SKKN một số kinh nghiệm rèn kĩ năng giải toán hình học lớp 7

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc.

TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP :

MỘT SỐ KINH NGHIỆM
RÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 7

Họ và tên : Dương Văn Dũng
Chức vụ : Giáo viên.
Đơn vị

: THCS Thái Thủy - Lệ Thủy - Quảng Bình

Quảng Bình, tháng 05 năm 2015.


1- PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài:
Hình học đối với học sinh lớp 7 là một môn học khó. Khó bởi tính trừu
tượng của hình học , mặc dù các em đã được tiếp cận với môn Hình học từ cấp
tiểu học, song đến năm học lớp 6 vẫn mới chỉ là những kiến thức rất cơ bản và
chủ yếu học bằng phương pháp đo đạc và công nhận .
Đối với học sinh lớp 7, phân môn hình học bước đầu yêu cầu học sinh
phải biết vẽ hình một cách chính xác. Với một bài toán ít giả thiết thì việc vẽ
hình không khó khăn lắm, nhưng với một bài toán có nhiều giả thiết thì việc vẽ
hình đúng và dễ nhìn là một vấn đề khó đối với các em học sinh .
Bên cạnh đó,phương pháp chứng minh hình học dựa vào suy diễn bước
đầu được đưa vào với học sinh. Nội dung này khó với học sinh bởi tính trừu
tượng và tư duy logic toán học được thể hiện ở nội dung này.
Nâng cao hơn nữa các bài toán tổng quát hoá, đặc biệt hoá … đối với học

sinh khá giỏi lại là một vấn đề đáng được quan tâm , vì thông qua những bài toán
này giúp học sinh nhìn nhận toán học một cách tổng quát hơn và cụ thể hơn .
Do vậy, việc dạy học môn hình học cho học sinh lớp 7 có tầm quan trọng
đặc biệt. Làm thế nào để học sinh yên tâm hơn , tự tin với môn học này. Sau
nhiều năm trăn trở , trực tiếp giảng dạy và trao đổi với đồng nghiệp , tôi mạnh
dạn chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng giải toán hình học
cho học sinh lớp 7” để trình bày một vài kinh nghiệm nhỏ trong môn học này .
Xin được nêu để đồng nghiệp tham khảo và chia sẻ.
* Điểm mới của đề tài:
Đề tài này chắc hẳn cũng đã có một số tác giả nghiên cứu. Tuy nhiên,
trong phạm vi nghiên cứu của mình, tôi đề cập đến các giải pháp cụ thể hơn, chi
tiết hơn, có hình vẽ minh họa rõ ràng; các bài toán được khai thác trong sách
giáo khoa và đặc biệt là chuyên đề BDHSG do hội đồng bộ môn Toán của phòng
GD – ĐT huyện nhà biên soạn. Vì thế, đề tài này đã và sẽ được áp dụng vào việc


dạy hình học 7 đại trà BDHSG Toán 7 có hiệu quả trong phạm vi các trường
THCS trên địa bàn huyện.
1.2. Phạm vi áp dụng:
Đề tài áp dụng cho GV trong việc dạy môn hình học cho lớp 7. Các ví dụ
của đề của đề tài được lấy trong SGK toán 7; chuyên đề BDHSG Toán 7 của Hội
đồng bộ môn Toán huyện nhà; Tài liệu nâng cao và phát triển Toán 7 của Vũ
Hữu Bình, Bùi Văn Tuyền và một số tài liệu khác.
Đối tượng áp dụng: áp dụng cho GV giảng dạy hình lớp 7 đại trà và bồi
dưỡng học sinh giỏi toán 7.
2- PHẦN NỘI DUNG
2.1. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
Trong quá trình dạy học bộ môn hình học cho học sinh lớp 7 tại đơn vị, tôi
nhận thấy: Kĩ năng giải bài tập hình học của học sinh còn yếu. Đa số các em có
tâm lý e ngại hoặc không thích bộ môn hình học. Hơn nữa, trong khi giải bài tập

hình các em thường có nhiều hạn chế như: Vẽ hình không chính xác, vẽ hình đặc
biệt dẫn đến ngộ nhận, lập luận thiếu chặt chẽ, thiếu lôgic.....
Kết quả kiểm tra 45 phút hình học ( chương 3), trước khi áp dụng đề tài
đối với một lớp 7 ( năm học 2012 – 2013) tại đơn vị như sau:
Tổng số học sinh : 32 em
Trong đó : Giỏi : 01 - 3,1%
Khá : 04 - 12,5%
TB: 11 - 34,4%
Yếu : 14 – 43,8%
Kém: 02 – 6,3%
+ Học sinh không vẽ được hình: 02 em – chiếm 6,3%
+ Học sinh vẽ hình đặc biệt dẫn đến ngộ nhận trong chứng minh: 05 em –
chiểm 15,6%.
+ Học sinh vẽ hình sai, thiếu chính xác: 12 em – chiếm 37,5%


