Bài tập hay về nhị thức newton

VẤN ĐỀ 2
NHỊ THỨC NEWTON
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
II)Tam giác Pascal: (Hệ số của đa thức trong công thức Newton)

B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
1) Dùng công thức nhò thức Newton để khai triển nhò thức.
2) Tìm số hạng không chứa biến, số hạng tổng quát thứ k+1, số hạng chính giữa,… trong khai
triển nhò thức.
46
I)Công thức nhò thức Newton:
1)Với mọi số tự nhiên
1n
≥
và với mọi cặp số(a;b), ta có:
( )
nn
n
1n1n
n
1 kthứquát tổng hạngSố
kknk
n
22n2
n
1n1
n
n0
n
n
bCabC...baC...baCbaCaCba

+++++++=+
−−
+
−−−
  
2)Dùng dấu Σ, ta có thể viết công thức nhò thức Newton dưới dạng sau:
( )
∑∑
=
−
=
−
==+
n
0k
knkk
n
n
0k
kknk
n
n
baCbaCba
3)Vài khai triển nhò thức Newton thường gặp:
( )
n
n
1n
n
knk

n
2n2
n
1n1
n
n0
n
n
CxC......xC......xCxCxC1x
+++++++=+
−−−−
( ) ( ) ( )
n
n
n
knk
n
k
2n2
n
1n1
n
n0
n
n
C1......xC1......xCxCxC1x
−++−+−+−=−
−−−
( ) ( ) ( )
nn

n
n
kk
n
k
22
n
1
n
0
n
n
xC1......xC1......xCxCCx1 −++−+−+−=−
II)Tính chất:
1)Số các số hạng của công thức bằng n+1.
2)Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhò thức (n -k) + k = n.
3)Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng
kknk
n1k
baCT
−
+
=
(k = 0,1,….,n)
4) + n chẵn: Số hạng chính giữa là
1
2
n
T
+

+ n lẻ: Hai số hạng chính giữa là
2
1n
T
+
&
1
2
1n
T
+
+
5)Các hệ số nhò thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau.
6)
( )
n
n
k
n
1
n
0
n
n
n
C......C......CC112
+++++=+=
(Tổng các hệ số của các số hạng trong sự khai triển của nhò thức bằng 2
n
).

7)
( ) ( ) ( )
n
n
n
k
n
k
1
n
0
n
n
C1......C1......CC110
−++−++−=−=
.....CC......CC
3
n
1
n
2
n
0
n
++=++⇔
(Tổng tất cả các hệ số đứng ở các vò trí lẻ bằng tổng tất cả các hệ số đứng ở các vò trí chẵn).
1)Dạng 1:
........
1 6 15 20 15 6 1 :6n
1 5 10 10 5 1 :5n

1 4 6 4 1 :4n
1 3 3 1 :3n
1 2 1 :2n
1 1 :1n
1 :0n
=
=
=
=
=
=
=
2)Dạng 2:
........
1 6 15 20 15 6 1 :6n
1 5 10 10 5 1 :5n
1 4 6 4 1 :4n
1 3 3 1 :3n
1 2 1 :2n
1 1 :1n
1 :0n
=
=
=
=
=
=
=
3) Dùng công thức nhò thức Newton để tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức chứa các số
tổ hợp.

BÀI TẬP
Bài 1: Khai triển
( )
6
y2x
+
;
5
2
x
1
x






−
;
( ) ( ) ( )
654
1x1x22x3
−−++−
;
( )
6
1x
+
Bài 2: Tìm hệ số của x

3
trong khai triển biểu thức :
(x + 1)
2
+ (x + 1)
3
+ (x + 1)
4
+ (x + 1)
5
+ (x + 1)
6

