LT DONG LUC HOC VAT RAN VL 12 NC _ THAY TRI.doc

Chương I
ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
CHỦ ĐỀ I
CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
1. Toạ độ góc
Khi vật rắn quay quanh một trục cố định (hình 1) thì :
- Mỗi điểm trên vật vạch một đường tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc
với trục quay, có bán kính r bằng khoảng cách từ điểm đó đến trục quay, có
tâm O ở trên trục quay.
- Mọi điểm của vật đều quay được cùng một góc trong cùng một khoảng
thời gian.
Trên hình 1, vị trí của vật tại mỗi thời điểm được xác định bằng góc φ giữa
một mặt phẳng động P gắn với vật và một mặt phẳng cố định P
0
(hai mặt phẳng
này đều chứa trục quay Az). Góc φ được gọi là toạ độ góc của vật. Góc φ được
đo bằng rađian, kí hiệu là rad.
Khi vật rắn quay, sự biến thiên của φ theo thời gian t thể hiện quy luật
chuyển động quay của vật.
2. Tốc độ góc
Tốc độ góc là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển
động quay của vật rắn.
Ở thời điểm t, toạ độ góc của vật là φ. Ở thời điểm t + Δt, toạ độ góc của
vật là φ + Δφ. Như vậy, trong khoảng thời gian Δt, góc quay của vật là Δφ.
Tốc độ góc trung bình ω
tb
của vật rắn trong khoảng thời gian Δt là :
t
tb
∆
∆

=
ϕ
ω
(1.1)
Tốc độ góc tức thời ω ở thời điểm t (gọi tắt là tốc độ góc) được xác định bằng giới hạn của tỉ
số
t
∆
∆
ϕ
khi cho Δt dần tới 0.
Như vậy :
t
t
∆
∆
=
→∆
ϕ
ω
0
lim
hay
)(
'
t
ϕω
=
(1.2)
- Nếu

const
=
ω
thì vật rắn quay đều
- Nếu
const
≠
ω
thì vật rắn quay không đều
Đơn vị của tốc độ góc là rad/s.
3. Gia tốc góc
Tại thời điểm t, vật có tốc độ góc là ω. Tại thời điểm t + Δt, vật có tốc độ góc là ω + Δω. Như
vậy, trong khoảng thời gian Δt, tốc độ góc của vật biến thiên một lượng là Δω.
Gia tốc góc trung bình γ
tb
của vật rắn trong khoảng thời gian Δt là :
t
tb
∆
∆
=
ω
γ
(1.3)
Gia tốc góc tức thời γ ở thời điểm t (gọi tắt là gia tốc góc) được xác định bằng giới hạn của tỉ
số
t
∆
∆
ω

khi cho Δt dần tới 0. Như vậy :
t
t
∆
∆
=
→∆
ω
γ
0
lim
hay
)()(
'''
tt
ϕωγ
==
(1.4)
Đặc trưng của chuyển động này là gia tốc góc. Nếu lấy chiều quay của vật làm chiều dương
(chiều quay
ω
) thì:
- Nếu
0,0
>>
ωγ
(tăng): vật quay nhanh dần
- Nếu
0,0
<>

ωγ
(giảm): vật quay chậm dần
- Nếu
const
==
ωγ
,0
: vật rắn quay đều
P
0
P
A
z
Hình 1
φ
r
O
Chú ý: Khi gia tốc góc
γ
và vận tốc góc
ω
cùng dấu thì chuyển động nhanh dần, còn
ngược lại là chậm dần.
Đơn vị của gia tốc góc là rad/s
2
.
4. Các phương trình động học của chuyển động quay
a. Trường hợp tốc độ góc của vật rắn không đổi theo thời gian (ω = const, γ = 0) thì chuyển
động quay của vật rắn là chuyển động quay đều.
Chọn gốc thời gian t = 0 lúc mặt phẳng P lệch với mặt phẳng P

