Chuyên Đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz Tự Luận Và Trắc Nghiệm

www.thuvienhoclieu.com

BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ
→ → →

Trong không gian, xét ba trục x′Ox ; y′Oy ; z′Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi i , j , k lần
lượt là các vectơ đơn vị các trục x′Ox ; y′Oy ; z′Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-các
vuông góc Oxyz trong không gian hay hệ tọa độ Oxyz .
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
r2 r 2 r 2
rr rr r r
i
=
j
=
k
=
1
Chú ý:
và i. j = i.k = k . j = 0 .
2. Tọa độ của một điểm
a) Định nghĩa:
Chú ý: •

uuuu
r
r
r

r
M ( x; y; z ) ⇔ OM = x.i + y. j + z.k

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

M ∈ ( Oxy ) ⇔ z = 0; M ∈ ( Oyz ) ⇔ x = 0; M ∈ ( Oxz ) ⇔ y = 0

• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .
A ( x A ; y A ; z A ) ;Β ( xB ; yB ; z B )
b) Tính chất: Cho
uuu
r
AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
•
•

uuur
AB = AB =

( xB − x A )

2

+ ( yB − y A ) + ( z B − z A )
2

2

 x + x y + y B z A + xB 
M A B; A

;
÷
2
2
2 

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
 x + x + x y + yB + yC z A + zB + zC 
G A B C ; A
;
÷
3
3
3



• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
 x + x + x + xD y A + y B + y C + y D z A + z B + zC + z D 
G A B C
;
;
÷
4
4
4



3. Tọa độ vectơ
r
r
r
r
r
u = ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y. j + z.k
Định nghĩa:
uuuur
M = ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z )
Nhận xét:
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ
www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com
r
r
a
=
a
;
a
;
a
;
b

= ( b1; b2 ; b3 ) ; k ∈ R
(
)
1
2
3
Định lý:Trong không gian Oxyz cho
r r
a ± b = ( a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
•
r
k a = k ( a1; a2 ; a3 ) = ( ka1; ka2 ; ka3 )
•
r
r
a = ( a1; a2 ; a3 ) ; b = ( b1; b2 ; b3 ) ; k ∈ R
Oxyz
Trong không gian
cho
Hệ quả:
a1 = b1
r r

a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3
•

•

r
r
r
r
0 = ( 0;0;0 ) ; i = ( 1;0;0 ) ; j = ( 0;1;0 ) ; k = ( 0;0;1) ;

r r r
r
r
r
b
b
≠
0
⇔
a
=
kb
( k ∈ R)
• a cùng phương

(

)

a1 = kb1
a a
a

⇔ a2 = kb2 ⇔ 1 = 2 = 3 , ( b1 , b2 , b3 ≠ 0 )

b1 b2 b3
a = kb
3
 3

A ( x A ; y A ; z A ) ;Β ( xB ; yB ; z B )
•Cho hai điểm
thì:
uuu
r uuu
r uuu
r
AB = OB − OA = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
*
 x + x y + yB z A + z B 
M A B; A
;
÷
2
2 
*Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là  2

III. TÍCH VÔ HƯỚNG
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
r
r
a = ( a1; a2 ; a3 )
b = ( b1; b2 ; b3 )
Oxyz
Định lý:Trong không gian

, tích vô hướng của hai vectơ
và
được
rr
a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
xác định bởi:
2. Ứng dụng
r r
a
• ⊥ b ⇔ a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0
•

r
a = a12 + a2 2 + a32

r2
2
2
2
a
• = a1 + a2 + a3

•

rr
r r
a.b
cos a, b = r r =
a.b

( )

a1.b1 + a2 .b2 + a3.b3
a1 + a2 2 + a32 . b12 + b2 2 + b32
2

r r r
a
(với , b ≠ 0 )

www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Oxyz , mặt cầu
Định lý: Trong không gian

( x − a)

2

+ ( y − b) + ( z − c) = r 2
2

( S ) tâm I ( a; b; c )

bán kính r có phương trình là:

2

.

2
2
2
Nhận xét: Phương trình mặt cầucòn có thểviết dưới dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với

2
2
2
d = a2 + b2 + c2 − r 2 ⇒ r = a + b + c − d .

V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Định nghĩa

M ′ ( − a; b; −c )

r
a = ( a1; a2 ; a3 )

Trong không gian
cho hai vectơ
u
rr
r
r

 a,b 
của hai vectơ a và b kí hiệu là   , được xác định bởi

và

r
b = ( b1; b2 ; b3 )

. Tích có hướng

urr  a a a a a a 
 a,b  =  2 3 ; 3 1 ; 1 2 ÷ = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )
 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
2. Tính chất
r r
r r r
r
 a, b  ⊥ a;  a, b  ⊥ b
 
• 
r r
r r
 a , b  = − b, a 
 
• 
rr
r
r r r

rr
r
i , j  = k ;  j , k  = i;  i , k  = j ;
 
 
• 
•

rr
r r
rr
[a,b] = a . b .sin a,b

( ) (Chương trình nâng cao)

3. Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
urr r
urr
r


⇔
a
 ,b  .c = 0
•Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a,b và c đồng phẳng
uuuruuur
S ABCD =  AB, AD 
•Diện tích hình bình hành ABCD :

S ABC =

•Diện tích tam giác ABC :

1 uuuruuur
 AB, AC 

2

uuur uuur uuur
VABCDA ' B 'C ' D ' =  AB, AD  . AA '
•Thể tích khối hộp ABCDA ' B ' C ' D ' :

•Thể tích tứ diện ABCD :

VABCD =

1
6

uuuruuur uuur
 AB, AC  . AD



Chú ý:
– Tích vô hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 3

www.thuvienhoclieu.com
– Tích có hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các
vectơ cùng phương.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Các bài toán liên quan tọa độ điểm, tọa độ của vectơ
{Tìm tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa tính chất nào đó, tìm tọa độ trung điểm, trọng tâm, trực
tâm, đỉnh của hình bình hành, đỉnh của một hình đa diện,…}
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
r
r
r
b = ( 0;2; −1) c = ( 1;7;2 )
Oxyz
a
=
(2;
−
5;3)
Ví dụ1. Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba vectơ:
,
,
.
ur r r r
Tìm tọa độ vectơ d = a − 4b − 2c .
Lời giải

Ta có:

r
a = ( 2; −5;3)
r
4b = ( 0;8; −4 )
r
2c = ( 2;14;4 )

Suy ra:

ur r r r
d = a − 4b − 2c

= ( 2; −5;3) − ( 0;8; −4 ) − ( 2;14;4 )
= ( 2 − 0 − 2; −5 − 8 − 14;3 + 4 − 4 )
= ( 0; −27;3)
Ví dụ2.

. Vậy

ur
d = ( 0; −27;3)

.

