Toàn cảnh đề thi toán tuyển sinh vào lớp 10 trường chuyên năm học 2019, 2020

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

TOÀN CẢNH ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TRÊN TOÀN QUỐC

NĂM HỌC 2019-2020

Mục lục
Chuyên đề 1:Căn bậc hai và bài toán liên quan ..........................................................................................2
Chuyên đề 2:Bất đẳng thức-min-Max. .......................................................................................................29
Chuyên đề 3:Phương trình . ........................................................................................................................62
Chuyên đề 4:Hệ phương trình . ................................................................................................................104
Chuyên đề 5:Hàm số . ................................................................................................................................131
Chuyên đề 6:Giải bài toán bằng cách lập phương trình,hệ phương trình,bài toán thực tế.................150
Chuyên đề 7:Hình học. ..............................................................................................................................158
Chuyên đề 8:Số học . ..................................................................................................................................262
Chuyên đề 9:Biểu thức. .............................................................................................................................304

 Trang 1 


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

Căn bậc hai và bài toán liên quan

Chuyên đề 1

Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Cho biểu thức

x
x 1 5  9 x


với x  0, x  25 .
x  25
x 5 5 x

P

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để P < 1.
Lời giải



5



  x  15  x    5  9 x 
 x  55  x 
x
2 x  x  5 
2 x  10 x



x


5
5

x
x

5
5

x


 


x 5 x 

x
x 1 5  9 x



x  25
x 5 5 x

a) P 

 
 
 x  55  x 

x  x  x6 x 5  59

b) P  1 





2 x  x 5
2 x
2 x
1
1  0 
0
x 5
x 5
x 5

2 x
x 5

x 5
0
x 5

 x  5  0  x  5  0  x  25
Vậy 0  x  25
Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:
2 3 5

2 3 5
A

.
2 2  3 5 2 2  3 5
Lời giải















● 2 2  3  5 2 2  3 5  82 6 2 5  2 6  2 5  9 5
 82

●







2

5 1  2







2

5  1  2  6  2 5  2  2 5  2  10.





 



62 5  4 3 5  3 5



 



6  2 5  4 3 5  3 5

2 3 5 2 2  3 5  4 3  5  3  5



 



5 1





 



5 1

 12  4 5  2 5  2  10  2 5 .

●







2 3 5 2 2  3  5  4 3 5  3 5



 12  4 5  2 5  2  10  2 5 .

 Trang 2 


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

Do

A











2 3  5 2 2  3 5  2 3 5 2 2  3  5

2



2  3  5 2 2  3 5



  10  2

– NĂM HỌC – 2019-2020

đó:

5  10  2 5 20

 2.
10
10

Vậy A  2.
Cách khác:
Ta có:●



2 3 5



2 2  3 5



2 3 5

●





2 2  3 5



62 5
4 62 5

62 5
4  62 5

62 5



4





5 1

62 5





4



5 1

2



2



62 5
4
 2
5 5
5 5

62 5
4
 2
5 5
5 5

 4
4 
20  4 5  20  4 5
40
Do đó: A  4  

 4   2.
 4

 5  5 5  5 
25  5
20

Vậy A  2.
Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:







B  13  4 3 7  4 3  8 20  2 43  24 3 .

Lời giải







B  13  4 3 7  4 3  8 20  2 43  24 3



= 91  52 3  28 3  48  8
= 43  24 3  8

 13  4 3 


= 43  24 3  8 


2





13  4 3  7  4 3

74 3

2

3 1 

= 43  24 3  8 2 3  1  2  3



2



2  3

2







= 35
Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020)
Cho x , y là các số thực dương và P  x  3 x 2  3 x 2 y  y  3 y 2  3 y 2 x 
Chứng minh rằng

3

3

x  3 y  1.

x  3 y  1  3 P2 .
Lời giải

Đặt a  3 x ; b 

3

y  a, b  0  , ta có

 Trang 3 


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

 
P  a 3  a 2  a 2b  b3  b 2  ab 2  a  b  1
  a  b  1 a  b  1
3

– NĂM HỌC – 2019-2020

.

P 2  a  b  1  3 x  3 y  1. .

Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Tính giá trị của biểu thức

x 4  2x 3  3x 2  38x  5
khi x  2  3 .
A
x 2  4x  5
Lời giải
Ta có x  2  3  x  2  3  x 2  4x  1  0 .
2

x 2  4x  5  x 2  4x  1  4  2 ..

x 4  2x 3  3x 2  38x  5



 

 



 x 4  4x 3  x 2  2x 3  8x 2  2x  10x 2  40x  10  5   5  A 

5
.
2

.

Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) Tính giá trị của biểu thức:
1 5 1 5


1

5
1 5 .
A
5
Lời giải
Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020)



  2 x
1
2 x

 : 1 
 với x  0, x  1 .
x

1
x

1
x
x

x

x


1

 


Cho biểu thức P  

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm tất các giá trị của x để P  1.
Lời giải
a).
Biến đổi được

1
2 x


x 1 x x  x  x 1

1

x 1

2 x





x  1  x  1

Biến đổi được

1

x 1
1

2 x





x  1  x  1



x 1 2 x





x  1  x  1

2 x x 1 2 x

x 1

x 1

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 4   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

P

– NĂM HỌC – 2019-2020

1
x 1

b).

P 1

1
2 x
1
0
x 1
x 1

 2  x  0

 x  2
x  4



1 x  4
x

1

 x  1  0
 x  1

TH1: 

 2  x  0

 x  2
x  4


(không xảy ra).
x  1
 x  1  0
 x  1

TH2: 

Vậy các giá trị x cần tìm là 1  x  4 .
Câu 8. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020)
Cho biểu thức A 

x  4  x  1  x  4  x  1 

1 
.1 
 trong đó x  1, x  2 .
2
 x 1 
x  4  x  1

a)Rút gọn biểu thức A
b)Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị biểu thức A là số nguyên.
Lời giải
a)

A

x  4  x  1  x  4  x  1 
1 
.1 

 x 1 
x 2  4  x  1

A

x  2 x 1  x  2 x 1  x  2 
.

 x 1 
x2  4x  4

x 1 1  1  x 1  x  2 

.

x2
 x 1 
2
Nếu 1  x  2 thì A 
1 x
2
Nếu x  2 thì A 
x 1
b)
- Nếu 1  x  2 thì không có giá trị nguyên.
2
- Nếu x  2 thì A 
x 1
+ x  1  1  x  2 l 
A

+ x 1  2  x  5

n

Câu 9. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức

 1
  ( a  1)2 
3 a 5
P

 1 .

 .
 a 1 a a  a  a 1  4 a


 

 Trang 5 


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .
Lời giải


1
3 a 5
P

 a  1  a  1 a  1








.







2

a 1
4 a

Điều kiện: a  0, a  1.

 .

 a  1  a  1
4





a 1



2

a 1
4 a

1
.
a

Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

P 

3x  16x  7
x 2 x 3



x 1
x 3



x 3
x 1

( x  0, x  1 ).

Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức P 

a4 a4 a 4

:
, với a  0, a  4 .
a 2 2 a 4

Câu 12. (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

A 42 3  62 5 

2
.
5 3

Lời giải

A  ( 3  1) 2  ( 5  1) 2 

 3  1 5 1 

 3 5

2
5 3

2
5 3

2( 5  3)
2

2 5

Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Cho biểu thức

3 x
3x
M 


 x  xy  y x x  y y


1
x y

  x  1 ( x  y )
 :
 2 x  2 xy  2 y

a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm các số nguyên x sao cho biểu thức M có giá trị nguyên.
Lời giải
a).Điều kiện: x  0; y  0; x  y; x  1

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 6   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

3 x
M 









x  y  3 x  x  xy  y 2 x  xy  y
;
.
x xy y
x

1
x

y
 





x y

 x 



2 x  xy  y

x  2 xy  y

M

– NĂM HỌC – 2019-2020

.

xy  y

  x  1 





x y



2
x 1

M 

b).Để M có giá trị nguyên khi x-1 là ước của 2.
Các ước nguyên của 2 là 1;  2 .

 x 1  1
 x2
 x  1  1
 x0

Do đó ta có

 x 1  2
 x3


 x  1  2
 x  1
Vì x  0; x  1 nên có x = 0; x = 2; x = 3 thỏa mãn bài ra.
Câu 14. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức:
 x 3
x  24
x 2
x  2 
A
: 


