BS hệ thức lượng trong tam giác

Bài soạn hình học 10
Giáo viên: Nguyễn Quốc Hoàn
Tổ: Toán Tin Trờng: THPT Nguyễn Gia Thiều
Ngày soạn: 04 08 2007.
Đ3. Các hệ thức lợng trong tam giác và giảI tam giác
(PPCT: 23 + 24 + 25 ; dạy tiết 23)
I. Mục đích yêu cầu:
Kiến thức: Học sinh nắm đợc định lý cosin, định lý sin trong tam giác; biết cách
chứng minh các định lý; vận dụng trong làm bài tập; củng cố kiến thức về vectơ.
Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng vận dụng các kiến thức đã biết
trong việc tiếp thu tri thức mới.
T duy: Phát triển năng lực chứng minh Toán học, bồi dỡng và phát triển năng lực
vận dụng sáng tạo lý thuyết toán vào việc giải bài tập toán.
Trọng tâm: Học sinh nắm đợc nội dung định lý cosin, định lý sin trong tam giác
và vận dụng linh hoạt vào giải các bài toán có liên quan.
Thái độ: Cẩn thận, chính xác. Biết quy lạ về quen.
II. Phơng pháp, phơng tiện:
Phơng pháp: Sử dụng nhóm phơng pháp nhằm tích cực hoá hoạt động của học
sinh: đàm thoại, giải quyết vấn đề.
Phơng tiện: Kiến thức về vectơ, SGK Hình học 10, SBT Hình học 10, sách giáo
viên, giáo án,
III. Cấu trúc bài dạy:
Bài toán gợi động cơ Định lý cosin Ví dụ áp dụng
Bài toán có liên quan
Bài toán gợi động cơ Định lý sin Ví dụ áp dụng
IV. Tiến trình bài dạy:
Thời gian
(Phút)
Nội dung ghi bảng Hoạt động của thầy và trò
5 7
Đ4. Các hệ thức lợng trong

tam giác và giải tam giác
Bài toán 1: Cho ABC có AB = 3 cm,
AC = 8 cm, Â = 60
0
. Tính BC.
Giải:
GV: ở lớp 8 các em đã đợc học về hệ thức
lợng trong tam giác vuông. Bài học hôm
nay chúng ta nghiên cứu trờng hợp tổng
quát hơn: Hệ thức lợng trong tam giác bất
kỳ.
GV: Để đi vào bài học hôm nay ta xét bài
toán sau
GV: ABC không có gì đặc biệt, các em
cha học một công thức tổng quát nào để có
thể tính trực tiếp BC. Ta phải nghĩ cách
khác (BC =
BC
).
GV:
BC
biểu diễn qua
AC
và
AB
?
HS:
BC
=
AC

AB
.
GV:
BC
2
= ?
HS:
BC
2
= (
AC

AB
)
2

H
1
A
B
C
D
10 12
BC
2
=
BC
2
= (

AC

AB
)
2

=
AC
2
+
AB
2
2.
AC
.
AB

= AC
2
+ AB
2
2.AC.AB.cosÂ
= 8
2
+ 3
2
2.8.3.cos60
0
= 49
Vậy BC = 7 cm.

1. Định lý cosin trong tam giác:
Định lý: Với mọi tam giác ABC ta luôn
có:
a
2
= b
2
+ c
2
2.b.c.cosA
b
2
= a
2
+ c
2
2.a.c.cosB
c
2
= a
2
+ b
2
2.a.b.cosC.
Xem chứng minh trong SGK.
cosA =
c.b.2
acb
222
+

A = 90
0
a
2
= b
2
+ c
2
A > 90
0
a
2
> b
2
+ c
2
A < 90
0
a
2
< b
2
+ c
2
.
Ví dụ: ABC ở bài toán 1, lấy D trên
cạnh AC sao cho AD = 6 cm. Tính góc
D của tam giác ABD, chứng minh tam
giác ABD vuông.
Giải:

BD
2
= AB
2
+ AD
2
2.AB.AD.cosA
= 9 + 36 2.36.
2
1
= 27
BD =
33
.
AB
2
= AD
2
+ BD
2
2.AD.BD.cosADB
cosADB =
BD.AD.2
ABBDAD
222
+
=
33.6.2
92736
+

=
2
3
.
ADB = 30
0
.
Rõ ràng:
=
AC
2
+
AB
2
2.
AC
.
AB

=
AC
2
+
AB
2
2.
AC
.
AB
.cos(

AC
;
AB
).
Hay BC
2
= AC
2
+ AB
2
2.AC.AB.cosÂ.
GV: ABC; ký hiệu BC = a, CA = b,
AB = c; các góc ở đỉnh A, B, C cũng kí
hiệu bởi A, B, C.
GV: Từ bài toán 1, BC hay a đợc tính theo
công thức nào ?
HS: a
2
= b
2
+ c
2
2.b.c.cosA
GV: Tơng tự b
2
và c
2
đợc tính nh thế nào ?
HS: .
GV: Đây chính là nội dung định lý cosin

trong tam giác.
GV: Phát biểu định lý bằng lời và cách ghi
nhớ.
GV: Tính cosA theo a, b, c ?
GV: Xét A = 90
0
, A < 90
0
, A > 90
0
sau đó
so sánh a
2
với b
2
+ c
2
?
HS: .
GV: Tơng tự cho cosB, cosC. So sánh b
2
với a
2
+ c
2
, c
2
với a
2
+ b

