Tuyển tập các dạng bài tập trong đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11

Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.

TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 11.
Phần 1. Lượng giác:
A. Phương trình lượng giác.

tan 2 x + tan x
tan 2 x + 1

1. Giải phương trình:

=

2
π

sin  x + ÷
2
4


2. Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên

[ 0;1004π ]

8sin 2 x.cos x − 3 sin x − cos x
=0
π


sin  x − ÷
6

3. Giải phương trình: cos3 x − sin 3 x = cos x + sin x
2
4. Giải phương trình: 8sin x.cos x − 3 sin x − cos x = 0
5. Giải các phương trình sau:
4

2

a) cos x + 2 cos 2 x − 2sin x = 3
2
b) sin 2 x.cos 2 x + 4sin x.cos x − 3sin 2 x − cos 2 x − 2 cos x + 3 = 0

cos 2 x − 2sin 2 x = 11sin x + 2cos x + 6

6. Giải phương trình:

4
6
7. Giải phương trình: cos x + sin x = cos 2 x

3π 
π


2 2 cos 2 x + sin 2 x.cos  x +
−
4sin

x
+
÷

÷= 0
4
4




8. Giải phương trình:
π

8cos3  x + ÷ = cos3 x
3

9. Giải phương trình:
1
sin 2010 x + cos 2010 x = sin 2012 x + cos 2012 x
10. Giải phương trình: 2
3
1 − cot x
3 tan 2 x −
− 2.
+ 2cos 2 x = 0
cos
2
x
1

+
cot
x
11. Giải phương trình:

(

12. Giải phương trình:

)

sin 3 x + sin 3 3 x + sin 3 5 x = ( sin x + sin 3 x + sin 5 x )

13. Giải phương trình: sin 2 x =

8
3

14. Giải phương trình: sin 2 x

2 sin 3 x − cos 2 x

+ cot x = tan 3 x

(
2cos x ( 3 sin x + cos x − 1) = 1
16. Giải phương trình:
15. Giải phương trình:

3

2sin 2 x + 3 sin 2 x + 1 = 3 cos x + 3 sin x

17. Giải phương trình:

)

π
11π 
 3x π 


 3x π 
3 sin  − ÷+ 2sin  4 x − ÷ = 2sin  x +
+
3cos
÷
 − ÷
3
5 
 2 5


 2 5
x
2 ( sin x + 3) .cos 4 − sin x ( 1 + cos x ) − 3cos x − 1 = 0
2
18. Giải phương trình:
1

Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.

2 3 sin x. ( 1 + cos x ) − 4cos x.sin 2

x
−3
2
=0

2sin x − 1
sin 3 x + cos 3x − 4cos 2 x + 3
=1
2sin x − 1
20. Giải phương trình:
x
 3x π 
2 2 cos  + ÷.sin − 4 cos x + 3 = 0
2
 2 4
21. Giải phương trình:
22. Giải phương trình: 2 tan 2 x + 2sin 2 x = 3cot x
x
x
π x 
sin .sin x − cos .sin 2 x + 1 − 2 cos 2  − ÷ = 0
2
2

 4 2
23. Giải phương trình:
x


cos x − 3 sin x − 3  cos − 3 sin x ÷ = 4
2


24. Giải phương trình:
19. Giải phương trình:

25. Giải phương trình:

(

sin 3 x = cos x.cos 2 x tan 2 x + tan 2 x
3
2

26. Giải phương trình: cos x

+

)

4 + 2sin 2 x
− 2 3 = 2(cot x + 1)
sin 2 x

1
5
cos x.cos 2 x − 3 sin 3 x + cos3 x = cos x
2
2
27. Giải phương trình:
( 0; 2016π )
28. Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên khoảng

3π 
π


2 2 cos 2 x + sin 2 x.cos  x +
−
4sin
x
+
÷

÷= 0
4 
4


29. Giải phương trình: 2sin x + cot x − 2sin 2 x = 1
π
π



sin  3x − ÷ = sin 2 x.sin  x + ÷
4
4


30. Giải phương trình:

3 sin 2 x − cos 2 x + 1 = 3 sin x + 3cos x
1
cos 2 x + 3 sin 2 x = 1 +
π

sin  x + ÷
3

32. Giải phương trình:
cos 2 x − cos3 x − 1
2
cos 2 x − tan x =
cos 2 x
33. Giải phương trình:
3 sin 2 x − cos 2 x − 5sin x + (2 − 3) cos x + 3 + 3
31. Giải phương trình:

2cos x + 3

34. Giải phương trình:
4

3

35. Giải phương trình: 2000sin x + 2015cos x = 2015

π

2sin  x + ÷( sin 4 x − cos 2 x ) = sin 6 x + sin 2 x
4

36. Giải phương trình:
2

=1


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí
37. Giải phương trình:

Luyện thi HSG Toán 11.

