dãy số viết theo qui luật

Dãy Số Viết theo quy luật
B i toán 1 : Tính các tổng sau
1. A = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ 2
6
+ 2
7
+ 2
8
+ 2
9
+ 2
10
2. B = 1 + 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ ... + 3
100
Giải :
1. 2A = 2 + 2
2

+ 2
3
+ ... + 2
10
+ 2
11
. Khi đó : 2A A = 2
11
1
2. 3B = 3 + 3
2
+ 3
3
+ ... + 3
100
+ 3
101
. Khi đó : 3B B = 2B = 3
101
1 .
Vậy B =
Ta nghĩ tới bài toán tổng quát là :
Tính tổng S = 1 + a + a
2
+ a
3
+ ... + a
n
, a Z
+

, a > 1 và n Z
+
Nhân 2 vế của S với a ta có aS = a + a
2
+ a
3
+ a
4
+ ... + a
n
+ a
n+1
. Rồi trừ cho S ta đợc :
aS S = ( a 1)S = a
n+1
1 . Vậy : 1 + a + a
2
+ a
3
+ ... + a
n
= .

Từ đó ta có công thức : a
n+1
1 = ( a 1)( 1 + a + a
2
+ a
3
+ ... + a

n
) .
B i tập áp dụng : Tớnh cỏc tng sau:
2 3 2007
2 3 100
) 1 7 7 7 ... 7
) 1 4 4 4 ... 4
a A
b B
= + + + + +
= + + + + +
c) Chứng minh rằng : 14
14
1 chia hết cho 3
d) Chứng minh rằng : 2009
2009
1 chia hết cho 2008
Bài toán 2 : Tính các tổng sau
1) A = 1 + 3
2
+ 3
4
+ 3
6
+ 3
8
+ ... + 3
100
2) B = 7 + 7
3

+ 7
5
+ 7
7
+ 7
9
+ ... + 7
99
Giải :
1) A = 1 + 3
2
+ 3
4
+ 3
6
+ 3
8
+ ... + 3
100
. Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với số nào để khi
trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2
đơn vị nên ta nhân hai vế với 3
2
, rồi trừ cho A ta đợc :
3
2
A = 3
2
+ 3
4

+ 3
6
+ 3
8
+ ... + 3
100
+ 3
102

A = 1 + 3
2
+ 3
4
+ 3
6
+ 3
8
+ ... + 3
100
3
2
A A = 3
102
1 . Hay A( 3
2
1) = 3
102
1 . Vậy A = ( 3
102
1): 8

Từ kết quả này suy ra 3
102
chia hết cho 8
2 ) Tơng tự nh trên ta nhân hai vế của B với 7
2
rồi trừ cho B , ta đợc :
7
2
B = 7
3
+ 7
5
+ 7
7
+ 7
9
+ ... + 7
99
+ 7
101
B = 7 + 7
3
+ 7
5
+ 7
7
+ 7
9
+ ... + 7
99

7
2
B B = 7
101
7 , hay B( 7
2
1) = 7
101
7 . Vậy B = ( 7
101
7) : 48
Tơng tự nh trên ta cũng suy ra 7
101
7 chia hết cho 48 ; 7
100
- 1 chia hết cho 48

Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn S
n
= a
1
+ a
2
+ .... a
n
(1)
Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết
quả). Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc .
Ví dụ 1 : Tính tổng S
n

=1+3+5 +... + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S
1
= 1
S
2
= 1 + 3 =2
2

S
3
= 1+ 3+ 5 = 9 = 3
2

... ... ...
Ta dự đoán Sn = n
2

Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng
giả sử với n= k ( k

1) ta có S
k
= k
2
(2)
ta cần phải chứng minh S
k
+ 1 = ( k +1 )
2

( 3)
Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có
1+3+5 +... + (2k 1) + ( 2k +1) = k
2
+ (2k +1)
vì k
2
+ ( 2k +1) = ( k +1)
2
nên ta có (3) tức là S
k+1
= ( k +1)
2

theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh
vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n
2

Tơng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán học .
1, 1 + 2+3 + .... + n =
2
)1(
+
nn
2, 1
2
+ 2
2
+ ..... + n
2