A ( 1; 2; 4 ) , B ( 2; −1; 0 ) , C ( −2;3; −1)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm
.
1/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

2/ Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD .
Lời giải
 xD = xC − xB + x A = −3
uuur uuur

⇔ AD = BC ⇔  yD = yC − yB + y A = 6 ⇒ D ( −3;6;3)
z = z − z + z = 3
C
B
A
 D
1/ Tứ giác ABCD là hình bình hành

2/ Điểm I là tâm hình bình hành ABCD

www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com
x A + xC

 xI = 2

y + yC

 1 5 3
⇒  yI = A
⇒ I − ; ; ÷

2
 2 2 2

z A + zC

 zI = 2

⇒ I là trung điểm của AC
.
Ví dụ3.

A ( 1; −1;5 ) , B ( 3;4;4 ) , C ( 4;6;1)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm
. Tìm tọa độ
điểm Mthuộc mặt phẳng

( Oxy )

và cách đều các điểm A, B, C ?
Lời giải

Gọi

M ( x; y;0 ) ∈ ( Oxy ) , ( x, y ∈ ¡ ; x 2 + y 2 ≠ 0 )

Vì M cách đều A, B, C nên ta có:

là điểm cần tìm.

2

2
 AM = BM
MA = MB = MC ⇔ 
2
2
 AM = CM

2
2
2
2
2
2

( x − 1) + ( y + 1) + ( 0 − 5 ) = ( x − 3 ) + ( y − 4 ) + ( 0 − 4 )
⇔
2
2
2
2
2
2

( x − 1) + ( y + 1) + ( 0 − 5 ) = ( x − 4 ) + ( y − 6 ) + ( 0 − 1)

 4 x + 10 y − 14 = 0
2 x + 5 y = 7
 x = 16
⇔
⇔

⇔
 2 x + 4 y − 12 = 0
x + 2y = 6
 y = −5 .
Vậy
Ví dụ4.

M ( 16; −5;0 )

.

K ( 2; 4;6 )
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
, gọi K ' là hình chiếu vuông góc
của K trên trục Oz . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng OK ' ?
Lời giải

K ( 2;4;6 )
K ' ( 0;0;6 ) .
Vì K ' là hình chiếu vuông góc của
lên trục Oz nên
Gọi
Ví dụ5.

I ( x1; y1; z 1 )

I ( 0;0;3) .
là trung điểm OK '. Suy ra

B ( −2;3;0 ) , C ( x;3; −1)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−2;2; −1) ,
. Tìm các giá trị
của x để tam giác ABC đều?
Lời giải
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB
5 1
1

M  −2; ; − ÷
CM = ( x + 2) 2 +
2 2  , AB = 2 ,
2
Ta có: 

Tam giác ABC đều khi và chỉ khi
CM = AB

 x = −1
3
1
6
⇔ ( x + 2) 2 + =
⇔ ( x + 2) 2 = 1 ⇒ 
2
2
2
 x = −3
www.thuvienhoclieu.com

Trang 5

www.thuvienhoclieu.com
 x = −1

Vậy:  x = −3 là các giá trị cần tìm.
VẬN DỤNG THẤP VÀ VẬN DỤNG CAO
Ví dụ6.

Trong

không

gian

với

hệ

A ( −2;0; −3) , B ( −4;1; −1) , C ( −4; −4;1)

tọa

Oxyz ,

độ

cho

tam

giác

ABC

có

. Gọi D là chân đường phân giác trong góc A của tam

giác ABC. Tìm tọa độ điểm D.
Lời giải
A

B

C

D

Theo tính chất phân giác trong, ta có:

uuur
DB AB
AB uuur
=
⇒ DB = −
DC ( 1)
DC AC
AC
Mà: AB = 3; AC = 6

 xC − xD = −2 ( xB − xD )
uuur
uuur

2 1
( 1) ⇒ DC = −2 DB ⇔  yC − yD = −2 ( yB − yD ) ⇒ D  −4; − ; − ÷
3 3


zC − z D = −2 ( z B − z D )

Từ
.
Ví dụ7.

Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D '
uuuu
r uuur uuuur r
1/ Chứng minh: AC ' + CA ' + 2C ' C = 0
2/ Cho

A ( 1;0;1) , B ( 2;1;2 ) , C ' ( 4;5; −5 ) , D ( 1; −1;1)

. Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải
uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuuur

uuuuu
r uuu
r
AC
'
=
AC
+
CC
'
CA
'
=
CC
'
+
C
'
A
C
'
A
'
=
CA
1/ Ta có:
;
và
uuuu
r uuur uuuur

uuuu
r uuur uuu
r uuuur r
Suy ra: AC ' + CA ' + 2C ' C = 2CC ' + AC + CA + 2C ' C = 0 (đpcm)
2/

Sử

dụng

công

thức

hai

vecto

bằng

nhau

ta

được:

C ( 2;0;2 ) , B ' ( 4;6; −5 ) , A ' ( 3;5; −6 ) , D ' ( 3;4; −6 )
Ví dụ8.

A ( 5;3; −1) , B ( 2;3; −4 )

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác đều ABC có
và

( Oxy ) có tung độ nhỏ hơn 3 .
điểm C nằm trong mặt phẳng
1/ Tìm tọa độ điểm C .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 6


www.thuvienhoclieu.com
ABCD
D
2/ Tìm tọa độ điểm
biết
là tứ diện đều.
Lời giải
1/ Vì

C ∈ ( Oxy )

Ta có:

nên

C ( x; y;0 )

.

uuu
r
uuur
uuur
AB = ( −3;0; −3) , AC = ( x − 5; y − 3;1) , BC = ( x − 2 y; y − 3;4 )

 AB 2 = AC 2
 AB = AC

⇔ 2

2
AC = BC
 AC = BC


ABC
Tam giác
đều nên
2
2

x = 1 x = 1
( x − 5 ) + ( y − 3 ) + 1 = 18
⇔
⇔
∨
2
2

2
2
y = 4 y = 2

x
−
5
+
y
−
3
+
1
=
x
−
2
+
y
−
3
+
16
(
)
(
)
(
)
(

)


.

C ( 1;2;0 )
Vì C có tung độ nhỏ hơn 3 nên
.
2/ Gọi

D ( x; y; z )

Khi đó:

uuur
uuur
uuur
AD = ( x − 5; y − 3; z + 1) ; BD = ( x − 2; y − 3; z + 4 ) ; CD = ( x − 1; y − 2; z )

.
.

