bai 6 . Phương trình mũ và lôgarít

TRƯỜNG THPT KONTUM
BÀI GIẢNG
GiẢI TÍCH 12
GiẢI TÍCH 12
Nâng cao
GIÁO VIÊN: NGUYỄN HỮU ĐÔN

● Tính các giá trị cho trong bảng sau:
x -2 0 1 2
2
x

x 1 2 4
log
2
x
1
2
2
1
4
2
1
2
4
1
2
2
-1
0

1
● Với mỗi giá trị thực của x, ta luôn xác định được một giá trị (duy nhất)
x
a
● Với mỗi giá trị thực dương của x, ta luôn xác định được một giá trị
(duy nhất).
log
a
x
1
2

I. Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit:
2. Chú ý:
y = logx (hoÆc lgx) : hµm sè l«garit c¬ sè 10
y = lnx : hµm sè l«garit c¬ sè e
y = e
x
: cßn kÝ hiÖu lµ y = exp(x)
3. Ví dụ:
Tìm tập xác định của hàm số:
7
log (1 )y x
= −
Giải:
Hàm số xác định
7
log (1 )y x
= −
1 0

1
x
x
⇔ − >
⇔ <
Vậy: TXĐ D =
( ;1)
−∞
1. Định nghĩa: Giả sử a là một số dương và khác 1
Hàm số dạng được gọi là hàm số mũ cơ số a.
Hàm số dạng được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

x
y a
=
log
a
y x
=

3
) 5
x
a y
=
) 4
x
b y
−
=

)
x
c y
π
=
( )
3
)d y x
=
3
) logf y x
=
1
4
) logg y x
=
) log 5
x
h y
=
) log (2 1)
x
j y x
= +
Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số mũ,
hàm số lôgarit. Khi đó cho biết cơ số :
e) y = x
x
.
i) y = lnx

Hàm số mũ cơ số a =
3
5
Hàm số mũ cơ số a = 1/4
Hàm số mũ cơ số a = π
Không phải hàm số mũ
Không phải hàm số mũ
Hàm số lôgarit cơ số a = 3
Hàm số lôgarit cơ số a = 1/4
Không phải hàm số lôgarit
Hàm số lôgarit cơ số a = e
Không phải h số lôgarit

II. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit:
0
0
0
0
*
0 0
, lim ,
, lim log log
x
x
x x
a a
x x
x a a
x x x
→

+
→
∀ ∈ =
∀ ∈ =
¡
¡
● Ví dụ: Tìm các giới hạn:
1
2
8 0
sin
lim , limlog , limlog
x
x x x
x
e x
x
→+∞ → →

Giải:
1
0
lim 1
x
x
e e
→+∞
= =
2 2
8

limlog log 8 3
x
x
→
= =
0 0
sin sin
lim 1 ên limlog log1 0
x x
x x
Do n
x x
→ →
= = =

► Định lí 1:
0
0
ln(1 )
lim 1
1
lim 1
x
x
x
x
x
e
x
→

→
+
=
−
=
● Ví dụ: Tìm các giới hạn:
3 2 2
0 0
ln(1 3 )
) lim ; ) lim
x
x x
e e x
a b
x x
+
→ →
− +
Giải:
3 2 2 3 2 2 2 3
0 0
0
3
2 2
0
. ( 1)
) lim lim lim
( 1)
3 lim 3
3

x x x
x x
x
x
x
e e e e e e e
a
x x x
e
e e
x
+
→ →
→
→
− − −
= =
−
= =
0 0
ln(1 3 ) ln(1 3 )
) lim 3lim 3
3
x x
x x
b
x x
→ →
+ +
= =

Vậy : (e
x
)’ = e
x
.
0 0 0
( 1) ( 1)
lim lim lim
x x x
x x
x x x
y e e e
e e
x x x
∆ ∆
∆ → ∆ → ∆ →
∆ − −
= = =
∆ ∆ ∆
( ) ( ) ( ) ( 1)
x x x x x
y f x x f x e e e e
+∆ ∆
∆ = +∆ − = − = −
Cho x số gia ∆x
ln ln
( )' ( )' ( .ln )' .ln
x x a x a x
a e e x a a a

= = =
Biến đổi số a dương khác 1 thành lũy thừa theo cơ số e, ta được:
a= e
lna
a
x
= e
(lna)x
= e
x.lna
.
Do đó theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta có:
⇒
Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của hàm số
( )
x
y f x e
= =

III. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit:
1. Đạo hàm của hàm số mũ:
► Định lí 2:
a) Hàm số y = a
x
có đạo hàm tại
mọi điểm x ∈ R và
(a
x
)’ = a
x

.lna
Đặc biệt :
(e
x
)’ = e
x

b) Nếu hàm số y = u(x) có đạo hàm
trên tập J thì hàm số
y = a
u(x)
có đạo hàm trên J và
(a
u(x)
)’ = u’(x).a
u(x)
.lna
Đặc biệt :
(e
u(x)
)’ = u’(x).e
u(x)
● Ví dụ: Tìm đạo hàm các hàm
số sau:
2
3
) ( 2 )
) sin
) 2 ( 2)
x

x
x
a y x x e
b y e x
c y x
= +
=
= +

y’= (2x + 2)e
x
+ (x
2
+ 2x).e
x
y’ = (x
2
+ 4x + 2).e
x
( )
' '. .sin . s
1
' sin cos
2
= +
 
= +
 ÷
 
x x

x
y x e x e co x
y e x x
x
3 2
3 2
' 2 ln 2.( 2) 2 .3
' 2 [ln 2.( 2) 3 ]
= + +
= + +
x x
x
y x x
y x x
GIẢI :
) sin
x
b y e x
=
2
) ( 2 )
x
a y x x e= +
3
) 2 ( 2)
x
c y x= +