sáng kiến đưa ra được hệ thống các phương pháp giải các bài toán về số
chính phương trong chương trình toán THCS với nội dung phong phú, đa dạng
với các mức độ từ dễ đến khó, phù hợp với các đối tượng học sinh.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Đối với học sinh THCS từ lớp 6 đến lớp 9: ngày 22 tháng 09 năm 2019.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1.1 Cơ sở lý luận
Toán học trung học cơ sở là cầu nối giữa sự phát triển của toán học ở tiểu
học và toán học ở trung học phổ thông. Ở đây học sinh được tìm hiểu các kiến
thức cơ bản như định nghĩa, định lý, tiên đề,…trong các phân môn như số học,


đại số, hình học. Đó mới là mức độ kiến thức, nâng cao nữa là kĩ năng giải toán.
Để làm được điều này thầy truyền đạt, hướng dẫn chính xác khoa học, phương
pháp phù hợp còn học sinh phải có năng lực tư duy, chăm chỉ và có cách thức
học tập tốt.
Tuy nhiên nhìn chung chất lượng giáo dục vẫn còn nhiều điều đáng phải
quan tâm. Bản thân tôi là giáo viên bộ môn Toán đã nhiều năm thực hiện công
tác giảng dạy tôi rất băn khoăn và trăn trở về chất lượng bộ môn toán trong nhà
trường trung học cơ còn thấp so với yêu cầu.

Năm học 2018 - 2019 cũng là năm tiếp theo triển khai thực hiện kết luận
của hội nghị Trung ương VI (khoá IX) về tiếp tục thực hiện nghị quyết Trung
ương II (khoá IX) “Đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, đổi mới phương
pháp dạy học khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy
sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và
phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện và thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh”.
Từ những đường lối trên của Đảng, chủ trương của Nhà nước, biện pháp
của sở giáo dục và đào Vĩnh Phúc và phòng giáo dục và đào Tam Dương cũng
như qua kinh nghiệm giảng dạy tôi nghĩ rằng việc hình thành kĩ năng giải bài tập
số học về số chính phương cho học sinh lớp THCS cũng là một đổi mới của cá
nhân tôi với mong muốn góp phần vào mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dục
nói chung.
Qua nghiên cứu, giảng dạy tôi nhận thấy phương pháp giải các bài toán
về số chính phương là nội dung cơ bản thiết yếu trong chương trình toán. Nó là
cơ sở và công cụ cho các nội dung toán sau này và nhiều ứng dụng trong thực tế.
Lượng kiến thức và các bài tập vận dụng rất phong phú từ dễ đến khó.
Kỹ năng giải bài tập về số chính phương trong chương trình giúp học sinh
có khả năng thành thạo giải các bài toán liên quan và biết áp dụng linh hoạt vào
các dạng bài tập khác nhau. Nó là tiền đề để học sinh hình thành được kỹ năng
giải bài tập đại số trong chương trình ở học sinh đại trà, ôn luyện bồi dưỡng học
sinh giỏi môn toán trung học cơ sở cũng như của học sinh ở phổ thông trung học.
7.1.2 Cơ sở thực tiễn (Thực trạng học tập môn toán trường THCS Đồng
Tĩnh, huyện Tam Dương)
Hiện nay toán học ngày càng phát triển và mở rộng đi sâu hơn. Do đó việc
dạy tốt bộ môn số học về số chính phương kể cả lí thuyết hay bài tập trở thành
một nội dung rất quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở.
Thực tế khi giảng dạy tại trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dương
cho thấy trong quá trình học tập các em học sinh vẫn còn lúng túng khi giải các
bài tập số học về số chính phương. Gặp những dạng toán tương tự hay dạng toán

mới các em chưa có định hướng để làm bài.
Thống kê khảo sát nội dung về số nguyên tố trong hai năm học 2017 –
2018; 2018 – 2019 tại trường THCS Đồng Tĩnh như sau:


Năm học

Số
HS

8 – 10

6,5 – < 8

5 – < 6,5

2–<5

0–<2

SL %

SL %

SL %

SL %

SL

2017 – 2018

58

8

13.
8

14

24,2 18

31

16

27,6 2

3,4

2018 – 2019

58

18

31

16

27,6 17

29

7

12,4 0

0

%

Khảo sát về sự hứng thú của học sinh với dạng toán số chính phương của
30 học sinh được chỉ ra cụ thể là:
Tâm lý
Số HS
30