Vì tam giác ABC đều nên tứ diện ABCD đều khi và chỉ khi AD = BD = CD = AB = 3 2
( x − 5 ) 2 + ( y − 3 ) 2 + ( z + 1) 2 = ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 + ( z + 4 ) 2

2
2
2
2
2


⇔ ( x − 5 ) + ( y − 3 ) + ( z + 1) = ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2

2
2
2
( x − 5 ) + ( y − 3 ) + ( z + 1) = 18
10

x = 3
z = 1− x
x = 2 
2



z = 1− x
⇔  y = 16 − 5 x
⇔ y = 6 ∨ y = −

3
3x 2 − 16 x + 20 = 0


⇔  y = 16 − 5 x
 z = −1 

7

2

2
2
z = − 3
( x − 5 ) + ( y − 3 ) + ( z + 1) = 18

.
 10 2 7 
D ( 2;6; −1) ∨ D  ; − ; − ÷
 3 3 3.
Vậy:

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1

rr r
M ( x; y; z )
Oxyz
[2H3-1.1-1] Trong không gian
, gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với
thì
uuuur
OM bằng:
r r
r
r r
r
r r r
r r
r

xi
+
y
j
+
k
z
xi
−
y
j
−
k
z
x
j
+
yi
+
k
z
−
xi
−
y
j
−
k
z.
A.

.
B.
.
C.
.
D.

Lời giải
Chọn A
www.thuvienhoclieu.com

Trang 7


www.thuvienhoclieu.com

uuuu
r r r
r
OM = xi + y j + k z .

2

r
r
b = ( 0;2; −1)
Oxyz
a
=
(2;

−
5;3)
[2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba vectơ:
,
,
r
ur r r r
c = ( 1;7;2 )
. Tọa độ vectơ d = a − 4b − 2c là:
A. (0;27;3) .

B.

( 1;2; −7 ) .

C.

( 0; −27;3) .

D.

( 0;27; −3) .

Lời giải
Chọn C
ur r r r
d
Có = a − 4b − 2c

= ( 2; −5;3) − 4 ( 0;2; −1) − 2 ( 1;7;2 )

= ( 2; −5;3) − ( 0;8; −4 ) − ( 2;14;4 )
= ( 2 − 0 − 2; −5 − 8 − 14;3 + 4 − 4 )

= ( 0; −27;3)
Vậy

3

.

ur
d = ( 0; −27;3)

.

[2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ

A ( 3; −2;5 ) , B ( −2;1; −3)
A.

G ( 2;0; −1)

.

và

C ( 5;1;1)

B.

Oxyz , cho tam giác

ABC

với

. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:

G ( 2;1; −1)

.

C.

G ( −2;0;1)

.

D.

G ( 2;0;1)

.

Lời giải
Chọn D
 x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC 
G A B C ; A

;
÷ ⇒ G ( 2;0;1)
3
3
3

Tọa độ trọng tâm 
.

Vậy

4

G ( 2;0;1)

.

[2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình bình hành OABD có
uuu
r
uuur
OA = ( −1;1;0 ) , OB = ( 1;1; 0 ) O
( là gốc toạ độ) . Toạ độ tâm hình bình hành OABD là:

A.

( 1;0;0 )

.

1 1 
 ; ;0 ÷
B.  2 2  .

C.

( 1;0;1) .

D.

( 1;1;0 ) .

Lời giải
Chọn B
uuu
r
OA = ( −1;1;0 ) ⇒ A ( −1;1;0 )
Ta có
.
uuur
OB = ( 1;1;0 ) ⇒ B ( 1;1;0 )
.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com
1 1 
OB ⇒ I  ; ;0 ÷

 2 2 .
Gọi I là tâm hình bình hành OABD. Suy ra I là trung điểm

5

[2H3-1.1-2]Cho điểm
A.

M ′ ( 0;5;0 )

.

M ( −2;5;0 )
B.

, hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm

M ′ ( 0; −5;0 )

.

C.

M ′ ( 2;5;0 )

.

D.

M ′ ( −2;0;0 )

.

Lời giải
Chọn A
Với

6

M ( a; b; c ) ⇒

M ( 0; b;0 )
hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy là 1
.

K ( 2;4;6 )
[2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
, gọi K ' là hình chiếu
vuông góc của K trên trục Oz , khi đó trung điểm OK ' có toạ độ là
A.

( 1;0;0 ) .

B.

( 0;0;3) .

C.

( 0;2;0 ) .

D.

( 1;2;3) .

Lời giải
Chọn B

K ( 2;4;6 )
K ' ( 0;0;6 )
Vì K ' là hình chiếu vuông góc của
lên trục Oz nên
.
Gọi

7

I ( x1; y1; z 1 )

I ( 0;0;3)
là trung điểm OK '. Suy ra
.

[2H3-1.1-2] Cho điểm
điểm
A.

M ′ ( 0; 2; −3 )

.

M ( 1;2; −3)

B.

( Oxy ) là
, hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng

M ′ ( 1;0; −3 )

.

C.

M ′ ( 1;2;0 )

.

D.

M ′ ( 1; 2;3 )

.

Lời giải
Chọn C
Với

8

M ( a; b; c ) ⇒

( Oxy ) là M1 ( a; b;0 ) .
hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng

[2H3-1.1-2] Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B(1;2; −3) , C (7;4; −2) . Nếu E là điểm thỏa
uuu
r
uuu
r
CE
=
2
EB
mãn đẳng thức
thì tọa độ điểm E là:
8

 3;3; − ÷
3.
A. 

 8 8
 3; ; − ÷
B.  3 3  .

1

 1; 2; ÷
3 .

C. 

8
8
 ;3; − ÷
3.
D.  3

Lời giải
Chọn B

www.thuvienhoclieu.com

Trang 9


www.thuvienhoclieu.com
8

x = 3
uuu
r
uuu
r 
CE = 2 EB ⇒  y = 3

8
z = −
E ( x; y; z ) , từ
3.



9

[2H3-1.1-2]

Trong

không

M ( 2;0;0 ) , N ( 0; −3;0 ) , P ( 0;0;4 )
A.

( −2; −3; 4 ) .

B.

gian

với

hệ

toạ

độ

Oxyz ,

cho

3

điểm

. Nếu MNPQ là hình bình hành thì toạ độ của điểm Q là:

( 3;4;2 ) .

C.

( 2;3;4 ) .

D.

( −2; −3; −4 ) .

Lời giải
Chọn C
uuuu
r
uuu
r
MN = ( −2; −3;0 ) , QP = ( − xQ ; − yQ ; zQ − 4 )
Ta có:
.
−2 = − xQ
 xQ = 2
uuuu
r uuur



MN = QP ⇔ −3 = − yQ ⇔  yQ = 3


 0 = zQ − 4
 zQ = 4 .
Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì

10

[2H3-1.1-2]

Trong

không

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1) , D ( 1;1;1)

gian

với

hệ

toạ

độ

Oxyz ,

cho

. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD . Toạ độ

điểm G là trung điểm MN là:
1 1 1
 ; ; ÷
A.  3 3 3  .

