NGUY N CÔNG L I
CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN
VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC
1
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán
THCS, T sách luy n thi giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề về các bài toán về bất đẳng
thức và cực trị hình học. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này
nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về bất đẳng thức và cực
trị hình học thường được ra trong các kì thi gần đây. Chuyên đề gồm 4 phần:
Hệ thông kiến thức cần nhớ
Các thí dụ minh họa
Bài tập tự luyện
Hướng dẫn giải
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp
con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề bất đẳng thức và cực trị hình học này có thể giúp ích
nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế,
sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN
VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác
Định lí 1: Cho tam gi{c ABC. Nếu ABC ACB thì AC AB v| ngược lại.
Định lí 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có AB MN và AC MP . Khi đó ta có bất đẳng
thức
BAC NMP BC NP
Định lí 3: Trong tam giác ABC ta có:
+ Nếu A 900 thì BC2 AB2 AC2
+ Nếu A 900 thì BC2 AB2 AC2
+ Nếu A 900 thì BC2 AB2 AC2
AB AC BC AB AC
Định lí 4: Với mọi tam gi{c ABC ta luôn có: AC BC AB AC BC
BC AB AC BC AB
Hệ quả: Cho n điểm A1 ; A2 ; A3 ;...; An . Khi đó ta luôn có A1A2 A2 A3 ... An1An A1An
Dấu bằng xẩy ra n điểm A1 ; A2 ; A3 ;...; An thẳng h|ng v| sắp xếp theo thứ tự đó.
Định lí 5: Cho tam gi{c ABC v| M l| trung điểm của BC. Khi đó ta có
1
BC
2
1
+ Nếu A 900 thì AM BC
2
1
+ Nếu A 900 thì AM BC
2
2. Quan hệ giữa đường xiên, đường vuông góc và hình chiếu của đường xiên.
+ Nếu A 900 thì AM
Định lí 1: Trong c{c đường xiên v| đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngo|i một đường
thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc l| đường ngắn nhất.
Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngo|i một đường thẳng đến đường
thẳng đó:
Đường xiên n|o có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Đường xiên n|o lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, v| ngược lại, nếu
hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
3. Các bất đẳng thức trong đường tròn.
Định lí 1: Trong một đường tròn thì đường kính l| d}y lớn nhất.
Định lí 2: Trong một đường tròn:
Hai d}y bằng nhau thì c{ch đều t}m v| ngược lại.
D}y n|o lớn hơn thì d}y đó gần t}m hơn v| ngược lại.
Định lí 3: B{n kính của hai đường tròn l| R r , còn khoảng c{ch giữa t}m của chúng l| d.
Điều kiện cần v| đủ để hai đường tròn đó cắt nhau l| R – r d R r
Định lí 4: Cho đường tròn (O; R) v| một điểm M bất kì nằm trong đường tròn. Khi đó ta
có
R – d MN R d
Với N l| điểm bất kì trên đường tròn v| d l| khoảng c{ch từ M tới t}m đường
tròn.
Định lí 5: Cho đường tròn (O; R) v| một điểm M bất kì ngo|i đường tròn. Khi đó ta có
d – R MN d R
Với N l| điểm bất kì trên đường tròn v| d l| khoảng c{ch từ M tới t}m đường
tròn.
4. Các bất đẳng thức về diện tích.
Định lí 1: Với mọi tam gi{c ABC ta luôn có S ABC
1
AB.AC , dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ
2
khi tam gi{c ABC vuông tại A
Định lí 2 : Với mọi tứ gi{c ABC ta luôn có S ABCD
1
AC.BD , dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ
2
khi AC vuông góc với BD.
Định lí 3: Với mọi tứ gi{c ABCD ta luôn có S ABCD
1
AB.BC AD.DC , dấu bằng xẩy ra
2
khi v| chỉ khi B D 900 .
5. Một số bất đẳng thức đại số thường dùng
Với x, y l| c{c số thực dương , ta luôn có
x2 y2 2xy; 2 x2 y2 x y , dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi x y
2
Với x, y, z l| c{c số thực dương , ta luôn có
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
1 1
4
, dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi x y
x y xy
1 1 1
9
, dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi x y z
x y z xyz
Bất đẳng thức Cauchy: Với x, y, z l| c{c số thực dương , ta luôn có
xy
xy , dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi x y .
2
xyz 3
xyz , dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi x y z .
3
Bất đẳng thức Bunhiacopxki. Với a, b, c v| x, y, z l| c{c số thực, ta luôn có
a
2
b2
x
a
2
b2 c 2
2
y2 ax by , dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi
x
2
2
a b
.
x y
y2 z2 ay by cz , dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi
2
a b c
.
x y z
II.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Chứng minh rằng tổng độ d|i ba đường trung tuyến của một tam gi{c lớn hơn
3
4
chu vi v| nhỏ hơn chu vi của tam gi{c ấy.
Phân tích tìm lời giải
Trên cở sở hình vẽ, ta cần chứng minh
3
AB BC CA AD BE CF AB BC CA .
4
1
AM , khi đó theo ta được
2
2AD AB AC . Ho|n to|n tương tự ta được AD BE CF AB BC CA .
3
Ta cần chứng minh được AB BC CA AD BE CF . Chú ý rằng G l| trọng
4
3
t}m tam gi{c nên từ BG GC BC ta được BE CF BC . Đến đ}y {p dụng tương tự v|
2
cộng theo vế c{c bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh.