 , (với x  0, x  4, x  9 ).
x  x  2  x  2 3  x
x  5 x  6 
1. Rút gọn biểu thức A .
2. Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
1. Rút gọn biểu thức A .

 x 3
x 3  x  2
x  2  x  2
x  24


A
:


x  x 2
x 2
x 3







 



A

A

A











x  9   x  4  x  2 


:


x 1
x 2 
x 2
x 3




x  24
x 3


:



x 1
x 2  x 2
x 3 


x  24












 









x  24

x 1
2) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
x  24 x  1  25
25
25
M

 x 1 
 x 1
2
x 1
x 1
x 1
x 1
25
 10
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số ta có x  1 
x 1
Do đó M  8 .
Đẳng thức xảy ra khi





2

x  1  25  x  1  5  x  16

.
 Trang 7 


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 8, đạt được khi x=16.
Câu 15. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Rút gọn các biểu thức sau:
1. A  4 3  2 27  12 .

 a 1
2a 
1

, (với a  0, a  1 ).

 :
 a  1 a  a  a  1

2. B  


Lời giải
1. A  4 3  2 27  12
 4 3 6 3 2 3
0

 a 1
2a 
1


2. B  
với a  0, a  1
 :
 a  1 a  a  a  1
 a 1

2a

 

 . a  1
 a  1
a ( a  1)


( a  1)2  2 a ( a  1)
( a  1)( a  1)

. a  1

 3a  1

Câu 16. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020)

1

2

x 1 x  2

1)Tìm điều kiện xác định: A 
2)Rút gọn: B  5 12  27
3) Rút gọn: C 

a 1
1
a 1

Lời giải
x  1
1..ĐK: 
x  2
2.. B  10 3  3 3  7 3
a  0
3..ĐK: 
; C  a  1 1  a
a  1
Câu 17. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Cho biểu thức:
A

3a  9a  3
a 2
1


1

a a 2
a 1
a 2

1)Rút gọn biểu thức A.
2)Tìm giá trị của a để A  2 .
Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 8   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 
Lời giải
1).Điều kiện a  0 và a  1
A 

3( a 

a  1)

( a  2 )( a  1)
3( a 

a  1) 

A 
A 

2). A 





a 2
a 1

1



a  2



a  2 ( a  2) 

1
a  1  ( a  2 )( a  1)

( a  2 )( a  1)
a 1
a 1

a 1
a 1

để A  2 

a 1

2

a 1

a  3
Học sinh giải phương trình và tìm ra giá trị của 
a  1
9

Câu 18. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Rút gọn:
A  ( 5  3)( 5  3)  6
Lời giải
a) Tìm được giao của (d ) với Ox, Oy lần lượt tại A( 1; 0) và B(0;-2) . Vẽ được đường thẳng (d )
m  1  2
m3
b) (d )  (d )  
 2 m  2
Câu 19. (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020)
2

 a 1

  3 a 3  1 2a
a 1 

a) Cho a là số thực khác 1 và 1 . Rút gọn biểu thức P 

.
 3

2
a 1 a 1
 a 1 

 3
 a 1

b) Cho các số thực x, y , a thoản mãn

x 2  3 x 4 y 2  y 2  3 y 4 x 2  a .Chứng minh rằng
3

x2 

3

y2  3 a2 .

Lời giải
2

2

2
 a  1  3  a  1
 a 1


3
2


 a  1  a 2  a  1 2a
a  1

a 3  1 2a
a 1 

 3




a) Ta có P 
2
a  1 a  1  a  12  3  a  12  a  1  a 2  a  1 a  1
 a 1 

 3
2
 a 1
 a  1

4  a 2  a  1  a  12  a  1  a 2  a  1 2a
a  1 2a 1  a




 1 .

.
.

2
2
2
4  a  a  1  a  1  a  1  a  a  1 a  1 a  1 a  1 a  1

Vậy P  1 .

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 9   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

 
b) Đặt s  3 x 2 và t  3 y 2 thì đẳng thức đề bài có thể viết lại thành
Do s, t  0 nên

– NĂM HỌC – 2019-2020

s3  s2t  t 3  t 2 s  a .

s3  s2t  s s  t , t 3  t 2 s  t s  t .
3

Từ đó ta có  s  t  s  t  a hay  s  t   a 2 .