1 1 1
 ; ; ÷
B.  2 2 2  .

2 2 2
 ; ; ÷
C.  3 3 3  .

1 1 1
 ; ; ÷
D.  4 4 4  .

Lời giải
Chọn B
1 1 
M  ; ;0 ÷
Vì M là trung điểm của AB nên  2 2  .
1 1 
N  ; ;1÷
N là trung điểm của CD nên  2 2  .

1 1 1
G ; ; ÷
Do đó  2 2 2  .

11

[2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , vectơ đơn vị cùng hướng với vec tơ
r
a = (1;2;2) có tọa độ là:
1 2 2
 ; ; ÷
A.  3 3 3  .

 1 2 2
 − ;− ;− ÷
B.  3 3 3  .

1 2 2
 ;− ; ÷
C.  3 3 3  .

 1 1 1 
;
;

÷
3
3
3.


D.

Lời giải
www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com
Chọn A
r 1 2 2
r
r 1r 1 2 2
u =  ; ; ÷⇒ u = 1 u = a ⇒  ; ; ÷
r
3
3 3 3
 3 3 3  là vectơ đơn vị cùng hướng với a .
Ta thấy với
;

12

[2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;2; −1) , B (2; −1;3) ,

C (−2;3;3) . Điểm M ( a; b; c ) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P = a 2 + b 2 − c 2
có giá trị bằng
A. 42 .

C. 44 .

B. 43 .

D. 45 .

Lời giải
Chọn C

M ( x; y; z ) , ABCM là hình bình hành thì
 x − 1 = −2 − 2
uuuu
r uuur 
AM = BC ⇒  y − 2 = 3 + 1 ⇒ M (−3;6; −1) ⇒ P = 44
z +1 = 3 − 3

.

13

[2H3-1.1-2]Trong

không

gian

A ( 2; −3;4 ) , B ( 1; y; −1) C ( x;4;3 )
A. 42 .

với

hệ

toạ

độ

Oxyz ,

cho

ba

điểm

. Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng giá trị 5x + y là:

B. 41 .

C. 40 .

D. 36 .

Lời giải
Chọn B
uuur
uuur
AB = ( −1; y + 3; −5 ) ; AC = ( x − 2;7; −1)
Có
.

uuur ⇔ −1 = y + 3 = −5
uuur
x−2
7
−1 .
Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì AB cùng phương AC
9
⇒ x = ; y = 32
5

⇒ 5x + y = 41
Vậy 5x + y = 41 .

14

A ( 1;1;0 ) , B ( 2;0; −3)
[2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm
. Điểm
M chia đoạn AB theo tỉ số
4 2

M  ; ; −1÷
.
A.  3 3

k =−

1
2 có tọa độ là:

2 2

M  ; ; −2 ÷
.
B.  3 3

1 2 
M  ; − ;1÷
C.  3 3  .

2 2

M  ; − ; −2 ÷
.
D.  3 3

Lời giải
Chọn A
www.thuvienhoclieu.com

Trang 11


Giả sử

M ( x; y; z )

www.thuvienhoclieu.com
là điểm cần tìm.

Vì M chia đoạn AB theo tỉ số

k=−

uuur
1
1 uuur
MA = − MB
2 nên ta có:
2
.

4
1


x = 3
1 − x = − 2 ( 2 − x )


1
2


⇒ 1 − y = − ( 0 − y ) ⇔  y =
2
3


1


 z = −1
 − z = − 2 ( −3 − z )



.
4 2

M  ; ; −1÷
.
Vậy  3 3

15

[2H3-1.1-2]Cho điểm
A.

M ′ ( 3;2;0 )

.

M ( 3;2; −1)
B.

( Oxy ) là điểm
, điểm đối xứng của M qua mặt phẳng

M ′ ( 3; −2; −1)

.

C.

M ′ ( 3; −2;1)

.

D.

M ′ ( 3;2;1)

.

Lời giải
Chọn D
Với

16

M ( a; b; c ) ⇒

( Oxy ) là M ( a; b; −c )
điểm đối xứng của M qua mặt phẳng

[2H3-1.1-3]Cho điểm
a + b + c bằng

M ( 3;2; −1)

, điểm

B. 4 .

A. 0 .

M ′ ( a; b; c )

đối xứng của M qua trục Oy , khi đó

C. 6 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn A
Với

M ( a; b; c ) ⇒

M ′ ( − a; b; −c )
điểm đối xứng của M qua trục Oy là

⇒ M ′ ( −3;2;1) ⇒ a + b + c = 0

17

.

[2H3-1.1-3] Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có

A(1;0;2), B (−2;1;3), C (3;2;4), D(6;9; −5) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

A.

G ( 8;12; 4 )

.

B.

G ( 2;3;1)

.

14 

G  3;3; ÷
4 .
C. 

18


G  −9; ; −30 ÷
4
.
D. 

Lời giải
Chọn B

18

[2H3-1.1-3] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;1), B (2; −1;2) . Điểm M trên trục Ox
và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là

www.thuvienhoclieu.com

Trang 12


www.thuvienhoclieu.com
1

3

M  ;0;0 ÷
M  ;0;0 ÷
.
.
B.  2
C.  2

1 1 3
M ; ; ÷
A.  2 2 2  .

 1 3
M  0; ; ÷
D.  2 2  .

Lời giải
Chọn C

M ∈ Ox ⇒ M ( a;0;0 )

.

2
2
2
2
2
2
M cách đều hai điểm A, B nên MA = MB ⇔ ( 1 − a ) + 2 + 1 = ( 2 − a ) + 2 + 1 .
2

⇔ 2a = 3 ⇔ a =

19

2

3
2.

A ( 1; −1;5 ) , B ( 3; 4;4 ) , C ( 4;6;1)
[2H3-1.1-4]Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm
. Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A, B, C có tọa độ là:
A.

M ( 16; −5;0 )

.

B.

M ( 6; −5;0 )

.

C.

M ( −6;5;0 )

.

D.

M ( 12;5;0 )

.

Lời giải
Chọn A
Gọi

M ( x; y;0 ) ( x, y ∈ ¡ ; x 2 + y 2 ≠ 0 )

là điểm cần tìm.

Vì M cách đều A , B , C nên ta có: MA = MB = MC

⇔

( x − 1)

2

+ ( y + 1) + ( 0 − 5 ) =
2

2

( x − 3)

2

+ ( y − 4) + ( 0 − 4) =
2

2

( x − 4)

2

+ ( y − 6 ) + ( 0 − 1)
2

2

⇔ { −2 x + 2 y + 27 = −6 x − 8 y + 41 = −8 x − 12 y + 53
4 x + 10 y − 14 = 0
2 x + 5 y = 7
 x = 16
⇔
⇔
⇔
2 x + 4 y − 12 = 0
x + 2 y = 6
 y = −5

20

Vậy

M ( 16; −5;0 )

.