2 ( 1 + 2cos 2 x ) .cos 3 x = 1

3π 
π


2sin  − x ÷.cos 2 x.cos 6 x = 3cos  3 x −
÷
4 
4



38. Giải phương trình:
π

cos x + cos 3x = 1 + 2 sin  2 x + ÷
4

39. Giải phương trình:
1 + tan x ) .cos3 x + ( 1 + cot x ) .sin 3 x =
(
40. Giải phương trình:
41. Giải phương trình:

(

2sin 2 x

)

sin 2 x + 3 cos 2 x + 2 + 3 sin x − cos x = 1 + 3
2

2

42. Giải phương trình: sin 3 x.cos 2 x + sin x = 0

(
43. Giải phương trình:
44. Giải phương trình:

)

3 + 1 cos 2 x +

(

cos3 x − sin 3 x = 3
2+ 2
tan x + cot 2 x

45. Giải phương trình:

2 3.sin 2 x =

)

3 − 1 sin x.cos x + sin x − cos x − 3 = 0

(

sin x + cos x

)

= 2 + 2sin 2 x

3tan 2 x

− 3

46. Giải phương trình:

2 sin 2 x − 1

47. Giải phương trình:

1 + sin 2 x + cos 2 x = 2 sin x + cos x

2
cos 2 x − cos 4 x ) = 6 + 2sin 3 x
(
48. Giải phương trình:

49. Giải phương trình:

3

6 cos x + 2 = 2 cos 3 x + 2 cos x − 2

50. Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên đoạn

[ 0;1007π ]

2

8sin x.cos x − 3 sin x − cos x
=0
7π 
3π 



sin  x +
÷− 3 cos  x −
÷
2 
2 


3
2 tan x − 2
3 tan 2 x −
−
+ 4cos 2 x = 2
cos 2 x 1 + tan x
51. Giải phương trình:

3 − 4sin 2 x ) ( 3 − 4sin 2 3 x ) = 1 − 2cos10 x
(
52. Giải phương trình:
53. Giải phương trình:
54. Giải phương trình:

2sin 2

x sin 3 x
+
= ( sin x + 2cos x ) .tan 2 x
2 cos 2 x

sin 2 x + 2 ( sin x − 2 cos x ) = 2

−2 cos 2 x − 3sin x + 3
=0
tan
x
−
1
55. Giải phương trình:
x  3x
3x 
2sin  sin + cos ÷ = 3 − 4cos x
2
2
2 
56. Giải phương trình:
3

:


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.

2

57. Giải phương trình: sin x + cos x.cos 3 x + sin x.cos 2 x = 0

π
π



sin  x + ÷.sin 3 3 x + cos  3x + ÷.cos3 x = 0
4
4


58. Giải phương trình:
B. Hệ thức lượng trong tam giác.
1. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện:

cos

A
B
C
A
B
C 1
.cos .cos − sin .sin .sin =
2
2
2
2
2
2 2

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
2. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng:

sin A + sin B −

2
cos C ≤ 2
2
.

3. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn:

cos A + cos B + cos C = 2(cos A.cos B + cos B.cos C + cos C.cos A)

Chứng minh tam giác ABC đều.
4. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

sin A + sin B + sin C

≤1
A
B
C
cos + cos + cos
2
2
2
.
π
A≤B≤C ≤
2 . Tính các góc của tam giác đó khi biểu
5. Cho tam giác ABC thỏa mãn:
thức sau đạt GTNN: P = 2cos 4C + 4cos 2C + cos 2 A + cos 2 B .

6. Giả sử A, B, C, D lần lượt là số đo các góc ∠DAB, ∠ABC , ∠BCD, ∠CDA của tứ giác
lồi ABCD.
a) Chứng minh rằng:

sin A + sin B + sin C ≤ 3sin

b) Tìm GTLN của biểu thức

P = − sin

A+ B+C
3

A
+ sin B + sin C + sin D
3

7. Chứng minh rằng trong tam giác ta luôn có:

2sin 3 A + sin 2 B + sin 2 C <

25
8
2c + a

1 + cos B
=
sin B
4c 2 − a 2 .
8. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I và thỏa mãn:

a) Chứng minh tam giác ABC đều.
b) Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA,AB với đường tròn ( I). BE cắt

đường tròn ( I) tại điểm thứ hai là K. Biết BE = 9 2 và K là trung điểm BE. Tính độ
dài các cạnh của tam giác ABC.
2

2

2

9. Tam giác ABC có các góc thỏa mãn: sin B + sin C + sin B.sin C ≤ sin A .

Tìm GTNN của biểu thức P = cot A + cot B + cot C .