Lấy điểm M trên tia đối của tia DA sao cho DA
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5
Xét tam gi{c ABC có ba đường trung tuyến l| AD, BE,
A
CF.
trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho D l| trung
E
F
Trước hết ta chứng minh 2AD AB AC . Thật vậy,
B
D
C
điểm của AM, khi đó ta được AC BM và
AM 2AD . Trong tam giác ABM có AM AB BM
do đó ta được 2AD AB AC
M
Tương tự ta được 2BE BC AB; 2CF CA BC .
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được
2 AD BE CF 2 AB BC CA
Hay AD BE CF AB BC CA
2
2
BE và CG CF
3
3
2
2
3
3
3
Nên BE CF BC BE CF BC . Tương tự CF AD AC; AD BE AB
3
3
2
2
2
Cộng c{c bất đẳng thức vế theo vế ta có
Trong tam giác BGC có BG GC BC mà BG
2 AD BE CF
3
3
AB BC CA AD BE CE AB BC CA .
2
4
3
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được AB BC CA AD BE CF AB BC CA
4
Ví dụ 2. Cho tam gi{c nhọn ABC có c{c đường ph}n gi{c AD, BE, CF cắt nhau tại I. Chứng
minh rằng c{c đoạn thẳng ID, IE, IF l| độ d|i ba cạnh của một tam gi{c.
Phân tích tìm lời giải
Để chứng minh c{c đoạn thẳng ID, IE, IF l| độ d|i ba cạnh của một tam gi{c. Ta cần
chứng minh được c{c bất đẳng thức IE FI DI; EI DI FI; DI FI EI . Gọi r l| b{n kính
của đường tròn nội tiếp tam gi{c ABC v| vẽ IH vuông góc với AC tại H suy ra IH r .
Chú ý là EIH 450 nên trong tam giác vuông góc EIH nhỏ nhất nên EH IH r . Từ đó
suy ra r 2 IE2 2r 2 . Ho|n to|n tương tự thì ta được
DI 2 EI 2 FI 2 ; EI 2 FI 2 DI 2 ; FI 2 DI 2 EI 2 . Đến đ}y ta được c{c bất đẳng thức như trên.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6
Gọi r l| b{n kính của đường tròn nội tiếp tam gi{c
B
ABC, vẽ IH vuông góc với AC tại H suy ra IH r .
Ta cần chứng minh được ba bất đẳng thức
IE FI DI; EI DI FI; DI FI EI
F
Thật vậy, trong tam gi{c vuông IEH có
EIH 900 IEH 900 IEH 90 0 ECB
A
D
EH
C
1
1800 IEH ECB EBC .900
2
Do đó trong tam gi{c vuông IEH thì góc EIH nhỏ
nhất. Khi đó ta được EH IH r .
Mặt kh{c theo định lí Pitago ta có IE2 IH2 EH2 m| lại có OH r; HE r nên suy ra
IE2 2r 2
Từ đó ta được r 2 IE2 2r 2 . Chứng minh tương tự ta được r 2 ID2 2r 2 ; r 2 IF2 2r 2
Từ c{c bất đẳng thức trên ta thu được DI 2 EI 2 FI 2 ; EI 2 FI 2 DI 2 ; FI 2 DI 2 EI 2
Do đó IE FI DI; EI DI FI; DI FI EI hay DI, EI, FI l| độ d|i ba cạnh của một tam
giác.
Ví dụ 3. Cho tam gi{c ABC v| điểm M bất kì nằm trong tam gi{c. Chứng minh rằng:
MA.BC MB.CA MC.AB 2Max AB.AC; BC.CA; CA.AB
Phân tích tìm lời giải
Gọi
A1
lần lượt l| giao điểm của AM với BC. Khi đó ta thấy
AA1 AB Max AB; AC .
Do
đó
ta
được
AA1 .BC BC.Max AB; AC Max AB.BC; AC.BC; AB.AC . Từ đó suy ra được bất đẳng
thức MA.BC
MA
MA
.AA1 .BC
.Max AB.BC; AC.BC; AB.AC . Áp dụng ho|n to|n
AA1
AA1
tương tự v| chú ý đến một đẳng thức quen thuộc
MA MB MC
2 ta có điều phải
AA1 BB1 CC1
chứng minh.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7
Gọi A1 ; B1 ; C1 lần lượt l| giao điểm của AM, BM,
A
CM với BC, CA, AB. Tia AM nằm giữa hai tia AB
và AC nên A1 nằm giữa hai điểm B v| C. Vẽ AH
B1
C1
vuông góc với BC tại H. Giả sử AB AC nên ta
M
được BC CH . Gọi B’ l| điểm đối xứng với B qua
H, suy ra C thuộc đoạn BB’. M| A1 thuộc đoạn BB’
B
A1
H
C
B'
nên A1H BH . Từ đó suy ra
AA1 AB Max AB; AC
Suy ra AA1 .BC BC.Max AB; AC Max AB.BC; AC.BC Max AB.BC; AC.BC; AB.AC
Đặt x Max AB.BC; AC.BC; AB.AC , khi đó ta được MA.BC
Ho|n to|n tương tự ta được MB.CA
MB
MC
.x; MC.AB
.x
BB1
CC1
Mặt kh{c ta có SMAB SMBC SMCA SABC nên ta được
Từ đó ta được
MA
MA
.AA1 .BC
.x
AA1
AA1
MA1 MB1 MC1
1
AA1 BB1 CC1
MA MB MC
2 . Do đó ta được MA.BC MB.CA MC.AB 2x
AA1 BB1 CC1
Vậy ta được MA.BC MB.CA MC.AB 2Max AB.AC; BC.CA; CA.AB .