A ( 2;1; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3 )
[2H3-1.1-4] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho
điểm
D thuộc Oy và thể tích của tứ diện ABCD bằng 5. Toạ độ của D là:

A.

( 0; −7;0 ) .

B.

( 0;8;0 ) .

( 0; −7;0 )

( 0;8;0 ) .
C. 

( 0; −8;0 )

( 0;7;0 ) .
D. 

Lời giải
Chọn C
uuur
uuur
D
(0;
y
;0)
Oy
AB
=
(
1;
−
1;2
)

0
D
Điểm
thuộc trục
có tọa độ
. Ta có
, AC = ( 0; −2; 4 ) và
uuur
AD = ( −2; y0 − 1;1)
. Dễ thấy

uuu
r uuur  −1 2 2 1 1 −1 
 AB, AC  = 
;
;
÷ = ( 0; −4; −2 )


−
2
4
4
0
0
−
2


,

www.thuvienhoclieu.com

Trang 13


⇒ 5 = VABCD

www.thuvienhoclieu.com
1 uuur uuur uuur 1
=  AB, AC  . AD = 2 − 4 y0
6
6
,

nên y0 = −7 hoặc y0 = 8 .

Dạng 2: Tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng
{ Tích vô hướng hai vt, góc giữa hai vt, độ dài vt, độ dài đường trung tuyến, phân giác,đường
cao, diện tích tam giác, chu vi tam giác…}
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

A ( 2; −1;3) , B ( 3;0; −2 ) , C ( 5; −1; −6 )
·
Ví dụ 1. Trong không gian m cho tam giác ABC có
.Tính cos BAC
Lời giải
Ta có:

uuu
r

uuur
AB = ( 1;1; −5 ) ; AC = ( 3;0; −9 )

uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB. AC
16
8 30
·
cos BAC = cos AB; AC =
=
=
AB. AC 3 30
45 .
Suy ra:

(

)

A ( 1;2;3)
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC biết
, B đối xứng với A qua
mặt phẳng ( Oxy ), C đối xứng với B qua gốc tọa độ O. Tính diện tích tam giác ABC ?
Lời giải
Theo đề bài: B đối xứng với A qua mặt phẳng ( Oxy ) ⇒ B (1;2; −3)
C đối xứng với B qua gốc tọa độ O ⇒ C(−1; −2;3)

uuur
uuur
r uuur
1 uuu
⇒ AB = (0;0; −6); AC = ( −2; −4;0) ⇒ S∆ABC =  AB; AC  = 6 5
2
.
A ( 2;0;0 ) B ( 0;3;1) C ( −3;6;4 )
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có
,
,
. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC = 2MB . Tính độ dài đoạn thẳng AM .
Lời giải
uuuu
r
uuur
Vì điểm M thuộc cạnh BC nên MC = −2MB , suy ra tọa độ điểm M là
xC − (−2) xB

 xM = 1 − (−2) = −1

yC − (−2) yB

=4
 yM =
1
−
(
−
2)



zC − ( −2) z B
=2
 zM =
1 − (−2)

.
Vậy độ dài AM bằng:
www.thuvienhoclieu.com

Trang 14


www.thuvienhoclieu.com

( xM − x A )

2

2
2
+ ( yM − y A ) + ( zM − z A ) 2 = ( −1 − 2 ) + ( 4 − 0 ) + (2 − 0) 2 = 29
2

.

r r
r
r

r r
0
a
;
b
=
120
;
a
=
2;
b
=3
Ví dụ 4.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai vecto a, b thỏa mãn
r r
a − 2b
1) Tính
.
r
r
r r
a
x
=
3
a
+ 2b .
2) Tính góc giữa hai vecto và

( )

Lời giải
1)

Ta có:

r r
⇒ a − 2b

(

2) Ta có:

)

rr r r
r r
a.b = a . b .cos a; b = −3

( )

2

r2
r r r2
r r
= a − 4a.b + 4b = 52 ⇒ a − 2b = 2 13

r r r r r r2
rr

a.x = a a − 2b = a − 2a.b = 6

(

)

rr
r r
r r
a.x
1
⇒ cos a; x = r r = ⇒ a; x = 600
a.x 2

( )

r
x=

và

.
r

r

( 3a + 2b )

2

=6

.

( )

.

B ( −2;3;0 ) , C ( x;3; −1)
Ví dụ 5.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−2;2; −1) ,
. Tìm các giá trị
của x để tam giác ABC đều?
Lời giải
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB .
5 1
1

M  −2; ; − ÷
CM = ( x + 2) 2 +
2 2  , AB = 2 ,
2.
Ta có: 

Tam giác ABC đều khi và chỉ khi
CM = AB

 x = −1
3
1
6

⇔ ( x + 2) 2 + =
⇔ ( x + 2) 2 = 1 ⇒ 
2
2
2
 x = −3 .

 x = −1

Vậy:  x = −3 là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 6.Trong không gian m , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đỉnh A trùng với gốc O ,

B ( a;0;0 )

,

D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; b ) ( a, b > 0 )

. Gọi M là trung điểm của cạnh CC ' .Tính thể tích

của khối tứ diện BDA ' M .
Lời giải
b

C ( a; a;0 ) , C ' ( a; a; b ) ⇒ M  a; a; ÷
2.

Ta có :

www.thuvienhoclieu.com

Trang 15


www.thuvienhoclieu.com
uuur
 BD = ( − a; a;0 )
uuur uuuu
r  ab ab
uuur

2


⇒
BD
,
BM
=
;
;
−
a
;
BA ' = ( − a;0;b )
r 
 uuuu

÷
b 

  2 2

 BM =  0; a; ÷
2


uuur uuuu
r uuur
3a 2b


⇒  BD, BM  .BA ' = −
2
VBDA ' M =

Vậy thể tích của khối tứ diện BDA ' M là:

r uuur a 2b
1  uuur uuuu
 .BA ' =
BD
,
BM

6
4 .

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1

[2H3-1.2-1]Tích vô hướng của hai vectơ
A. 10 .

r
r
a = ( −2;2;5 ) , b = ( 0;1;2 )

B. 12 .

trong không gian bằng:
D. 14 .

C.13 .
Lời giải

Chọn B

2

[2H3-1.2-1]Trong không gian cho hai điểm
A. 6 .

A ( −1;2;3) , B ( 0;1;1)

B. 8 .

, độ dài đoạn AB bằng

C. 10 .

D. 12 .

Lời giải
Chọn A
uuu
r
2
2
2
AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) =

3

[2H3-1.2-1]Cho điểm
A. 14 .

