Bài giảng Giải tích 1 – Trần Thị Khiếu

Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông Cơ sở tp. Hồ Chí Minh
Khoa Cơ bản 2 – Bộ môn toán
----------------------------------------------------------Giải tích 1
• Giảng viên: Trần Thị Khiếu
• Email:


- Cách tính điểm
+ Chuyên cần : 10% (điểm danh hằng ngày).
+Bài tập : 10% (lên bảng làm bài tập 5 lần).
+Kiểm Tra giữa kỳ: 10% (trắc nghiệm 20 câu).
+Thi cuối kỳ: 70%
Tài liệu học
- Giáo trình giải tích 1, Học viện Công nghệ Bưu
chính Viễn thông, TS. Vũ Gia Tê (chủ biên), ThS.
Nguyễn Thị Dung, ThS. Đỗ Phi Nga.


Mục lục
Chương 1: Giới hạn của dãy số.
Chương 2: Hàm số hàm một biến.
Chương 3: Phép tính vi phân hàm một biến số.
Chương 4: Tích phân xác định.
Chương 5: Lý thuyết chuỗi.


Chương 1: Giới hạn của dãy số.


Số thực
Cho

⊂ ℝ và

∈ ℝ. là một cận trên của
x  X , x  a

trong ℝ nếu

Giá trị nhỏ nhất của tập các chặn trên (cận trên) của tập hợp
X được gọi là chặn trên nhỏ nhất (cận trên đúng) của X và ký
hiệu là supX, (supremum của X).
∈ ℝ. là một cận dưới của trong ℝ nếu
x  X , x  a
Giá trị lớn nhất của tập các chặn dưới (cận dưới) của tập
hợp X được gọi là chặn dưới lớn nhất (cận dưới đúng) của X
và ký hiệu là infX, (infimum của X).

Cho

⊂ ℝ và


Dãy số thực
-----------------------------------------------------------Định nghĩa
Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập
số thực R.
u:N  R
n  u ( n)

Thường dùng ký hiệu:


un n 1

 

un0 được gọi là số hạng thứ

hay đơn giản
của dãy.

un 


CÁC CÁCH CHO DÃY SỐ
1/ Dạng liệt kê:
VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/2, 1/3,…
2/ Dạng tường minh:
{un} cho dạng biểu thức giải tích của biến n.
2

VD: un  n , un  1 / n
3/ Dạng quy nạp:
Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước
VD:
u1  1, un 1  un2  un  1
un 1  un
u1  1, u2  1, un 1 
2

Sự hội tụ, sự phân kỳ của dãy số
Dãy số un  được gọi là hội tụ về

∈ ℝ nếu

  0, n0  n  n0  un  a   
Ký hiệu:

n 
lim un  a hay un 
a
n 

Dãy un  được gọi là hội tụ nếu có số

un  a
∈ ℝ để nlim


Ngược lại, dãy không hội tụ được gọi là dãy phân kỳ.


Ta nói un  tiến đến  (hoặc: nhận  làm giới hạn)
khi và chỉ khi:
A  0, n0  N  n  n0  un  A 
n 
 
Ký hiệu: lim un   hay un 
n 

Ta nói un  tiến đến  (hoặc: nhận 
khi và chỉ khi:

làm giới hạn)

B  0, n0  N  n  n0  un  B 
n 
Ký hiệu: lim un   hay un 
 
n 

Khi dãy có giới hạn là  hoặc  đều được gọi là phân kỳ.


n
1
Ví dụ: Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng lim
n  n  1
1
1
n
  0
   n  1
1   
n 1

n 1
1
Chọn số tự nhiên n0   1


1
1
n


Khi đó n  n0 :| un  1|
1 
n  1 n0  1
n 1
n
 lim
 1 (theo định nghĩa)
n  n  1
Chú ý: Để chứng minh dãy un  hội tụ về thông thường
chỉ ra dãy  n  hội tụ về 0 và thỏa mãn điều kiện

un  a   n , n  n0


Dãy số bị chặn
Ta nói dãy un  bị chặn trên bởi

∈ ℝ , nếu

n  N , un  A
Ta nói dãy un  bị chặn dưới bởi B ∈ ℝ , nếu
n  N , un  A

Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy

bị chặn.