Suy ra s  t  3 a 2 . Đây là kết quả cần chứng minh.
Câu 20. (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020)

 2x  x 1 2x x  x  x  x  x
1

với x  0, x  1, x  .
.
4
1 x x
 1 x
 2 x 1

Cho P  1  
a) Rút gọn P.

b)Tìm các giá trị của x sao cho P 

4
.
5
Lời giải

 ( x  1)(2 x  1)
x (2 x  1)( x  1)  x ( x  1)
P  1 

.
(1


x
)(1

x
)
(1

x
)(
x

x

1)

 2 x 1

x( x  1) 
P  1   x 

x  x 1


P


(1  x )( x  x  1)  x( x  1)
x  x 1

(1  x ) x  1  x  x x  x

x 1

x  x 1
x  x 1

P

4
x 1
4


5
x  x 1 5

 x  7  4 3  (tháa m·n)
 x  4 x 1  0  
 x  7  4 3  (tháa m·n)
Vậy để P 

4
thì x  7  4 3
5

Câu 21. (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức

 3 x
x
1 
x 3

 :
P  


(với x  0 ).
 x x  1 x  x  1
x  1 x  x  1

1
5

Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để P  .
Lời giải
P

1
x 3
:
.
x  x  1 x  x 1

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 10   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 



1
..
x 3

1
P 
5

1
1
  x  2  x  4 ..
x 3 5

Vậy 0  x  4 thỏa mãn bài toán..
Câu 22. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức

A  2x  15  8 2x  1.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Tìm x để A  3.
Lời giải
Ta có A  2x  15  8 2x  1  2x  1  2.4. 2x  1  16

 ( 2x  1  4)2 

2x  1  4 .

1

Biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khi 2x  1  0  x  .
2
A3

 2x  1  4  3
 2x  1  7


2x  1  4  3  

 2x  1  4  3
 2x  1  1



x  25
 
.
x  1
Câu 23. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020)
Cho x  1  3 2  3 4. Tính giá trị đúng của biểu thức A  x 5  4x 4  x 3  x 2  2x  2019.
Lời giải
Ta có x  1  3 2  3 4  ( 3 2  1)x  ( 3 2  1)(1  3 2  3 4)
 ( 3 2  1)x  1  3 2x  x  1  x 3  3x 2  3x  1  0.

Khi đó A  x 5  4x 4  x 3  x 2  2x  1  2020

 (x 2  x  1)(x 3  3x 2  3x  1)  2020  2020.

Câu 24. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)

x 1
có nghĩa.
x3
 a  a  a  a 

1 
  1  a  a  0, a  1 .
b) Chứng minh đẳng thức 1 




a  1 
a  1 

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức

Lời giải

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 11   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 
Điều kiện của x để biểu thức

x 1
có nghĩa là x  3  0 .
x3

 x3.

 a  a  a  a 
1 
  1  a  a  0, a  1 . .
b).Chứng minh đẳng thức 1 

a  1 
a  1 




1 a 



a a 1
a  a 
a  a  



Ta có 1 
1 
  1 


a  1 
a  1  
a 1











a  1 
 .

a  1 




 1 a 1  a .
 1 a .

Câu 25. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020)
1) Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức P 
2x  3 x  2

2) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức Q 

x 2
Lời giải



3 5 . 3 5



10  2

tại x  2020  2 2019

1)



3 5 . 3 5

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức P 

P



 



8



8



10  2

5 1

62 5 . 3 5  53 5







3 5 . 3  5 . 2



 

5  1 .2.

 


2

5 1 . 2 5  2



8



5 1

8

2.5  1
8

1

2)
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức Q 

2x  3 x  2
x 2

Ta có x  2020  2 2019  2019  2 2019  1 



tại x  2020  2 2019



2019  1

2

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 12   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 
 x  2019  1

Q

2x  3 x  2
x 2



2



x 1

x 2



x 2

Q  2 x 1

Q2





2019  1  1  2 2019  1

Câu 26. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 4  3
b) 5  (6  5) 2

Lời giải
a).

