LT DAODONG CO HOC 12 nc _ THAY TRI.doc

CHƯƠNG II
DAO ĐỘNG CƠ HỌC
CHỦ ĐỀ I
ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
1. Phương trình dao động: x = Acos(ωt + ϕ)
2. Vận tốc tức thời: v = x’ = - ωAsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ +
2
π
)

v
r
luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo
chiều âm thì v < 0)
3. Gia tốc tức thời: a = - ω
2
Acos(ωt + ϕ) = ω
2
Acos(ωt + ϕ + π) = - ω
2
x

a
r
luôn hướng về vị trí cân bằng
4. Vật ở VTCB: x = 0; |v|
Max
= ωA; |a|
Min
= 0

Vật ở biên: x = ± A; |v|
Min
= 0; |a|
Max
= ω
2
A
5. Sự đổi chiều và đổi dấu của các đại lượng:
+ a và F đổi chiều khi qua VTCB, v đổi chiều ở biên, x đổi dấu khi qua VTCB.
+ x, a, v, F biến đổi cùng T, f và
.
ω

6. Chu kì, tần số của dao động:
+ Chu kì (s):
2 t
T
N
π
ω
= =
Với N là số dao động toàn phần vật thực hiện được trong thời
gian t.
+ Tần số Hz):
1
2
N
f
T t
ω

π
= = =
7. Hệ thức độc lập:
2
2 2
v
A x
ω
 
= +
 ÷
 

2 2
2
4 2
a v
A
ω ω
= +
a = - ω
2
x
1
A
a
A
v
2
2

2
=






ω
+






ω
Hay
1
v
a
v
v
2
max
2
2
2
max
2

=
ω
+
hay
2 2 2 2
max
a (v v )= ω −
hay
1
a
a
v
v
2
max
2
2
max
2
=+
8. Cơ năng:
2 2 2
đ
1 1
W = W + W
2 2
t
m A kA
ω
= =

Với
2 2 2 2 2
đ
1 1
W sin ( ) Wsin ( )
2 2
mv m A t t
ω ω ϕ ω ϕ
= = + = +

2 2 2 2 2 2
1 1
W ( ) W s ( )
2 2
t
m x m A cos t co t
ω ω ω ϕ ω ϕ
= = + = +
Chú ý: Tìm x hoặc v khi
đ
W = n W
t
ta làm như sau:
+
đ
2 2
2
đ
W = n W
1 1

( 1)
1
2 2
W = W + W
1
2
t
t
A
kA n kx x
kA
n


⇔ = + ⇒ = ±

=
+


+
đ
2 2 2 2
2
2
đ
W = n W
1 1 1
1
1

2 2( 1) 2 2( 1)
W = W + W
2
t
t
k
kA mv kA v v A n
n n
kA
ω
ω


⇔ = ⇔ = ⇒ = ± +

+ +
=


9. Dao động điều hoà có tần số góc là ω, tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và thế năng biến
thiên với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2. Động năng và thế năng biến thiên cùng biên độ,
cùng tần số nhưng ngươc pha nhau.
10. Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( n∈N
*
, T là chu kỳ dao động) là:
2 2
W 1
2 4
m A
ω

=

11. Chiều dài quỹ đạo: 2A
12. Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A
Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại
Thời gian vật đi được những quãng đường đặc biệt:
13. Thời gian, quãng đường, tốc độ trung bình
a. Thời gian: Giải phương trình
cos( )
i i
x A t
ω ϕ
= +
tìm
i
t
Chú ý:
 Gọi O là trung điểm của quỹ đạo CD và M là trung điểm của OD; thời gian đi từ
O đến M là
12
OM
T
t
=
, thời gian đi từ M đến D là
6
MD
T
t
=

.
 Từ vị trí cân bằng
0x
=
ra vị trí
2
2
x A
= ±
mất khoảng thời gian
8
T
t =
.
 Từ vị trí cân bằng
0x
=
ra vị trí
3
2
x A
= ±
mất khoảng thời gian
6
T
t =
.
 Chuyển động từ O đến D là chuyển động chậm dần đều(
0; av a v
< ↑↓

r r
), chuyển
động từ D đến O là chuyển động nhanh dần đều(
0; av a v
> ↑↑
r r
)
 Vận tốc cực đại khi qua vị trí cân bằng (li độ bằng không), bằng không khi ở biên
(li độ cực đại).
A- A O A/2
T/6
T/12
2
3
A
2
2
A
T/8
T/12
T/8
b. Quóng ng:
Neỏu thỡ
4
Neỏu thỡ 2
2
Neỏu thỡ 4
T
t s A
T

t s A
t T s A

= =



= =


= =



suy ra
Neỏu thỡ 4
Neỏu thỡ 4
4
Neỏu thỡ 4 2
2
t nT s n A
T
t nT s n A A
T
t nT s n A A