+ Học sinh vẽ hình đúng, chính xác (nhưng chưa đầy đủ các trường hợp):
11 em – 34,4 %
+ Học sinh vẽ hình đúng, đầy đủ các trường hợp: 05 em – chiếm 15,6%
+ Học sinh không chứng minh được: 14 em – chiếm 43,8%
+ Học sinh chứng minh được dạng đơn giản: 15 em – chiếm 46,9%
+ Học chứng minh được dạng nâng cao: 01 em – chiếm 3,1%
Có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên. Nhưng theo tôi một trong
những nguyên nhân quan trọng đó là học sinh không được trang bị, rèn luyện
một cách tốt nhất các kĩ năng, như: Kĩ năng vẽ hình, kĩ năng suy luận và chứng
minh, kĩ năng tính toán...
Bằng những kinh nghiệm của bản thân và học hỏi đồng nghiệp, tôi đã đúc
rút được những giải pháp và xin mạnh dạn nêu ra dưới đây.
2.2. Các giải pháp
Trong quá trình giảng dạy phần hình học ta cần lưu ý rèn luyện một số kỹ năng

khi giải toán:
-

Kỹ năng vẽ hình

-

Kỹ năng suy luận và chứng minh

-

Kỹ năng tính toán.

2.2.1.Rèn luyện kỹ năng vẽ hình :
Hình vẽ đóng một vai trò quan trọng trong quá trình giải toán. Hình vẽ
chính xác, rõ ràng sẽ giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hướng giải của bài toán.
Một số học sinh vẽ hình không chính xác thường gặp rất nhiều khó khăn trong
khi tìm lời giải cho bài toán, bởi vậy, khi dạy tôi thường chú ý giúp học sinh rèn
luyện kỹ năng vẽ hình : hướng dẫn học sinh tỉ mỉ để học sinh yếu có thể vẽ chính
xác các loại đường chủ yếu.
Một số học sinh khi làm bài tập thường vẽ hình vào trường hợp đặc biệt,
hình vẽ không chính xác hoặc vẽ không hết các trường hợp. Vì vậy, trong quá
trình giảng dạy, giáo viên cần nhắc học sinh tránh những sai lầm trên cũng như
phân tích cho học sinh thấy những trường hợp có thể xảy ra trong mỗi bài toán


để học sinh hình thành thói quen, hình thành kĩ năng phân tích các tình huống
khi giải quyết mỗi bài toán. Sau đây, tôi xin nêu một số ví dục trong chương
trình hình học lớp 7:
Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC cân tại A.

Khi thực hiện vẽ tam giác cân học sinh thường vẽ không chính xác do
không nắm được cách vẽ. Vì vậy, trong khi giảng dạy, tôi thường hướng dẫn học
sinh dùng những cách sau tùy theo những dụng cụ vẽ hình khác nhau:
+Cách 1:( Dùng ê ke và thước thẳng có chia khoảng): Vẽ cạnh đáy trước
sau đó dựng trung trực của cạnh đáy. Trên đường trung trực đó lấy một điểm bất
kỳ (điểm đó khác trung điểm cạnh đáy), nối điểm đó với hai đầu của đoạn thẳng
chứa cạnh đáy ta sẽ được tam giác cân.
+ Cách 2:(Dùng compa và thước thẳng):
Vẽ cạnh đáy trước sau đó dùng compa lấy hai đầu mút cạnh đáy làm tâm
vẽ hai cung tròn có bán kính bằng nhau bất kỳ , hai cung tròn này cắt nhau tại
một điểm, nối điểm đó với hai đầu đoạn thẳng ta được tam giác cân.
+ Cách 3:(Dùng thước đo góc)
Vẽ cạnh đáy sau đó trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa
cạnh đáy ta vẽ hai tia cùng hợp với đáy hai góc nhọn bằng nhau (thường là khác
góc 45 độ). Hai tia đó cắt nhau tại một điểm, ta sẽ được tam giác cân.
Ví dụ 2 : Cho  ABC =  A’B’C’. Chứng minh rằng hai phân giác AD và
A’D’ bằng nhau.
Vì bài tập này được đưa ra sau phần tam giác cân nên học sinh thường vẽ
ABC và A’B’C’ cân . Như vậy dẫn đến phân giác AM trùng với trung tuyến
và đường cao , từ đó học sinh dễ ngộ nhận trong lời chứng minh.
Với bài tập này, khi giảng dạy điều đầu tiên giáo viên cần lưu ý học sinh
không nên vẽ các tam giác đặc biệt ( tam giác vuông, tam giác cân, tam giác
đều). Sau đó yêu cầu học sinh nhắc lại cách vẽ hai tam giác bằng nhau, cách vẽ