Thích học
SL
10

Bình thường

%
33

SL
8

%
27

Không thích
SL
12

%
40

Như vậy đa số học sinh còn chưa hứng thú với toán học trong đó là các dạng
toán về số chính phương.
Với mong muốn được góp một phần sức trẻ của mình để thực hiện tốt
nhiệm vụ trên. Tôi thiết nghĩ cần hình thành kĩ năng giải bài tập số học về số
chính phương cho học sinh THCS. Vì để học tốt, dạy tốt môn toán không thể
thiếu kĩ năng này và đây cũng chính là nền tảng để các em học tốt môn toán học.
Chính vì thế tôi nghiên cứu và đưa ra đề tài “Các phương pháp giải bài tập về
số chính phương ở trường THCS”.
7.1.3 Giải pháp
Sáng kiến đưa một số phương pháp giải các bài toán về số nguyên tố, cụ thể
như sau:
Phương pháp 1. Chứng minh một số là số chính phương.
Phương pháp 2. Chứng minh một số không là số chính phương.
Phương pháp 3. Chứng minh số đó nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp .
Phương pháp 4. Chứng minh số đó chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Phương pháp 5. Tìm số n để các số (biểu thức) là số chính phương
Các phương pháp này được sắp xếp từ dễ đến khó, mỗi phương pháp đều
có những ví dụ minh họa cụ thể. Khi áp dụng giảng dạy cho học sinh ta tiến
hành cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản, liên quan giúp học sinh tự tin

trong việc tiếp thu kiến thức và phương pháp mới. Đây là điều khá quan trọng
trong việc dạy học nói chung, dạy học môn toán nói riêng.
7.1.4. Một số lý thuyết cơ bản về số chính phương:
7.1.4.1 Định nghĩa:


Số chính phương là một số viết được dưới dạng bình phương của một số
tự nhiên
Ví dụ: Có 9 = 32, 25 =52 Các số 9 và 25 là bình phương của các số tự
nhiên của 3 và 5 nên 9 và 25 được gọi là các số chính phương.
7.1.4.2 Một số tính chất:
Tính chất 1: Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6,
9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
Tính chất 2: Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các
thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
Tính chất 3: Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1.
Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).
Tính chất 4: Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1.
Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n ∈ N ).
Tính chất 5: Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục
là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
Tính chất 6: Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
Tính chất 7: Số lượng các ước của một số chính phương là số lẻ. Đảo lại một
số có số lượng các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương
Tính chất 8: Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.

Tính chất 9: Nếu tích hai số nguyên liên tiếp là số chính phương thì một trong
hai số đó có một số là số 0.
Tính chất 10: Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là số chính
phương thì a, b đều là số chính phương.
7.1.5. MỘT SỐ DẠNG BÀI VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
7.1.5.1 Chứng minh một số là số chính phương.


Để chứng minh số A là số chính phương, tùy từng bài toán ta lựa chọn phương
pháp nào cho phù hợp. Sau đây là các phương pháp thường dùng.
Dựa vào định nghĩa
Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:
A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương.
Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4
= ( x 2 + 5 xy + 4 y 2 )( x 2 + 5 xy + 6 y 2 ) + y 4
Đặt x 2 + 5 xy + 5 y 2 = t

(t ∈ Z ) thì

A = ( t − y 2 )(t + y 2 ) + y 4 = t 2 − y 4 + y 4 = t 2 = ( x 2 + 5 xy + 5 y 2 )2
Vì x, y, z ∈ Z nên x 2 ∈ Z , 5 xy ∈ Z , 5 y 2 ∈ Z ⇒ x 2 + 5xy + 5 y 2 ∈ Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính
phương.
Giải : Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n ∈ N).
Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= ( n 2 + 3n)(n 2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n 2 + 3n = t (t ∈ N ) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N.

Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.
Giải : Ta có:
k(k + 1)(k + 2) =

1
1
k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). [ (k + 3) − (k − 1)]
4
4

=

1
1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
4
4

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)


- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 4:

Cho a = 11 . . . 1 ; b = 100 . . . 05
2014 chữ số 1

2015 chữ số 0

Chứng minh ab + 1 là số tự nhiên.
Giải:

b = 100 . . . 05 = 100 . . . 0 - 1 + 6 = 99 . . . 9 + 6 = 9a + 6
2015 chữ số 0 2016 chữ số 0

2016 chữ số 9

⇒ ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
⇒

ab + 1 = (3a + 1) 2 = 3a + 1 ∈ N

Bài 5: Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, C là số gồm n
chữ số 6 (n ∈ N và n ≥ 1). Chứng minh: a + b + c + 8 là số chính phương
Giải:
Ta có a + b + c + 8 = 11 . . . 1 + 11. . . 1 + 66 . . . 6 + 8
2n số 1

n + 1 số 1

n số 6

=

102 n − 1 10n +1 − 1 6(10n − 1)
+

+
+8
9
9
9

=

102 n − 1 + 10.10n − 1 + 6.10n − 6 + 72
9
2

102 n + 16.10n + 64  10n + 8 
=
=
÷
9
 3 

(10n + 8) M3, nên a + b + c + 8 là số chính phương
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì
A = (10n + 10n-1 + …+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + 1 là số chính phương
Giải: Đặt B = 10n+1 ta có
A=

10 n +1 − 1
B −1
10n +1 + 5 ) + 1 =
( B + 5) + 1
(

10 − 1
9

B2 + 4B + 4 ( B + 2)
2
⇒A=
=
= ( 3.3.3...34 )
2
9
3
2


Vậy A là một số chính phương nhưng
Bài 7: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2.
Chứng minh rằng : A- B là một số chính phương.
Giải:
100 chữ số 9
99...9
10100 −
1
=
9
9

Ta có A = 11 ......1 =
100 chữ số 1

2(1050 − 1)

9

=

Tương tự B = 22…..2
50 chữ số 2

2

10100 − 1 2(1050 − 1) 10100 − 2.1050 + 1 1050 − 1 
2
=
−
=
=>A – B =
 = (33...3)
3
9
9
9



50 chữ số 3
Cách 2:
B = 22….2 =

2.11.....1

50 chữ số 2

50 chữ số 1

A = 11…...1 =
100 chữ số

11..… 100…..0

+ 11….1

50 chữ số 1 50 chữ số 0 50 chữ số 1

= 11….11050 + 11.…1
50 chữ số 1

50 chữ số 1

Đặt C = 11…1

=>9C = 99...…9

50 chữ số 1

50 chữ số 9

=>9C +1 = 99…9 +1
50 chữ số 9
=>9C+1= 1050
Khi đó : A = C. (9C +1) +C =9C2 +2C;

B = 2C

A – B = 9C2 +2C -2C = 9C2 =(3C)2 = (33…3)2
50 chữ số 3
Nhận xét: Như vậy khi giải bài toán về số chính phương mà tồn tại số có nhiều
chữ số giống nhau ta có thể đặt C = 11…1 và chú ý rằng :
n chữ số 1
10n = 99…..9 +1 = 9C +1. Sau đó ta thay vào biểu thức
n chữ số 9


Từ bài toán này ta có thể chứng minh bài toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát:
Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên A gồm 2k chữ số 1 và số tự nhiên B gồm k
chữ số 2. Chứng minh rằng : A - B là một số chính phương.
Bài tập áp dụng:
1, Cho hai số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm 2m chữ số 1, số B chỉ
gồm m chữ số 4.
Chứng minh rằng : A +B +1 là một số chính phương.
2, CMR : an+ an+1 là một số chính phương với an = 1 +2 +3+…+n
3, CMR: 1+ 3+ 5+ 7+ …+ n là một số chính phương(n lẻ)
4, Chứng minh các số say đây là số chính phương.
(n ≥ )

a, A = 44…..4 x 88...8
n chữ số 4 (n-1) chữ số 8
b, B = 11… 1 – 88.…8
2n chữ số1

+1

(n∈ N)

n chữ số 8

5, Cho 3 số tự nhiên A = 44.…4 ;
2n chữ số 4

B = 22…2 ;

C = 88…8

(n+1) chữ số 2

n chữ số 8

CMR : A +B +C + 7 là số chính phương.
6, Cho a =

11…..1 ;

b = 100…..011

n chữ số 1

( n ≥ 2)

(n-2)chữ số 0

CMR : ab +4 là số chính phương.