Định lý 1.1 (tính duy nhất của giới hạn)
Nếu dãy un  hội tụ đến

thì

là duy nhất.

 lim un  a
a b
n 
a

b
Chứng minh: Giả sử 
và
. Đặt  
un  b
3
 nlim


na :  n  na  un  a   

 nb :  n  nb  un  b   

Đặt n0  Max na , nb 

a  b  a  u n  un  b  un  a  un  b
2
 a  b      2  | a  b | Mâu thuẫn.
3


Tính chất đại số của dãy hội tụ
Cho

lim un  a, lim vn  b , ta có:

n 

n 

1) lim un | a |

4) lim  un  vn   a  b

n 

n 

2) lim  un   0  lim un  0
n 

n 

3) lim  un  vn   a  b
n

 un  a
5) lim   
n   vn  b


Tính bị chặn
• Nếu dãy un  hội tụ, thì un  bị chặn trong tập ℝ.
• Nếu dãy un  tiến đến +∞ thì bị chặn dưới trong tập ℝ.
• Nếu dãy un  tiến đến −∞ thì bị chặn trên trong tập ℝ.
Chứng minh 1: Giả sử lim un  a  n0 :  n  n0 | un  a | 1
n 
 a  1  un  a  1





Đặt: M  Max u1 , u2 ,..., un0 ,1 | a |  un  M
Chú ý:

Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội tụ
Ví dụ.

n 

 (1) 

n 1

Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹp
Nguyên lý kẹp
Cho 3 dãy un  ,vn  ,wn  thỏa mãn n0 , n  n0  un  vn  wn
và lim un  lim wn  a , khi đó
n 

n

lim vn  a

n 

Giả sử  n  n0  ,  un  vn  và lim un  , khi đó lim vn  
n 

n 


n 
 n
Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy  un     2

 k 1 n  k 
n

un  

k 1 n

n
2

1



n2
n2  1

n

1

 lim  un   1
n 

n

n

n
n 
un   2

1
n 1
k 1 n  n

Ví dụ. Tìm

lim

5n

n  n n


Dãy đơn điệu
• Ta nói dãy un  là dãy tăng, nếu
n  N , un 1  un

• Ta nói dãy un  là dãy giảm, nếu
n  N , un 1  un
• Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là

tăng (giảm) ngặt.
Một dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dãy
đơn điệu.


Định lý 1.2 (định lý Weierstrass)
Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

Định lý 1.3
Dãy un  tăng và không chặn trên thì tiến dần đến +∞.
Dãy un  giảm và không chặn dưới thì tiến dần đến −∞.

Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu:
1.Xét hiệu số: un+1 – un (so với “0”)
2.Xét thương số: un+1/un (so với “1”)
(dùng cho dãy số dương)
3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = un


Ví dụ: Chứng tỏ dãy

n!
 un  , u n 
 2n  1!!

là dãy hội tụ.
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này.

un 1
un
n 1 1


 un 1 
 un
un
2n  3 2
2

Vậy dãy giảm.

Vậy dãy bị chặn dưới.   lim un  a

n 1
n 1
1
un 1 
 un  a  a  lim
a aa0
n  2n  3
2n  3
2
n!
 lim
0
n   2n  1!!

0  un


Dãy con
Cho dãy

un   u1, u2 ,..., un ,...

 

Dãy con của dãy  un  là một dãy unk mà các phần tử
của nó được lấy từ dãy  un  theo một cách chọn bất
kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải.
 (-1) n n  
1
3 1

5
1

un   n    -1,
, - ,
, ,
,...
 2  
2
8 4
32 14



1 1 1 
Một dãy con là:
vn    , , ,...
 2 4 14 


Định lý 1.5
Nếu dãy un  hội tụ về
cũng hội tụ về .

∈ ℝ , thì mọi dãy con của nó

Hệ quả
Để dãy un  hội tụ về ∈ ℝ điều kiện và đủ là hai dãy
con u n  và u n  cũng hội tụ về .

Ví dụ:



n 2n  1 

Chứng tỏ rằng dãy   1
không có giới hạn

3n  2  n 1


Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k
4k  1 k  4 2
k 4k  1
u2 k  (1)

 
6k  2 6k  2
6 3
Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1

4k  3
4k  3 k  4 2
u2k 1  (1)



6k  5

6k  5
6
3
Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau
2 k 1

Vậy dãy đã cho không có giới hạn.


Số e

  1 n 
Xét dãy:  un     1   
 n  



Giới hạn của dãy này được ký hiệu là e, và người ta
chứng minh được e là số vô tỷ, e  2.718281828...
n

 1
lim  1    e
n  
n


Một số giới hạn cơ bản
1
1) lim   0,  0

n n
1

2) lim

n ln

3) lim



1

n  e n

n

n

 0,  0

0
p

4) lim n  1, p
n 

5) lim n a  1, a  0
n 

6) lim
n 

np
e

n

0

7) lim q n  0,| q | 1
n
n

 1
8) lim  1    e
n  
n

 a a
9) lim 1    e , a
n  
n
ln p n
10) lim   0, p,  0
n n