4 3 23 5

b). 5  (6  5) 2  5  6  5
 5 6 5  6

Câu 27. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) Cho biểu thức
H

2x2  2x
1
1
(với x  0; x  1 )


2
x 1
x 1
x 1

a)Rút gọn biểu thức H .
b)Tìm tất cả các giá trị của x để

xH 0
Lời giải

a). H 

2x2  2x
1
1
2 x ( x  1)
1
1
2x
1

1








2
x 1
x 1
x  1 (x  1)(1  x )
x 1
x 1 x 1
x 1
x 1



2 x  x  1  ( x  1) 2 x  2

x 1
x 1



2(x  1)
2
x 1

b).Ta có

x H  0 x 20  x  2  x  4

Mà x  0; x  1 , suy ra: 0  x  4; x  1
Vậy: Với 0  x  4; x  1 thì

xH 0

Câu 28. (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức







T  2 3  1 3 2  1 13  4 3 19  6 2 .
Lời giải
Tính được 13  4 3  2 3  1
Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 13   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 

và 19  6 2  3 2  1
Đưa được về dạng T   2 3






2

 12   3 2
 





2

 12 


Tính đúng kết quả T = 187
Câu 29. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020)
2019
3
Tìm điều kiện xác định của biểu thức P 

.
x 3 x9

Lời giải

x  0

Biểu thức xác định khi  x  3  0 .
x  9


x  0

.
 x  9.
Câu 30. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020)

 a 1
  a2  a a 
a 1

 4 a  : 
Cho biểu thức P  
 với a  0, a  1.
a

1
a

1
a

1


 

1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm các giá trị nguyên của a để P nhận giá trị là số nguyên.
Lời giải
1).Với a  0, a  1 ta có

Và



a2  a a
 a a. .
a 1

a 1
a 1

4 a 
a 1
a 1



2

 

a 1 



2

a 1  4 a





a 1





a 1

.

a 1



a 1

4a a
..
a 1

Do đó P 

4a a 1
4
.

..
a 1 a a a 1

 a  1  4
 a  1  2

 a  1  1
2).Với a nguyên thì P nhận giá trị là số nguyên khi và chỉ khi 
.
a

1

1

a  1  2

a  1  4

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 14   

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 

 a  3
 a  1

a  0

Đối chiếu với điều kiện ta có a  2, a  3, a  5 (thỏa mãn)..
a

2

a  3

a  5
Câu 31. (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020)
Cho x  3  5  2 3  3  5  2 3 . Tính giá trị của biểu thức P  x  2  x  .
Lời giải
2



2
+ Có x   3  5  2 3  3  5  2 3   6  2 3  5  2 3  6  2 4  2 3





2

62





3 1  4  2 3 







2

3 1 .

+ Do x  0 nên x  3  1 .
2

+ Suy ra  x  1  3 hay x 2  2 x  2 , do đó P  2 .
Câu 32. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Tìm điều kiện xác định của biểu thức
2019
3

P

.
x 3 x 9
Lời giải
x  3  0
Biểu thức xác định khi 
.
x  9

x  3

.
 x  9.
Câu 33. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Cho biểu thức

 a 1
 1
a 1
P  

 4 a  .
với a  0, a  1.
a

1
a

1
a

a


1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tính giá trị của P khi a  9  4 2 .
Lời giải
1).Với a  0, a  1 ta có



a 1
a 1

4 a 
a 1
a 1



2

 

a 1 



2

a 1  4 a





a 1





a 1



.

a 1

a 1

a  2 a  1  a  2 a  1  4 a  a  1
.
a 1

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 15   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 


4a a
.
a 1

Do đó P 

4a a 1
4
.

..
a 1 a a a 1

2).Ta có a  9  4 2 

2



2

2 1

 2 2  1. .

Do đó P  2. .
Câu 34. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Với x  0 , xét hai biểu thức

2 x
và B 
x
A 5
 .
Tìm tất cả các giá trị của x để
B 3
A

x 3 2 x 9

.
x
x3 x

Lời giải
B





x 3



x

x2 x
x



x 3

 
x  x  3

x 3  2 x 9





Với x  0 ta có:



x 2



x ( x  3)

  x 9 2 x 9 .
x  x  3

x 2
..
x 3

A 5
2 x 2 x 5
x 3 5
 
:
 
 .
B 3
3
x
x 3 3
x

 3 x  9  5 x (vì 3 x  0 x  0 )  2 x  9  0  x 
Vậy với 0  x 

81
.
4

81
A 5
thì  . .
4
B 3

Câu 35. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

C

5 6 7  33  128  1
3 2

.