Ví dụ 4. Cho tứ gi{c ABCD v| một điểm M thuộc miền tứ gi{c. Chứng minh rằng:
MB MC Max AB AC; DB DC
Phân tích tìm lời giải
Với điểm M thuộc miền tứ gi{c ABCD, khi đó xẩy ra hai trường hợp l| M thuộc
một cạnh của tứ gi{c hoặc M thuộc miền trong của tứ gi{c. Với điểm M thuộc một cạnh
của tứ gi{c, chẳng hạn điểm M thuộc đoạn AD, ta cần chứng minh MB MC DB DC
hoặc MB MC AC AC . Với điểm M nằm miền trong tam gi{c, lấy điểm N trên AD để
được MB MC NB NC v| quy b|i to{n về chứng minh tương tự như trường hợp thứ
nhất.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8
Trước hết ta ph{t biểu v| chứng minh bổ đề: Cho tam
A
gi{c ABC v| một điểm M bất kì nằm trong tam gi{c,
I
khi đó ta luôn có
M
MB MC AB AC
Thật vậy, gọi giao điểm của BM với AC l| I khi đó ta
B
có
C
AB AC AB AI CI BI CI
BM IM CI BM CM
Bổ đề được chứng minh.
Trở lại b|i to{n: Với điểm M thuộc miền tứ gi{c ABCD, khi đó xẩy ra hai trường hợp l| M
thuộc một cạnh của tứ gi{c hoặc M thuộc miền trong của tứ gi{c. Do đó ta xét hai trường
hợp sau:
+ Trường hợp 1: Điểm M thuộc một cạnh của tứ
B'
D
gi{c, không mất tính tổng qu{t ta giả sử điểm M
M
I
nằm trên đoạn thẳng AD. Gọi B’ l| điểm đối
A
xứng với điểm B qua AD. Vì hai điểm B, C nằm
về một phía so với AD nên B’, C nằm về hai phía
so với AD. Suy ra hai đoạn thẳng B’C v| AD cắt
C
B
nhau. Gọi I l| giao điểm của B’C với AD.
Do M thuộc đoạn AD nên I thuộc tia MA hoặc tia
MD.
Khi đó theo bổ đề trên ta được MB MC DB DC hoặc MB MC AC AC
Từ đó ta được MB MC Max AB AC; DB DC
+ Trường hợp 2: Điểm M thuộc miền trong cả tứ
D
N
gi{c. Khi đó gọi O l| giao điểm của hai đương chéo
A
thì điểm M thuộc một trong c{c tam gi{c OAD, OBC,
O
OCD, ODA. Tùy theo vị trí của điểm M m| ta chọn
M
điểm N trên đoạn AD sao cho theo bổ đề trên ta luôn
có MB MC NB NC . M| theo trường hợp 1 thì ta
B
C
có NB NC Max AB AC; DB DC
Từ đó ta được MB MC Max AB AC; DB DC
Nếu AB AC DB DC thì dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi hai điểm A v| M trùng nhau
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9
Nếu AB AC DB DC thì dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi hai điểm D v| M trùng nhau
Ví dụ 5. Chứng minh rằng tổng độ d|i c{c đường chéo của ngũ gi{c lồi ABCDE lớn hơn
chu vi nhưng nhỏ hơn hai lần chu vi của ngũ gi{c ABCDE.
Lời giải
Gọi p l| chu vi của ngũ gi{c lồi ABCDE, khi đó ta có
B
A
p AB BC CD DE EA
F
G
Áp dụng bất đẳng thức tam gi{c cho c{c tam gi{c
L
C
ABE, ABC, BCD, DEC, EAD ta được
H
K
BE AB AE; AC AB BC
E
BD BC DE; EC CD DE
D
AD AE DE
Từ đó suy ra
BE AC BD EC DA 2 AB BC CD DE EA
Hay ta được BE AC BD EC DA 2p
Gọi giao điểm của AC với BE, BG lần lượt l| F, G. Gọi giao điểm của AD với EB, EC lần
lượt l| L, K. Hai đường chéo EC v| BD cắt nhau tại H. Khi đó {p dụng bất đẳng thức tam
gi{c cho c{c tam gi{c ABF, BCG, CDH, DEK, EAL ta được
AB AF BF; BC BG GC; CD CH HD; DE DK KE; EA EL LA
Do đó ta được
AB BC CD DE EA AF BF BG GC CH HD DK KE EL LA
BF EL AF CG BG HD EK HC AL DK
BE AC BD EC AD
Hay ta được p BE AC BD EC AD
Vậy ta được p BE AC BD EC AD 2p
Ví dụ 6. Cho hình chữ nhật ABCD.
a) Chứng minh rằng nếu điểm I thuộc đoạn AB thì IC ID AC AD , dấu bằng xẩy
ra khi nào ?
b) Tìm điểm O nằm bên trong hoặc trên cạnh của hình chữ nhật ABCD thỏa mãn
điều kiện tổng OA OB OC OD có gi{ trị lớn nhất.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10
Đặt
E
AB CD a; AD BC b; AC BD d a 2 b2
a) Ta chứng minh IC ID d b
Gọi E l| điểm đối xứng với D qua A, khi đó tứ gi{c
A
I
I
K
B
AEBC l| hình bình h|nh, nên AB v| CE cắt nhau tại
trung điểm K của mỗi đoạn. Lại có IE TD . Có hai
D
trường hợp xẩy ra
C
+ Trường hợp điểm I thuộc đoạn AK, khi đó tam
gi{c AEC chứa tam gi{c IEC nên ta được
IC ID IC IE AC AE AC AD
Từ đó ta được IC ID AD AC , dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi hai điểm I v| A trùng
nhau.
+ Trường hợp điểm I thuộc đoạn KB, khi đó ta gi{c BEC chứa tam gi{c IEC nên ta được
IC ID IC IE BC BE AD AC
Từ đó ta được IC ID AD AC , dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi hai điểm I v| B trùng
nhau.