4


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí
10. Cho tam giác ABC thỏa mãn:

Luyện thi HSG Toán 11.

tan 2

A
B
C
+ tan 2 + tan 2 = 1
2

2
2
. Chứng minh tam giác

ABC đều.
11. Nhận dạng tam giác biết:

a) sin( A + B).cos( A − B ) = 2sin A.sin B .

cos( B − C )
= tan B
sin
A
+
sin(
C
−
B
)
b)
cos A cos B cos C 5
+
+
=
3
4
5
12
c)
cos A + cos B + cos C = 2

 2
2
2
cos A + cos B + cos C ≥ 1
d) 

sin B = ( 2 − cos C )sin A

sin C = ( 2 − cos B )sin A
e) 
sin A + sin B 1
= (tan A + tan B)
cos
A
+
cos
B
2
f)

sin 2 A sin 2 B sin A + sin B
+
=
C
cos A cos B
tan
2
g)
12. Chứng minh rằng các trung tuyến của tam giác ABC vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

cot C = 2(cot A+cot B ) .

2
2
b = a + ac
 2
2
c = b + ba . Chứng minh rằng các góc của tam giác lập
13. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 

thành một cấp số nhân.

cos 2 A + cos 2 B + cos 2C =

14. Tính số đo các góc của tam giác ABC biết
15. Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức :

5
4.

8 cos A sin B sin C + 4 3 (sin A + cos B + cos C ) − 17 = 0
Tính các góc của tam giác đó.
16. Cho tam giác ABC thỏa mãn:

sin A =

cos B + cos C
sin B + sin C

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

17. Cho tam giác ABC , M là trung điểm BC và H là trực tâm.

1
MA2 + MH 2 = AH 2 + BC 2
2
Chứng minh rằng:
.
2
sin A + sin 2 B + sin 2 C
M=
cos 2 A + cos 2 B + cos 2C trong đó A, B, C là các
18. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
góc của tam giác ABC.
5


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.

tan A + tan B + tan C
=9
tan
A
+
tan
B
+
tan
C

19. Tam giác ABC thỏa mãn
. Chứng minh rằng tam giác ABC
5

5

5

đều.
20. Cho tam giác ABC có 3 góc là A, B, C.

M=

1
1
1
+
+
2 + cos2 A 2 + cos2 B 2 − cos2C

a) Tìm GTNN của biểu thức
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là
1
1
1
+
+
− (cot A + cot B + cot C ) = 3
sin A sin B sin C
.

21. Chứng minh rằng với mọi tam giác ta có:

cos A cos B
cos B cos C
cos C cos A
2 
A
B
B
C
C
A
3
+
+
≤
 sin sin + sin sin + sin sin  +
A
B
B
C
C
A
2
2
2
2
2
2
2

3

cos cos
cos cos
cos cos
2
2
2
2
2
2
2

2

2

.

22. Cho tam giác ABC thỏa mãn: cos B + cos C ≤ sin A . Tìm GTLN của biểu thức:

F = 2 sin 4

A
A
B
C
+ 2 cos 2 + cos 2 + cos 2
2
2

2
2 .

Phần 2. Giới hạn hàm số.

2 x +1 − 3 8 − x
x
1. Tìm giới hạn sau: x →0
1 + 2014 x .3 1 + 2015 x − 1
lim
x
x
2. Tìm giới hạn sau: →0
lim

3x + 1.3 2 − x − 2
lim
x −1
3. Tìm giới hạn sau: x→1
4 + x .3 1 + 2 x − 2
lim
x
4. Tìm giới hạn sau: x→0
5 − 2x − 2 x − 1 + 2x − 3

lim

2x − 3 + 6x − 3 − 2x

5. Tìm giới hạn sau: x →2

3 − 2x + x − 2

lim

2 x −1 − x

6. Tìm giới hạn sau: x →1
3

lim

7. Tìm giới hạn sau:

1 + x2 − 4 1 − 2 x
x2 + x

x →0

lim

x 2 x − 1 + 3 3x − 2 − 2

8. Tìm giới hạn sau: x →1

lim

9. Tìm giới hạn sau:

x →0

x2 − 1
x2 + 1 − 1
x2 + 9 − 3
6


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.
3

1 + 2 x − 1 + 3x

lim

x2

10. Tìm giới hạn sau: x →0

2 x + 1.3 2.3x + 1.4 3.4 x + 1...2013 2012.2013 x + 1 − 1
lim
x
11. Tìm giới hạn sau: x →0
3