Lời giải

Ta có: C 

5 6 7  33  128  1
3 2



5 6 7  (4 2  1) 2  1
3 2

.

2
5 6 6  4 2  1 5 6 (2  2)  1


.
3 2
3 2

5 11  6 2 5 (3  2) 2

.

3 2
3 2

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 16   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 



5(3  2)
 5. .
3 2

Câu 36. (Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức

 x 3
x 2
x 2   x2


A


 1 .
:
 x  2 3 x x 5 x  6  x  x  2 
a)Rút gọn biểu thức A .

1
đạt giá trị lớn nhất.
x

b)Tìm x để P  2 A 

Lời giải
a) Rút gọn biểu thức A.
Điều kiện: x  0, x  4, x  9 
Ta có:
x 3
x 2
x 2



x  2 3 x x 5 x  6





x 3



 

x 3 

x 2







x 2



x 3
x 2


x  2 3 x

 

x 2 

x 3

x  9   x  4 



x 2





x 2

1
:
x 2

b) Tìm x để P  2 A 

Ta có P 

x 2



x 2

x 3







x 3



1

x 2



x 1





x







x2 x x 2
x2
x
1 


x x 2
x x 2
x x 2

Do đó A 

x 2

x 2





x





x 1

x 2





x 1

x

1
đạt giá trị lớn nhất.
x

2 x 2 1
2 1
  2

x
x
x x
2

 1

 
 1  3  3.
 x


1
 1  x  1.

x
Vậy maxP  3  x  1.
Dấu “=” xảy ra khi

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 17   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 
Câu 37. (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020) Tìm a , biết:
2



2

  a  1  
a  a  1

a 1 
4

2a  1  a  1
a





2a  1  a  1



  1.

a 1

Lời giải
Điều kiện: a  0 và a  1 . Ta có:



2

 

a 1 

2

 

 



a 1  a 1  2 a  a 1  2 a  4 a

và



2a  1  a  1





2a  1  a  1   2a  1   a  1  a .

Do đó, phương trình đã cho có thể được viết lại thành

Phương trình này tương đương với



1
1

 1.
a 1
a 1

  a  1  1 hay 2  1 .
a 1
 a  1 a  1

a 1 

Như thế, ta có a  1  2 hay a  3 (thỏa mãn).
Vậy có duy nhất một giá trị a thỏa mãn yêu cầu đề bài là a  3 .
Câu 38. (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức


x 2
2 x  8  x2  x x  x  1
A

với x  0 .

x

x

1
x
x

1
x

3


Rút gọn biểu thức A và tìm x để A  6 .
Lời giải
Với x  0 , ta có:


x 2
2 x  8  x2  x x  x 1
A


x

x

1
x
x

1
x 3


   



x 2







x 1  2 x  8 x x

x 1 x  x 1



x3 x 22
   
x x 1


x 8 x






    x  3 x  2 x  6 


    
   


x  2 
x 2



x  1

x 3 





x 1

 

x 1 



x 1

x 3



x 1

x 3

x 1
x 3

x 1

x 3

    x  3 x  2

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 18   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 

A  6  x3 x  2  6  x3 x 4  0


x  1  0 x  0 

 x x 4 x 40



 x  4  0  vì 





x 4

x 1  0

 x  16 (TMĐK)
Vậy với x  16 thì A  6 .
Câu 39. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức
2 x  3 x x  1 x2  x
P


với x  0, x  1 .
x
x x x x x
Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Lời giải
2

Cho biểu thức P 

2x  3 x x 1 x  x


với x  0, x  1 . Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
x
x x x x x

thức P
P



  x  x x  1
x  x  1
x  x  1
 x x  1  2 x  3  x  x  1   x  1 x  x  1
x
x
x  x  1
x  x  1
 x x  1  2 x  3  x  x  1   x  1 x  x  1
x
x
x  x  1
x  x  1

2 x  3 x x  1 x2  x 2 x  3




x
x x x x x
x



2x  3 x  x 1


x
x



2x  3 x  x 1


x
x



x 1 x  x 1

2x  3 x  x 1 x  x 1 2x  2 x  3
3



2 x
2
x
x
x
x
x
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 2 x 
2 6  P 22 6
x
3