Dựa vào tính chất đặc biệt
Ta sẽ chứng minh tính chất đặc biệt : Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố
cùng nhau và ab là một số chính phương thì a và b đều là số chính phương.
Chứng minh:
- Giả sử (a,b) = 1 và a.b = c2( c ∈ N)
Khi đó ta sẽ chứng minh : a và b đều là các số chính phương.
- Gọi d = (a,c)  a = a1.d ; c =c1.d ;(a1 ;c1) = 1
Mà a.b =c2  a1.d.b =(c1.d)2
a1.b = c12.d

(*)

Từ (*) suy ra ;
+, a1.b Mc12 => b Mc12 (1) vì (a1 ;c1) =1
+, c12.d M
b => c12 M
b (2) vì (a,c) =d mà (a;b) =1 nên (d;b) =1


2

c
Từ (1) và (2) => b =c Khi đó a=  ÷ = d 2
 c1 
2
1

Như vậy tính chất trên được chứng minh.
Sau đây là một số bài toán ta có thể áp dụng tính chất trên
Bài 1: Chứng minh rằng : Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn x2 +x = 2y2 +y

thì : a, x-y và x+ y +1 là các số chính phương.
b, x - y và 2x +2y +1 là các số chính phương.
Giải :
a, Ta có x2 +x = 2y2+y.
 x2 – y2 +x –y = y2
 (x – y)(x+y+1)=y2 (1)
Như vậy để chứng minh : x –y và x +y +1 là các số chính phương thì áp
dụng tính chất đặc biệt trên ta sẽ chứng minh : (x-y: x+ y +1) = 1.
- Thật vậy , gọi d = (x-y; x +y+ 1)
 x- y Md và x + y+1 )
 ( x+ y+1) –(x –y) Md
 2y +1Md
Mặt khác từ (1) ta có y2 Md=> y Md(3)
Từ (2) và (3) suy ra 1 Md hay d = 1.
Vậy (x-y;x+y+1) = 1 thỏa mãn (1), theo tính chất 9 suy ra x- y và x +y +1
là các số chính phương.
b, Từ giả thiết ta có x2 +x = 2y2 +y.
 2(x2 –y2) +x – y = x2
 (x –y) (2x +2y +1) =x2
Chứng minh tương tự phần a ta được (x – y; 2x +2y +1) = 1
áp dụng tính chất 9 suy ra x – y và 2x +2y +1 là các số chính phương.
Bài tập áp dụng:
1. Chứng minh rằng:
Nếu x và y là các số tự nhiên thỏa mãn 2x2 +x = 3y2+ y thì:
a, x –y và 2x +2y +1 là các số chính phương.
b, x –y và 3x +3y +1 là các số chính phương.
2. Chứng minh rằng :
Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn : 3x2 +x = 4x2 +y thì :
a, x –y và 3x +3y +1 là các số chính phương.

b, x –y và 4x +4y +1 là các số chính phương.
Từ các bài toán trên ta có thể chứng minh bài toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát:
Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn nx2 +x = ( n +1)y2 +y (n ∈ N) thì :
a, x – y và nx +ny +1 là các số chính phương.
b, x- y và (n +1)x + (n +1)y +1 đều là các số chính phương.
7.1.5.2 Chứng minh một số không là số chính phương.
Chúng ta đã biết cách chứng minh một số là số chính phương. Vậy để
chứng minh một số không phải là số chính phương ta làm thế nào? Một số là số
chính phương thì cần có những điều kiện gì?
Trả lời được những câu hỏi trên , chúng ta sẽ tìm ra hướng để giải quyết
những bài toán “ Chứng minh một sô không là số chính phương”.
Sau đây là một số phương pháp giải khi thực hiện dạng toán này.
Tìm số tận cùng.
Do số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên số chính
phương phải có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9 không tận cùng bởi 2,3,7,8.
Như vậy muốn chứng minh số A không phải là số chính phương ta sẽ
chứng minh số A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7 ,8.
Hay số A có một số lẻ chữ số 0 tận cùng ( do số chính phương nếu chứa
thừa số nguyên tố 2, 5 thì với số mũ chẵn , nên chứa một số chẵn số 0 tận cùng)
Dựa vào kiến thức trên, ta có thể giải quyết được bài toán sau đây:
Bài 1: Chứng minh số A = 11 +112+113+114+115+116+117 không là số chính
phương.
Giải :
Ta thấy chữ số tận cùng của A là 7.
Mà số chính phương chỉ có tận cùng là 0,1,4,5,6,9 không tận cùng bởi
2,3,7,8.
Vậy kết luận A không là số chính phương.
Nhưng một số có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9 đã chắc chắn là số chính

phương hay chưa ? ta xét bài toán sau:
Bài 2: Chứng minh số 2006000 không là số chính phương.
Giải :
Một số chính phương tận cùng là số 0 phải chứa thừa số nguyên tố 2 và 5
với số mũ chẵn, do đó nó phải tận cùng bởi một số chẵn chữ số 0. Vậy số
2006000 không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng : B = 10100 + 5050 +1 không là số chính phương.


