BD HSG Tính tổng các dãy số

Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Ngày soạn : 22/09/10
Ngày dạy : 28/09/10
Chủ đề 3
Tính tổng các dãy số
Buổi 1
tổng với các số hạng là số nguyên, lũy thừa, số thập phân
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh biết cách tính tổng các dãy số với các số hạng là số nguyên,
lũy thừa (hoặc số thập phân) cách đều hoặc không cách đều
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng tính toán, biến đổi, t duy khoa học
Thái độ
- Học sinh tích cực, chủ động trong học tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức sĩ số
II. Kiểm tra bài cũ
III. Bài mới
Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều
I Lí thuyết chung:
- Số chẵn là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8
- Số lẻ là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9
- Hai số chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp thì hơn kém nhau 2 đơn vị
- Cho dãy số cách đều u

1
, u
2
, u
3
, ... , u
n
(*), khoảng cách giữa hai số hạng
liên tiếp của dãy là d, khi đó số các số hạng của dãy (*) là:
( )
1
: 1= +
n
n u u d

(1)
Tổng các số hạng của dãy (*) là :
1
( )
2
n
n
n u u
S
+
=
(2)
Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính đợc số hạng thứ n của dãy (*) là:
u
n

= u
1
+ (n - 1)d
Suy ra:
+ Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b có b a + 1 phần tử
+ Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có (b - a) :2 + 1 phần tử
+ Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số chẵn n có (n - m) : 2 + 1 phần tử
Giáo án Bồi dưỡng HSG Đại số 9
Trờng THCS Hồng Hng
II Bài tập:
Bài 1: H y tính tổng S các số tự nhiên từ 1 đến 100ã
H ớng dẫn :
Cách 1: Ta thấy tổng S có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm
có tổng là 101 nh sau:
S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51)
= 101 + 101 + ... + 101 = 50.101 = 5050.
Cách 2:
S = 1 + 2 + ... + 99 + 100
S = 100 + 99 + ... + 2 + 1
2S = 101 + 101 + ... + 101 + 101
(có 100 số hạng 101)
=> S = 101.100 : 2 = 5050
Bài 2: Tính A = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99
H ớng dẫn :
Cách 1:
A = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia
thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là:
(2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó A = 1 + 4949 = 4950
Cách 2:
A = 1 + 2 + ... + 98 + 99

A = 99 + 98 + ... + 2 + 1
2A = 100 + 100 + ... + 100 + 100
(có 99 số hạng 100)
=> A = 100.99 : 2 = 4950
Bài 3: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999
H ớng dẫn :
Cách 1:
Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ, áp
dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) =
1000.250 = 250000 (tổng trên có 250 cặp số)
Cách 2:
C = 1 + 3 + ... + 997 + 999
C = 999 + 997 + ... + 3 + 1
2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000
(có 500 số hạng 1000)
=> C = 1000.500 : 2 = 250000
Bài 4: Tính D = 1 + 2 + 3 + . . . + n
H ớng dẫn : Làm theo cách thứ hai của các bài tập trên đợc kết quả:
n(n 1)
D
2
+
=
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Bài 5: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ... + 98,99 + 99,10
H ớng dẫn : Nhân cả hai vế với 100 ta có:
100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... +

9899) + 9910
(1011 9899).89
9910
2
+
= +
= 485495 + 9910 = 495405

E = 4954,05 (ghi chú: Vì số các số hạng của dãy là
(9899 1011)
1 89
101

+ =
)
Bài 6: Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên
tiếp.
H ớng dẫn :
Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:
S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) =
( 4006)
.2004 ( 2003).2004
2
a a
a
+ +

= +

.
Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028

a = 2004.
Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010
Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách đều
Bài 7: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1)
H ớng dẫn :
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n(n + 1).3
= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + . . . + n(n + 1)[(n + 2) - (n - 1)]
= 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)

A =
( 1)( 2)
3
n n n+ +
Bài 8: Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1)
H ớng dẫn :
4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1).4
= 1.2.3.(4 - 0) + 2.3.4 (5 - 1) + . . . + (n - 1)n(n + 1).
( ) ( )
n 2 n 2

+

= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - (n - 2)(n - 1)n(n +
1) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)

