slide bài giảng đại cương về phương trình

“Không có bài toán nào không giải được.
Chúng ta phải biết và sẽ biết ”
David Hilbert

Tiết 17: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Chương III – Phương trình, Hệ Phương Trình


TÌM SỐ
?

Hãy tìm một số, biêt rằng 3 lần số đó thì bằng 6

?

Hãy tìm một số, biêt rằng 4 lần số đó trừ 1 thì bằng 11

Phương trình ẩn x
Hãy tìm số, biết rằng 2 lần bình phương số đó, cộng với 3 lần
số đó, trừ đi 5 thì đúng bằng 0


I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1

Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng:

f ( x) = g ( x)

f(x), g(x)
là biểu thức
chứa biến

Vế trái

Vế phải

Vô
nghiệm

Nghiệm

Giải
phương
trình


I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ
Cho phương trình

2x2+3 = 5x

f ( x) = ?
g ( x) = ?
Nghiệm ?


I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH

2

Điều kiện của một phương trình

Cho phương trình:

x +1
= x −1
x−2

Vế trái có nghĩa khi nào ?

x≠2

Vế phải có nghĩa khi nào ?

x ≥1


I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ
Tìm điều kiện của các phương trình sau:

x
a) 3 − x =
2− x
2

DK : 2 − x > 0
⇔

2> x
⇔
x<2

b)

1
= x+3
2
x −1

DK :
 x2 −1 ≠ 0
 x ≠ ±1
⇔

 x ≥ −3
x + 3 ≥ 0


I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
3

Phương trình nhiều ẩn
2 ẩn:

3 x + 2 y + y = 3 − 4 xy
2

Nghiệm (x;y)=(1;0) …

? ẩn:

x + 2 xy − 4 z = z − y
2

2

Nghiệm (x;y;z)= ?

2


I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
4

Phương trình chứa tham số
Ẩn x, tham số m:

mx + 2 = 0

Ẩn x, tham số a, b:

ax2+bx - 5 = 0

Ẩn t, tham số p:

(1+p)t +2 = 0


II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1

Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng
có cùng tập nghiệm

Ví dụ

2x − 5 = 0
5
S = 
2

⇔

S =S'

15
3x − = 0
2
5
S'= 
2


II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

Phương trình tương đương

1
Ví dụ

Kiểm tra xem 2 phương trình sau có tương đương ?

x +x=0
2

S = { 0; −1}

⇔

S =S'

4x
+x=0
x−3
S ' = { 0; −1}


II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

2

Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà
không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình
mới tương đương.
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng
một biểu thức luôn có giá trị khác 0.


II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

2

Phép biến đổi tương đương

Ví dụ
Tìm sai lầm trong phép biến đổi tương đương

1
1
x+
=
+1
x −1 x −1

⇔
⇔

1
1
1
1
x+
−
=

+1 −
x −1 x −1 x −1
x −1

x =1


II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

3

Phương trình hệ quả

f ( x) = g ( x)

⇒

f1 ( x) = g1 ( x)

Phương trình hệ quả

S ⊂

S1


II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

Phương trình hệ quả

3
Ví dụ

Tìm phương trình hệ quả trong hai phương trình sau:

x −4=0
2

2+ x = 0


Củng cố
PHƯƠNG TRÌNH

Điều kiện

Nghiệm

Một ẩn, nhiều ẩn

PT Tương đương

Chứa tham số

PT Hệ quả


“Không có bài toán nào không giải được.
Chúng ta phải biết và sẽ biết ”
David Hilbert

Về nhà làm bài tập 1, 2, 3, 4 SGK


CT

KIỂM TRA BÀI CŨ

?
Ta có:

Kiến thức

Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:

mx + 2 = m + x ( 1)

mx − x = m − 2 ⇔ ( m − 1) x = m − 2

Nếu

Thì pt (1) có nghiệm duy nhất

a ≠ 0 ⇔ m −1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Nếu

a = 0 ⇔ m − 1 = 0 ⇔ m = 1 Thì pt (1) vô nghiệm

x=

m−2
m −1


1. Phương trình bậc nhất

QV

Giải và biện luận pt: ax+b=0

ax + b = 0 ⇔ ax = −b ( 1)

Hệ số

Kết luận

a≠0

b
(1) Có nghiệm duy nhất x = −
a

a=0
Chú ý: Khi

b ≠ 0 (1)Vô nghiệm

b=0

(1) Nghiệm đúng với mọi x

a ≠ 0 phương trình ax+b=0 gọi là pt bậc nhất mật ẩn


QV

KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ

Giải và biện luận pt bậc 2:ax + bx + c = 0
2

Giải và biện luận pt: ax+b=0

ax 2 + bx + c = 0

ax+b=0
Hệ số

a≠0
a=0

∆ = b 2 − 4ac Kết luận

Kết luận
Pt có 1 nghiệm:

−b
x=
a

∆>0

Pt có 2 nghiệm:


−b + ∆
 x1 =
2a


−b − ∆
 x2 =
2a


b≠0

Pt vô nghiệm

∆=0

Pt có nghiệm kép:

b=0

Pt vô số nghiệm

∆<0

Pt vô nghiệm

Nếu ax + bx + c = 0 có 2 nghiệm
2

x1 , x2

x=

−b
2a

−b
c
Thì x1 + x2 =
; x1 x2 =
a
a

u + v = S
2
Nếu 
Thì u và v là nghiệm của pt: x − Sx + P = 0
u.v = P


ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA f(x)

 f ( x ) , f ( x) ≥ 0
f ( x) = 

,
f
(
x
)
<
0
−
f
(
x
)


QV


NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC

1. ( a + b ) = a + 2ab + b
2

2

2. ( a − b ) = a − 2ab + b
2

2

2

2

3. a − b = ( a + b ) ( a − b )
2

2

QV


“Không có
bài toán nàoIII
không
giải được.
Chương
– Phương
Chúng ta phải biết và sẽ biết ”
David Hilbert

trình, Hệ Phương Trình

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI

f ( x) = g ( x)

f ( x) = g ( x)


1. Phương trình chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối
 Ví dụ 1: Giải phương trình

Dạng: f ( x) = g ( x)

f ( x) = g ( x) ⇔

Cách 2:
Đưa về phương trình hệ quả:
f ( x) = g ( x) ⇒

[ f ( x)]

2

= [ g ( x) ]

HĐTĐ

x − 1 = 2 x + 1 ( 1)

 Cách 1:
 Cách 1
Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối:
  f ( x) ≥ 0

  f ( x) = g ( x)
  f ( x) < 0

  f ( x) = − g ( x)

TTĐ

 x − 1 ≥ 0
 x ≥ 1


x
−
1
=
2
x
+
1
 x = −2 ( l )

 x = −2


⇔
⇔
( 1) ⇔ 

x −1 < 0
x < 1
 x = 0 ( n )
 

  x − 1 = − ( 2 x + 1)
  x = 0
KL: Vậy tập nghiệm của pt (1) là: S = { 0}

Cách 2:

( 1) ⇒ ( x − 1)

2

= ( 2 x + 1) ⇒ ( 2 x + 1) − ( x − 1) = 0
2

2

 x = 0 ( n)
3 x = 0
⇒
3
x
x
+
2
=
0
⇒
⇒
(
)

2
x + 2 = 0

 x = −2 ( l )

KL: Vậy tập nghiệm của pt (1) là: S = { 0}

2


2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
 Ví dụ 2: Giải phương trình:

 Cách 1:
Đưa về phương trình hệ quả

f ( x) = g ( x) ⇒

3x + 7 = x − 1 ( 2 )

 Cách 1: Đk: 3 x + 7 ≥ 0
2
( 2 ) ⇒ 3x + 7 = ( x − 1)

đk f ( x ) ≥ 0

f ( x) = [ g ( x) ]

2

 Cách 2:
Đưa về pt tương đương
 g ( x) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 

2
f
(
x
)
=
g
(
x
)
[ ]


 x = −1 ( l )
⇒ x − 5x − 6 = 0 ⇒ 
 x = 6 ( n )
2

 KL:Vậy tập nghiệm của pt (2) là: S = { 6}

Cách 2:
x ≥ 1
 x − 1 ≥ 0
 x = −1 ( l )
x ≥ 1

⇔   x = −1 ⇔ 
( 2) ⇔ 
2 ⇔ 2
 x = 6 ( n )

3x + 7 = ( x − 1)  x − 5 x − 6 = 0   x = 6


KL: Vậy tập nghiệm của pt (2) là: S = { 6}


Bài tập củng cố
 Bài tập 1: Giải phương trình

1. Pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

2 x − 1 = x − 2 ( 1)

 Cách 1:
Dùng định nghĩa giá trị tuyệt
đối:
f ( x) = g ( x) ⇔

 Cách 1:
 2 x − 1 ≥ 0
  x ≥ 1/ 2
f
(
x
)
=
g
(

x)

2
x
−
1
=
x
−
2
 x = −1 ( l )

 x = −1
⇔
⇔
( 1) ⇔ 
  x < 1/ 2  x = 1 ( l )
2 x − 1 < 0



 2 x − 1 = − ( x − 2 )   x = 1

  f ( x) ≥ 0

  f ( x) = g ( x)
  f ( x) < 0

  f ( x) = − g ( x)

KL: Vậy tập nghiệm của pt (1) là:S = ∅

Cách 2:

Cách 2:
Đưa về phương trình hệ quả:
f ( x) = g ( x)

⇒ [ f ( x)] = [ g ( x) ]
2

( 1) ⇒ ( 2 x − 1)
2

2

= ( x − 2 ) ⇒ ( 2 x − 1) − ( x − 2 ) = 0
2

2

2

 x = −1 ( l )
 x −1 = 0
⇒ ( x + 1) ( 3x − 3) = 0 ⇒ 
⇒
3 x − 3 = 0
 x = 1 ( l )

KL: Vậy tập nghiệm của pt (1) là: S = ∅