Vậy nếu điểm I thuộc cạnh AB thì ta luôn có IC ID AD AC , dấu bằng xẩy ra khi v|
chỉ khi điểm I trùng với A hoặc B.
b) Nếu điểm O trùng với một trong c{c đỉnh của hình chữ nhật ABCD thì ta được
OA OB OC OD a b d
Nếu điểm O không trùng với c{c đỉnh của hình chữ nhật ABCD, khi đó có hai trường hợp
sau:
+ Trường hợp điểm O nằm trên c{c cạnh của hình chữ nhật ABCD, chẳng hạn O nằm trên
cạnh AB v| không trùng với A, B. Khi đó ta được
OA OB OC OD AB OC OD AB AC AD a b d
+ Trường hợp điểm O nằm trong hình chữ nhật ABCD, khi đó qua O kẻ đường thẳng song
song với AB cắt AD, BC lần lượt tại M, N. Chứng minh tương tự ta được
OA OB MA MB; OC OD MB MC
Từ đó ta được
OA OB OC OD MA MB MC MD AD MB MC
AD AB AC a b d
Vậy OA OB OC OD đạt gi{ trị lớn nhất bằng a b d , dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi
điểm O trùng với một trong c{c đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Ví dụ 7. Cho tam gi{c ABC v| một điểm M thuộc tam gi{c. Chứng minh rằng:
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11
MA.BC MB.CA MC.AB 4SABC
Phân tích tìm lời giải
Do tam gi{c ABC bất kì nên ta cần xét c{c trường hợp có thể xẩy ra của tam gi{c
ABC. Với tam gi{c ABC nhọn hoặc vuông, chú ý l| SABC SMAB SMBC SMCA nên để chứng
minh được b|i to{n ta cần biểu diễn được c{c tích theo diện tích MA.BC; MB.CA; MC.AB
theo diện tích c{c tam gi{c MAB, MBC, MCB. Kẻ BB1 AM,CC1 AM thì ta được
S ABM S ACM
1
1
AM BB1 CC1 AM.BC . Đến đ}y {p dụng tương tự ta được điều phải
2
2
chứng minh. Với tam gi{c ABC tù, chẳng hạn tù tại A thì ta lấy điểm B’ thỏa mãn
AB' AC , AB' AB v| điểm M nằm trong tam gi{c AB’C. Khi đó ta cần chứng minh
được MA.BC MB.CA MC.AB MA.B'C MB'.CA MC.AB' 4S AB'C 4S ABC .
Lời giải
Ta xét hai trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Tam gi{c ABC không tù
A
Vẽ đường thẳng BB1 AM,CC1 AM . Khi đó ta có
1
1
AM.BB1 AM.CC1
2
2
1
1
AM BB1 CC1 AM.BC
2
2
M
S ABM S ACM
Dấu bằng xảy ra khi khi v| chỉ khi AM BC
B1
C
B
C1
Ho|n to|n tương tự ta được
S BCM S ABM
1
BM.AC . Dấu bằng xẩy
2
ra khi
BM AC
1
S BCM S ACM CM.AB . Dấu bằng xảy ra khi CM AB
2
Cộng
từng
vế
của
c{c
bất
đẳng
2 S ABM S ACM S BCM
thức
ta
được
1
MA.BC MB.AC MC.AB
2
Hay ta được MA.BC MB.AC MC.AB 4SABC
Dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi AM BC,MB AC,MC BC hay M l| trực t}m của tam
giác ABC
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12
+ Trường hợp 2: Tam gi{c ABC l| tam gi{c
A
tù. Không mất tính tổng qu{t ta giả sử
A 900
M
Khi đó vẽ AB' AC và AB' AB như hình
B
C
vẽ sao cho M nằm trong tam gi{c AB’C.
B'
Ta có ABB' AB' B nên MBB' MB' B suy
ra MB MB'
Mà ta có CB' B CBB' nên ta được CB CB'
Từ đó ta được MA.BC MB.CA MC.AB MA.B'C MB'.CA MC.AB'
Tương tự trường hợp 1, trong tam gi{c AB’C có
MA.B'C MB'.CA MC.AB' 4S AB'C 2AB'.AC 2AB.AC
Từ đó ta được MA.BC MB.CA MC.AB 2AB.AC 4SABC
Vậy ta luôn có MA.BC MB.CA MC.AB 4SABC . Dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi tam gi{c
ABC không tù v| M l| trực tam tam gi{c ABC.
Ví dụ 8. Cho tam gi{c ABC v| D l| một điểm nằm trên cạnh BC. Trên cạnh AB v| AC lấy
lần lượt c{c điểm N v| M. Qua M v| N kẻ c{c đường thẳng song song với AD cắt BC tại P
và Q.
Chứng minh rằng SMNPQ max SABD , SACD
Phân tích tìm lời giải
Do M v| N nằm trên BC nên ta có
AM
AN
m 1;
n 1 . Từ đó
AC
AB
S AMN AN.AM
m.n . Chú ý là SMNQP SABC SAMN SCMP S BNQ nên để chứng minh
S ABC
AB.AC
được b|i to{n ta đi biểu diễn diện tích c{c tam gi{c CMP, BNQ theo m, n. Dễ thấy
2
MC CP
BN BQ
1 m và
1 n nên ta tính được SCMP 1 m S ACD và
AC CD
AB BD
S BNQ 1 n S BAD . Như vậy ta được
2
SMNQP 2m mn m 2 SCAD 2n mn n 2 S ABD
kết thúc chứng minh ta cần chỉ ra được 2m mn m 2n mn n 1 .