B =

( 1) ( 1)( 2)
4
n n n n + +

Bài 9: Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + . . . + n(n + 3)
H ớng dẫn :
Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) = 1.(1 + 1 + 2) = 1.(1 + 1)+ 2.1
2.5 = 2.(2 + 3) = 2.(2 + 1 + 2) = 2.(2 + 1)+ 2.2
3.6 = 3.(3 + 3) = 3.(3 + 1 + 2) = 3.(3 + 1)+ 2.3
4.7 = 4.(4 + 3) = 4.(4 + 1 + 2) = 4.(4 + 1)+ 2.4
. . . . . . . . . . .
n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + . . . + n(n + 1) + 2n
= 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + . . . + n(n + 1) + 2n
= [1.2 +2.3 +3.4 + . . . + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + . . . + 2n)
Giáo án Bồi dưỡng HSG Đại số 9
Trờng THCS Hồng Hng
mà 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) =
( 1)( 2)
3
n n n+ +
(kết quả bài tập 7)
và 2 + 4 + 6 + . . . + 2n =
(2n 2)n
2
+

C =
( 1)( 2) (2 2)
3 2

+ + +
+
n n n n n
=
( 1)( 5)
3
n n n
+ +
Bài 10: Tính D = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
H ớng dẫn :
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + . . . + n.(1 + n)
= 1
2
+ 1.1 + 2
2
+ 2.1 + 3
2
+ 3.1 + . . . + n
2
+ n.1 = (1
2
+ 2
2

+ 3
2
+ . . . + n
2
) + (1
+ 2 + 3 + . . . + n). Mặt khác theo bài tập 7 ta có:
A =
( 1)( 2)
3
n n n+ +
và 1 + 2 + 3 + . . . + n =
( 1)
2
n n +


D = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
=
( 1)( 2)
3
n n n
+ +
-

( 1)
2
n n
+
=
( 1)(2 1)
6
n n n
+ +
Bài 11: Tính A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
H ớng dẫn :
Cách 1:
B = 1.2.3 + 2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1)
= (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + . . . + (n - 1)n(n + 1)
= (2
3
- 2) + (3
3
- 3) + . . . + (n
3
- n)
= (2
3

+ 3
3
+ . . . + n
3
) - (2 + 3 + . . . + n)
= (1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
) - (1 + 2 + 3 + . . . + n)
= (1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
) -
( 1)
2
n n +

1
3
+ 2

3
+ 3
3
+ . . . + n
3
= B +
( 1)
2
n n +
Mà ta đã biết B =
( 1) ( 1)( 2)
4
n n n n + +

A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
=
( 1) ( 1)( 2)
4
n n n n + +
+
( 1)
2
n n +

=
2
( 1)
2
n n +



Cách 2: Phơng pháp quy nạp toán học
*) Kiến thức : Để chứng minh một đẳng thức hoặc một bất đẳng thức đúng
với n

n
0
bằng phơng pháp quy nạp toán học, ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n
0
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k

n
0
)
+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n

n
0
Chứng minh A = 1
3
+ 2

3
+ 3
3
+ . . . + n
3
= (1 + 2 + 3 + + n)
2
=
2
( 1)
2
n n +



(Với
*
n N
)
Ta có:
A
1
= 1
3
= 1
2
A
2
= 1
3

+ 2
3
= 9 = (1 + 2)
2
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
A
3
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
= 36 = (1 + 2 + 3)
2
Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là ta luôn có:
A
k
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + k
3
= (1 + 2 + 3 + . . . + k)

2
(1)
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là:
A
k+1
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + (k + 1)
3
= [1 + 2 + 3 + . . . + (k + 1)]
2
(2)
Thật vậy, ta đã biết: 1 + 2 + 3 + . . . + k =
( 1)
2
k k +


A
k
= [
( 1)
2
k k +
]
2

(1')
Cộng vào hai vế của (1') với (k + 1)
3
ta có:
A
k
+ (k + 1)
3
= [
( 1)
2
k k +
]
2
+ (k + 1)
3


A
k+1
= [
( 1)
2
k k +
]
2
+ (k + 1)
3
=
2

( 1)( 2)
2
k k+ +



Do đó: A
k+1
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + (k + 1)
3
= [1 + 2 + 3 + . . . + (k + 1)]
2
=
=
2
( 1)( 2)
2
k k+ +



=> đẳng thức đúng với n = k + 1. Vậy khi đó ta có:
A = 1
3

+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
= (1 + 2 + 3 + . . . + n)
2
=
2
( 1)
2
n n +




Bài 12: Bài 6 (trang 23/SGK toán 7- tập 1)
Biết rằng 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + 10
2
= 385, đố em tính nhanh đợc tổng
S = 2
2
+ 4

2
+ 6
2
+ . . . + 20
2
H ớng dẫn :
Ta có: S = 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ . . . + 20
2
= (2.1)
2
+ (2.2)
2
+ . . . + (2.10)
2

= 1
2
.2
2
+ 2
2
.2
2
+ 2

2
.3
2
+ . . .+ 2
2
.10
2

= 2
2
.(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ .. . + 10
2
) = 4. (1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + 10
2
)
= 4.385 = 1540.
Nh ậ n x é t: Nếu đặt P = 1
2