Dấu bằng xảy ra khi x   tmdk 
2


Câu 40. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức
A

4 x  9 x  3
x 1 2 x 1


(với x  0 ).
x3 x 2
x 1
x 2

a) Rút gọn biểu thức A ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Lời giải
a). A 




 x  1 x  2 
4 x  9 x  3

1  5 x 
 x  1




x  1
x 1

   2 x  1 x  1
x  2   x  1 x  2 

x 2

  1 5 x .
x 1
x  2
x 2

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 19   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 
b). A 

1 5 x
6
 5 

. Với mọi x  0 ta có:
x 1
x 1

6
6
x 1

x  1  1 nên

6
 1 . Giá trị lớn nhất của A là 1 đạt được khi x  0 .
x 1

Do đó A  5 

Câu 41. (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020)
a)Rút gọn biểu thức:


A = 1 

b)Cho x 

x   x 3
x2
x 2 


 :

 (với x  0; x  4; x  9 )
x 1  x  2
x 3 x5 x 6

( 3  1) 3 10  6 3

hãy tính B  ( x 2  4 x  2) 2019

21  4 5  3
Lời giải



a) A   1 


A

A

A

1
:
x 1

x   x 3
x 2
x 2 



:
 Với x  0; x  4; x  9.
x 1  x  2
x 3 x5 x 6



x 3



 

x 2

x 2



x 3 



1
x9 x 4 x  2
:

x 1
x 2

x 3





1
1
:

x 1 x  2





x 3



x 2  x 2



1
:
x 1

x 3



x 2



x 3



x 2
.
x 1

b) Ta có
3

10  6 3  3 (1  3)3  1  3
21  4 5  (2 5  1) 2  2 5  1

Nên x 

( 3  1)( 3  1)
2

 52
2 54
2 54

Vậy B  ( x 2  4 x  2) 2019  ( 1) 2019  1

Câu 42. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Cho biểu thức:

 2
1 1  xy  x  y   xy
P
  
(với x  0; y  0 ).
 xy x y 
x
x

y
y


1. Rút gọn biểu thức P.
2. Biết xy  16 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Lời giải
Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 20   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 
1.

 2

1 1  xy  x  y   xy
P
  
 xy x y 
x xy y


   



xy x  y  xy

2 xy  y  x

xy


   
   

x y







 x  y 

x y

xy



2

xy



xy

x y

x y

Vậy P 

xy
x y
xy

với x  0; y  0 .

2.Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

     x  y  2

P

xy  2

16  4

4
1
16

Dấu “=” xảy ra  x  y  4
Vậy min P  1 tại x  y  4 .
Câu 43. (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho

x  3 70  4901  3 70  4901.
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy chứng minh x là số nguyên tố.
Lời giải
Ta có:
x  3 70  4901  3 70  4901





 x3  140  3 3 70  4901 70  4901



3

70  4901  3 70  4901



 x3  140  3 x
 x3  3 x  140  0
  x  5   x 2  5 x  28   0
 x5

2


5  87

2
 0x   
 do x  5 x  28   x   

2
4




Vì vậy x là số nguyên tố..
Câu 44. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020)Rút gọn biểu thức:
A  4  10  2 5  4  10  2 5 .
Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 21   

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 
Lời giải

4 

Ta có A  0  A2  8  2



10  2 5

 4 



10  2 5 .



A2  8  2 16  10  2 5  8  2 6  2 5  8  2

A2  8  2





5 1  6  2 5 









2

5 1 .

2

5 1 .

 A  5  1 ..
Câu 45. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho

x  3 2  2 3  3 2  2 3 1.
Tính giá trị biểu thức P  x

3

x

2

 3x  9 

3

Lời giải

x  3 2  2 3  3 2  2 3 1  x 1  3 2  2 3  3 2  2 3
3

  x  1  4  6  x  1  x3  3x 2  9 x  3
3

P  x3  x 2  3x  9    x3  3x 2  9 x 

3

P  27
Câu 46. (Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Tính tổng
S

Ta có: S 

1
1
1
1



 ... 
2
3 1
5 3
7 5
2019  2019 2  2
Lời giải

1
1
1
1


 ... 
1 3
3 5
5 7
2019 2  2  20192

S 

1 3
3 5
5 7
20192  2  20192


 ... 
1 3

35
57
20192  2  20192

S

1  3  3  5  5  7  ...  20192  2  20192
2

S

1  20192 1  2019

 1009
2
2

Vậy S  1009
Câu 47. (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

T





2a  2 2  a  1
a a 2
Lời giải

với a  0, a  4 .