Do đó ta được SMNQP 2m mn m 2 2n mn n 2 .max SCAD , S ABD . Như vậy để
2
2
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13
Do M v| N nằm trên BC nên ta có
A
AM
AN
m 1;
n1
AC
AB
Ta có
M
S AMN AN.AM
m.n nên ta được
S ABC
AB.AC
N
SAMN m.n.SABC
Q
B
Do MP//AD nên ta có
D
C
P
MC CP AC MC
1 m
AC CD
AC
BN BQ
1 n
AB BD
Tương tự ta có
Do đó ta được S BNQ
BN.BQ
CM.CP
.S BAD ; SCMP
.S
BD.BA
AC.DC CAD
Nên ta được SCMP 1 m S ACD và S BNQ 1 n S BAD
2
2
Từ đó ta được SMNQP SABC SAMN SCMP SBNQ SACD SBAD SAMN SCMP SBNQ
Suy ra
2
2
SMNQP 1 mn 1 m SCAD 1 mn 1 n S ABD
2
2
2m mn m S CAD 2n mn n S ABD
Do 2m mn m2 ; 2n mn n2 l| c{c số dương nên ta được
S MNQP 2m mn m 2 2n mn n 2 .max S CAD , S ABD
2
1 m n 1 .max S CAD , S ABD max S CAD , S ABD
Do SMNPQ max SABD , SACD nên ta được SABD SACD và m n 1
Suy ra ta được CD BD và
Ví
dụ
9.
AM AN
1.
AC AB
Cho
tứ
gi{c
AB2 BC2 CD2 DA2 2 3S ABCD
ABCD.
Chứng
minh
rằng
AC2 BD2
2
Phân tích tìm lời giải
Giả sử trong tứ gi{c ABCD ta lấy M v| N lần lượt l| trung điểm của AC v| BD.
Khi đó theo công thức về đường trung tuyến cho c{c tam gi{c ABC, ADC, MBD ta được
2 BM
4BM2 2 AB2 BC2 AC2 ,
4MN2
2
DM2 BD2 .
4DM2 2 AD2 DC2 AC2
Từ
đó
ta
thu
được
và
đẳng
thức
AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2 4MN2 . Như vậy để chứng minh bất đẳng thức của
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14
b|i to{n ta cần chỉ ra được AC2 BD2 4MN2 3.S ABCD
AC2 BD2
. Chú ý đến
2
1
AC.BD và AC2 BD2 4MN2 AC2 BD2 . Kết hợp hai bất đẳng thức trên với
2
đ{nh gi{ sau
AC2 3BD2 AC2 BD2
AC2 BD2
AC2 BD2
3AC.BD
2
2
2
2
S ABCD
Đến đ}y thì b|i to{n xem như được chứng minh.
Lời giải
Giả sử trong tứ gi{c ABCD ta lấy M v| N lần lượt l|
B
trung điểm của AC v| BD. Khi đó {p dụng tính chất
đường trung tuyến ta có: Trong tam gi{c ABC có
N
BM l| đường trung tuyến nên
C
4BM2 2 AB2 BC2 AC2 và trong tam giác ADC
M
A
có DM l| đường trung tuyến nên
D
4DM2 2 AD2 DC2 AC2
Do đó ta được
4BM 2 4DM 2 2 AB2 BC2 AD2 DC2 2AC2
2 BM 2 DM 2 AB2 BC2 AD2 DC2 AC2
Trong tam gi{c MBD có MN l| đường trung tuyến nên 4MN2 2 BM2 DM2 BD2
Do đó ta được 4MN2 2 BM2 DM2 BD2 AB2 BC2 AD2 DC2 AC2 BD2
Hay AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2 4MN2
Khi đó ta được AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2 4MN2 AC2 BD2
Mà ta có AC2 BD2
Lại có S ABCD
AC2 3BD2 AC2 BD2
AC2 BD2
3AC.BD
2
2
2
2
1
AC2 BD2
AC.BD nên ta được AC2 BD2 2 3S ABCD
2
2
Từ đó suy ra AB2 BC2 CD2 DA2 2 3S ABCD
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
AC2 BD2
2
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15
M N
Dấu đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi AC 3BD Tứ gi{c ABCD l| hình thoi có
AC BD
A C 600
0
B D 120
Nhận xét:
+ Ta có thể sử dụng bất đẳng thức 2MN AB CD ; 2MN AD BC
Khi đó ta có bất đẳng thức mạnh hơn là AB CD AD BC 3 3S ABCD AC2 BD2
2
2
+ Ngoài ra nếu sử dụng bất đẳng thức trong tam giác a 2 b2 c2 4 3.S cũng cho ta kết quả cần
chứng minh.
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC có AB AC . Đặt AB c; BC a; CA b . Gọi p l| nửa chu vi
của tam gi{c ABC v| la ; ma lần lượt l| đường ph}n gi{c v| đường trung tuyến hạ từ đỉnh
A của tam gi{c ABC. Chứng minh rằng p a la ma
1
b c
2
Lời giải
A
A
K
K
B
B
M
D
H
C
E
MD
C
H
E
Kéo d|i AM lấy điểm E sao cho ME MA , khi đó dễ d|ng chứng minh được
AMC EMB
Từ đó ta được AC BE 2AM AE
Theo bất đẳng thức tam gi{c ta có AE AB BE AB AC b c nên ta được AM
bc
.
2
Lại có AB AD BD và AC AD DC
Cộng theo vế c{c bất đẳng thức trên ta được AB AC 2AD BC AB AC BC 2AD
Nên ta được AD
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
AB AC BC b c a
p a hay la p a .
2
2
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16
Hạ AH vuông góc với BC tại H. Do AB AC nên ta dược BH CH suy ra BM BH hay
điểm M thuộc đoạn BH. Lại từ AB AC ta được ADB ACD ADB 900 nên điểm D
thuộc đoạn BH.
Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho AK AC , từ đó ta được ADC ADK
Từ đó suy ra DC DK và ACD AKD .
+ Nếu ACB 900 thì ta được AKD 900 nên BKD 900 ACB KBD
Từ đó suy ra BD KD CD BM BD MH DH nên AM AD
+ Nếu ACB 900 thì ta được AKD 900 nên BKD ACH ADC ABC
Từ đó suy ra BD KD CD BM BD MH DH nên AM AD
Vậy ta luôn có AM AD hay ma la
Kết hợp c{c kết quả trên ta được p a la ma
1
b c .
2
Ví dụ 11. Cho tam giác ABC có ma ,l b ,lc v| p theo thứ tự l| độ d|i đường trung tuyến hạ
từ đỉnh A, độ d|i đường ph}n gi{c trong hạ tứ đỉnh B, C v| nửa chu vi của tam gi{c.
Chứng minh rằng ma l b lc p 3
Phân tích tìm lời giải
Bất đẳng thức liên quan đến ma ; l b ; l c v| p nên ta sẽ biểu diễn ma ; l b ; l c theo p.
B
2 ca.cos B l 2 ac.cos 2 B , chú ý
Theo công thức về đường ph}n gi{c ta có l b
b
ca
2
2
2
2
2
2
2
2
ac c a b
B 1 cos B
c a b
là cos2
và cos B
nên l 2b 1
p p b . Theo
2
2ca
2
2
2ca
2cacos
công
thức
4ma2 b c
ta được
đường
trung
tuyến
p b p c b c p b p c 2p 2p
p p b p p c 2 p2 ma2
ta
có
p a p b . Từ đó
2
hay l b lc 2 p2 ma2 . Đến đ}y bất đẳng
thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được ma 2 p2 ma2 p 3 .
Lời giải
Trước hết ta ph{t biểu v| chứng minh bổ đề:
A
Với mọi 0 450 ta luôn có
cos2
1 cos 2
2
Thật vậy, xét tam gi{c ABC vuông tại A có
B
H
M
C
C v| đường cao AH, đường trung tuyến
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17
AM. Trong tam giác AHM có
AHM 900 ; AMH 2 cos2
Do đó 1 cos2 1
HM
AM
HM AM HM CM HM HC
AM
AM
AM
AM
2
CH
2CH2
2CH 2CH CH
Ta có 2 cos
BC.CH
BC
2AM AM
AC
1 cos 2
Từ đó ta được cos2
, bổ đề được chứng minh.
2
Trở lại b|i to{n: Đặt AB c; BC a; CA b , khi đó theo công thức về đường ph}n gi{c ta
2
có
B
2 ca.cos B l 2 ac.cos 2 B
lb
b
ca
2
2
B 1 cos B
1 cos B
Áp dụng bổ đề trên ta có cos2
, từ đó ta được l 2b ac
2
2
2
2cacos
M| theo công thức về đường trung tuyến ta có cos B
Suy ra l 2b
c 2 a 2 b2
2ca
ac c 2 a 2 b2
1
p p b l b p p a . Tương tự ta có lc p p c
2
2ca
Cũng theo công thức về đường trung tuyến ta có
2
2
4m a2 2b2 2c 2 a 2 b c a 2 b c
p b p c b c p b p c
bc
Mặt kh{c ta lại có
bc2
p b p c b c 2p b c 2p
bc2
p b p c 2p
Do đó ta được 4ma2 2p 2p
Suy ra l b lc 2 p2 ma2
pb pc
2
2
p a p b p p b p p c 2 p2 m a2
Do đó ta được ma l b lc ma 2 p2 ma2
1 2 m
2
a
p2 ma2 p 3
Dấu bẳng xẩy ra khi v| chỉ khi tam gi{c ABC đều.
Ví dụ 12. Cho tam gi{c nhọn ABC có ha , h b , hc và la ,l b ,l c tương ứng l| c{c đường cao v|
đường ph}n gi{c hạ từ đỉnh A, B, C. Gọi r v| R lần lượt l| b{n kính đường tròn nội tiếp v|
đường
tròn
ngoại
tiếp
tam
gi{c
ABC.
Chứng
minh
rằng:
ha
A h b
B h
C r
sin c sin
sin
2 l b
2 l c
2 4R
la
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18
Phân tích tìm lời giải
Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta đi tìm mối liên hệ của
ha
A
với c{c
sin
la
2
cạnh của tam gi{c ABC. Để ý đến tam gi{c ABC ta được
1
1
A
1
A
S ABC a.ha ; S ABA' b.la .sin ; S ACA' c.l a .sin . Khi đó ta được
2
2
2
2
2
h
h
A 2p a
A
1
1
A
bc
A
.sin . Từ đó
a.ha b c la .sin a
sin . Từ đó a sin
la
2
a
2
2
2
2
la
a
2
ha
A h b
B h
C 8 p a p b p c
A
B
C
sin c sin
.sin sin sin . Để l|m
sin
2 l b
2 l c
2
abc
2
2
2
la
xuất hiện R v| r ta chứ ý đến c{c công thức S ABC
đ}y ta quy b|i to{n về chứng minh sin
abc
pr p p a p b p c . Đến
4R
A
B
C 1
sin sin , đ}y l| một bất đẳng thức quen
2
2
2 8
thuộc v| ta xem như một bổ đề.
Lời giải
Trước hết ta chứng minh bổ đề: Trong tam gi{c nhọn ABC ta luôn có sin
Thật vậy, vẽ đường ph}n gi{c AD ta có
BD CD
BD BD CD
BC
.
