Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 18

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012- 2013
Môn thi: Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)
SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(3.0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2
2
2
10
1
2 12
x
x
y y
x x
y

+ + =




+ + =


b) Giải phương trình:
( )
2
cos2 cos4 6 2sin3x x x

− = +
Câu 2:(2.5 điểm)
a) Tính giới hạn dãy số:
(
)
4 2 63
lim 1 1n n n
+ + − +

b) Cho dãy số
( )
n
u
xác định như sau:
1
1
1
2013
1
( 1)
2013
n
n
n n
n
u
u u n
+
+
=




= + ≥


Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số
( )
n
u
?
Câu 3:(2.5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC=2a,
AB=AD=DC=a (a>0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC
và BD. Biết SD vuông góc với AC.
a) Tính SD.
b) Mặt phẳng (
α
) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) và song song với
hai đường thẳng SD và AC.
Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (
α
). Biết MD = x.
Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.
Câu 4:(2.0 điểm) Cho phương trình:
4 3 2
0x ax bx cx d+ + + + =

a) Với
2013d = −

, chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
b) Với
1d =
, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh
2 2 2
4
3
a b c+ + ≥

HẾT
SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán
(Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập
luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải
sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là
0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng
bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
Câu Nội dung Điểm
1
a) ĐK:
0y ≠

. Đặt
1
1;a x b
y
= + =
Ta có hệ phương trình trở thành

2 2
11
5 7 2 3
( )
6 18 3 2
13
a b ab
a b a b a a
VN
ab ab b b
a b
+ + =
+ = + = − = =

   
⇔ ∨ ⇔ ∨
    
= = = =
+ =
   

TH1:
2

1
( ; ) 1;
3
3
a
x y
b
=

 
⇒ =

 ÷
=
 

TH2:
3
1
( ; ) 2;
2
2
a
x y
b
=

 
⇒ =


 ÷
=
 

1,5 điểm
0,25
0,75
0,25
0,25
b)
( )
2
cos2 cos4 6 2sin3x x x
− = +
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
4sin sin 3 6 2sin3
4(1 sin sin 3 ) 2(1 sin3 ) 0
4 sin (1 sin 3 ) cos 2(1 sin3 ) 0
4(sin cos 3 cos ) 2(1 sin3 ) 0
sin3 1
sin3 1
sin cos 3 0 2 ( )
2
cos 0

cos 0
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x
x
x x x k k Z
x
x
π
π
⇔ = +
⇔ − + + =
 
⇔ − + + + =
 
⇔ + + + =
= −

= −


⇔ = ⇔ ⇔ = + ∈
 
=


=


1,5 điểm
0,5
0,5
0,5
Trang: 2 - Đáp án Toán 11
2
a)
(
)
(
)
4 2 6 4 2 2 6 2
3 3
lim 1 1 lim 1 ( 1 )n n n n n n n n+ + − + = + + − − + −
Ta có:
(
)
2
2
4 2 2
4 2 2
2 4
1
1
1 1
lim 1 lim lim
2
1 1
1
1 1

n
n
n n n
n n n
n n
 
+
 ÷
 
+
 ÷
+ + − = = =
 ÷
 ÷
+ + +
 
+ + +
 ÷
 
6 2
3
6 2 2 6 4
3 3
1
lim( 1 ) lim 0
( 1) ( 1)
n n
n n n n
+ − = =
+ + + +

Do đó
(
)
4 2 6
3
1
lim 1 1
2
n n n
+ + − + =
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
*
0,
n
u n N> ∀ ∈
1 1
1 1
1 1
2013 2013
n n n n
n n n n
n n
u u u u
+ +
+ +

