Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 15

Kè THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 11
Mụn thi: Toỏn
Thi gian: 180 phỳt (Khụng k thi gian giao )
( thi gm 01 trang v cú 5 cõu)
THI:
Cõu 1 Gii phng trỡnh:
2
2
tan tan 2
sin
tan 1 2 4
x x
x
x

+

= +
ữ
+

.
Câu 2: Cho khai triển
( )
15
2 14 2 210
0 1 2 210
1 x x x a a x a x a x+ + + + = + + + +
. Chứng minh rằng:
0 1 2 15
15 15 15 14 15 13 15 0

15C a C a C a C a + =
.
Câu 3: Cho dóy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xỏc nh bi:
0
2u =
;
2
1
4 15 60
n n n
u u u
+
= +
a) Hóy xỏc nh s hng tng quỏt ca
n
u
.
b) Chng minh rng s
2
1
( 8)
5
n
u +
cú th biu din thnh tng bỡnh phng ca ba s nguyờn
liờn tip.
Câu 4: Cho hỡnh chúp SABCD, ABCD l hỡnh vuụng cnh
3
, SA (ABCD),
SA = 2

3
. Mt phng
( )
qua BC to vi AC mt gúc 30
o
, ct SA, SD ln lt ti M v N.
Tớnh din tớch thit din BCNM.
Câu 5: Cho
, ,x y z
là các số thực dơng thỏa mãn
3x y z+ + =
. Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )
2
4 4 4
x y z y z x z x y
xyz
yz zx xy
+ + +
+ +


HNG DN
Cõu 1 Gii phng trỡnh:
2
2
tan tan 2
sin
tan 1 2 4

x x
x
x

+

= +
ữ
+

.
iu kin:
cos 0
2
x x k


+
(*)
Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2 2
2cos (tan tan ) sin cosx x x x x+ = +
2
2sin 2sin .cos sin cos 2sin (sin cos ) sin cos
(sin cos )(2sin 1) 0
x x x x x x x x x x
x x x
+ = + + = +
+ =
+ Vi

sin cos 0 tan 1
4
x x x x k


+ = = = +
+ Vi
1 5
2sin 1 0 sin 2 ; 2
2 6 6
x x x k x k


= = = + = +
i chiu iu kin (*), suy ra nghim ca phng trỡnh ó cho l:
5
; 2 ; 2 ( )
4 6 6
x k x k x k k


= + = + = + Â
Câu 2: Cho khai triển
( )
15
2 14 2 210
0 1 2 210
1 x x x a a x a x a x+ + + + = + + + +
. Chứng minh rằng:
0 1 2 15

15 15 15 14 15 13 15 0
15C a C a C a C a + =
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
210 15
15 15
15
15 2 14
15
0 0
1 1 1 1
k
k i k
i
i k
x x x x x C a x
+
= =
= + + + + =

Suy ra hệ số của
15
x
trong khai triển
( )
15
15
1 x

là
( )
0 1 2 15
15 15 15 15 14 15 13 15 0
15
1
k
k
i
i k
C a C a C a C a C a
+ =
= +

Mặt khác
( )
15
15 15 225
1 1 15 x x x = +
. Suy ra hệ số của
15
x
trong khai triển
( )
15
15
1 x
là
15

.
Vậy
0 1 2 15
15 15 15 14 15 13 15 0
15C a C a C a C a + =
(đpcm).
Câu 3: Cho dóy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xỏc nh bi:
0
2u =
2
1
4 15 60
n n n
u u u
+
= +
a) Hóy xỏc nh s hng tng quỏt ca
n
u
.
b) Chng minh rng s
2
1
( 8)
5
n
u +
cú th biu din thnh tng bỡnh phng ca ba s nguyờn
liờn tip.
a)Theo bi ra ta cú:

2 2
1 1
8 60 0 (1)
n n n n
u u u u
+ +
+ + =
Thay n bi n-1 ta c:
2 2
1 1
8 60 0 (2)
n n n n
u u u u

+ + =
Tr theo tng v (1) cho (2) c:
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
8 0 8 0
n n n n n n n n
u u u u u u u u
+ + +
+ = + =
(3)
(do
1 1 1 1
4 16 0
n n n n n
u u u u u
+ +

> > >
Phng trỡnh c trng ca (3)
2
4 15
8 1 0
4 15
t
t t
t

=
+ =

= +


S hng tng quỏt:
( ) ( )
4 15 4 15
n n
n
u = + +
b) Vi mi s
1n
, thỡ tn ti s
kƠ
:
( ) ( )
4 15 4 15 15
n n

k+ =
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
4 15 4 15 15. 4 15 4 15 15. 2
n n n n
k k

+ = + + = +
ữ

Do vy,
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
1 1
8 4 15 4 15 8 3. 2 1 1
5 5
n n
n
u k k k k

+ = + + + = + = + + +
ữ

Câu 4: Cho hỡnh chúp SABCD, ABCD l hỡnh vuụng cnh
3
, SA (ABCD),
SA = 2
3
. Mt phng
( )
qua BC to vi AC mt gúc 30
o
, ct SA, SD ln lt ti M v N.
Tớnh din tớch thit din BCNM.
Ta cú:
BC// AD
( ) (SAD) MN MN// BC// AD
BC ( ); AD (SAD)


=




M:
BC BA; BC SA (SA (ABCD))

BC (SAB) BC BM

Suy ra thit din BCNM l thang vuụng ti B, M.
Dng

AH BM
Ta cú:
BC AH

(vỡ
BC (SAB))
Suy ra:
ã
o
AH ( ) ACH 30 .
=
Tam giỏc ABM vuụng ti A, ng cao AH cú:
= = = =
2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 1
AM 3
3
AM AH AB
3 3
=BM 6
(tam giỏc ABM vuụng cõn) v
=
3
MN .
2
Din tớch hỡnh thang vuụng BCNM:

= + = + =
ữ

1 1 3 9 2
S MB.(MN BC) . 6 3 3,1820.
2 2 2 4
Câu 5:
Cho
, ,x y z
là các số thực dơng thỏa mãn
3x y z+ + =
. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
2
4 4 4
x y z y z x z x y
xyz
yz zx xy
+ + +
+ +

(1)
Ta có
( )
( )
2
2
9 3yz zx xy x y z yz zx xy+ + + + = + +
C
D
N
M
S

H
B

A
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
4 4 4
y z z x x y
yz yz zx zx xy xy
+ + +
⇔ + + ≥
− − −
(2)
Ta cã
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
4
2
2 2
2 2

y z
yz
yz yz
yz
yz yz yz
yz yz yz
+
≥ = ≥
−
 
+
− +
− +
 
Do ®ã
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 18
2
4 4 4
2 2 2
6
y z z x x y
yz yz zx zx xy xy
yz zx xy

yz zx xy
 
+ + +
+ + ≥ + + ≥
 
− − −
+ + +
+ + +
 
 
18
2
6 3
≥ =
+
. VËy (2) ®óng (®pcm).