M ( 1; 2; −3)

( 0 − ( −1) ) + ( 1 − 2 ) + ( 1 − 3)
2

2

2

= 6

.

( Oxy ) bằng
, khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
C.1 .

B. 3 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn B
Với

4

M ( a; b; c ) ⇒ d ( M , ( Oxy ) ) = c = 3

[2H3-1.2-1]Cho điểm
A.25.

M ( −2;5;0 )
B.5.

.

, khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
C. 4.

D. 0.

Lời giải

Chọn B
Với

5

M ( a; b; c ) ⇒ d ( M , Ox ) = b 2 + c 2 = 52 + 02 = 5

Oxyz , cho
[2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ
r
r
r
a = ( −1;1;0 ) , b = ( 1;10 ) , c = ( 1;1;1)
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
www.thuvienhoclieu.com

ba

Trang 16

vectơ


A.

r
a = 2

www.thuvienhoclieu.com
r

r r
c = 3
a
B.
.
C. ⊥ b .

.

r r
c
D. ⊥ b .

Lời giải
Chọn D
r
a = (−1) 2 + 12 + 0 = 2
r
c = 12 + 12 + 12 = 3

.

.

rr
r r
a.b = ( −1) .1 + 1.1 + 0.0 = 0 ⇒ a ⊥ b

.

rr
b.c = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 .

6

[2H3-1.2-2] Cho 3 điểm

A ( 1;2;0 ) , B ( 1;0; −1) , C ( 0; −1; 2 ) .

Tam giác ABC là

A.Tam giác có ba góc nhọn.

B. Tam giác cân đỉnh A .

C. Tam giác vuông đỉnh A .

D. Tam giác đều.
Lời giải

Chọn A
uuu
r
uuur
uuur uuur
AB = (0; −2; −1); AC = (−1; −3; 2) . Ta thấy AB. AC ≠ 0 ⇒ ∆ABC không vuông.
uuur uuur
AB ≠ AC
⇒ ∆ABC không cân.

7

r
r
r
r
r
[2H3-1.2-1] Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos ϕ bằng:
rr
r r
rr
rr
a
.b
a+b
−a.b
a.b
r r
r r
r r
r r
a.b
a .b
a .b
a.b
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
Lời giải
Chọn D

8

r
r
r
a ( −1;1;0 ) , b ( 1;10 ) , c ( 1;1;1)
Oxyz
[2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba vectơ
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

rr
a
A. .c = 1 .

rr
2
cos b, c =
r
r
6.
B. a cùng phương c . C.

( )

r r r r
a
D. + b + c = 0 .

Lời giải
Chọn C
rr
r r
a.c = −1.1 + 1.1 + 0.1 = 0 ⇒ a ⊥ c. Nên đáp án A và B sai.
r r r
r
a + b + c = ( 1;3;1) ≠ 0.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 17


www.thuvienhoclieu.com
rr
1.1 + 1.1 + 0.1
2
cos b, c =
=
1 + 1. 1 + 1 + 1
6.

( )

9

A ( 1; 2;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 0; −2;5 )
[2H3-1.2-2] Trong không gian Oxyz cho ba điểm
. Để 4 điểm
A, B, C , D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
A.

D ( 1; −1;6 )

.

B.

D ( 1;2;3)

.

C.

D ( 0;3;0 )

.

D.

D ( 0;0;2 )

.

Lời giải
Chọn C

D ( −2;5;0 ) D ( 1; −1;6 )
.
uuur
uuur
uuur
AB = ( −2; − 1;3) AC = ( −1; − 4;5 ) AD = ( −1;1;0 )
Ta có:
;
.
uuu
r uuur
 AB, AC  = ( 7;7;7 )

Do đó: 
;
uuu
r uuur uuur
 AB, AC  . AD = 0

Suyra : 
.
Xét

10

[2H3-1.2-2]

(

) (

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD biết

) (

) ( ) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là:

A 2; −1;6 , B −3; −1; −4 , C 5; −1;0 , D 1;2;1
A. 9 .

B. 7 .

C. 6 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn D
uuur
uuur
uuu
r
BC = ( 8;0;4 ) ; BD = ( 4;3;5 ) ; BA = ( 5;0;10 )
Có
uuur uuur
uuur uuur uuu

r
 BC , BD  = ( −12; −24; 24 )  BC , BD  .BA = 180



; 

r
1 uuur uuur uuu
VABCD = .  BC , BD  .BA = 30
6
1 uuur uuur
1
S ∆ABC = .  BC , BD  = .
2
2

( −12 )

2

+ ( −24 ) + 242 = 18
2

3.VABCD
1
=5
VABCD = . AH .S∆BCD ⇒ AH =
S
3

∆
BCD
Mà

Vậy AH = 5 .

11

A ( 2;0;0 )
[2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có
,

B ( 0;3;1) C ( −3;6;4 )
,
. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC = 2MB . Độ dài đoạn AM
bằng
A. 3 3 .

B. 2 7 .

C.

29 .

www.thuvienhoclieu.com

D.

30 .
Trang 18

www.thuvienhoclieu.com
Lời giải
Chọn C

uuuu
r
uuur
MC
=
−
2
MB
BC
M
Vì điểm
thuộc cạnh
nên
, suy ra tọa độ điểm M là
xC − (−2) xB

 xM = 1 − ( −2) = −1

yC − (−2) yB

=4
 yM =
1
−

(
−
2)


zC − (−2) z B
=2
 zM =
1 − (−2)

.

( xM − xA )

Vậy AM =

12

2

2
2
2
+ ( yM − y A ) + ( zM − z A ) 2 = ( −1 − 2 ) + ( 4 − 0 ) + (2 − 0) 2 = 29

.

A ( −2;2;1) , B ( 1;0; 2 )
[2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm
và

C ( −1;2;3)

. Diện tích tam giác ABC là:

3 5
A. 2 .

B. 3 5 .

C. 4 5 .

5
D. 2 .

Lời giải
Chọn A
uuu
r
uuur
AB = ( 3; −2;1) ; AC = ( 1;0;2 )
Có
uuur uuur
 AB, AC  = ( −4; −5;2 )


r uuur
1 uuu
1
S ∆ABC = .  AB, AC  =

2
2

Vậy

13

S ∆ABC =

( −4 )

2

+ ( −5 ) + 2 2 =
2

3 5
2 .

3 5
2 .

A ( 1;0;1) ,
[2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có

B ( 0;2;3) , C ( 2;1;0 )

A. 26 .

. Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là:

26
B. 2 .

26
C. 3 .

D. 26 .

Lời giải
Chọn C
uuu
r
uuur
AB = ( − 1;2;2 ) , AC = ( 1;1; −1)

www.thuvienhoclieu.com

Trang 19


www.thuvienhoclieu.com

Độ dài đường cao kẻ từ C của tam giác ABC là :

14

[2H3-1.2-2] Cho

uuu
r uuur

 AB , AC 
26


d ( C , AB ) =
=
uuu
r
3
AB

A ( 1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1)
B. 4 .