2
làm tơng tự
trên.
GV: Từ định lý cosin ta có thể tính đợc một
cạnh của tam giác nếu biết hai cạnh còn lại
và góc giữa chúng. Ngợc lại nếu biết ba
cạnh của tam giác thì có thể tính đợc ba
góc của tam giác đó.
GV: Để tính đợc ADB phải tính đợc cạnh
nào ?
HS: BD
BD
2
= AB
2
+ AD
2
2.AB.AD.cosA
GV: Em hãy giải tiếp bài toán
HS: .
H
2
5
10
12
AD
2
= 36 = AB
2
+ BD

2
= 9 + 27 = 36,
nên ABD vuông tại B.
Bài toán 2: Cho ABC, A = 90
0
. Xác
định bán kính R của đờng tròn ngoại
tiếp ABC và biểu diễn sinA, sinB, sinC
theo R và a, b, c.
Giải:
ABC vuông tại A, nên 2R = a
sinB =
a
b
=
R2
b
sinC =
a
c
=
R2
c
.
2. Định lý sin trong tam giác:
Với mọi ABC, R là bán kính đờng
tròn ngoại tiếp tam giác, ta có:
Asin
a
=

Bsin
b
=
Csin
c
= 2R.
Chứng minh:
Ta chứng minh:
Asin
a
= 2R
Giả sử (O ; R) là đờng tròn ngoại tiếp
ABC.
Kẻ đờng kính CA của (O ; R).
Xét tam giác vuông ABC, ta có:
GV: Trong tam giác bất kỳ, cosin của các
góc và các cạnh đợc liên hệ với nhau bởi
Định lý cosin. Vậy thì sin của các góc
trong tam giác đợc liên hệ với các cạnh nh
thế nào ? Trớc hết ta xét bài toán sau
HS: R =
2
1
BC 2R = BC = a
SinB =
a
b
=
R2
b

2R =
Bsin
b
SinC =
a
c
=
R2
c
2R =
Csin
c
GV: Vậy
Asin
a
có bằng 2R không ?
HS: sinA = 1, nên
Asin
a
= 2R
Vậy ABC vuông, ta có:
Asin
a
=
Bsin
b
=
Csin
c
= 2R.

GV: Công thức này có đúng cho mọi tam
giác hay không ? Câu trả lời nằm trong
định lý sau

GV: Ta sẽ chứng minh:
Asin
a
= 2R

Bsin
b
= 2R;
Csin
c
=
2R.
Nếu ABC vuông thì theo ví dụ trên là
đúng, vậy bây giờ ta xét tam giác không
vuông.
GV: Hớng dẫn chứng minh:
Asin
a
= 2R sinA =
R2
a
.
Tơng tự bài toán 2 ta tạo ra một tam giác
vuông có một cạnh góc vuông là a, cạnh
huyền là 2R xuất phát từ C hoặc B kẻ đ-
ờng kính của (O ; R), giả sử kẻ đờng kính

CA.
GV: Góc A và A có mối liên hệ thế nào ?
HS:



=+
=
0
180'AA
'AA
.
GV: sinA và sinA có mối liên hệ nh thế
H
3
A
C
B
b
c
a
A

A


B


C

A


O
3
3
SinA =
R2
a
Mặt khác A và A là hai góc bằng nhau
hoặc bù nhau, nên
sinA =
R2
a
hay
Asin
a
= 2R.
Các công thức còn lại chứng minh t-
ơng tự:
Bsin
b
= 2R;
Csin
c
= 2R.
Suy ra:
Asin

a
=
Bsin
b
=
Csin
c
=
2R.
Ví dụ: Cho ABC có A = 120
0
,
a = 4
3
cm, b = 4 cm. Tính góc B và
bán kính R.
Giải:
áp dụng định lý sin trong ABC, có:
Asin
a
= 2R 2R =
3
34
.2
R = 4 (cm).
Bsin
b
= 2R sinB =
R2
b

=
4.2
4
=
2
1
B = 30
0
(Vì ABC có A = 120
0
).
nào ?
HS: sinA = sinA.
GV: Trong tam giác vuông ABC, sinA = ?
HS: sinA =
'CA
BC
=
R2
a
.
GV: Từ đó sinA =
R2
a
.
GV: Từ định lý sin trong tam giác ta thấy:
Nếu biết hai cạnh và một trong hai góc
đối thì sẽ tính đợc cạnh còn lại và các góc
còn lại.
Nếu biết hai góc và một trong hai cạnh

đối thì tính đợc các cạnh còn lại và các góc
còn lại.
GV: Nếu biết 2 trong 3 yếu tố: cạnh, góc
đối diện và bán kính đờng tròn ngoại tiếp R
thì có thể tính đợc các yếu tố còn lại.
HS:
Củng cố:
GV: ở bài này các em cần nắm chắc định
lý cosin và định lý sin trong tam giác, biết
đợc cách chứng minh định lý và vận dụng
linh hoạt vào giải các bài toán có liên quan.
BTVN:
Chứng minh các công thức còn lại của
các định lý sin và cosin.
Làm bài tập trong SGK.
Bài tập dự trữ: Cho ABC có b + c = 2a,
chứng minh: 2sinA = sinB + sinC.
H
4