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 22   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 



Rút gọn biểu thức T 





2a  2 2  a  1
a a 2



2a  2 2  a  1  2

 2



a 2



a 1





a 1 .



a  2  a  1



a 1



a a 2 
Vậy T  2





với a  0, a  4 .

a 1
a 2





Câu 48. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020)
1 
 1
a) Cho biểu thức: P  

:
 x 1 x  x 

P

x 1





. Tìm điều kiện xác định của P và giá trị của x để

2

x 1

1
.
2

b) Rút gọn biểu thức A  3 46 5  61  69  28 5 .
Lời giải
a) Điều kiện: x  0 ; x  1 .
1 
 1
P

:
 x 1 x  x 

1 x



x






.




x 1
1
 1 

2
 x 1
x x 1
x 1




x 1







2

x 1

x 1

.

2

x 1

x 1






.



x 1
.
x



1
x 1 1

  2. x  1  x  x  2  x  4 (thỏa điều kiện).
2
2
x
Vậy giá trị cần tìm là x  4 .
b)



P

3





3







2

46 5  61  3 2 5  3. 2 5 .1  3.2 5.12  13 



69  28 5  49  2.7.2 5  2 5



2



7  2 5 

3

2



3

5  1  2 5  1.

2

 7  2 5.

A  3 46 5  61  69  28 5  2 5  1  7  2 5  6.

Câu 49. (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn
2

2

1 3
2  1 3
2 
A



 
 .
1 3   2
1 3 
 2
Lời giải

Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 23   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 
2

1 3
2  1 3
2 
A


 

1 3   2
1 3 
 2

2

2

2

 1 3 2  4   1 3 2  4 
 
 .

 2 1 3   2 1 3 

 


 








3
2





2










2 3

 2 1 3








 
   2 3
  2 1 3
 



3



1  3  1  3 

2










2

3
3

42 3 42 3

12  6 3  12  6 3
12 3

 3 3
16  12
4

Vậy  A  3 3 .





2

1 3
2  1 3  4
2 3
3





1 3 
1 3
2 1 3
2 1 3
 2













2

1 3
2  1 3  4
2 3
3



.


1 3 
1 3
2 1 3
2 1 3
 2



2







2


3  
3 
3
A  
 
 
1 3   1 3 
1 3





2



3

 1  3 

2

3
3
12  6 3  12  6 3
12 3



16  12
4
42 3 42 3

Vậy  A  3 3 .
Câu 50. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020)Rút gọn biểu thức
A  3 5  27  20 5  3 15 .





Lời giải



A  3 5  27  20



 3 5 3 3 2 5




5 3 3







5  3 15 .

5  3 15 .

5  3 15 .

 5  3 15  3 15  5 .

Câu 51. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức
Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 24   


VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

– NĂM HỌC – 2019-2020

 

a)Rút gọn biểu thức .

b)Tính giá trị của biểu thức
a)Rút gọn biểu thức
Điều kiện:

khi

√

√

=

√

=4

+

√

√
√

2√3.
Lời giải

.

≥0
≠9

Ta có
3

√

=

2 + 12√
(√ + 1)(√
=

(√

khi

=4

4√

3

3)

3)( + 8)

(√

3)(√ + 1)
=

b)Tính giá trị của biểu thức

18

+8
√ +1

2√3.

Ta có :
= 4
=

√
√

=

√
√

= 4√3

2√3 = (√3

1) ⇒ √ = √3

1

2

Câu 52. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020)

x  2 x  3 x x  8  x 1
x 1



  x  1 với x  0, x  1 .
x 1
x  2  x 1
x 1 
a) Rút gọn biểu thức P .
Cho biểu thức P 

b) Tìm tất cả số nguyên tố x để P  1 .
Lời giải
a)

x 2 x 3
 x 3
x 1
x x 8
 x2 x 4
x 2
x 1
x  1 4 x


x 1

x 1 x 1
P  x  5 x 1
b) Tìm tất cả số nguyên tố x để P  1

P 1 0  x  5
x  2, x  3, x  5, x  7, x  11, x  13, x  17, x  19, x  23.
Địa chỉ truy cập click vào đây  />
 Trang 25 