3x − 2 − x 2 + 2
lim
x
x−2

12. Tìm giới hạn sau: → 2
3

lim

13. Tìm giới hạn sau:

1 + x2 − 1 − 2 x
x2 + x

x →0

(x
lim

2

+ 2012

)

3

1 − 2 x − 2012 4 x + 1
x

14. Tìm giới hạn sau: x →0

1 + 2 x .3 1 + 3 x − 1 + 4 x

lim

15. Tìm giới hạn sau:

1 + x − 1 + 2x

x →0
3

lim

x3 + 2 x 2 + x

16. Tìm giới hạn sau: x →−1

lim
17. Tìm giới hạn sau:

x 2014 − 2014 x + 2013

x →1

lim

18. Tìm giới hạn sau: x →+∞

lim

19. Tìm giới hạn sau:

x →0

3x + 4 − 2 x + 3

(

( x − 1) 2
49 x 2 + x − 16 x 2 + x − 9 x 2 + x

)

1 + 2 x − 3 1 + 3x
x2

4 x − 20 
 3
lim 
−
÷
x→2  x − 2
4 − x2  ,
20. Tìm giới hạn sau:
Phần 3. Dãy số và các bài toán liên quan.
1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) , biết dãy số (un ) được xác định như sau:


u1 = 1

u2 = 2


5u − 2un −1
un +1 = n
, n ≥ 2.
3


u1 = sin1; un = un −1 +

2. Cho dãy số (un ) được xác định bởi
Chứng minh rằng (un ) là một dãy số bị chặn.

7

sin n
n2

, ∀n ∈ N , n ≥ 2.


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.

u1 = 3


2n
1
u
=

u
−
, n ∈ N*
n
+
1
n

n +1
n +1
3. Cho dãy số
a) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số (un ) .
b) Tìm n để n.un là số chính phương.

u1 = 2006, u2 = 2009

5un +1 − 2un

u
=
, n ∈ N*
n
+
2

3
4. Cho dãy số (un ) có 
u1 = 2

un2015 + un + 1


, n ∈ N*
un +1 = 2014
un − un + 3
5. Cho dãy số (un ) có 
u > 1, ∀n ∈ N ∗ và (un ) là dãy số tăng.
a) Chứng minh: n
n

lim ∑
b) Tìm
6. Cho dãy số

1

i =1 ui2014

( xn )

+2

được xác định như sau;

 x1 = 1


 xn +1 =


1

2013 
x
+
 n
÷, n ≥ 1.
2
xn 

lim xn

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm n→+∞

.

u1 = 2011

,1 ≤ n ≤ 2011

2011 n
u
=
−
∑
u
n
+
1
k

n k =1

7. Cho dãy số (un ) được xác định bởi 
.
Hãy tính giá trị của tổng: u1 + u2 + u3 + ... + u2011
u0 = 1; u1 = 6

*
(
u
)
un + 2 − 3un +1 + 2un = 0, ∀n ∈ N
n
8. Cho dãy số
không xác định như sau: 
u
lim nn
3.2 .
Tính
u1 = 4


1
u
=
un + 4 + 4 1 + 2un , n ∈ N *
n
+
1

9
9. Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 

Tìm công thức tổng quát của un .

(

n

u = 2039; un +1 = un + 2 + 2011, n ≥ 1.
10. Cho dãy số (un ) có 1
8

)


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.

Hãy tính giá trị của tổng: S n = u1 + u2 + u3 + ... + un
u1 = 2011; un −1 = n2 ( un −1 − un ) , n ≥ 2.
(
u
)
n
11. Cho dãy số
được xác định như sau:
Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
12. Cho dãy số (un ) được xác định bởi công thức:

u1 = 4


2
4un +1 = 5un + 3 un − 16, n ≥ 1.
a) Tìm công thức tổng quát của số hạng un .
u1 u2 u3
u12
+
+
+
...
+
12
211 210
21
b) Tính tổng: 2
u1 = 16

15 ( n.un + 1)

un +1 + 14 =
, ∀n ≥ 1

n +1
13. Cho dãy số (un ) có 
Tìm số hạng tổng quát un .
14. Cho dãy số (un ) xác định bởi:

u1 = 2

2
n n − 1 un = u1 + 2u2 + ... + ( n − 1) un −1 , ∀n > 1, n ∈ N

(

Tìm

lim

(

)

)

9 3
n − n .un
2

15. Cho dãy số

( an )

thỏa mãn:

4

a
=
1

3


( n + 2 ) 2 a = n 2 a − ( n + 1) a .a , ∀n ≥ 1, n ∈ N
n
n +1
n n +1


Tìm lim an .

