Thi thử HK II Toán_11 số 5

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
MÔN: TOÁN - LỚP 11 NÂNG CAO
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
------------------------------------------------------------------------
Bài 1 ( 1,75 điểm ) Tìm các giới hạn sau :
a/
4 2
x
lim ( 3 2)x x x
→−∞
− + − +
b/
2
x 2
2 4 5
lim
2
x x
x
−
→
− + +
−
c/
2
x -
lim ( 4 5 3 2 1)x x x
→ ∞
+ + + −
Bài 2 ( 1,75 điểm )
a/ Cho hai hàm số

2
( ) 2 4 5 y f x x x x
= = + +
,
2
( ) tan (sin )y g x x= =
Tính f ‘(1) và g’(0)
b/ Giải phương trình y’’= -36 , biết rằng
y = cos(6 )
4
x
π
+
.
Bài 3 ( 1, 25 điểm) Cho hàm số
2
2 5
1
x x
y
x
− +
=
−
.
a/ Tìm các khoảng của x để y ’ > 0 .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 3.
Bài 4 . (1 , 25 điểm )
Cho hàm số
3 2

1
( ) (3 2) 1
3
y f x x mx m x
= = − − + −
với m là một tham số thực .
a/ Khi
m = 1 , hãy tính y ''(1) .
b/ Với giá trị nào của m thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
sao cho ba số
1 2
, 7 , xx
lập thành một cấp số nhân hữu hạn theo thứ tự đó.
Bài 5 ( 0,75 điểm)
Với giá trị nào của a thì hàm số
2
4 3
khi x 3
( )
3
a + 3x khi x = 3
x x
y f x
x

− +
≠


= =
−



liên tục tại x = 3
Bài 6 ( 2,75 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB = a ; AD = 2a ; SA = 2a
SA ⊥ (ABCD) ( với a > 0) , M là trung điểm của SD .
a/ Chứng minh rằng : (SAM) ⊥ (SCD) . Tính AM.
b/ Tính góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) .
c/ Mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng AM và vuông góc với SD . Mặt phẳng (Q) cắt SC tại điểm N .
Chứng minh rằng : Bốn điểm A , M , N, B đồng phẳng và MN // (ABCD) .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và CD .
Bài 7 (0,5 điểm) Gọi S là tổng các hệ số của đa thức sau :
2 3 99 99 100
99
1 1 1 1
f(x) = 1- ... ( 1)
2 4 8 2
x x x x x+ − + + − +
Hãy so sánh tổng S với số 2 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------
• Học sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài .
• Giám thị coi thi không giải thích gì thêm .
ĐÁP ÁN TOÁN 11 NÂNG CAO
Bài Câu Nội dung Điểm
1
1,75đ

a/
4 2 4
2 3 4
x
3 1 2
lim ( 3 2) lim ( 1 )
x
x x x x
x x x
→−∞ →−∞
 
− + − + = − + − + = −∞
 
 
0,5
b/
2
x 2
2 4 5
lim
2
x x
x
−
→
− + +
= −∞
−

Vì khi x → 2

-
thì (x – 2) < 0 và (x – 2) → 0
và
2
2
lim ( 2 4 5) 8 0
x
x x
+
→
− + + = >

0.5
c/
2 2
2
2
x -
2 2
4 5 3 4 4 1
lim ( 4 5 3 2 1) lim
4 5 3 (2 1)
2
(9 )
9 2 9
lim lim
4
5 3 5 3 1
4 (2 1) ( 4 2 )
x

x x
x x x x
x x x
x x x
x
x
x
x x x
x x x x x
→ ∞ →−∞
→−∞ →−∞
+ + − + −
+ + + − =
+ + − −
+
+
= = = −
+ + − − − + + − +
0,25
0,5
2
(1,75đ)
a
*
2
( ) 2 4 5 y f x x x x= = + +
2 2
2
2
2

8
'( ) (2 4 5) ' (2 4 5 )
2 4 5
4
'( ) 2 4 5
4 5
x
f x x x x x x
x
x
f x x x R
x
= + + = + + +
+
= + + + ∈
+
2
4 4 19
'(1) 2 4.1 5 5
3 3 3
f⇒ = + + + = + =
*
2
( ) tan (sin )y g x x= =
2
2
(sin ) '
'( ) 2 tan(sin )(tan sin ) ' 2 tan(sin ).
cos (sin )
cos

2 tan(sin ).
cos (sin )
x
g x x x x
x
x
x
x
= =
=
tan'(0)⇒ = '(0) 0g =
0,25
0,25
0,25
0,25
b
y = cos(6 )
4
x
π
+
.
' (cos(6 ))' 6sin(6 )
4 4
y x x
π π
= + = − +
'' ( 6sin(6 ))' 36 cos(6 )
4 4
y x x