= =

= + = +



= + = +


Chỳ ý:
2 2
neỏu vaọt ủi tửứ 0
2 2

8
2 2
1 neỏu vaọt ủi tửứ
2 2
3 3
neỏu vaọt ủi tửứ 0
2 2

6
neỏu vaọt ủi tửứ
2 2
M
m
M
s A x x A
T
t
s A x A x A

s A x x A
T
t
A A
s x x A

= = =


=



= = =
ữ
ữ



= = =
=
= = =



neỏu vaọt ủi tửứ 0
2 2

3 3
12

1 neỏu vaọt ủi tửứ
2 2
M
m
A A
s x x
T
t
s A x A x A

= = =




=




= = =
ữ

ữ





c. + Tc trung bỡnh:
tb
s
v
t
=
+ Tc trung bỡnh trong mt chu k dao ng:
=
4A

v
T

14. Tng hp dao dng u hũa
a. lch pha trong hai dao ng cựng tn s x
1
= A
1
cos(t +
1
)
v x
2
= A
2
cos(t +
2
)
- lch pha gia hai dao ng x
1
v x
2
:
1 2

=
+ Nu
1 2
0

> >
thỡ x
1
nhanh pha hn x
2
+ Nu
1 2
0

< <
thỡ x
1
chm pha hn x
2
- Cỏc giỏ tr t bit ca lch pha:
+
2k

=
vi
k Z

: hai dao ng cựng pha
+
(2 1)k

= +
vi
k Z

: hai dao ng ngc pha
+
(2 1)
2
k


= +
vi
k Z
: hai dao ng vuụng pha
b . Tng hp hai dao ng iu ho cựng phng cựng tn s
x
1
= A
1
cos(t +
1
) v x
2
= A
2
cos(t +
2
) c mt dao ng iu ho cựng phng cựng tn
s x = Acos(t + ).
Trong đó:
2 2 2
1 2 1 2 2 1
2 os( )A A A A A c

ϕ ϕ
= + + −

1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
tan
os os
A A
A c A c
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
+
=
+
với ϕ
1
≤ ϕ ≤ ϕ
2
(nếu ϕ
1
≤ ϕ
2
)
* Nếu ∆ϕ = 2kπ (x
1
, x
2
cùng pha) ⇒ A

Max
= A
1
+ A
2
`
* Nếu ∆ϕ = (2k + 1)π (x
1
, x
2
ngược pha) ⇒ A
Min
= |A
1
- A
2
|
⇒ |A
1
- A
2
| ≤ A ≤ A
1
+ A
2
* Nếu A
1
= A
2
Thì

1
1 2
A 2A cos
2
2
∆ϕ

=



ϕ + ϕ

ϕ =


Chú ý : khi viết được phương trính x = Acos(ωt + ϕ) thì việc xác định vận tốc, gia tốc của vật
như với một vật dao động điều hòa bình thường.
c. Khi biết một dao động thành phần x
1
= A
1
cos(
ω
t +
ϕ
1
) và dao động tổng hợp x = Acos(
ω
t

+
ϕ
) thì dao động thành phần còn lại là x
2
= A
2
cos(
ω
t +
ϕ
2
).
Trong đó:
2 2 2
2 1 1 1
2 os( )A A A AA c
ϕ ϕ
= + − −

1 1
2
1 1
sin sin
tan
os os
A A
Ac A c
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ

−
=
−
với ϕ
1
≤ ϕ ≤ ϕ
2
( nếu ϕ
1
≤ ϕ
2
)
d. Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số có phương trình x
1
= A
1
cos(ωt + ϕ
1
); x
2
= A
2
cos(ωt + ϕ
2
); … thì dao
động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x = Acos(ωt
+ ϕ).
Chiếu lên trục Ox và trục Oy ⊥ Ox .
Ta được:

1 1 2 2
os os os ...
x
A Ac Ac A c
ϕ ϕ ϕ
= = + +

1 1 2 2
sin sin sin ...
y
A A A A
ϕ ϕ ϕ
= = + +
2 2
x y
A A A
⇒ = +
và
tan
y
x
A
A
ϕ
=
với ϕ ∈ [ϕ
Min
; ϕ
Max
]

e. Trường hợp tổng hợp nhiều dao động điều cùng phương, cùng tần số: x
1
; x
2
; …; x
n
thì
x = x
1
+ x
2
+ … + x
n
= Acos(ωt + ϕ)
- Tìm biên độ A : Chiếu xuống trục Ox :
1 1 2 2
cos cos ... cos
x n n
A A A A
ϕ ϕ ϕ
= + + +
Chiếu xuống trục Oy :
1 1 2 2
sin sin ... sin
y n n
A A A A
ϕ ϕ ϕ
= + + +
 Biên độ tổng hợp :
2 2

x y
A A A= +
- Pha ban đầu của dao động :
tan
x
y
A
A
ϕ ϕ
= ⇒
Chú ý : + Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có thể áp dụng
trường hợp tổng quát
nói trên.
+ Ngoài phương pháp nói trên, nếu A
1
= A
2
= A, thí ta có thể cộng lượng giác và
tìm được phương trình dao động tổng hợp:
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
cos( ) cos( ) 2 cos cos( )
2 2
x x x A t A t A t
ϕ ϕ ϕ ϕ
ω ϕ ω ϕ ω
− +
= + = + + + = +
II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Bài toán lập phương trình dao động dao động điều hoà:

* Viết phương trình dao động tổng quát : x = Acos(ωt + ϕ)
* Xác định A, ω, ϕ
+ Tính ω :
max max
max
2
2
π
ω π
= = = =
v a
f
T A v
+ Tính A :
2 2
max max max min
2
2 1 2 chieu dai quy dao
( )
2 2
v a l l
v W W
A x
k m
ω ω ω ω
−
= + = = = = = =

+ Tính ϕ dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t
0

(thường t
0
= 0)
0
0
Acos( )
sin( )
x t
v A t
ω ϕ
ϕ
ω ω ϕ
= +

⇒

= − +

Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0
+ Trước khi tính ϕ cần xác định rõ ϕ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn
lượng giác
(thường lấy - π < ϕ ≤ π)
+ Khi 1 đại lượng biến thiên theo thời gian ở thời điểm t
0
tăng thì đạo hàm bậc
nhất của nó theo t
sẽ dương và ngược lại
Dạng 2: Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
đến x

2
2 1
t
ϕ ϕ
ϕ
ω ω
−
∆
∆ = =
với
1
1
2
2
s
s
x
co
A
x
co
A
ϕ
ϕ

=





=


và (
1 2
0 ,
ϕ ϕ π
≤ ≤
)
Dạng 3: Quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến t
2
.
Phân tích: t
2
– t
1
= nT + ∆t (n ∈N; 0 ≤ ∆t < T)
Quãng đường đi được trong thời gian nT là S
1
= 4nA, trong thời gian
∆t là S
2
.
Quãng đường tổng cộng là S = S
1
+ S
2
Xác định:

1 1 2 2
1 1 2 2
Acos( ) Acos( )
à
sin( ) sin( )
x t x t
v
v A t v A t
ω ϕ ω ϕ
ω ω ϕ ω ω ϕ
= + = +
 
 
= − + = − +
 
(v
1
và v
2
chỉ cần
xác định dấu)
Lưu ý: + Nếu ∆t = T/2 thì S
2
= 2A
+ Tính S
2
bằng cách định vị trí x
1
, x
2

và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
2 2 1
S x x
⇒ = −
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao
động điều hoà và
chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn.
+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t
1
đến t
2
:
2 1
tb
S
v
t t
=
−
với S là quãng đường
tính như trên.
Dạng 4: Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0
<
∆
t < T/2.
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB,
nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong
cùng một khoảng thời gian quãng đường
đi được càng lớn khi vật ở càng gần
A

-A
x1x2
M2
M1
M'1
M'2
O
∆ϕ
∆ϕ
A
-A
M
M
1
2
O
P
x x
O
2
1
M
M
-A
A
P
2
1
P
P

2
ϕ
∆
2
ϕ
∆
VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị
trí biên.
Sử dụng mối liên hệ giữa dao động
điều hoà và chuyển đường tròn đều.
Góc quét ∆ϕ = ω∆t.
Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ
M
1
đến M
2
đối xứng qua trục sin (hình 1)
ax
2A sin
2
M
S
ϕ
∆
=
Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M
1
đến M
2
đối xứng qua trục cos (hình 2)