u1 = −1; u2 = 3
, n ≥ 3.

n
u
−
5
u
+
6
u
=
5.2
(
u
)

n −1
n−2
n được xác định bởi  n
16. Cho dãy số

un
Tìm công thức tổng quát của

.

u1 = 3

*
(
u
)
2un +1 = un + 1, ∀n ∈ N
17. Cho dãy số n được xác định bởi 
Sn
lim
3n + 14 .
Gọi S n là tổng của n số hạng đầu của dãy (un ) .Tìm
u1 = 2

2
*
(un )
u1 + u2 + ... + un = n .un ∀n ∈ N
18. Cho dãy số

được xác định bởi

9

Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.

2

Tìm lim n .un .

u1 = 1


un2
un +1 = un +
, ∀n ∈ N *

2016
19. Cho dãy số (un ) được xác định bởi 
u
u 
u
lim  1 + 2 + ... + n ÷
un +1 
 u2 u3
Tìm giới hạn :
.
u0 = 2015


2015 n −1 ,1 ≤ n.
∑ uk

un = −
(
u
)
n
k
=0

n
20. Cho dãy số
được xác định bởi
.
2015

Hãy tính giá trị

21. Cho dãy

( xn )

A = ∑ 2n.un
n =0

.

 x1 = 1

xn
x =
n +1


2 + 3 + xn2

được xác định bởi
.
( xn )

a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số

b) Chứng minh rằng số

xn2
x22n

.

−2
có thể biểu diễn được tổng bình phương của 3 số

nguyên liên tiếp.

u1 = 2


un + 1
u
=
, ∀n ∈ N *
n
+

1

2
22. Cho dãy số (un ) được xác định bởi 
.
Hãy tìm số hạng tổng quát un và tìm lim un .
u1 = 1; u2 = 3

*
(
u
)
un + 2 = 3un +1 − 2un , ∀n ∈ N
23. Cho dãy số n được xác định như sau: 
 u .u
− u2 
lim  n n + 2n n +1 ÷

÷
2

 .
Tìm giới hạn:
u1 = 2; u2 = 1

2.un .un + 2

u
=
, ∀n ∈ N *

n
+
1

un + un + 2
24. Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 
(un )
Tìm số hạng tổng quát của dãy số

.

10


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.

u1 = 5

2
*
(
u
)
un +1 = un − 2, ∀n ∈ N
n
25. Cho dãy số
được xác định bởi 
Chứng minh rằng

un2 − 21( u1.u2 ...un −1 )

2

không đổi khi n thay đổi.

n
u
=
2032;
u
=
u
+
2.3
+ 2015, n ≥ 1. Tìm số hạng tổng quát
(
u
)
1
n
+
1
n
n
26. Cho dãy số
có
của dãy số (un ) và tính giá trị của tổng: S n = u1 + u2 + u3 + ... + un .

27. Cho dãy số (un ) được xác định bởi

u1 = 1 + 2

 un +1 − 5un un
*
 4u + 5 = n , ∀n ∈ N
 n +1

28. Cho cấp số nhân, công bội q > 0 , u1 > 0 thỏa mãn:

. Tìm công thức un

u1 + u2 + ... + un = 2016

1
1
1
+
+
...
+
= 2015
u u
u
2
n
 1

Tính P = u1.u2 ...un

29. Cho dãy số (un ) được xác định bởi

lim

u1 = 1, un +1 =

2014 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ... ( un + 1)

un
, n = 1, 2,3...
un + 1
. Tính giới hạn sau:

2015n

1
u1 = , un +1 = un2 − un , ∀n ∈ N *
2
30. Cho dãy số được xác định như sau:
. Chứng minh rằng
dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
31. Cho dãy số (un ) được xác định bởi

Tìm công thức tổng quát un

u1 = 11

un +1 = 10un + 1 − 9n, ∀n ∈ N

.


2 
2  
2

Pn =  1 −
÷ 1 −
÷... 1 −
÷
2.3  3.4   ( n + 1)( n + 2) 

32. Cho
. Gọi U n là số hạng tổng quát của
lim U
Pn . Tìm n→+∞ n .
u1 = 1; u2 = 3

un + 2 = 2un +1 − un + 1, ∀n ∈ N *
(
u
)


n
33. Cho dãy số
được xác định như sau:
u
lim n2

Tìm giới hạn: n→+∞ n .
u1 = 2013


1
n
, ∀n ∈ N *
un +1 = n +1 un +
n
2013
34. Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 
11


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.