AB AC
AB AB AC AB AC
Vẽ BI BC BI BD . Tam giác ABI có
sin
A
B
C 1
sin sin
2
2
2 8
A
A BI BD
BC
BC
2 AB AB AB AC 2 AB.AC
Chứng minh tương tự ta có
sin
I
B
AC
C
AB
; sin
2 2 AB.BC
2 2 AC.BC
Nh}n vế với vế của c{c bất đẳng thức trên ta được sin
B
D
C
A
B
C 1
.sin .sin
2
2
2 8
Gọi AA’ l| đường ph}n gi{c hạ từ đỉnh A, gọi p l|
A
nửa chu vi của tam gi{c ABC. Đặt
AB c; BC a; CA b
ha
Ta có SABC SABA' SACA' m| ta lại có
1
1
A
1
A
S ABC a.ha ; S ABA' b.la .sin ; S ACA' c.l a .sin
2
2
2
2
2
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
B
la
A'
C
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19
Do đó
h
1
1
A
bc
A
a.ha b c la .sin a
sin
2
2
2
la
a
2
Suy ra
ha
A bc
A bca
A 2 p a
A
sin
1 sin
.sin
.sin
la
2 a
2
a
2
a
2
Ho|n to|n tương tự ta được
hb
B 2 p b
B h
C 2 p c
C
sin
.sin ; c sin
.sin
lb
2
b
2 lc
2
c
2
Do đó ta được
ha
A h b
B h
C 8 p a p b p c
A
B
C
sin c sin
.sin sin sin
sin
2 l b
2 l c
2
abc
2
2
2
la
A
B
C 1
abc
M| theo bổ đề sin sin sin v| theo c{c công thức về diện tích l| S ABC
2
2
2 8
4R
V| công thức Heron SABC p p a p b p c ta được
8 p a p b p c
abc
.sin
A
B
C
S
r
sin sin
2
2
2 4Rp 4R
h
A h
B h
C r
Do đó ta được a sin b sin c sin
2 l b
2 l c
2 4R
la
Ví dụ 13. Cho tam gi{c ABC có c{c đường ph}n gi{c AD, BE, CF cắt nhau tại I. Gọi r l| b{n
kính kính đường tròn nội tiếp tam gi{c ABC. Chứng minh rằng AK BK CK 6r .
Phân tích tìm lời giải
Theo tính chất đường ph}n gi{c ta được CD.c b BC CD CD
a.b
. Mà CI là
bc
AI AC
b
AI b c
đường ph}n gi{c của tam gi{c ADC nên
. Từ đó
nên
DI CD CD
ID
a
bc
AI ID.
. Chú ý rằng ID IH r nên {p dụng tương tự ta quy b|i to{n về chứng
a
a b bc ca
6.
minh
c
a
b
Lời giải
Đặt BC a; CA b; AB c . Áp dụng tính chất đường
ph}n gi{c ta được
A
CD AC
CD
b
, do đó ta
BD AB
BC CD c
được
I
a.b
CD.c b BC CD CD
bc
Mặt kh{c ta có CI l| đường ph}n gi{c của tam gi{c
ADC nên
E
F
B
HD
C
AI AC
b
AI b c
. Từ đó
nên
DI CD CD
ID
a
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20
AI ID.
bc
a
Gọi H l| hình chiếu của I trên BC khi đó ta có
ID IH r
Do đó ta được AI ID.
BI r.
bc
bc
r.
. Tương tự ta chứng minh được
a
a
ac
ab
; CI r.
b
c
a b bc ca
Từ đó ta được AI BI CI r
a
b
c
Mà ta có
a b bc ca a b a c b c
6
c
a
b
b a c a c b
Do đó ta được AK BK CK 6r , dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi tam gi{c ABC đều
Ví dụ 14. Cho tam gi{c ABC có c{c đường ph}n gi{c AD, BE, CF cắt nhau tại I. Chứng
minh rằng:
DI
EI
FI
2
AI
BI
CI
Lời giải
Đặt BC a; CA b; AB c . Áp dụng tính chất
A
đường ph}n gi{c ta được
CD AC
CD
b
BD AB
BC CD c
CD.c b BC CD CD
I
a.b
bc
Mặt kh{c ta có CI l| đường ph}n gi{c của tam
AI AC
b
AI b c
giác ADC nên
. Từ đó
DI CD CD
ID
a
hay
E
F
B
HD
C
DI
a
AI b c
Ho|n to|n tương tự ta được
Khi đó ta được
EI
b FI
c
;
BI c a CI a b
DI
EI
FI
a
b
c
AI
BI
CI
bc
ca
ac
Ta cần chứng minh được
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
a
b
c
2
bc
ca
ac
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
21
a
a
bc
a b c
Thật vậy, vì a l| độ d|i cạnh tam gi{c nên a l| số thực dương, do đó
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng
Chứng minh tương tự ta được
xy
xy
ta được
2
b
2b
;
ca a bc
Cộng theo vế c{c bất đẳng thức trên ta được
a
a b c
2a
abc
c
2c
ab abc
a
b
c
2
bc
ca
ab
Đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi a b c 0 , điều n|y tr{i với giả thiết a, b, c l| c{c cạnh
của tam gi{c. Do vậy đẳng thức không xẩy ra.
Tức l| ta được
a
b
c
2 . Vậy ta được
bc
ca
ab
DI
EI
FI
2.
AI
BI
CI
Ví dụ 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh a v| hai điểm M, N thay đổi lần lượt trên BC,
CD sao cho góc MAN 450 . Tìm gi{ trị lớn nhất v| nhỏ nhất của diện tích tam gi{c AMN.
Lời giải
Đặt BM x; DN y 0 x; y a .