0
một góc φ
0
, từ (1) ta có :
φ = φ
0
+ ωt (1.5)
b. Trường hợp gia tốc góc của vật rắn không đổi theo thời gian (γ = hằng số) thì chuyển
động quay của vật rắn là chuyển động quay biến đổi đều.
Các phương trình của chuyển động quay biến đổi đều của vật rắn quanh một trục cố định :

t
γωω
+=
0
(1.6)

2
00
2
1
tt
γωϕϕ
++=
(1.7)

)(2
0
2
0

2
ϕϕγωω
−=−
(1.8)
trong đó φ
0
là toạ độ góc tại thời điểm ban đầu t = 0.
ω
0
là tốc độ góc tại thời điểm ban đầu t = 0.
φ là toạ độ góc tại thời điểm t.
ω là tốc độ góc tại thời điểm t.
γ là gia tốc góc (γ = hằng số).
Nếu vật rắn chỉ quay theo một chiều nhất định và tốc độ góc tăng dần theo thời gian thì
chuyển động quay là nhanh dần.
Nếu vật rắn chỉ quay theo một chiều nhất định và tốc độ góc giảm dần theo thời gian thì
chuyển động quay là chậm dần.
5. Vận tốc và gia tốc của các điểm trên vật quay
Tốc độ dài v của một điểm trên vật rắn liên hệ với tốc độ góc ω của vật rắn và bán
kính quỹ đạo r của điểm đó theo công thức :
rv
ω
=
(1.9)
Nếu vật rắn quay đều thì mỗi điểm của vật chuyển động tròn đều. Khi đó vectơ vận
tốc
v

của mỗi điểm chỉ thay đổi về hướng mà không thay đổi về độ lớn, do đó mỗi
điểm của vật có gia tốc hướng tâm

n
a

với độ lớn xác định bởi công thức :
r
r
v
a
n
2
2
ω
==
(1.10)
Nếu vật rắn quay không đều thì mỗi điểm của vật chuyển động tròn không đều. Khi đó vectơ
vận tốc
v

của mỗi điểm thay đổi cả về hướng và độ lớn, do đó mỗi điểm của vật có gia tốc
a

(hình 2) gồm hai thành phần :
+ Thành phần
n
a

vuông góc với
v

, đặc trưng cho sự thay đổi về hướng của

v

, thành phần
này chính là gia tốc hướng tâm, có độ lớn xác định bởi công thức :
r
r
v
a
n
2
2
ω
==
(1.11)
+ Thành phần
t
a

có phương của
v

, đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của
v

, thành phần này được gọi là gia tốc tiếp tuyến, có độ lớn xác định bởi công thức
:
γ
r
t
v

a
t
=
∆
∆
=
(1.12)
Vectơ gia tốc
a

của điểm chuyển động tròn không đều trên vật là :
tn
aaa

+=
(1.13)
v

t
a

n
a

a

r
O
M
α

Hình 2
Về độ lớn :
22
tn
aaa
+=
(1.14)
Vectơ gia tốc
a

của một điểm trên vật rắn hợp với bán kính OM của
nó một góc α, với :
2
tan
ω
γ
α
==
n
t
a
a
(1.15)
6. Các công thức của chuyển động quay cần nhớ
Công thức góc Công thức dài
t.
0
γωω
+=
;

R
v
=
ω
tavv .
0
+=
;
Rv .
ω
=
2
00
.
2
1
. tt
γωϕϕ
++=
;
R
s
=
ϕ
2
00
.
2
1
. tatvss

++=
).(.2
0
2
0
2
ϕϕγωω
−=−
).(.2
0
2
0
2
ssavv
−=−
Ra
n
.
2
ω
=
R
v
a
n
2
=
R
a
t

=
γ
γ
.Ra
t
=
Gia tốc toàn phần:



+=
+=
222
tn
tn
aaa
aaa

7. Các chú ý:
+ Trong chuyển động quay của vật rắn mọi điểm trên vật rắn đều có cùng vận tốc góc và gia
tốc góc.
+ Trong chuyển động quay của vật rắn các điểm có khoảng cách đến trục quay càng lớn sẽ có
vận tốc dài và gia tốc tiếp tuyến càng lớn.
+
0
>
t
a
hay
0

>
γ
chuyển động quay nhanh dần,
0
<
t
a
hay
0
<
γ
chuyển động quay chậm
dần.
8. So sánh các đại lượng đặc trưng của chuyển động quay và chuyển động thẳng
CHUYỂN ĐỘNG QUAY CHUYỂN ĐỘNG THẲNG
Tọa độ góc ban đầu (lúc t=0) là
0
ϕ
Tọa độ ban đầu là
0
x
Tọa độ góc lúc t là
ϕ
Tọa độ lúc t là
x
Vận tốc góc
dt
d
ϕ
ω

=
Vận tốc
dt
dx
v
=
Gia tốc góc
dt
d
ω
γ
=
Gia tốc
dt
dv
a
=
Phương trình chuyển động quay đều:
Vận tốc góc
const
=
ω
Pt tọa độ góc
t
ωϕϕ
+=
0
Phương trình chuyển động thẳng đều:
Vận tốc
constv

=
Pt tọa độ:
vtxx
+=
0
Phương trình chuyển động quay biến đổi Phương trình chuyển động quay biến đổi
đều:
Pt vận tốc góc
t
γωω
+=
0
Pt tọa độ góc
2
00
2
1
tt
γωϕϕ
++=
đều:
Pt vận tốc
atvv
+=
0
Pt tọa độ
2
00
2
1

attvxx
++=
CHỦ ĐỀ II
PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA VẬT RẮN
QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
1. Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
a. Momen lực đối với một trục quay cố định
Là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực và được đo bằng tích của lực và cánh
tay đòn
Momen M của lực
F

đối với trục quay Δ có độ lớn bằng :
ϕ
sinrFFdM
==
(2.1)
trong đó: + d là tay đòn của lực
F

(khoảng cách từ trục quay Δ đến giá của lực
F

)
+
ϕ
là góc hợp bởi
r

và

F

Chọn chiều quay của vật làm chiều dương, ta có quy ước :
M > 0 khi
F

có tác dụng làm vật quay theo chiều dương
M < 0 khi
F

có tác dụng làm vật quay theo chiều ngược chiều dương.
b. Quy tắc momen lực
+ Nếu ta quy ước momen lực của F
1
làm vật quay theo chiều kim đồng hồ là chiều dương
thì M
1
= F
1
.d
1
> 0. Khi đó momen lực F
2
làm vật quay theo chiều ngược kim đồng hồ sẽ có giá trị
âm M
2
= - F
2
.d
2

< 0
+ Momen tổng hợp khi đó là : M = M
1
+ M
2
= F
1.
d
1
– F
2
.d
2
(2.2)
- Nếu M > 0 vật quay theo chiều kim đồng hồ
- Nếu M < 0 vật quay ngược chiều kim đồng hồ
- Nếu M = 0 vật không quay hoặc quay với vận tốc góc không đổi
c. Cân bằng của vật rắn có trục quay cố định
Muốn cho vật rắn có trục quay cố định ở trạng thái cân bằng thì tổng các giá trị đại số của các
momen lực phải bằng 0:
∑
=
0M
(2.3)
d. Chú ý:
+ Đối với vật rắn có trục quay cố định, lực chỉ có tác dụng làm quay khi giá của lực không
đi qua trục quay.
+ Đối với vật rắn có trục quay cố định, thì chỉ có thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo mới
làm cho vật quay.
e. Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực

- Trường hợp vật rắn là một quả cầu nhỏ có khối lượng m gắn
vào một đầu thanh rất nhẹ và dài r. Vật quay trên mặt phẳng
nhẵn nằm ngang xung quanh một trục Δ thẳng đứng đi qua một
đầu của thanh dưới tác dụng của lực
F

(hình 1).
Phương trình động lực học của vật rắn này là :
γ
)(
2
mrM
=
(2.4)
trong đó M là momen của lực
F

đối với trục quay Δ, γ là gia tốc góc của vật rắn m.
- Trường hợp vật rắn gồm nhiều chất điểm khối lượng m
i
, m
j
, … ở cách trục quay Δ
những khoảng r
i
, r
j
, … khác nhau.
Phương trình động lực học của vật rắn này là :
γ







=
∑
i
ii
rmM
2
(2.5)
2. Chuyển động khối tâm của vật rắn.
Hình 1
O
r
F

Δ
a Trọng tâm và khối tâm
Vật rắn tuyệt đối là vật có hình dáng và kích thước tuyệt đối không đổi.
- Trọng tâm là điểm đặt của trọng lực. Gọi G là trọng tâm của vật rắn thì tọa độ của G được
xác định như sau: Xét hai chất điểm A, B có khối lượng m
1
và m
2
, trọng lực tương ứng là
gmP
11

=
và
gmP
22
=
. Trọng tâm của chúng là điểm đặt G của hợp lực P của P
1
và P
2
.
1
2
1
2
m
m
P
P
BG
AG
==
Ta tìm tọa độ trọng tâm G(x,y,z)
2
1 1
1
2 2
1 1 2
1 1
( ) ( )
m

x OG x AG x BG
m
m m
x OB OG x x x
m m
= = + = +
= + − = + −
21
2211
mm
xmxm
x
+
+
=⇒
Chú ý: G chỉ phụ thuộc vào khối lượng và tọa độ chứ không phụ thuộc vào gia tốc trọng
trường g
Tương tự ta có tọa độ
21
2211
mm
ymym
y
+
+
=
;
21
2211
mm

zmzm
z
+
+
=
Trường hợp có nhiều chất điểm thì
Với những vật đồng chất và có dạng hình học đối xứng thì trọng tâm của vật nằm trên trục đối
xứng của vật. Với những vật rắn có dạng hình học đặc biệt thì trọng tâm của vật có thể nằm ngoài
vật.
- Khối tâm: là một điểm tồn tại ở trên vật mà nếu lực tác dụng lên vật có giá đi qua điểm đó
thì chỉ làm vật chuyển động tịnh tiến mà không quay. Khối tâm là một điểm có khối lượng của
vật (hay vị trí tập trung khối lượng của vật). Khi không có lực tác dụng thì khối tâm chuyển động
thẳng đều như chuyển động thẳng đều của chất điểm chuyển động tự do
Công thức xác định vị trí (tọa độ) khối tâm của một hệ N chất điểm
x
c
=
.
i i
i
m x
m
∑
∑
; y
c
=
.
i i
i

m y
m
∑
∑
; z
c
=
.
i i
i
m z
m
∑
∑
(2.7)
- Chú ý: Khi vật ở trạng thái không trọng lượng thì vật không có trọng tâm nhưng luôn có
khối tâm. Ở một miền không gian gần mặt đất, trọng tâm của vật thực tế gần với khối tâm của
vật.
b Chuyển động của khối tâm
Phân thành hai chuyển động:
- Chuyển động của khối tâm G (thể hiện chuyển động toàn phần của vật)
- Chuyển động quay của vật quanh G (thể hiện chuyển động của phần này đối với phần
khác)












=
+++
+++
=
=
+++
+++
=
=
+++
+++
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
i
ii
G
i
ii
G
i
ii

G
m
zm
mmm
zmzmzm
z
m
ym
mmm
ymymym
y
m
xm
mmm
xmxmxm
x
...
...
...
...
...
...
321
332211
321
332211
321
332211
(2.6)
O A G B