+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + 10
2
thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu
cho S thì ta sẽ tính đợc P và ngợc lại. Tổng quát hóa ta có:
P = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
(theo kết quả bài tập 10 ở trên)
Khi đó S = 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ . . . + (2n)
2
đợc tính tơng tự nh bài trên, ta có:

S = (2.1)
2
+ (2.2)
2
+ . . . + (2.n)
2
= 4.( 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
) =
=
4 ( 1)(2 1)
6
n n n+ +
=
2 ( 1)(2 1)
3
n n n+ +
Còn: P = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ .. . + n

3
=
2
( 1)
2
n n +



. (theo kết quả bài tập 11 ở trên)
Ta tính S = 2
3
+ 4
3
+ 6
3
+ . . .+ (2n)
3
nh sau:
S = (2.1)
3
+ (2.2)
3
+ (2.3)
3
+ . . . + (2.n)
3
= 8.(1
3
+ 2

3
+ 3
3
+ .. . + n
3
)
=> S = 8P. Vậy ta có:
S = 2
3
+ 4
3
+ 6
3
+ . . .+ (2n)
3
=
2
2 2
2 2
( 1) 8. ( 1)
8 2 ( 1)
2 4
n n n n
n n
+ +

ì = = +


Bài 13: a) Tính A = 1

2
+ 3
2
+ 5
2
+ . . . + (2n -1)
2
b) Tính B = 1
3
+ 3
3
+ 5
3
+ . . . + (2n-1)
3
Giáo án Bồi dưỡng HSG Đại số 9
Trờng THCS Hồng Hng
H ớng dẫn :
a) Theo kết quả bài 10 ở trên, ta có:
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + (2n)
2
=
2 (2 1)(4 1) (2 1)(4 1)
6 3

n n n n n n+ + + +
=
Mà ta thấy:
1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ ... + (2n -1)
2
= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + (2n - 1)
2
+ (2n)
2
- [2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ . . . + (2n)
2
]

=
(2 1)(4 1)
3
n n n+ +
-
2 ( 1)(2 1)
3
n n n+ +
=
2
(4 1)
3
n n
b) Ta có:
1
3
+ 3
3
+ 5
3
+ + (2n-1)
3
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + (2n)
3

- [2
3
+ 4
3
+ 6
3
+ . . . + (2n)
3
]
áp dụng kết quả bài tập 11 ở trên ta có:
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + (2n)
3
= n
2
(2n + 1)
2
.
Vậy: B = 1
3
+ 3
3
+ 5
3
+ . . . + (2n-1)

3

= n
2
(2n + 1)
2
- 2n
2
(n + 1)
2
= 2n
4
- n
2

IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài tập đ chữaã
- Giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998
Kết quả: D = 249480
Bài 2. Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + . . + (n - 2)(n - 1)n(n + 1)
Kết quả: A =
2 2
n(n 1)(n 4)
5

Bài 3. Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + .. . + n(n + 1)(n + 3)
Kết quả: B =
n(n 1)(n 2)(3n 13)
12

+ + +
Bài 4. Tính: C = 2
2
+ 5
2
+ 8
2
+ ... + (3n - 1)
2

Bài 5. Tính: D = 1
4
+ 2
4
+ 3
4
+ ... + n
4
D/Bổ sung

*******************************
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Ngày soạn : 22/09/10
Ngày dạy : 01/10/10
Chủ đề 3
Tính tổng các dãy số
Buổi 2

tổng với các số hạng là lũy thừa, phân số
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh biết cách tính tổng các dãy số với các số hạng là lũy thừa
hoặc phân số.
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng tính toán, biến đổi, t duy khoa học
Thái độ
- Học sinh tích cực, chủ động trong học tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức sĩ số
II. Kiểm tra bài cũ
III. Bài mới
Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách đều (tiếp)
Bài 1. Tính S
1
= 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
63
H ớng dẫn :
C á ch 1:
Ta thấy: S
1

= 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
63
(1)


2S
1
= 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
63
+ 2
64
(2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:
2S
1
- S
1
= 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2

63
+ 2
64
- (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
63
)
= 2
64
- 1. Hay S
1
= 2
64
- 1
C á ch 2 :
Ta có: S
1
= 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
63
= 1 + 2(1 + 2 + 2
2
+ 2
3

+ . . . + 2
62
)
= 1 + 2(S
1
- 2
63
) = 1 + 2S
1
- 2
64


S
1
= 2
64
- 1
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 3
2
+ 3
3
+ . . . + 3
2000
(1)
H ớng dẫn :
Giáo án Bồi dưỡng HSG Đại số 9