tia phân giác của một góc. Nếu học sinh không nhắc lại được thì giáo viên có thể
nhắc lại:
+ Để vẽ hai tam giác bằng nhau:
Cách 1: Dùng compa và thước thẳng để vẽ 3 cặp cạnh tương ứng bằng
nhau ( trường hợp cạnh – cạnh – cạnh). Cách này đơn giản nhất vì chỉ dùng

compa và thước thẳng)
Cách 2: Dùng thước thẳng và thước đo góc để vẽ hai tam giác bằng nhau
theo trường hợp cạnh – góc - cạnh: Vẽ tam giác ABC, vẽ đoạn A’B’ = AB, vẽ tia
B’x sao cho góc A’B’x bằng góc ABC, trên B’x lấy điểm C’ sao cho B’C’=BC,
nối A’C’ ta có 2 tam giác bằng nhau.
Cách 3: Dùng thước thẳng và thước đo góc để vẽ hai tam giác bằng nhau
theo trường hợp góc - cạnh – góc: Vẽ tam giác ABC, vẽ đoạn A’B’ = AB, vẽ tia
B’x sao cho góc A’B’x bằng góc ABC, vẽ tia A’y sao cho góc B’A’y bằng góc
BAC, hai tia B’x và A’y cắt nhau tại C’ , ta có 2 tam giác bằng nhau cần vẽ.
GV cần lưu ý để học sinh tránh sai lầm vì có em không nắm chắc kiến
thức về 3 trường hợp bằng nhau của hai tam giác dẫn đến các em dùng thước đo
góc vẽ hai tam giác có ba cặp góc tương ứng bằng nhau mà không cần quan tâm
đến yếu tố về cạnh.
+ Để vẽ hai tia phân giác AD và A’D’: GV nhắc lại 3 cách vẽ bằng các
dụng cụ khác nhau: dùng compa và thước thẳng; dùng thước hai lề hoặc thước
đo góc và thước thẳng ( phần này khá đơn giản nên tôi không nhắc lại ở đây).
Ví dụ 3: Cho  ABC có AH là đường cao , AM là trung tuyến. Trên tia đối
của tia AH lấy điểm E sao cho HE = HA . Trên tia đối của tia MA lấy điểm I
sao cho MI = MA. Nối B với E, C với I . Chứng minh BE = CI.
Nếu học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt :  ABC cân tại A thì lúc này
đường cao AH và trung tuyến AM sẽ trùng nhau dẫn đến bài toán không tìm
được lời giải.


Do vậy: Để học sinh tránh được những sai lầm này thì trong dạy học tôi
luôn lưu ý, nhắc nhở học sinh nếu bài toán không cho hình đặc biệt thì ta không
được vẽ vào trường hợp đặc biệt và vẽ hình phải vẽ thật chính xác. Để học sinh
có thể vẽ được và vẽ chính xác hình cho bài toán này, giáo viên cần cho học sinh
nêu lại cách vẽ trung tuyến, cách vẽ tia đối của một tia cho trước, cách vẽ hai
đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ 4:

Cho  ABC khác tam giác vuông. Kẻ đường cao BD và CE.