2 (1 os )
2
Min
S A c
ϕ
∆
= −
Lưu ý: + Trong trường hợp ∆t > T/2
Tách
'
2
T
t n t∆ = + ∆
trong đó
*
;0 '
2
T
n N t∈ < ∆ <
Trong thời gian
2
T
n
quãng đường
luôn là 2nA
Trong thời gian ∆t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian ∆t:
ax
ax
M

tbM
S
v
t
=
∆
và
Min
tbMin
S
v
t
=
∆
với S
Max
; S
Min
tính như trên.
Dạng 5: Bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W
t
, W
đ
, F) lần thứ n
* Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0 ⇒ phạm vi giá trị của k )
* Liệt kê n nghiệm đầu tiên ( n thường laynhỏ)
* Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n
Lưu ý: + Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n
+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển
động tròn đều

Dạng 6: Bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W
t
, W
đ
, F) từ thời điểm t
1
đến
t
2
.
* Giải phương trình lượng giác được các nghiệm
* Từ t
1
< t ≤ t
2
⇒ Phạm vi giá trị của (Với k ∈ Z)
* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.
Lưu ý: + Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển
động tròn đều.
+ Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần.
Dạng 7: Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian
∆
t.
Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x
0
.
* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + ϕ) cho x = x
0
Lấy nghiệm ωt + ϕ = α với
0

α π
≤ ≤
ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo
chiều âm vì v < 0)
hoặc ωt + ϕ = - α ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)
* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó ∆t giây là
x Acos( )
Asin( )
t
v t
ω α
ω ω α
= ± ∆ +


= − ± ∆ +

hoặc
x Acos( )
Asin( )
t
v t
ω α
ω ω α
= ± ∆ −


= − ± ∆ −

Dạng 8: Dao động có phương trình đặc biệt:

* x = a ± Acos(ωt + ϕ) với a = const
Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu ϕ, x là toạ độ, x
0
= Acos(ωt + ϕ) là li độ.
Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a ± A
Vận tốc v = x’ = x
0
’, gia tốc a = v’ = x” = x
0
”
Hệ thức độc lập: a = -ω
2
x
0


2 2 2
0
( )
v
A x
ω
= +

2 2
2
4 2
a v
A
ω ω

= +
* x = a ± Acos
2
(ωt + ϕ) (ta hạ bậc)
Biên độ A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2ϕ.
CHỦ ĐỀ II
CON LẮC LÒ XO
1. Cấu tạo con lắc lò xo
a. Nằm ngang :
b. Thẳng đứng : c. Trên mặt phẳng nghiêng :
* Điều kiện dao động điều hoà : Bỏ qua ma sát, lực cản, bỏ qua khối lượng của lò xo (coi lò
xo rất nhẹ), xét trong giới hạn đàn hồi của lò xo. Thường thì vật nặng được coi là chất điểm.
2. Tính toán liên quan đến vị trí cân bằng của con lắc lò xo:
Gọi : ∆l là độ biến dạng của lò xo khi treo vật ở vị trí cân bằng.
l
0
là chiều dài tự nhiên của lò xo.
l
CB
là chiều dài của lò xo khi treo vật ở vị trí cân bằng.
Ở vị trí cân bằng :
+ Con lắc lò xo nằm ngang : ∆l = 0, l
CB
= l
0
+ Con lắc lò xo thẳng đứng : Ở VTCB lò xo biến dạng một đoạn ∆l.
P = F
đh
=> mg = k.∆l
l

CB
= l
0
+ ∆l
+ Con lắc lò xo treo vào mặt phẳng nghiêng một góc α . Ở VTCB lò xo biến dạng một
đoạn ∆l.
Psinα = F
đh
=> mg sinα = k.∆l
l
CB
= l
0
+ ∆l
3. Chu kì, tần số của con lắc dao động đều hòa.
- Tần số góc:
k
m
ω
=
;
- Chu kỳ:
2
2
m
T
k
π
π
ω

= =
; Con lắc lò xo thẳng đứng :
2
l
T
g
π
∆
=
;
- Con lắc lò xo treo ở mặt phẳng nghiêng:
2
sin
l
T
g
π
α
∆
=
k mk m
m
k
m
k
k
m
α
k
m

α