K
y
B
x
M
C
Khi đó ta có SAMN SABCD SABM SADN SCMN
Hay ta được
1
1
S AMN a 2 ax ay a x a y a 2 xy
2
2
N
y
Trên tia đối của tia BM lấy điểm K sao cho BK y ,
khi đó ta được ABK ADN . Từ đó AN AK
A
D
và BAK DAN .
Để ý l| BAM DAN 450 nên ta được BAK BAM KAM 450 . Dễ thấy
AKM AMN nên ta được MN MK x y . Mặt kh{c từ tam gi{c vuông CMN có
MN2 a x a y
2
2
Từ đó suy ra x y a 2 2ax x2 a 2 2ay y 2 xy a 2 a x y a x y a 2 xy
2
1
1
Do vậy S AMN a x y at với t x y . Đến đ}y ta nhận thấy nếu t lớn nhất thì diện
2
2
tích tam gi{c AMN lớn nhất v| ngược lại. Như vậy ta cần tìm gi{ trị lớn nhất v| nhỏ nhất
của t.
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
22
Để ý l| ta đang có x y a và x.y a 2 at . Khi đó thaeo hệ thức Vi – et ta có x, y là
nghiệm của phương trình bậc hai X2 tX a 2 at 0 . Để phương trình trên có hai nghiệm
x, y ta cần có
t 2 4 a 2 at 0 t 2a 8a 2 0 t 2a 2 2a t 2a
t 2a 2 1
a
Khi t 2a
X1 X 2
2
2 1
2 1 thì phương trình bậc hai có nghiệm kép
2
2
2 1
2 1 và Mint 2a
1
a.2a 2 1 a 2 1
2
Điều n|y có nghĩa l| x y a
Vậy ta được MinSAMN
2 1 .
2
Lại có xy a 2 at at a 2 xy nên suy ra at a 2 t a
1
a2
Điều n|y có nghĩa l| Maxt a , khi đó MaxSAMN a.a
2
2
Trong trường hợp n|y ta được x a; y 0 hoặc x 0; y a hay M B; N C hoặc
M C; N D
Ví dụ 16. Cho góc xOy v| điểm M nằm trong góc đó. Đường thẳng d quaM cắt c{c tia Ox,
Oy lần lượt tại A, B. Tìm vị trí của đường thẳng d để:
a) Diện tích tam gi{c OAB đạt gi{ trị nhỏ nhất.
b) Tổng OA OB đạt gi{ trị nhỏ nhất.
Lời giải
a) Do xOy không đổi v|
x
d
1
SOAB OA.OB.sin xOy nên diện tích tam gi{c
2
A
OAB đạt gi{ trị nhỏ nhất khi v| chỉ khi tích
E
OA.OB đạt gi{ trị nhỏ nhất. Qua M kẻ c{c
đường thẳng song song với Oy, Ox cắt Ox, Oy
O
M
F
B
y
lần lượt tại E v| F.
Khi đó c{c điểm E v| F cố định v|
OE OF
1
OA OB
.
2
OE OF
OE OF
4
.
Từ đó ta được 1
.
OA OB
OA OB
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
23
Suy ta OA.OB 4OE.OF không đổi. Dấu bằng xẩy ra khi
OA 2OE
OE OF 1
OA OB 2
OB 2OF
đường thẳng d đi qua M v| A thỏa mãn điều kiện OA 2OE; OB 2OF . Vậy khi đường
thẳng d đi qua M v| A thỏa mãn điều kiện OA 2OE; OB 2OF thì diện tích tam gi{c
OAB đạt gi{ trị nhỏ nhất.
OE OF
OE OF
1 ta được OA OB OA OB
b) Cũng từ
OE OF 2 OE.OF
OA OB
OA OB
Hay ta được OA OB OE OF 2 OE.OF
OE OF
.
2
OB
OA
OA
OE
.OE
.OF
OA
OB
OB
OF
OE OF
OF OA OE
OA OA OE
1 ta được
Để ý l| từ
OA OB
OB
OA
OB
OF
Dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi
Từ
OA
OE
OA OE
OE
OA OE OE.OF . Khi đó
ta được
OF
OF
OB
OF
OB OF OE.OF
Vậy tổng OA OB đạt gi{ trị nhỏ nhất bằng
OE OF
2
khi đường thẳng d đi qua M
v| A thỏa mãn điều kiện OA OE OE.OF .
Ví dụ 17. Cho tam gi{c nhọn ABC v| một điểm M nằm trong tam gi{c. Tia AM, BM, CM
1
cắt BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng S DEF S ABC .
4
Phân tích tìm lời giải
Đặt
x
EA
DC
BF
; y
; z
EC
DB
AF
với
x; y; z 0 .
S DEF SABC SAEF S BDF SCDE nên để chứng minh S DEF
Chú
ý
là
S
1
1
S ABC DEF , trước hết ta
4
S ABC 4
đi biểu diễn diện tích c{c tam gi{c AEF, BDF, CDE theo x, y, z. Ta có
S
SEAF
S
y
x
z
; CED
; BDF
.
Khi
đó
ta
được
S ABC x 1 z 1 S ABC y 1 x 1 S ABC z 1 y 1
S AEF SECD S BDF x y 1 y z 1 z x 1
. Do AD, BE, CF đồng quy tại M nên theo
S ABC
x 1 y 1 z 1
định lí Ceva nên xyz 1 v| bất đẳng thức x 1 y 1 z 1 8 . Khi đó biến đổi đồng
nhất biểu thức trên ta được
S AEF SECD S BDF 3
. Đến đ}y thì b|i to{n xem như được
S ABC
4
chứng minh.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Lợi
TÀI LIỆU TOÁN HỌC