A. 3 .

.

. Thể tích của tứ diện ABCD bằng

C. 5 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn A
uuu
r
uuur
uuur

AB = ( 2;5; 2 ) , AC = ( −2;4;2 ) , AD = ( 2;5;1)
Tính
.

V=

15

1 uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD = 3

6
.

[2H3-1.2-2] Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ
diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:

uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD


h=
uuu
r uuur
 AB. AC 

 .
A.

C.

uuu
r uuur uuur
 AB, AC  . AD


h=
uuu
r uuur
AB. AC

B.

uuu
r uuur uuur

AB
1  , AC  . AD
h=
uuu
r uuur
3
AB. AC

.

uuur uuur uuur

1  AB, AC  . AD
h=

uuu
r uuur
3  AB. AC 

 .
D.

.

Lời giải
Chọn A

Vì

VABCD

16

uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD


r uuur uuur
h=
uuur uuur
1 1 uuur uuur
1 uuu
= h.  AB. AC  =  AB, AC  . AD
 AB. AC 


 .
3 2
6
nên

[2H3-1.2-2]

Trong

không

gian

A ( 1; −2;0 ) , B ( 3;3;2 ) , C ( −1;2;2 ) , D ( 3;3;1)
xuống mặt phẳng
9
A. 2 .

( ABC )

tọa

độ

Oxyz ,

cho

bốn

. Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D

là

9
B. 7 .

9
C. 7 2 .

9
D. 14 .

Lời giải
Chọn C
uuu
r
uuur
uuur
AB ( 2;5;2 ) , AC ( −2;4; 2 ) , AD ( 2;5;1)
Tính

V=

điểm

1 uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD = 3

6

www.thuvienhoclieu.com

Trang 20


www.thuvienhoclieu.com
1
1 uuur uuur
V = B.h
B = S∆ABC =  AB, AC  = 7 2 h = d D, ( ABC )
(
)
3
2
, với
,
⇒h=

17

3V
3.3
9
=
=
B 7 2 7 2.

uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD
18

9


h=
=
=
uuu
r uuur
14 2 7 2
 AB. AC 


áp dụng công thức ở câu trên ta được:
.
r
r
r r
r
r
a
=
2;
b
=
4
a
+b
0
[2H3-1.2-3] Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 60 và
. Khi đó

bằng
A. 2 7 .

B. 2 3 .

C. 2 5 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn A
r r2 r2 r2
r r
r r
r r
a + b = a + b + 2 a b .cos a, b = 4 + 16 + 8 = 28 ⇒ a + b = 2 7
Ta có
.
r
r
r r
0
u = ( 1;1;1)
v = ( 0;1;m )
u
[2H3-1.2-3] Cho
và
. Để góc giữa hai vectơ , v có số đo bằng 45 thì
m bằng

( )

18

A. 1 ± 3 .

B. ± 3 .

C. 2 ± 3 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn C
cos ϕ =

1.0 + 1.1 + 1.m
3. m 2 + 1

 m ≥ −1
1
⇔ 2 ( m + 1) = 3 m 2 + 1 ⇔ 
2 ⇔ m = 2± 3
2
2
3 ( m + 1) = 2 ( m + 1)

=

.

19

r
r
a = 2; b = 5,

[2H3-1.2-3] Cho
r
r
u vuông góc với v thì k bằng

6
A. 45 .

2π r
r r r r
r
r
r
u
=
k
a
−
b
;
v
=
a

+
2
b
. Để
a
b
3
góc giữa hai vectơ và bằng
,

45
B. 6 .

−

6
C. 45 .

45
D. 6 .
−

Lời giải
Chọn D
rr
r r
u.v = k a − b

(

r

r

r r

) ( a + 2b ) = 4k − 50 + ( 2k − 1) a b cos 23π = 0 .

⇔ −6k − 45 = 0 ⇔ k = −

45
6 .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 21


20

www.thuvienhoclieu.com
A ( 1;2; −1)
[2H3-1.2-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho tam giác ABC có

, B ( 2; −1;3) ,C ( −4;7;5 )

. Độ dài đường phân giác trong của góc B là:

A. 2 74 .

2 74
B. 3 .

3 76
C. 2 .

D. 3 76 .

Lời giải
Chọn B
Gọi D là chân đường phân trong của góc B thuộc tam giác ABC, khi đó ta có tỷ lệ:
uuur
DA
BA
1
2 74
 −2 11  uuur  −8 14

uuur = −
= − ⇒ D  ; ;1÷⇒ BD =  ; ; −2 ÷⇒ BD =
BC
2
3 .
DC
 3 3 
 3 3


Vậy

21

BD =

2 74
3 .

uuu
r
Oxyz
AB
= (−3;0; 4) ,
[2H3-1.2-3] Trong không gian với hệ toạ độ
, cho tam giác ABC có
uuur
AC = (5; −2;4) . Độ dài trung tuyến AM là:

A. 2 3 .

B. 4 2 .

D. 5 3 .

C. 3 2 .
Lời giải

Chọn C

uuuu
r uuur uuuu

r uuur 1 uuur uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur 1 uuur
AM = AB + BM = AB + BC = AB + BA + AC = AB + AC
2
2
2
2
Ta có:
.

(

)

uuuu
r
uuuu
r
2
⇒ AM = ( 1; −1;4 ) ⇒ AM = 12 + ( −1) + 4 2 = 18 = 3 2

22

.

[2H3-1.2-4] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình chóp S.OAMN với

S ( 0;0;1) , A ( 1;1;0 ) , M ( m;0;0 ) , N ( 0; n;0 )

, trong đó m > 0, n > 0 và m + n = 6 . Thể tích hình

chóp S.OAMN là:
A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn A
uuu
r
uuuu
r
uuur
OA = ( 1;1;0 ) , OM = ( m;0;0 ) , ON = ( 0; n;0 )
Có
r uuuu
r
1  uuu
 = 1m
OA
,
OM
 2
2
r uuur
1 uuu

1
SOAN = OA, ON  = n
2
2
1
1
SOAMN = SOAM + SOAN = ( m + n ) = .6 = 3
2
2
SOAM =

www.thuvienhoclieu.com

Trang 22


VS .OAMN

www.thuvienhoclieu.com
1
1
= .d ( S , ( OAMN ) ) .SOAMN = .1.3 = 1
3
3
.

Dạng 3: Xác định phương trình mặt cầu, tìm các thuộc tính của mặt cầu
{các bài toán tìm tâm I, bán kính R, xác định xem một phương trình có phải là phương trình
mặt cầu hay không, tìm điều kiện (có chứa tham số m) để một phương trình là phương trình
mặt cầu, các bài toán về họ mặt cầu, bài toán quỹ tích….}

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ1.