Chứng minh  ABD =  ACE.
Khi đọc đề và vẽ hình bài tập này thường thì học sinh có thể sai lầm khi vẽ
tam giác cân, tam giác đều dẫn đến chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc chỉ
vẽ trường hợp tam giác có ba góc nhọn ( hình 2.1VD4.1 vẽ bên dưới). Sau đó
chỉ chứng minh ABD=ACE vì cùng phụ với góc BAC. Như vậy phần chứng
minh này chưa thật đầy đủ, nhất là đối với bài toán ra cho học sinh giỏi.
Giáo viên cần hướng dẫn học sinh không vẽ hình đặc biệt ( tam giác cân,
tam giác đều) và phải vẽ hình cả 4 trường hợp:
TH1: Tam giác nhọn

Hình 2.1VD4.1
TH2: Tam giác tù tại đỉnh B


Hình 2.1VD4.2
TH3: Tam giác tù tại đỉnh C

Hình 2.1VD4.3
TH4: Tam giác tù tại đỉnh A .

Hình 2.1VD4.4
Sau khi vẽ hình, đối với TH1, TH2, TH3 thì phần chứng minh là giống
nhau: ABD=ACE vì cùng phụ với góc BAC
Riêng TH4 ( hình 2.1VD4.4): học sinh phải chứng minh khác 3 trường
hợp đã nêu. Có thể chứng minh: ABD phụ với DAB; ACE phụ với EAC
mà DAB = EAC ( hai góc đối đỉnh) nên ABD=ACE

Lưu ý: để đơn giản hơn, ta xét thấy bài toán đề cập đến hai đường cao xuất
phát tại hai đỉnh B và C nên sau khi phân tích các trường hợp trên, học sinh chỉ
cần xét hai trường hợp: Tam giác ABC nhọn (hình 2.1VD4.1) và tam giác ABC
tù tại đỉnh A (hình 2.1VD4.4) để vẽ hình và chứng minh.
Ví dụ 5:

Cho  ABC. Dựng các tam giác đều MAB , NBC , PAC thuộc

miền ngoài tam giác ABC . Chứng minh rằng :
a)

 ABN =  CBM ;  ACN =  PCB


b)

MC =NA =PB .
Với bài tập này, nếu học sinh vẽ tam giác ABC cân, đều , hoặc vuông thì

sẽ nhận đến ngộ nhận về các cặp tam giác bằng nhau hoặc các góc bằng nhau
dẫn đén sai lầm hoặc thiếu sót trong chứng minh. Do vậy, giáo viên cần nhắc nhở
học sinh không vẽ hình đặc biệt. Thông thường học sinh chỉ vẽ hình một trường
hợp ( tam giác nhọn) rồi chứng minh nên bài chứng minh không đầy đủ, không
đúng với các trường hợp khác. Bởi vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh xét
các trường hợp: tam giác không có góc tù và tam giác tù; và chi tiết hơn nửa là
góc tù tại đỉnh A; góc tù tại đỉnh B ( lớn hơn 120 , bằng 120, bé hơn 120  vì
có liên quan đến hai góc kề bù).
TH1: Tam giác không có góc tù ( bao gồm tam giác nhọn và tam giác
vuông) ( Hình 2.2VD5.1)
TH2: Tam giác tù tại đỉnh A ( Hình 2.2VD5.2)

TH3: Tam giác tù tại đỉnh B, với góc ABC < 1200 ( hình 2.2VD5.3)
TH4: Tam giác tù tại đỉnh B, với góc ABC bằng 1200 ( hình 2.2VD5.4)
TH5: Tam giác tù tại đỉnh B, với góc ABC > 1200 ( hình 2.2VD5.5)
Lưu ý: ở đây ta không cần xét các trường hợp góc tù tại đỉnh C vì các
trường hợp này tương tự như các trường hợp góc tù tại đỉnh B.

Hình 2.2VD5.1

Hình 2.2VD5.2


Hình 2.2VD5.3
Đối với các trường hợp: TH1, TH2, TH3 học sinh có thể chứng minh
chung như sau:

ABN = ABC + 600; CBM = ABC + 600 ;

 ABN = CBM
Tương tự ACN = PCB
Sau đó, chứng minh MC =NA =PB bằng cách chứng minh  MBC= 
ABN(c-g-c) và  ACN =  PCB(c-g-c) .