Nhận xét :
Ta thấy B có tận cùng là 1. Vậy muốn chứng minh B không là số chính
phương ta phải làm như thế nào?
Khi đó ta cần chú ý một tính chất nữa của số chính phương đó là:
Một số chính phương chia hết cho số p 2k+1 thì phải chia hết cho p 2k+2 (p là
số nguyên tố , k ∈ N)
Vậy lời giải bài toán 3 sẽ là : Ta thấy B chia hết cho 3 nhưng không chia
hết cho 9 ( vì tổng các chữ số của số B bằng 3 chia hết cho 3 mà không chia hết
cho 9) => B không phải là số chính phương.
Bài 4: Chứng minh số 20070 không là số chính phương.
Giải :
- Cách 1: Theo bài toán 2 ta thấy số 20070 có tận cùng là một số lẻ chữ
số 0 => 20070 không là số chính phương.
- Cách 2 : Ta thấy số 20070 chia hết cho 5( vì có tận cùng là 0) nhưng
không chia hết cho 25 ( vì hai chữ số tận cùng không chia hết cho 25). Do đó số
20070 không là số chính phương.
Bài tập áp dụng :
Bài 1. Chứng minh rằng : Các số sau không là số chính phương.
a, A = 5 + 52+ 53+ 52+ 54+ 55+ …+5n

(n >0)

b, B = 20042005
c, C = 20062 -20052 + 20042- 20032
Bài 2. Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp
không thể là số chính phương.
Bài 3. Viết liên tiếp các số 1,2,3,4…2003,2004 thành hàng ngang theo thứ tự tùy
ý.
Chứng minh rằng số tạo thành theo cách viết trên không thể là một số chính
phương.
Dựa vào việc xét số dư trong các phép chia cho 3,4,5…
Bài 1: CMR : Số A = 22…24 không phải là số chính phương.
Nhận xét: Thật vậy, nếu xét chữ số tận cùng ta thấy số A có tận cùng là 4,
như vậy không thể kết luận được gì. Mà số A chia hết cho 2 và cũng chia hết cho
4( do hai chữ số tận cùng chia hết cho 4). Như vậy, ta không thể áp dụng cách
chứng minh ở dạng 1 vào bài toán này.
Chúng ta đã biết chứng minh một số chính phương khi chia hết cho 3 có
số dư là 0 hoặc 1. Vậy A chia cho 3 có số dư như thế nào? Khi đó ta có lời giải.
Giải:
Do số A có tổng các chữ số của nó là 104, số này chia cho 3 dư 2.


Mà một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
Vậy A không phải là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng tổng của ba số chính phương liên tiếp không phải là số
chính phương.
Giải:
Gọi ba số chính phương liên tiếp có dạng: (n-1)2, n2, (n+1)2.
Tổng của chúng là: A = (n-1)2 + n2 + (n+1)2
A = 3n2 +2
Do A chia cho 3 dư 2 nên A không là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh rằng tổng của bốn số chính phương liên tiếp không phải là
số chính phương.
Giải:
Gọi bốn số chính phương liên tiếp có dạng (n-1)2,n2, (n+1)2, (n+2)2
Tổng của chúng là

B = (n-1)2+n2+ (n+1)2+ (n+2)2
B = 4n2 +4n+6.

- Ta dễ dàng chứng minh được rằng một số chính phương chia cho 4 chỉ có số
dư là 0 hoặc 1
Như vậy số B = 4n2 +4n+6 = 4(n2 +n+1)+2 chia cho 4 dư 2.
Vậy B không là số chính phương.
Bài 4: Chứng minh rằng tổng của 20 số chính phương liên tiếp không phải là
số chính phương.
Giải:
Thật vậy gọi A là tổng của 20 số chính phương liên tiếp.
Theo bài 3 : Do tổng của 4 số chính phương liên tiếp chia cho 4 dư 2 .
Nên tổng của 20 số chính phương liên tiếp chia cho 4 cũng dư 2.
Vậy A không là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng tổng sau không là số chính phương.
D = 20054 +20053 +20052 +2005 +52.
Nhận xét: Nếu số dư trong phép chia cho 3, cho 4 ta không kết luận được
gì. Mà ta biết rằng một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có số dư là 0 hoặc dư
1 hoặc dư 4.
Giải:
Do D chia cho 5 dư 2. Mà một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có số
dư là 0 hoặc 1 hoặc 4. Nên D không là số chính phương.
Bài toán áp dụng:

1. Chứng minh rằng tổng của 2 số chính phương lẻ không là số chính
phương.
2. Chứng minh rằng các biểu thức sau không là số chính phương.
a, n3 –n +2.
b, n5 –n+2
3. Chứng minh rằng các tổng sau không là số chính phương.
a, A= 12 +22 +32+…+20032+20042.
b, B = 12 +22 +32+…+20032
c, C =20002 +20012+ 20032 +20042+20052+20062
7.1.5.3 Chứng minh số đó nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp .
Ta biết rằng giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương
nào. Thật vậy , nếu n2< k<(n +1)2 thì k không là số chính phương.
Vận dụng kết quả trên ta sẽ giải quyết được các bài toán sau:
Bài 1: Chứng minh rằng:
a, Tích của hai số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
b, Tích của ba số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
c, Tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Giải:
a, Xét tích của hai số nguyên dương liên tiếp n(n+1);(n>0).
Do n2 < n(n+1)< (n+1)2.
Nên n(n+1) không phải là số chính phương.
b, Xét tích của ba số nguyên dương liên tiếp là (n-).n.(n+1); (n>1).
Ta có (n-1).n.(n+1) = n.(n2 -1).
Ta dễ dàng chứng minh được hai số nguyên dương liên tiếp là hai số
nguyên tố cùng nhau nên (n2, n2-1 ) = 1 => (n2, n2-1 ) =1 =>n(n2-1) là số chính
phương khi cả hai thừa số n và n2- 1 đều là số chính phương.
Với mọi n>1 ta có (n -1) (n -1)< (n -1) (n +1)= n2-1hay (n-1)2 < n2 -1< n2=> n2 -1 không là số chính phương.
Vậy n.(n2 -1) không là số chính phương.

c, Xét tích của 4 số nguyên dương liên tiếp là :
A = n(n+1)(n+2)(n+3)
A = n(n+3(n+1)(n+2)
A = (n2 +3n).(n2+3n+2)
A = (n2+3n)2 +2(n2 +3n)

(n ∈ N*)


Do (n2+3n)2 < (n2+3n)2 +2(n2 +3n) < (n2+3n)2 +2(n2 +3n)+1
hay (n2+3n)2=> A không là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng : Số có dạng 2006ab không là số chính phương.
Giải :
Do 00 < ab < 99 => 200600 < 2006ab < 200699
Mà 4472 = 199809 < 200600

(1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra 4472 <
2006ab <
Vậy 2006ab không là số chính phương.

4482

Bài 3: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 +2n3 +2n2 (n∈ N, n >1) không là số
chính phương
Giải :

Xét n6 – n4 +2n3 +2n2 = n2.(n4 –n2 +2n +2)
= n2 .[(n2 -1)2 +(n+1)2]
= n2 .[(n2 -1)2 (n +1)2 +(n+1)2]
= n2.(n+1)2 .[(n-1)2+1]
Với mọi số tự nhiên n > 1 ta có:
(n-1)2 < (n-1)2+1 = n2 -2(n-1)=> (n-1)2+1 không là số chính phương.
Vậy A không là số chính phương.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số dương n thì các biểu thức sau không là số
chính phương.
a, n2+3n +1
b, n4 +2n3 +2n2+2n +1.
Bài 2. Chứng minh rằng số sau không là số chính phương.
2006acb.
7.1.5.4 Chứng minh số đó chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố số chính phương chỉ chứa thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn không chứa số với số mũ lẻ.
Dựa vào tính chất này ta có thêm một cách chứng minh một số không phải
là số chính phương, chỉ cần chỉ ra số đó chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Bài 1. Chứng minh rằng : A = abc + bca + cab

không là số chính phương.


Giải:
Thật vậy : có A = 111(a+b+c ) = 3.37.(a+b+c)
Do một số là số chính phương phải chứa thừa số nguyên tố với số mũ
chẵn.
Mà (a+b+c) không đồng thời chia hết cho 3 và 37.