=
6
)12)(1(
++
nnn
3, 1
3
+2
3
+ ..... + n
3
=
2
2
)1(






+
nn
4, 1
5
+ 2
5
+ .... + n
5
=

12
1
.n
2
(n + 1)
2
( 2n
2
+ 2n 1 )
Bài tập có HD
Bi1- Tớnh A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
Bi 2- Tớnh A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
HD:
A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)
Bi 3- Tớnh A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
HD: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)
Bi 4 Tớnh:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
HD: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)
4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100
4A = 98.99.100.101
Bi 5- Tớnh A = 1
2

+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
HD: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)
A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)
Bi 6- Tớnh A = 2
2
+4
2
+6
2
+...+98
2
+100
2
HD: A = 2
2
(1
2
+2
2
+3
2
+...+49

2
+50
2
)
Bi 7- Tớnh A = 1
2
+3
2
+5
2
+...+97
2
+99
2
HD: A = (1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
)-(2
2
+4
2
+6
2

+...+98
2
+100
2
)
A = (1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
)-2
2
(1
2
+2
2
+3
2
+...+49
2
+50
2
)
Bi 8- Tớnh A = 1
2

-2
2
+3
2
-4
2
+...+99
2
-100
2
A = (1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
)-2(2
2
+4
2
+6
2
+...+98
2
+100
2

)
Bi 9- Tớnh A = 1.2
2
+2.3
2
+3.4
2
+...+98.99
2
HD: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
Bi 10 - Tớnh A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Bi 11-Tớnh:A = 1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
Bi 12-Tớnh :A = 2
2
+4
2
+6
2
+...+98

2
+100
2
Bi 13-Tớnh A = 1
2
+3
2
+5
2
+...+97
2
+99
2
Bi 14-Tớnh A = 1
2
-2
2
+3
2
-4
2
+...+99
2
-100
2

Bi 15-Tớnh:A = 1.2
2
+2.3
2

+3.4
2
+...+98.99
2
II . Ph ơng pháp khử liên tiếp :
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn a
i
, i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai số hạng liên
tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a
1
= b
1
- b
2

a
2
= b
2
- b
3

.... .... .....
a
n
= b
n
b
n+ 1
khi đó ta có ngay :

S
n
= ( b
1
– b
2
) + ( b
2
– b
3
) + ...... + ( b
n
– b
n + 1
)
= b
1
– b
n + 1

VÝ dô 2 : tÝnh tæng :
S =
100.99
1
.......
13.12
1
12.11
1
11.10

1
++++
Ta cã :
11
1
10
1
11.10
1
−=
,
12
1
11
1
12.11
1
−=
,
100
1
99
1
100.99
1
−=
Do ®ã :
S =
100
9

100
1
10
1
100
1
99
1
.......
12
1
11
1
11
1
10
1
=−=−++−+−
• D¹ng tæng qu¸t
S
n
=
)1(
1
......
3.2
1
2.1
1
+

+++
nn
( n > 1 )
= 1-
11
1
+
=
+
n
n
n
VÝ dô 3 : tÝnh tæng S
n
=
)2)(1(
1
......
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++
++++
nnn
Ta cã S
n
=









++
−
+
++






−+






−
)2)(1(
1
)1(
1

2
1
........
4.3
1
3.2
1
2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
S
n
=








++
−
+

++−+−
)2)(1(
1
)1(
1
......
4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
S
n
=
)2)(1(4
)3(
)2)(1(
1
2.1
1
2
1
++
+

=








++
−
nn
nn
nn
VÝ dô 4 : tÝnh tæng S
n
= 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )
Ta cã : 1! = 2! -1!
2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!
..... ..... .....
n.n! = (n + 1) –n!
VËy S
n
= 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n!
= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
VÝ dô 5 : tÝnh tæng S
n
=
[ ]

222
)1(
12
.......
)3.2(
5
)2.1(
3
+
+
+++
nn
n
Ta cã :
[ ]
;
)1(
11
)1(
12
222
+
−=
+
+
ii
ii
i
i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
Do đó S

n
= ( 1-








+
++






+
22222
)1(
11
.....
3
1
2
1
)
2
1

nn
= 1-
22
)1(
)2(
)1(
1
+
+
=
+
n
nn
n
III . Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn là tổng cần tính:
Ví dụ 6 : Tính tổng S = 1+2+2
2
+....... + 2
100
( 4)
ta viết lại S nh sau :
S = 1+2 (1+2+2
2
+....... + 2
99
)
S = 1+2 ( 1 +2+2
2
+ ...... + 2
99