Hình 2.2VD5.4

Hình 2.2VD5.5


Tuy nhiên, cách chứng minh trên không còn đúng với TH4 ( Hình
2.2VD5.5) và trường hợp 5 (Hình 2.2VD5.5)
Trong bài toán trên, để đơn giản hơn ta có thể xét lại 3 trường hợp liên

quan đến góc ABC: ABC < 120 độ; ABC = 120 độ và ABC > 120 độ
2.2.2. Rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh:
Việc rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặc
biệt vì học sinh cần có kỹ năng này, không những chỉ khi giải các bài toán chứng
minh mà cả khi giải các bài toán về quĩ tích , dựng hình và một số bài toán về
tính toán .
Chúng ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận và chứng minh theo
các hướng :
- Tăng cường các hoạt động nhận dạng định lý và thể hiện định lý
- Hướng dẫn học sinh suy luận theo nguyên tắc suy diễn và quy tắc quy
nạp.
- Tích cực rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận ngược và suy luận
xuôi ( quy tắc suy luận theo phương pháp phân tích đi lên và phương pháp tổng
hợp ).
- Hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán khi có điều kiện .
a.Nhận dạng và thể hiện định lí :
Rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh nên bắt đầu bằng việc cho học
sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng định lí và thể hiện định lí.
Nhận dạng một định lí là phát hiện xem một tình huống cho trước có khớp
với một định lí nào đó hay không. Còn thể hiện định lí là xây dựng một tình
huống ăn khớp với định lí cho trước.
Ví dụ : Cho  ABC . Dựng các tam giác đều MAB , NBC, PCA thuộc miền
ngoài  ABC . Chứng minh MC = NA = PB .
Giải:
Phân tích, vẽ hình như Ví dụ 5 mục 2.1 ở trên:


TH1: �ABC < 120 độ

Để chứng minh MC = NA = PB ta có thể chứng minh MC = NA và NA = BP

Để chứng minh MC = NA có thể gắn vào hai tam giác MBC và ABN
Để chứng minh NA = BP có thể gắn vào hai tam giác ACN và PCB
GV có thể phân tích đi lên theo sơ đồ sau:

�MBC  �ABN
�
Có MB  AB ( gt )
�
�
�BC  BN ( gt )
MBC  ABN
�
MC  AN ; AN  BP
�
MC  AN  BP
Chứng minh AN = BP tương tự
Phần chứng minh:


Ta có :
MB = AB ( ABM đều )
 MBC =  ABN ( cùng bằng 60 +  ABC )
BC= BN (BCN đều )
  MBC =  ABN (c.g.c )
 MC = AN ( 2 cạnh tương ứng). (1)
Tương tự  ACN =  PCB (c.g.c )
=> AN =BP (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MC = AN = BP (đpcm)
TH2:  ABC= 120 độ

Trong trường hợp này, học sinh có thể dễ dàng chứng minh MC = AN,
giáo viên cần hướng dẫn học sinh chứng minh AN = BP bằng cách chứng minh
 ACN =  PCB tương tự trường hợp 1.

TH3:  ABC > 120 độ


GV có thể phân tích đi lên theo sơ đồ sau:

�MBC  �ABN
�
Có MB  AB( gt )
�
�
�BC  BN ( gt )
MBC  ABN
�
MC  AN ; AN  BP
�
MC  AN  BP

Chứng minh AN = BP tương tự
Phần chứng minh:
Ta có :
MB = AB ( ABM đều )
 MBC =  ABN ( cùng bằng 60 +  MBN )
BC= BN (BCN đều )
  MBC =  ABN (c.g.c )
 MC = AN ( 2 cạnh tương ứng). (3)
Tương tự  ACN =  PCB (c.g.c )

=> AN =BP (4)


Từ (3) và (4) suy ra: MC = AN = BP (đpcm)
Trường hợp này khác TH1 ở chỗ:
 MBC =  ABN ( cùng bằng 60 +  MBN ) chứ không còn ( cùng
bằng 60 +  ABC ) như TH1
Như vậy, trong bài toán trên, học sinh sẽ thấy tình huống này ăn khớp với
định lí :
” Nếu tam giác ABC và tam giác A’B’C’
có AB = A’B’ ,  A = A’ , AC = A’C’ thì hai tam giác đó bằng nhau “ .
b.Quy tắc suy luận :
Khi dạy giải bài tập giáo viên cần chú ý dạy cho học sinh các quy tắc suy
luận. Trong quá trình giải toán ta thường gặp hai quy tắc suy luận : Quy tắc quy
nạp và quy tắc suy diễn .
- Quy tắc quy nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung , từ cụ thể đến
tổng quát .
- Quy tắc suy diễn là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể.
Thông thường để hướng dẫn học sinh tìm lời giải ta đi từ kết luận đến giả
thiết ( phân tích đi lên ) và lúc trình bày lời giải thì trình bày theo phương pháp
tổng hợp ( từ giả thiết suy ra kết luận ) .
Ví dụ : Cho  ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho: AE =AB.
Gọi AD là phân giác của  ABC, K là giao điểm của DE và AB. Chứng minh:

 DEC =  DBK .
Hướng dẫn :
-  DEC và  DBK đã có những yếu tố nào bằng nhau ?
- Để kết luận được DEC và  DBK bằng nhau cần có thêm điều kiện gì ?
- Để chứng minh được các yếu tố đó ta cần ghép chúng vào các tam giác nào ?
Khi trình bày lời giải ta thường suy luận ngược lại .

