Đề thi HSG Bắc Giang Toán 9 năm 2009

Sở giáo dục và đào tạo
bắc giang
Đề chính thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009
Môn thi: Toán, lớp 9
Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I. (4 điểm)
1. Rút gọn biểu thức
P =
)
1
1
1
)(
11
1
11
1
(
2
2
xx
xx
x
xx
x

+

+

+
+
với 0 < x < 1.
2. Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 và 4p + 1 cũng là số nguyên tố.
Câu II. (4 điểm)
1. Giải phơng trình
.223321
+=+++
xxxx
2. Giải hệ phơng trình





=++
=+
.21
121
yxx
xyx

Câu III. (4 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
1
2
++
+
=

xx
x
y
.
2. Tìm các số nguyên tố p sao cho tổng các ớc số của p
4
là một số chính phơng.
Câu IV. (6 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn (C) tâm I. Đờng tròn (C) tiếp xúc
với BC, CA, AB lần lợt tại D, E, F.
1. Gọi h
a
, h
b
, h
c
và r lần lợt là chiều cao của ABC xuất phát từ A, B, C và bán kính đờng
tròn (C). Chứng minh rằng:
cba
hhhr
1111
++=
.
2. Trong trờng hợp AB = 12, BC = 18, CA = 24. G là trọng tâm tam giác ABC.
Chứng minh rằng: IG // BC.
3. Các đờng thẳng BI, CI lần lợt cắt EF tại M và N. M không trùng với E, N không trùng
với F. Chứng minh rằng tứ giác BCMN nội tiếp một đờng tròn.
Câu V. (2 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
3(a
2

+ b
2
+ c
2
) + 2abc 52.
------------------------------Hết---------------------------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh...............................................................số báo danh......................................