Bài 3: Trong khai triển nhò thức
n
x
1
x






+
, hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng
thứ hai là 35. Tìm số hạng không chứa x của khai triển nói trên.
(Đề thi TN THPT Kì I 1996-1997)
Bài 4 : Tìm số hạng không chứa ẩn x, số hạng chính giữa trong khai triển nhò thức Niu-Tơn:
12

1






+
x
x
.(Đề thi TN THPT Kì I 2000-2001)
Bài 5: Tính tổng
5
5
54
5
43
5
32
5
21
5
0
5
C2C2C2C2C2C
+++++
Bài 6: Chứng minh rằng :
1)
n
5

n
4
1n
n
C
1n
4...
3
n
C
3
4
2
n
C
2
4
1
n
C41
=+
−−
+++++
2)
0
n
n
nC
1n
)1(...

4
n
C4
3
n
C3
2
n
C2
1
n
C
=
−
−++−+−
3)
n1
1
1n
2
n1
n
n
C
...
31
3
n
C
21

2
n
C
11
1
n
C
0
n
C
+
−
+
=
+
++
+
+
+
+
+
+
Bài 7: Tổng các hệ số trong khai triển nhò thức
n3
2
nx2
1
nx2







+
bằng 64. Hãy xác đònh số hạng
không chứa x.
Bài 8: Với giá trò nào của x, số hạng thứ ba trong khai triển
( )
5
xlg
xx
+
bằng 100?
Bài 9 : Tìm số hạng không chứa ẩn x, trong khai triển của luỹ thừa:
10
x
6
x1






++
.
Bài 10 : Tìm số hạng thứ năm trong sự khai triển của
(
)

n
1
3
22
−
−
, nếu số hạng cuối cùng của
sự khai triển bằng
8log
3
3
93
1








.
Bài 11: Tìm số tự nhiên n, biết rằng trong dạng khai triển
n
2
1
x







+
thành đa thức đối với biến x,
hệ số của x
6
bằng bốn lần hệ số của x
4
.
Bài 12: 1) Tìm 3 hệ số đầu trong sự khai triển của nhò thức Newton của
n
4
1
2
1
x
2
1
x








+
−

( )
0x
>
2) Xác đònh số mũ n, biết rằng 3 hệ số nói trên lập thành một cấp số cộng theo thứ tự
đó.
Bài 13: Cho khai triển nhò thức:
+
















+









=








+
−
−
−−
−
−
3
x
1n
2
1x
1
n
n
2
1x
0
n
n

3
x
2
1x
22C2C22
2
3
x
n
n
1n
3
x
2
1x
1n
n
2C22C...








+

















++
−
−
−
−
−
(n là số nguyên dương ). Biết rằng trong khai triển
đó
1
n
3
n
C5C
=
và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.(ĐH KHỐI A 2002)
Bài 14: Tìm số nguyên dương n sao cho
243C2...C4C2C

n
n
n2
n
1
n
0
n
=++++
.(ĐH KHỐI D 2002)
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhò thức Niutơn của
n
5
3
1
x
x
 
+
 
 
, biết
rằng
n 1 n
n 4 n 3
C C 7(n 3)
+
+ +

− = +
. (n là số nguyên dương, x >0,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).(ĐH KHỐI A 2003)
Bài 16: Cho n là số nguyên dương. Tính tổng :
47
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
C C C ..... C
2 3 n 1
+
− − −
+ + + +
+
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử )(ĐH KHỐI B 2003)
Bài 17: Với n là số nguyên dương, gọi a
3n-n
là hệ số của x
3n – 3
trong khai triển thành đa thức của (
x

2
+ 1 )
n
( x + 2 )
n
. Tìm n để a
3n-n
= 26.(ĐH KHỐI D 2003)
Bài 18: Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển thành đa thức của
( )
8
2
1 x 1 x
 
+ −
 
.
(ĐH KHỐI A 2004)
Bài 19: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Niu-Tơn của:
7
3
4
1
x
x
 
+
 ÷

 
với x
> 0. (ĐH KHỐI D 2004)
48