Tìm công thức tổng quát và giới hạn của dãy số đó.

u1 = 2014

un +1 = 1 + u1.u2 ...un , ∀n ∈ N *
(
u
)


n
35. Cho dãy số

được xác định như sau:
n 1
Sn = ∑
lim Sn
u
k
=
1
n
k
Đặt
. Tìm giới hạn: →+∞ .

36. Cho dãy số (un ) được xác định bởi

u1 = 1, u2 = 3

un2
 un +1
=
− 2, ∀n ∈ N * , n ≥ 2.
 u
2
un −1
 n

1
1
1 5− 5
+

+ ... +
<
u
u
u
2
2
n
Chứng minh rằng: 1
.
37. Cho hai số thực dương a, b (a > b) và hai dãy số

( un ) , ( vn )

được xác định như sau:

u1 = a, v1 = b


un + vn
u
=
; vn +1 = un .vn , n ∈ N *
 n +1
2
u , v
Chứng minh hai dãy số ( n ) ( n ) có giới hạn hữu hạn và lim un = lim vn

38. Cho dãy số

( xn )

x =
thỏa mãn: x1 = 1 và n +1

thuộc số nguyên dương. Chứng minh dãy

xn2 + 2 xn + 2 − xn2 − 2 xn + 2

với mọi n

( xn ) có giới hạn hữa hạn khi n → +∞ .

u1 = 1


(−1) n
un +1 = un +
, ∀n ∈ N *

n +1
39. Cho dãy số (un ) được xác định bởi 
.
1
1
1
u2 n =
+
+ ... +
, n ≥ 1.

n +1 n + 2
n+n
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh dãy số đã cho có giới hữu hạn và tìm giới hạn đó.

u1 = 1

2un2 + 3un + 2

, ∀n ∈ N *
un +1 =
3un + 2
40. Cho dãy số dương (un ) thỏa mãn 
Tìm giới hạn của dãy số./.

Phần 4. Quy tắc đếm, Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp– Xác suất– Nhị thức Niu tơn.
A. Quy tắc đếm – Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ
8 chữ số trên, trong đó số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
12


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí
Luyện thi HSG Toán 11.
2. Từ các chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một

khác nhau, trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau.
3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 chữ cái từ bộ chữ cái MAYMAN thành một hàng sao cho mỗi
cách sắp xếp 2 chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau.
4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện 2 lần,

các chữ số còn lại xuất hiện không quá 1 lần.
5. Có bao nhiêu cách chia 100 cây bút chì cho 3 bạn sao cho mỗi bạn đều có ít nhất một cây
bút chì?
6. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6
chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này là số lẻ và chữ số đứng vị trí thứ 3 ( tính từ
hàng đơn vị) chia hết cho 6?
7. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và nhỏ hơn 600000.
8. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một
khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?
9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, mỗi số gồm 6 chữ
số đôi một khác nhau mà tổng của 3 chữ số cuối nhỏ hơn tổng 3 chữ số đầu là 3 đơn vị.
10. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp
11A, 4 học sinh lớp 11B và 3 học sinh lớp 11C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao
cho 4 học sinh được chọn không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như
vậy?
11. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số
lẻ?
12. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một
khác nhau sao cho các chữ số 1, 2, 3 đứng kề nhau.
B. Xác suất
1. Cho lục giác đều ABCDEF .Viết các chữ cái A, B, C , D, E , F vào 6 thẻ (Mỗi thẻ ghi 1 chữ
cái). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ. Tính xác suất chọn được 2 thẻ sao cho đoạn thẳng nối
2 điểm ghi trên 2 thẻ đó là đường chéo của lục giác ABCDEF .
2. Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng

a1a2 a3a4 a5 a6 .

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời
3.
4.

5.

6.

7.

thỏa mãn a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 .
Viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có 6 chữ số. Tính xác suất để viết được số có tổng
các chữ số của nó bằng 6.
Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ
ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Tính xác suất bất kì 2
học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.
Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hoit thi đưa cho mỗi thí sinh một
bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình
thức giống hệt nhau, mỗi phong bì một câu hỏi, thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác
đinh câu hỏi của mình. Biết rằng bộ câu hỏi dành cho thí sinh là như nhau, Tính xác suất để
3 câu hỏi A chọn và B chọn giống nhau.
Trong kì thi chọn học sinh giỏi Tỉnh năm 2016, một phòng thi có 24 em học sinh trong đó
có 12 em là học sinh của cùng một trường. Trước khi giám thị gọi thí sinh vào phòng thi,
yêu cầu các em sắp xếp ngẫu nhiên một hàng dọc. Tính xác suất để khi các em sắp xếp hàng
dọc không có hai học sinh cùng trường đứng cạnh nhau.
Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh gồm 4 nam và 4 nữ vào 4 bàn trên một hàng ngang (mỗi bàn có
hai chổ ngồi). Tính xác suất để có đúng 2 bàn mà trong đó mỗi bàn gồm 1 nam và 1 nữ.
13