= + ⇒ − =

Do đó:
2 1
2 1
1
1
2013
u u− =

3 2
3 2
2
1
2013
u u− =


1
1
1
1
2013
n n
n n
n
u u
−
−
−

− =
Suy ra:
1
1
1
1 2 1
1
1
1 1 1
2013

2013 2013 2013 2012
n
n
n
n
u u
−
−
 
−
 ÷
 
− = + + + =

1
1
1
2013
2013

2012
n
n
n
u
−
 
−
 ÷
 
= +
1
1
1
1 1 1 2014 2013
2013
1 2013 2014 1
2012
n
n
n
n
u
n n
−
 
−
 ÷
+ + + +
 

< = + < < = +
(Cô si)
Mặt khác
2013
lim 1 1
n
 
+ =
 ÷
 
. Vậy
lim 1
n
u =
1,5 điểm
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
Trang: 3 - Đáp án Toán 11
3

O
B
C
A
D
S
T

M
N
P
K
Q
J
2,5 điểm
0,25

a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a.
Kẻ DT//AC (T thuộc BC). Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD.
Ta có: DT=AC=
3a
.
Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a,
0
120SCT∠ =
7ST a⇒ =
Xét tam giác vuông SDT có DT=
3a
,
7 2ST a SD a= ⇒ =
b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N,P.
Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần
lượt tại K, J, Q. Thiết diện là ngũ giác NPQKJ.
Ta có: NJ, MK, PQ cùng vuông góc với NP.
dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)=
1 1
( ) ( )
2 2

NJ MK MN MK PQ MP+ + +
1
( ).
2
NJ MK NP= +
(do NJ=PQ).
Ta có:
. . 3
3
3
NP MD AC MD x a
NP x
a
AC OD OD
= ⇒ = = =

2 .
.
3
2( 3)
3
a
a x
NJ AN OM SD OM
NJ a x
a
SD AD OD OD
 
−
 ÷

 
= = ⇒ = = = −

( )
2 . 3
. 2
( 3 )
3 3
a a x
KM BM SD BM
KM a x
SD BD BD
a
−
= ⇒ = = = −
Suy ra: dt(NPQKJ)=
1 2
2( 3) ( 3 ) 3 2(3 2 3 )
2
3
a x a x x a x x
 
− + − = −
 ÷
 

2
2
1 1 3 3
(3 2 3 )2 3 (3 2 3 ) 2 3

4
3 4 3
a x x a x x a
 
= − ≤ − + =
 
Diện tích NPQKJ lớn nhất bằng
2
3 3
4
a
khi
3
4
x a=

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Trang: 4 - Đáp án Toán 11
4
a) d= -2013
Đặt
4 3 2
( ) 2013f x x ax bx cx= + + + −

liên tục trên R.
Ta có:
( )
0 2013 0f = − <
Mặt khác
lim ( )
x
f x
→±∞
= +∞
, nên tồn tại 2 số
0; 0
α β
< >
sao cho
( ) 0; ( ) 0f f
α β
> >
. Do đó
(0). ( ) 0; (0). ( ) 0f f f f
α β
< <
.
Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng
( ,0)
α
và
(0, )
β
1.0 điểm

0,25
0,5
0,25
b) d=1: Gọi
0
x
là nghiệm của phương trình (
0
0x ≠
)

4 3 2 2
0 0 0 0 0 0
2
0 0
1 1
1 0x ax bx cx b x ax c
x x
−
+ + + + = ⇔ = − + − −
Ta có:
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
( 1) ( 1)a b c x a c x ax c x
x x x x

 
 
−
 
+ + + + = + + − + − − + +
 ÷
 
 
 
2 2
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
ax c x ax c x
x x x x
   
−
≥ + − + − − = +
 ÷  ÷
   
Suy ra:
( )
2
2
0
2
2
0

2 2 2
2
0
2
0
1
1
1
1
x
x
t
a b c
t
x
x
 
+
 ÷
 
+ + ≥ =
+
+ +
với
2
0
2
0
1
2t x

x
= + ≥
Mặt khác:
2
2
4
3 4 4 0 ( 2)(3 2) 0
1 3
t
t t t t
t
≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥
+
(đúng do
2t ≥
).
Vậy
2 2 2
4
3
a b c+ + ≥
.
Dấu bằng xảy ra khi
2
3
a b c= = = −
(ứng với
0
1x =
)

2 2
,
3 3
a c b= = = −
(ứng với
0
1x = −
)
1.0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang: 5 - Đáp án Toán 11