Xác định tọa độ tâm I, bán kính R của mặt cầu

( S ) : x2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 6 z + 5 = 0 ?

Lời giải
Mặt cầu
Ví dụ2.

( S)

có tâm

I ( −1;2;3)

, bán kính R = 3 .

( S ) :( x − 1) 2 + y 2 + ( z − 2)2 = 9 . Chứng minh rằng:Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
Cho mặt cầu
( P ) :2 x + 2 y + z + 5 = 0 . Tìm tọa độ tiếp điểm M .
Lời giải
Mặt cầu

( S)

có tâm

d ( I ; ( P)) =

Ta có

I ( 1; 0; 2 )

2+0+2+5
22 + 22 + 12

, bán kính R = 3 .
=3= R
nên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu.

( P) .
Tiếp điểm M là hình chiếu của I trên mặt phẳng
uuur
M ( x; y; z )
IM = ( x − 1; y; z − 2 )
Gọi
thì
nên
uuur
 x −1 y z − 3
 IM = t.nr( P )
= =

 11 20 17 
⇔ 2
⇒ M − ; − ; ÷
2
1


9 9
 9
2 x + 2 y + z + 5 = 0
 M ∈ ( P )
.
Ví dụ3.

A ( 3;3;0 )
Oxyz , cho bốn điểm
Trong khoâng gian với hệ tọa độ
,
B ( 3;0;3) , C ( 0;3;3 ) , D ( 3;3;3)
. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Lời giải
uuu
r uuur
r
uuu
r
uuur
AB = ( 0; −3;3) , AC = ( −3;0;3) ⇒  AB, AC  = ( −9; −9; −9 ) ⇒ n = ( 1;1;1)
Ta có:
là VTPT của
( ABC ) . Suy ra phương trình ( ABC ) : x + y + z − 6 = 0 .
Gọi

I ( a; b; c )

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 I ∈ ( ABC )
a + b + c − 6 = 0


⇔ b − c = 0
⇔a =b=c=2
 IA = IB
 IB = IC
a − b = 0
I ( 2;2;2 )

Suy ra 
. Vậy
.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 23


Ví dụ4.

www.thuvienhoclieu.com
( P ) có phương trình :
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
2 x − 2 y − z − 4 = 0 và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 11 = 0 . Chứng minh rằng mặt
( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của
phẳng
đường tròn đó.
Lời giải
Mặt cầu

( S)

có tâm

I ( 1; 2;3 )

Khoảng cách từ I đến
Suy ra mặt phẳng

( P)

, bán kính R = 5 .

( P) : d ( I ,( P) ) =
cắt mặt cầu

( S)

2−4 −3−4
=3< R
3
theo một đường tròn.

Gọi H , r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đó, suy ra H là hình chiếu vuông góc của I
( P ) nên tọa độ của H là nghiệm của hệ:
lên mặt phẳng
 x = 1 + 2t
x = 3
 y = 2 − 2t



⇔  y = 0 ⇒ H (3;0;2)

z = 3 − t
z = 2

2
2
 2 x − 2 y − z − 4 = 0
. Bán kính r = R − IH = 4 .
Ví dụ5.

( P ) : 2 x + 2 y + z − m 2 − 3m = 0

S : x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = 9
và mặt cầu ( ) (
.
( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) . Với m vừa tìm được hãy xác định tọa độ
Tìm m để mặt phẳng
tiếp điểm.

Cho mặt phẳng

2

2

Lời giải
Mặt cầu

( S)

có tâm

I ( 1; −1;1)

, bán kính R = 3 .

( P) .
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua I , vuông góc với
Suy ra phương trình

Mặt phẳng

( P)

∆:

x −1 y +1 z −1
=
=
2
2
1 .

tiếp xúc với mặt cầu

( S ) ⇔ d ( I,( P) ) = R ⇔

m 2 + 3m − 1
3

=3

 m 2 + 3m − 10 = 0
⇔ 2
⇔ m = −5, m = 2
m
+
3
m
+
8
=
0
VN

.
Khi đó

( P ) : 2 x + 2 y + z − 10 = 0 . Tọa độ tiếp điểm

A là nghiệm của hệ:

 x −1 y +1 z −1
=
=

2

1
 2
 2 x + 2 y + z − 10 = 0
x = 3, y = 1, z = 2 ⇒ A ( 3;1;2 )
, giải hệ này ta được
.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 24

2


www.thuvienhoclieu.com
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1

[2H3-1.3-1]

( S ) : ( x + 1)

2

Trong

không

+ ( y − 2 ) + ( z − 1) = 16
2

2

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,

mặt

cầu

có tọa độ tâm I và tính bán kính R là:

A.

I ( −1;2;1)

và R = 4 .

B.

I ( 1; − 2; − 1)

và R = 4 .

C.

I ( −1;2;1)

và R = 16 .

D.

I ( 1; − 2; − 1)

và R = 16 .

Lời giải
Chọn A
Tâm

2

I ( −1;2;1)

và bán kính R = 4 .

[2H3-1.3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu

có phương trình

x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 10 y − 8 = 0 có tâm I và bán kính R lần lượt là:

A.

I ( 4; − 5;4 )

C.

I ( 4;5;0 )

và R = 57 .

và R = 7 .

B.

I ( 4; − 5;4 )

và R = 7 .

D.

I ( 4; − 5;0 )

và R = 7 .

Lời giải
Chọn D
Mặt cầu có tâm

3

I ( 4; − 5;0 )

, bán kính R = 7 .

[2H3-1.3-1] Biểu thức nào sau đây không là phương trình mặt cầu.
2
2
2
A. x + y + z − 100 = 0 .

2
2
2
B. −3 x − 3 y − 3z + 48 y − 36 y + 297 = 0 .

2
2
2
C. x + y + z + 12 y − 16 y + 100 = 0 .

D. (

x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 2 ) − 9 = 0
2

2

2

.

Lời giải
Chọn C
−6
Vì ( )

4

2

+ 0 + 42 < 0

.

( α ) : 4 x − 2 y + 3z + 1 = 0 và
[2H3-1.3-2]
Cho
mặt
phẳng
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 6 z = 0 . Khi đó mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai:
A.

(α)

có điểm chung với (S).

B.

(α)

C.

(α)

tiếp xúc với (S).

D.

(α)

mặt

cắt (S) theo một đường tròn.
đi qua tâm của (S).

Lời giải
Chọn C
Mặt cầu

( S)

có tâm

I ( 1; − 2; − 3)

, bán kính R = 14 .
www.thuvienhoclieu.com

Trang 25

cầu