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí
Luyện thi HSG Toán 11.
8. Đội tuyển học sinh giỏi tỉnh khối 11 trường THPT Lê Quảng Chí năm 2017-2018 có 20 bạn

học sinh tham dự, trong đó có 3 bạn học sinh thi môn Hóa,2 bạn học sinh thi môn Lý.Giáo
viên phụ trách muốn chọn ngẩu nhiên ra 5 bạn học sinh làm đại diện. Tính xác suất để 5 bạn
học sinh được chọn có ít nhất 3 bạn học sinh thi môn Lý hoặc môn Hóa.
9. Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp

A = {1;2;...;20}. Tính xác suất để

trong ba số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp.
10. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn nhẫu nhiên 1 số từ tập A, tính xác

suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.
11. An có 3 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Bình có 4 viên bi màu đỏ, 3 viên bi màu vàng
và 5 viên bi màu xanh. Mỗi người chọn ngẫu nhiên 2 viên bi để cho người kia xem. Tính
xác suất để 4 viên bi được chọn cùng màu.
12. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên
một số từ tập A. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3.
13. Gọi S là tập hợp các ước nguyên dương của số 10800. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S, tính
xác suất để số đó chia hết cho 5.
14. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập X. Tính xác suất để số được chọn
chứa đúng 3 chữ số lẻ?
15. Một hộp chứa các số tự nhiên có 4 chữ số lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Lấy ngẫu nhiên
1 số. Tính xác suất để số được lấy ra gồm 4 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 2 và 4?
16. Cho tập X các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ X, tính xác suất để số được chọn bé hơn 4653.
17. Một hộp có 15 viên bi cùng kích thước, trong đó có 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi
vàng. Người ta chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 15 viên bi đó. Tính xác suất để 4 viên bi lấy ra
không đủ 3 màu.
18. Viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có 6 chữ số. Tính xác suất để viết được số có

tổng các chữ số của nó bằng 6.
19. Một bàn có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chổ ngồi cho
6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Tính xác suất bất kỳ 2 học sinh
nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.
20. Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 5 viên
bi. Tính xác suất để lấy được ít nhất 3 viên bi đỏ.
C. Nhị thức Niu tơn.
1. Xét khai triển:

Tính

a2 +

( 1 + x ) ( 1 + 2 x ) ...( 1 + 2013x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + ... + a2013 x 2013

1 2
1 + 22 + ... + 20132 )
(
2

2. Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15

a) Tính a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15
b) Tìm hệ số a10.
3.

1 − 2x)
Cho khai triển đa thức (
Tính tổng:

2016

= ao + a1 x + a2 .x 2 + ... + a2016 .x 2016 .

S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + ... + 2016 a2015

4. Cho khai triển:

( 1 + 2x)

10

(x

2

.

+ x + 1) = ao + a1 x + a2 x 2 + ... + a14 x14
2

Hãy tìm giá trị của a6
14

.

.

.

Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.
C
C
Cnn
2n +1 − 1
0
Cn +
+
+ ... +
=
1+1 1+ 2
1+ n
1+ n .
5. Với n nguyên dương. Chứng minh rằng:
6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta luôn có:
1
n

2
n

2
2016 2
1008
(C02016 )2 -(C12016 ) 2 +(C 22016 ) 2 -(C32016 ) 2 +.....-(C 2015
2016 ) +(C 2016 ) =C 2016 .
n

 2 2
 x - ÷ , ( x ≠ 0)
15
x
x
7. Tìm hệ số của
trong khai triển Niu – tơn của biểu thức 
, biết rằng n
C 2n C3n
Cpn
Cnn
C +2 1 +3 2 +...+p p-1 +...+n n-1 =2031120
Cn Cn
Cn
Cn
là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức:
.
1
n

Cnk = Cnk−−11 + Cnk−−21 + ... + Ckk −1 + Ckk−−11
Từ đó tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + .... + n( n + 1)

( k ; n ∈ N ; k < n) .

8. Chứng minh:

9. Chứng minh

13 +23 +...+n 3 =6(C33 +C34 +C35 +...+C3n+1 )+C 2n+1

( 2 + 3x )
10. Cho khai triển nhị thức
n −1

n +12

3 a0 + 3 a1 + ... + an = 3
n

11. Tìm hệ số của

.

n

= a0 + a1 x + ... + an x n

(∀n ≥ 2; n ∈ N )

biết n là số nguyên dương thỏa mãn

Tìm số lớn nhất trong các số a0 ; a1;...; an .