 Phân tích đi lên


ABD  AED
�
ED  BD và �B1  �E1
�
ED  BD và �B2  �E2 (hay DC  DK )
�

Đã có �EDC  �BDK ( đối đỉnh)
Cần c/m: DEC  DBK
Cụ thể:
Xét ABD và  AED, có
AB =AE (gt)
A1 = A2 (AD là phân giác của góc BAC)
AD là cạnh chung
Suy ra: ABD =  AED (c.g.c )
 BD = ED ( 2 cạnh tương ứng)
Và B1 = E1 ( 2 góc tương ứng )
Ta có:

B 1+ B 2 = 180 (hai góc kề bù )
E1 + E2 = 180 (hai góc kề bù )

=> B 1+ B 2 = E1 + E2= 180
Mà B1 = E1 ( chứng minh trên)
 B2 = E2
Xét

 BDK và

 EDC có

B2 =  E2 ( chứng minh trên )
BD = ED

( chứng minh trên)

BDK = EDC ( đối đỉnh )
  BDK =  EDC (g.c.g) .


Cần nói thêm rằng đối tượng học sinh lớp 7 mới tập giải toán chứng minh,
do vậy khi dạy tôi rất chú ý tới việc hướng dẫn học sinh sắp xếp các lập luận sao
cho logic, chặt chẽ .
Chẳng hạn trong ví dụ trên nếu ta xét ngay hai tam giác DBK và DEC thì
việc trình bày phần chứng minh sẽ dài dòng , không khoa học , học sinh tiếp thu
kiến thức sẽ khó khăn hơn , bởi vậy tôi sẽ hướng dẫn học sinh suy luận để dẫn
đến chứng minh :  ABD =  AED .
Quy tắc quy nạp thường dùng là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các
trường hợp có thể xảy ra. Trong quá trình giải toán, nhiều khi phải phân chia ra
các trường hợp riêng nhưng hầu như học sinh chỉ xét một trường hợp rồi đi đến
kết luận, hoặc có phân chia nhưng không đầy đủ các trường hợp. Vì vậy , trong
quá trình giảng dạy chúng ta cần chú ý bồi dưỡng cho học sinh năng lực phân
chia ra các trường hợp riêng .
c. Khái quát hoá:
Để góp phần rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh trong một số
trường hợp nên hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán.
Ví dụ 1: Cho hai góc kề bù xOy và x’Oy . Gọi Ot là tia phân giác của góc

xOy , Ot’ là tia phân giác của góc x’Oy . Biết  xOy = 130 . Tính  tOt’.
Sau khi học sinh giải bài tập này ta có thể cho học sinh giải bài toán tổng
quát hơn đó là thay  xOy = 130 bằng  xOy = m. Qua đó có thể cho học
sinh rút ra nhận xét về hai tia phân giác của hai góc kề bù ( Ot  Ot’ ), ta có bài
toán tổng quát:
Bài toán khái quát Ví dụ 1.1: Cho hai góc kề bù xOy và x’Oy . Gọi Ot là tia
phân giác của góc xOy , Ot’ là tia phân giác của góc x’Oy. Tính  tOt’.
Ví dụ 2: ( Đề thi HSG toán 7 cấp huyện năm học 2008-2009). Cho tam giác
nhọn ABC cố định, trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao


cho BM + CN = BC. Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn
đi qua một điểm cố định.
Cách giải bài toán này như sau:
Dựng hai tia phân giác Bx và Cy của các góc: ABC và ACB
Bx cắt Cy tại O.
Vì ABC cố định nên Bx, Cy cố định => O cố định

(1)

Trên đoạn BC lấy điểm D sao cho BD = BM
Ta có: BD + DC = BC
( D nằm giữa B và C)
Mà BM + CN = BC (gt)
và BD = BM ( theo cách dựng)
Nên DC = CN
 BOM =  BOD ( c –g –c)

suy ra: OM = OD
(2 cạnh tương ứng)