Vì 3 ≤ a+b+c ≤ 27
Nên A không là số chính phương.
Bài tập áp dụng:
Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương.
a, abab
b, abcabc
c, ababab
7.1.5.5 Tìm số n để các biểu thức là số chính phương

Bài 1: Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau là số chính phương
n –n+2
Giải
Với n = 1 thì n – n + 2 = 2 không là số chính phương
Với n = 2 thì n – n + 2 = 4 là số chính phương
Với n > 2 thì n – n + 2 không là số chính phương
Vì (n – 1) = n – (2n – 1) < n – (n - 2) < n
Bài 2: Tìm số nguyên dương n để biểu thức n – n + 2 là số chính phương
Giải
Ta có n – n = (n – 1).n.(n + 1)
Với n = 5k thì n chia hết cho 5
n = 5k ± 1 thì n – 1 chia hết cho 5
Với n = 5k ± 2 thì n + 1 chia hết cho 5
Nên n – n + 2 chia cho 5 thì dư 2 nên n – n + 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc
7 nên n – n + 2 không là số chính phương
Vậy : Không có giá trị nào của n thoả mãn bài toán
2

2
2
2

2

2

2

2

5

5

2

2

2

2

5

5

5

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng của tất cả các ước số

nguyên dương của p4 là một số chính phương.
7.1.6 Kết quả thực hiện :
Với cách làm như trên kết quả môn số học (về nhận thức, độ nhanh nhạy
tìm hướng giải) của học sinh đã tăng lên đáng kể. Thời gian đầu khi tiếp xúc với
dạng bài tập này các em rất lúng túng và hoang mang vì đây hoàn toàn là kiến
thức mới. Nhưng chỉ sau một thời gian được sự hướng dẫn và làm quen với dạng


bài tập này, các em đã tiến bộ rất nhiều. Đặc biệt năng lực tư duy của học sinh,
nhất là khả năng sử dụng các thao tác tư duy để tìm lời giải có sự tiến bộ lớn.
Sau thời gian áp dụng chính thức vào quá trình giảng dạy, hiệu quả được
khẳng định: khả năng nhận thức về tính số nguyên tố tăng lên và chất lượng đại
trà được cải thiện đáng kể, số học sinh giỏi tăng lên nhiều. Cụ thể kết quả được
thống kê trong bảng sau:
Thống kê khảo sát phần tính số nguyên tố qua hai năm học:
Năm học

Số
HS

8 – 10
SL

%

6,5 – < 8

5 – < 2–<5
6,5

0–<2

SL

SL %

SL %

%

SL %

2016 – 2017

58

8

13.8 14

24,2 18

31

16

27,6 2

3,4

2017 – 2018

58

18

31

27,6 17

29

7

12,4 0

0

16

Tư duy học toán của học sinh được nâng lên, tạo được cho học sinh
phương pháp tổng quát, suy luận lôgic để tìm lời giải và hướng khai thác cho bài
toán được thể hiện qua tỉ lệ điểm khảo sát của các em như sau:
Trước khi áp dụng sáng kiến.
Điểm

Kém

Trung
bình

Yếu

Khá

Giỏi

Số HS

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

30

0

0

8

27

12

40

6

20

4

13

Sau khi áp dụng sáng kiến
Điểm

Kém

Trung
bình

Yếu

Khá

Giỏi

Số HS

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

30

0

0

2

7

8

27

10

33

10

33

Qua kết quả trên ta thấy đa số học sinh đã nắm được các phương pháp
chứng giải các bài toán về số nguyên tố, tỉ lệ học sinh khá giỏi nâng cao, số học
sinh yếu giảm mạnh.
Học sinh đã hứng thú với việc học và khai thác phương pháp giải một số
bài toán về số nguyên tố. Tính cẩn thận của các em được rèn luyện ngay từ khi
đọc câu hỏi và tư duy tìm lời giải. Điều này thể hiện qua kết quả khảo sát tâm lý
của học sinh như sau