+ 2
100
- 2
100
)
=> S= 1+2 ( S -2
100
) ( 5)
Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2
101
S = 2
101
-1
Ví dụ 7 : tính tổng S
n
= 1+ p + p
2
+ p
3
+ ..... + p
n
( p

1)
Ta viết lại S
n
dới dạng sau :
S
n
= 1+p ( 1+p+p

2
+.... + p
n-1
)
S
n
= 1 + p ( 1+p +p
2
+..... + p
n-1
+ p
n
p
n
)
S
n
= 1+p ( S
n
p
n
)
S
n
= 1 +p.S
n
p
n+1

S

n
( p -1 ) = p
n+1
-1
S
n
=
1
1
1


+
p
P
n

Ví dụ 8 : Tính tổng S
n
= 1+ 2p +3p
2
+ .... + ( n+1 ) p
n
, ( p

1)
Ta có : p.S
n

= p + 2p

2
+ 3p
3
+ ..... + ( n+ 1) p
n +1

= 2p p +3p
2
p
2
+ 4p
3
p
3
+ ...... + (n+1) p
n
- p
n
+ (n+1)p
n
p
n
+ ( n+1) p
n+1
= ( 2p + 3p
2
+4p
3
+ ...... +(n+1) p
n

) ( p +p + p + .... p
n
) + ( n+1) p
n+1
= ( 1+ 2p+ 3p
2
+4p
3
+ ....... + ( n+1) p
n
) ( 1 + p+ p
2
+ .... + p
n
) + ( n +1 ) p
n+1
p
.
S
n
=S
n
-

1
1
)1(
1
1
+

+
++


n
n
Pn
P
P
( theo VD 7 )
Lại có (p-1)S
n
= (n+1)p
n+1


-
1
1
1


+
P
p
n
S
n
=
2

11
)1(
1
1
)1(




+
++
P
p
p
Pn
nn
IV . Ph ơng pháp tính qua các tổng đã biết
Các kí hiệu :
n
n
i
i
aaaaa
++++=

=
......
321
1
Các tính chất :

1,

= = =
+=+
n
i
n
i
n
i
iiii
baba
1 1 1
)(
2,

==
=
n
i
i
n
i
i
aaaa
11
.
Ví dụ 9 : Tính tổng :S
n
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1)

Ta có : S
n
=

== ==
+=+=+
n
i
n
i
n
i
n
i
iiiiii
11 1
22
1
)()1(

Vì :
6
)12)(1(
2
)1(
....321
1
2
1
++

=
+
=++++=


=
=
nnn
i
nn
ni
n
i
n
i
(Theo I )
cho nên : S
n
=
3
)2)(1(
6
)12)(1(
2
)1(
++
=
++
+
+

nnnnnnnn
Ví dụ 10 : Tính tổng :S
n
=1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)
ta có : S
n
=

= =
=
n
i
n
i
iiii
1 1
2
)3()13(
=

===

n
i
n
i
ii
11
2
3

Theo (I) ta có : S
n
=
)1(
2
)1(
6
)12)(1(3
2
+=
+

++
nn
nnnnn
Ví dụ 11 . Tính tổng S
n
= 1
3+
+2
3
+5
3
+... + (2n +1 )
3

ta có : S
n
= [( 1
3

+2
3
+3
3
+4
3
+....+(2n+1)
3
] [2
3
+4
3
+6
3
+....+(2n)
3
]
= [1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+ ..... + (2n +1 )
3
] -8 (1
3
+2

3
+3
3
+4
3
+......+ n
3
)
S
n
=
4
)1(8
4
)22()12(
2222
+

++
nnnn
( theo (I) 3 )
=( n+1)
2
(2n+1)
2
2n
2
(n+1)
2
= (n +1 )

2
(2n
2
+4n +1)
V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều (Học sinh lớp 6 )
Cơ sở lý thuyết :
+ để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta
dùng công thức:
Số số hạng = ( số cuối số đầu ) : ( khoảng cách ) + 1