2
n
x 6 trong khai triển: ( x + 4 x + 5) . Biết n là số tự nhiên thỏa mãn:
c20n + c22n + c24n + c26n + ... + c22nn−2 + c22nn = 128 .

12. Cho n là số tự nhiên,

n ≥ 2. Chứng minh đẳng thức sau:

n 2 Cn0 + ( n − 1) Cn1 + ( n − 2 ) Cn2 + ... + 22 Cnn − 2 + 12 Cnn −1 = n(n + 1)2n − 2.
2

2

13. Tìm hệ số của lũy thừa lớn nhất của x trong khai triển:

5 ≤ k ≤ 2011.
0
k
1
k −1
5
k −5
k
Chứng minh rằng: C5 .C 2011 + C5 .C 2011 + ... + C5 .C 2011 = C 2016 .

14. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn

15. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta luôn có:

2C1n + 5C2n + 8C3n + ... + (3n − 1)Cnn = (3n − 2).2n −1 + 1

(

1+ x + x

4
16. Xác định hệ số của x trong khai triển
1 2
1 4
1
2014
S = C02015 + C2015
+ C2015
+L +
C2015
3
5
2015
17. Tính:

(
18. Cho khai triển:

1 + x + x 2 + ... + x 2010

)

2011

2

)

n

1
2
n
20
biết C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 − 1

= a0 + a1 x + a2 x 2 ... + a4042110 x 4042110

a) Tính tổng: a0 + a1 + a2 + .... + a4042110
b) Chứng minh đẳng thức sau:
0
1
2
3
2000
2011
C2011
.a2011 − C2011
.a2010 + C2011
.a2009 − C2011
.a2008 + ... + C2011
.a1 − C2011
.a0 = −2011

19. ( Hà Tĩnh 2013). Cho khai triển:

(

1 + x + x 2 + ... + x10

)

11

= a0 + a1 x + a2 x 2 ... + a110 x110

15


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.

Chứng minh đẳng thức sau
0
1
2
3
10
11
C11
.a0 − C11
.a1 + C11
.a2 − C11
.a3 + ... + C11
.a10 − C11
.a11 = 11 .

(

4

20. Tìm hệ số của x trong khai triển

C21n +1

1 − x − 3x 2

+ C22n +1

)

2n

biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn:

+ ... + C2nn +1

= 22014 − 1 .
3

x13

21. Tìm hệ số của số hạng chứa

1

15
f ( x) =  + x + x 2 ÷ ( 2 x + 1)
4


trong khai triển
.
1
1
1
1
2014
+
+
+
...
+
=
A22 A32 A42
An2 2015

22. Cho số nguyên dương n thỏa mãn:
15

Tìm số hạng chứa x

( 2x
trong khai triển nhị thức :

2

−x

)

.

n −1

.

4
Cn1 + Cn2 = Cn3
6
5
23. Cho số nguyên dương n thỏa mãn:
. Tìm số hạng chứa x trong khai
( x + 1) n
triển nhị thức:

.

1.Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + ... + n.Cnn = 128n .
n
n +1
6
f ( x) = 2 ( 1 + x ) + x ( 2 + x )
x
Tìm hệ số của
trong khia triển thành đa thức:
.

24. Cho số nguyên dương n thỏa mãn:

25. ( Bình Định 2017): Cho n là số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng:

(

)

Cn1 + Cn2 + ... + Cnn ≤ n 2n − 1

.

26. ( Nghệ An: 2015). Cho số nguyên dương thỏa mãn:

1
A22

+

1
A32

+

1
A42

+ ... +

Tìm số hạng chứa x

1

An2

2015

=

2014
2015

( 2x
trong khai triển nhị thức Niu – tơn
1

27. ( Vĩnh phúc 2016). Tính tổng
28. ( Hà Tĩnh 2015).

.

A22

+

1
A32

+

1
A42

+ ... +

2

−x

)

n −1

.

1
2
A2016

n
1 + 2 x ) = a0 + a1 x + ... + an x n
(
Cho khai triển
với n là số tự nhiên

thỏa mãn:

Cn1

+2

Cn2
Cn1

+3

Cn3
Cn2

+ ... + n

Cnn

Cnn −1

= 78

. Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .

29. ( Hà Tĩnh 2014). Tìm số nguyên dương n, k biết n <20 và các số

Cnk −1; Cnk ; Cnk +1 theo thứ

tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ năm lập thành một cấp số cộng.
30.

16


Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí

Luyện thi HSG Toán 11.

17