Trước khi áp dụng sáng kiến
khi

dụng
kiến

Tâm lý

Thích học

Số HS
30
Tâm lý
Số HS
30

SL

%

10
33
Thích học
SL
20

Bình thường

%
67

SL
8

%

27
Bình thường
SL

10

%
33

Không thích
SL
12

%

40
Không thích

SL
0

Sau
áp
sáng

%
0

Như vậy đa số học sinh đều thích học, có hứng thú học tập với dạng toán về số
nguyên tố.
7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
- Sáng kiến được áp dụng cho học sinh đội tuyển Toán trung học cơ sở bởi
các giải pháp sau:
- Cung cấp cho học sinh các định nghĩa, tính chất về số nguyên tố, hai số
nguyên tố cùng nhau, các dạng toán cùng các ví dụ và bài tập minh họa phân
loại theo từng phương pháp để học sinh hiểu và áp dụng.
- Học sinh thực hành giải bài tập, sưu tầm tài liệu tham khảo .
- Giáo viên giảng dạy các nội dung của sáng kiến để kiểm nghiệm nội
dung và phương pháp.
- Giáo viên đánh giá kết quả thực hiện, rút kinh nghiệm trong quá trình áp
dụng.
- Sáng kiến này có thể áp dụng cho việc bồi dưỡng chuyên môn cho giáo
viên dạy toán.
- Bên cạnh đó, sáng kiến này còn áp dụng dạy học sinh đại trà nhưng cần
lựa chọn nội dung phù hợp với học sinh.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): không.
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Đối với học sinh cần có ý thức học tập tốt, nhận thức được các kiến thức
có bản về số học.
Đối với giáo viên cần có kiến thức chuyên môn, nghiệp vụ vững vàng, say
mê nghề nghiệp.


10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia
áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử .
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng

sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
Qua chuyên đề chất lượng dạy và học bộ môn Toán có sự chuyển biến rõ
rệt. Học sinh hứng thú hơn, ý thức tự học, tự nghiên cứu của học sinh cải thiện.
Sự tư duy, suy luận và phản ứng trước các vấn đề nhanh nhạy hơn. Qua đó hình
thành được phương pháp học tập phù hợp với năng lực của chính bản thân học
sinh. Với việc triển khai các nội dung sáng kiến trên, năm học này chất lượng
học sinh đại trà và học sinh giỏi được nâng cao từng bước.
Kết quả cụ thể:
TS

Yếu

Trung bình

Khá

Giỏi

SL %

SL %

SL

%

SL %

Trước khi áp dụng

30

8

26,7

7

26,6

10

33,3

5

16,7

Sau khi áp dụng

30

2

6,7

7

23,3

13

43,3

8

26,7

- Kết quả trên ta thấy 93,3% học sinh đã nắm kỹ năng giải một bài toán về số
nguyên tố, tỉ lệ học sinh khá giỏi chiếm đa số, học sinh yếu kém còn ít.
- Học sinh đã hứng thú với việc học, rèn kỹ năng giải toán và khai thác bài toán.
Tính cẩn thận của các em được rèn luyện ngay từ khi đọc câu hỏi và tư duy tìm
lời giải. Điều này thể hiện kết quả khảo sát tâm lý của học sinh như sau:
- Trước khi áp dụng sáng kiến.
Tâm lý

Thích học

Số HS

SL

21

6

Bình thường

Không thích

%

SL

%

SL

%

28,6

11

52,4

4

19,0

- Sau khi áp dụng sáng kiến.
Tâm lý

Thích học

Số HS

SL

21

13

Bình thường

Không thích

%

SL

%

SL

%

61,9

8

38,1

0

0

- Như vậy đa số học sinh đều thích học, có hứng thú học tập với dạng toán số
chính phương.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng

sáng kiến theo ý kiến của tổ chức:


Sáng kiến đã được tổ chuyên môn khoa học tự nhiên, giáo viên giảng dạy
toán đánh giá là sáng kiến có tính khả thi cao, tạo được hứng thú học tập và phát
triển tư duy cho học sinh. Đồng thời được đề xuất làm tài liệu học tập, trao dồi
chuyên môn cho giáo viên môn toán, và được in làm tài liệu tham khảo lưu ở thư
viện nhà trường làm tài liệu chung bồi dưỡng học sinh giỏi toánTHCS của nhà
trường, của huyện trong năm học 2018 - 2019 và những năm sau.
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu:
Số Tên tổ chức/cá
TT nhân

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

1

Các GV môn Toán Các trường
huyện Tam
-vĩnh Phúc.

2

Đội tuyển học sinhTrường THCS ĐồngBồi dưỡng học sinh giỏi môn
giỏi Toán 6, 7, 8, 9. Tĩnh -Tam Dương -vĩnhtoán THCS
Phúc.

Đồng Tĩnh, ngày….tháng … năm 2019

THCSTrao đổi chuyên môn
DươngCông tác bồi dưỡng học sinh
giỏi toán THCS.

Thủ trưởng đơn vị

Đồng Tĩnh, ngày ... tháng 03 năm
2019

(Ký tên, đóng dấu)

Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)

Khổng Thị Hồng Hoa