 COD =  CON ( c –g –c)

suy ra: OD = ON (2 cạnh tương ứng)
Suy ra : OM =ON ( = OD )
=> O thuộc đường trung trực của đoạn MN ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua điểm O cố định ( O là giao
điểm của hai tia phân giác trong của các góc ABC và góc ACB )
Từ bài toán trên, ta có thể khái quát thành các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC cố định ( góc ABC khác góc vuông).
Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM + CN = BC.
Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố
định.
Để giải quyết bài toán này học sinh cần xét hai trường hợp: TH1 ( góc
ABC nhọn) và TH2 ( góc ABC tù )


Bài toán 2: Cho góc xOy cố định khác góc bẹt. Trên Ox lấy điểm M, trên
Oy lấy điểm N sao cho OM+ON=m không đổi. Chứng minh rằng đường trung
trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M và N di chuyển
trên Ox và Oy.
2.2.3. Rèn luyện kỹ năng tính toán :
Trong quá trình giải toán , học sinh có đi đến kết quả chính xác và ngắn
gọn hay không , điều đó phụ thuộc vào kỹ năng tính toán và kiến thức của từng
em và sự hướng dẫn, định hướng của giáo viên. Một số em thường không thiết
lập được mối quan hệ giữa các đại lượng với nhau, vận dụng lý thuyết chưa
khéo. Do vậy, trong mỗi dạng tính toán, giáo viên cần cho học sinh nhắc lại
những kiến thức và kĩ năng có liên quan để từ đó học sinh có thể vận dụng và
thực hành tính toán chính xác , hiệu quả.
Để làm tốt dạng toán này, giáo viên cần trang bị cho học sinh nắm chắc

các kiến thức dùng để tính toán trong hình học 7, chủ yếu là: Định lí Pitago áp
dụng cho tam giác vuông; định lí tổng 3 góc trong tam giác; tính chất tia phân
giác; tính chất tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông; bất đẳng thức tam
giác; tính chất góc ngoài của tam giác; các tính chất về góc ( 2 góc đối nhau, kề
bù, phụ nhau, bù nhau, đối nhau, hai góc so le trong, hi góc đồng vị, hai góc
trong cùng phía…); tính chất trung tuyến, trung trực ; tính chất đường trung bình
của tam giác; các công thức tính (chu vi, diện tích tam giác) và một số kiến thức
đại số bổ trợ ( tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tính chất tỉ lệ thức …)
Ví dụ 1: Tam giác ABC có ba cạnh tỉ lệ 3 : 4 : 6 . Gọi M , N, P là trung điểm
các cạnh AB, AC và BC. Tính các cạnh của tam giác biết chu vi của tam giác
MNP bằng 5,2 m .
Để giải quyết bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức:
công thức tính chu vi tam giác ,tính chất trung điểm; tính chất đường trung bình
của tam giác và thiết lập được mối quan hệ giữa chu vi của hai tam giác , sau đó
dùng đến kiến thức đại số đó là tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tính độ dài
các cạnh của tam giác ABC.


Giải:
Vì M ,N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC nên MN, NP, MP là các
đường trung bình của  ABC
 MN =
MP =

1
1
BC ; NP = AB ;
2
2
1

AC
2



MN + NP + MP

=

1
( AB + AC + BC )
2

 AB + AC + BC
= 2 (MN + NP + MP )
= 5,2 .2 = 10,4 m;
Theo bài ra ta có :

AB AC BC


3
4
6

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
AB AC BC AB  AC  BC 10, 4





 0,8
3
4
6
3 46
13

 AB = 0,8 .3 = 2,4 m
AC = 0,8 . 4 = 3,2 m
BC = 0,8 . 6 = 4,8 m
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác ABC là : 2,4 m ; 3,2 m và 4,8 m .
Ví dụ 2 : Cho  ABC vuông tại A có  B = 60 , phân giác BD . Tính  C
và  BDC .
Để giải bài này học sinh phải vận dụng phối hợp các kiến thức về tổng ba
góc trong tam giác , tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông , tính chất tia phân
giác , định lí về góc ngoài của tam giác .
Giải :
Vì  ABC vuông tại A


