Đề-ĐA HSG cấp trường lớp 9. Môn toán

TRƯỜNG THCS NGHĨA HÀNH
NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Môn: TOÁN 9 ( Thời gian: 120 phút )
Câu 1: (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A =
2 3 5 13 48
6 2
+ − +
+
b) Chứng minh rằng: B = x
4
+ 4x
3
y + 2x
2
+ 4x
2
y
2
+ 4xy + 1 (với x, y € Z) là một
số chính phương.
Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình
a)
2
2 3
3
1
x
x
x

x
+ −
= +
−
b)
3 3 3
1 3 1 1x x x+ + + = −
Câu 3: (5 điểm)
a) Cho a, b, c dương và a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
1 1 1
9
a b c
+ + ≥
b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức P =
2
2
2( 1)
1
x
x
x
+ +
+
Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 8 cm, AC = 14 cm.
a) Tính số đo góc B.
b) Đường phân giác góc C cắt AB tại D. Tính AD
c) Từ A vẽ đường vuông góc với CD, cắt CD tại E và cắt BC tại F. Tính AF.
Câu 5: ( 2 điểm) Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Gọi AH, BI, CK là các
đường cao của tam giác. Cgứng minh rằng:
2 2 2

1
os os os
HIK
ABC
A B C
S
c c c
S
= − − −
(Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên:………………………..……...............SDB:….........
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 9
Câu Nội dung Điểm
1
a) A =
2 3 5 13 48
6 2
+ − +
+
Biến đổi:
2
2
2
2
2
13 48 13 4 3
13 48 2 3 1
5 13 48 5 (2 3 1) 4 2 3
5 13 48 3 1
3 5 13 48 3 3 1 2 3

2 2 3 8 4 3
6 2 6 2 6 2
(2 3 1)
(2 3 1)
( 3 1)
( 3 1)
( 6 2)
A
+ = + =
⇒ + = = +
⇒ − + = − + = − =
⇒ − + = = −
⇒ + − + = + − = +
+ +
⇒ = = =
+ + +
+
+
−
+
+
Vậy A = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
b) B = x

4
+ 4x
3
y + 2x
2
+ 4x
2
y
2
+ 4xy + 1
= (x
2
+ 2x
2
(2xy + 1) + ( 2xy + 1)
2
= ( x
2
+ 2xy + 1)
2
Vì x,y € Z => x
2
+ 2xy + 1 € Z
Vậy B là một số chính phương.
0,75
0,5
0,5
0,25
2
a)

2
2 3
3
1
x
x
x
x
+ −
= +
−
(1)
ĐK: x > 1 Phương trình (1)
2
2
3 3
3 6 9
5 6 0
3; 2
x x
x x
x
x x
x
x
⇔ + = +
⇔ + = + +
⇔ + + =
⇔ = − = −
Vậy phương trình vô nghiệm

0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
b)
3 3 3
1 3 1 1x x x+ + + = −
0,5
3 3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
3 3
1 3 1 3 ( 1)(3 1)( 1 3 1) 1
4 2 3 ( 1)(3 1)( 1) 1
( 1) ( 1)(3 1)( 1) 0
1( (3 1)( 1)) 0
1 0 1
(3 1)( 1)( )
( 1)
( 1)
x x x x x x x
x x x x x

x x x x
x x x
x x
x x VN
x
x
⇔ + + + + + + + + + = −
⇔ + + + + − = −
⇔ + + + + − =
⇔ + + + − =

+ = ⇔ = −

⇔

= − + −


+
+
Vậy pt có một nghiệm x = -1
0,25
0,25
0,5
0,5
3
a) Ta có:
1 1 1 1 1 1
( )( ) 3
3 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 9

1 1 1
9( )
a a b b c c
a b c
a b c a b c b c a c a b
a b a c b c
b a c a c b
dpcm
a b c
+ + = + + + + = + + + + + +
= + + + + + + ≥ + + + =
⇒ + + ≥
1,0
0,5
0,5
b) P =
2
2
2( 1)
1
x
x
x
+ +
+
(*)
Vì x
2
+ 1 > 0 với mọi x
Do đó pt (1)  (x

2
+ 1)P = 2x
2
+ 2x + 2
 (P – 2)x
2
– 2x + (P – 2) = 0
Khi P = 2 thì x = 0
Khi P ≠ 2 xét Δ’ = 1 – (P – 2)
2
≥ 0
 (P – 2)
2
≤ 1
 1 ≤ P ≤ 3
Vậy Min P = 1 khi x = -1.
Max P = 3 khi x = 1
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
4 Vẽ hình đúng
a) Áp dụng định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn ta có:
tg B =
14
1,750

8
AC
AB
= =
=> góc B = 60
0
0,5
1,0
b) Từ câu a) => góc C = 30
0
do đó góc ACD = 15
0
0,5
A
B CF
D
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AD = AC.tg ACD = 14. 0,265 = 3,72 cm 1,0
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AE = AC. Sin ACE = 14 . 0,257 = 3,598 cm
Tam giác ACF có CE vừa là đường cao vừa là đường phân giác
=> Tam giác ACF cân tại C
=> AF = 2.AE = 2. 3,598 = 7,916 cm
1,0
1,0
5
Vẽ hình đúng
Ta có: S
HIK
= S

ABC
– S
AKI
– S
BKH
– S
CHI
1
. .sin
.
. .sin
CHI
HIK AKI BKH
ABC ABC ABC ABC
AIK
ABC
AK AI A AK AI
AB AC A AC AB
S
s S S
S S S S
S
S
= − − −
= =
Trong các tam giác vuông AKC và AIB ta có:
2
2 2
2
cos ;cos

:
: ;
os
os os
AKI
ABC
CHI
BHK
ABC ABC
AK AI
A A
AC AB
Dodo A
B C
S
c
S
S
S
c c
T
S S
= =
=
= =
Vậy:
2 2 2
1
os os os
HIK

ABC
A B C
S
c c c
S
= − − −
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
(Nếu học sinh giải cách khác đung vẫn cho điểm tối đa)
H
A
K I
CB