π π
= − + = − +
0,25
0,25
'' 36 36 cos(6 ) 36 cos(6 ) 1 2
4 4 4
3
+k2 ,
4
y x x x k
x k Z
π π π
π π
π
π
= − ⇔ − + = − ⇔ + = − ⇔ + = +
⇔ = ∈
0,25
3
1,25đ
a
2
2 2
2
2
2 5
, x 1
1
x 2 5 2 3
y'=( ) '

1 ( 1)
' 0 2 3 0 ( ; 1) (3; )
x x
y
x
x x x
x x
y x x x
− +
= ≠
−
− + − −
=
− −
> ⇔ − − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
0,25
0,5
b
Khi x = 3 thì y = 4 .
Ta có điểm M(3 ; 4) thuộc đồ thị hàm số đã cho .
y’(3) = 0
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm M là
y = 0(x – 3) + 4 hay y = 4
0,25
0,25
4
1,25đ
a
3 2
1

( ) (3 2) 1
3
y f x x mx m x
= = − − + −
Khi m = 1 ta có
3 2
2
1
5 1
3
' 2 5
'' 2 2
''(1) 0
y x x x
y x x
y x
y
= − − −
= − −
= −
⇒ =
0,25
0,25
b
3 2
2
2
2
1
( ) (3 2) 1

3
' 2 (3 2)
' 0 2 (3 2) 0
' 3 2
y f x x mx m x
y x mx m
y x mx m
m m
= = − − + −
= − − +
= ⇔ − − + =
∆ = + +
Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
khi và chỉ khi
2
' 0 3 2 0 ( ; 2) ( 1; )m m m∆ > ⇔ + + > ⇔ ∈ −∞ − ∪ − +∞
.
Theo định lí Viet ta có : x
1
+ x
2
= 2m ; x
1
x
2
= -(3m + 2)
Ba số x

1
,
7
, x
2
lập thành một cấp số nhân theo thứ tự đó khi và chỉ
khi
2
1 2
. ( 7 ) 7 3 2 7 3x x m m= = ⇔ − − = ⇔ = −
.
0,25
0,25
0,25
5
0,75đ
2
4 3
khi x 3
( )
3
a + 3x khi x = 3
x x
y f x
x

− +
≠

= =

−



Với x ≠ 3 ta có
2
2
3 3
3
4 3
( )
3
4 3 ( 1)( 3)
lim lim lim( 1) 2
3 3
(3) 9
x x
x
x x
f x
x
x x x x
x
x x
f a
→ →
→
− +
=
−

− + − −
= − =
− −
= +
Để hàm số đã cho liên tục tại x = 3 thì
3
lim ( ) (3) 2 9 7
x
f x f a a
→
= ⇔ = + ⇔ =
0,25
0,5
6
2,75đ
2 a
a
N
O
M
D
A
B
C
S
0,25
a
Ta có CD ⊥ AD ( Vì ABCD là hình chữ nhật)
Và CD ⊥ SA ( Vì SA ⊥ (ABCD) )
Do đó CD ⊥ (SAD) .

Vì SA = AD = 2a nên tam giác SAD cân tại A . Mà M là trung điểm của
SD nên AM ⊥ SD .
Lại có AM ⊥ CD ( vì CD ⊥ (SAD) )
Vậy AM ⊥ (SCD) ⇒ (SAM) ⊥ (SCD).
Tam giác SAD vuông tại A và AM là đường cao nên
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 2
4 4 4
2 2
AM AD SA a a a
AM a AM a
= + = + =
⇒ = ⇒ =
0,25
0,25
0,25
b
Vì SA ⊥ (ABCD) tại A , SB cắt (ABCD) tại B nên AB là hình chiếu
vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD).
·
·
·
( , ( ) ( , )SB ABCD SB AB SBA= =
Tam giác SAB vuông tại A nên
·
tan
SA
SBA
AB

=
SA = 2a ; ABCD là hình chữ nhật có AB = a
·
·
0
2
tan 2
63 26'
SA a
SBA
AB a
SBA
= = =
⇒ ≈
0,25
0,25
0,25
c Mặt phẳng (Q) cắt (SCD) theo giao tuyến MN .
Theo giả thiết SD ⊥ (Q) nên SD ⊥ MN
Trong mặt phẳng (SCD) có CD và MN cùng vuông góc với SD nên
CD // MN .
Lại có CD // AB
0,25
⇒ MN // AB . Do đó bốn điểm A , B , N , M đồng phẳng .
//
( ) //( )
( )
CD MN
CD ABCD MN ABCD
MN ABCD



⊂ ⇒


⊄

Vì (ABNM) đi qua BM và song song với CD nên khoảng cách giữa BM
và CD bằng khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABNM).
Mà MD ⊥ (ABNM) tại M nên
( , ( )) 2
2
SD
d D ABNM DM AM a= = = =
Vậy
( , ) 2d AN CD a=
0,25
0,25
0,25
7
100
100
100 99
1 1
1(1 ( ) ) 1
2 1 5 1
2 2
1 1 (1 ) 1 2
1 3
3 2 3 3.2

1
2 2
S
− − −
= + = + = − + = − <
+
Suy ra S < 2
0,5