Nên ABC +C = 90
Mà ABC = 60 (giả thiết )
 C =900 – 600 = 30
Ta có : B1 = B2 = 30
( Vì BD là phân giác B = 60 )
mà BDC là góc ngoài tại đỉnh D của ABD
 BDC = B1 + A = 30 + 90 = 120 .
Vậy, BDC = 120 và C =300.
3 - PHẦN KẾT LUẬN

3.1. Ý nghĩa của đề tài, sáng kiến, giải pháp :
Với các giải pháp nêu trên, trong khi giảng dạy cho học sinh tôi thấy :
Học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống. Học sinh
được rèn luyện nhiều về các kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, kỹ năng suy
luận, kỹ năng tổng quát hoá ,… Qua đó rèn luyện được cho học sinh trí thông
minh, sáng tạo và các phẩm chất trí tuệ khác, xoá đi cảm giác khó khăn và phức
tạp ban đầu của môn hình học, giúp học sinh có hứng thú khi học môn này.
Kết quả cụ thể:
Sau khi áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy trong các năm học 2013-2014
và 2014-2015 đối với học sinh lớp 7 đại trà cũng như học sinh giỏi tại đơn vị tôi
thấy được những thay đổi khá tích cực. Từ chỗ các em bỡ ngỡ, mơ hồ trong giải
toán hình học đến nay các em đã biết vẽ hình chính xác , biết suy luận và lập
luận có căn cứ, biết trình bày lời giải logic, chặt chẽ . Học sinh tự giác làm bài
tập và tự giải được bài tập một cách tự tin. Học sinh đã yêu thích học bộ môn
hình học nói riêng và môn toán nói chung. Đội tuyển HSG toán 7 đã có nhiều kết
quả tốt trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện.


Để kiểm nghiệm việc áp dụng đề tài tôi cho học sinh làm các bài kiểm tra
hình 45 phút chương 3 với đề ra tương tự lúc chưa áp dụng đề tài. Kết quả thu
được ở lớp 7A tại đơn vị, năm học 2014 - 2015 như sau:
Tổng số học sinh : 33 học sinh
Trong đó : Giỏi : 05 – 15,2 %
Khá : 09 - 27,3%
Trung bình: 13 - 39,4%
Yếu : 06 - 18,2%
Kém: 0 - 0 %
Cụ thể
+ Tất cả học sinh đều vẽ được hình cơ bản
+ Không còn học sinh nào vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt

+ Học sinh vẽ hình sai, thiếu chính xác: 04 em – chiếm 12,1%
+ Học sinh vẽ hình đúng, chính xác (nhưng chưa đầy đủ các trường hợp):
11 em – 33,3 %
+ Học sinh vẽ hình đúng, đầy đủ các trường hợp: 16 em – chiếm 48,5%
+ Học sinh không chứng minh được: 02 em – chiếm 6,1%
+ Học sinh chứng minh được dạng đơn giản: 22 em – chiếm 66,7%
+ Học chứng minh được dạng nâng cao: 05 em – chiếm 15,2%
* Đối với học sinh giỏi : các em ngày càng tự tin hơn trong việc làm bài
tập và học hình, kết quả kiểm tra thử ngày càng tiến bộ.
Kết quả trên phần nào đã minh chứng được sự hiệu quả của đề tài này khi
áp dụng vào việc giảng dạy hình học lớp 7 của bản thân tôi. Hy vọng rằng đề tài
này có thể giúp ích cho các đồng nghiệp cùng bộ môn trong quá trình giảng dạy
của mình
3.2. Kiến nghị, đề xuất: Không
Trên đây là ‘‘một số kinh nghiệm rèn kĩ năng giải toán hình học cho
học sinh lớp 7’’ mà bản thân tôi đã rút ra trong quá trình trực tiếp giảng dạy môn


toán lớp7. Trong phạm vi nhỏ của đề tài này chắc chắn là chưa thể bao quát hết
được các kiến thức của môn hình học cho học sinh lớp 7. Song bước đầu đã có
tác dụng đối với học sinh. Rất mong được sự góp ý chân tình của đồng nghiệp,
hội đồng bộ môn Toán của Phòng giáo dục huyện nhà để đề tài của tôi được hoàn
thiện hơn, nhằm mục đích cuối cùng là học sinh học tập tốt và thêm yêu môn
hình học nói riêng và toán học nói chung.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Quảng Bình, tháng 05 năm 2015
Người viết


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc.

TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP :

MỘT SỐ KINH NGHIỆM
RÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 7


Quảng Bình, tháng 5 năm 2015.